期中复习：圆的轨迹方程问题、圆中的定点问题、圆中的定值问题复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 期中复习：圆的轨迹方程问题、圆中的定点问题、圆中的定值问题复习讲义 考点目录 圆的轨迹方程问题 圆中的定点问题 圆中的定值问题 考点一 圆的轨迹方程问题 一、核心本质 根据动点满足的几何约束条件，通过坐标化转化为代数方程，化简得到动点的轨迹方程，若轨迹是圆（或圆的一部分）即为圆的轨迹问题。核心是「几何条件代数化，化简验证完备性」。 二、四大核心求法 1. 直接法（直译法） · 适用场景：题目直接给出动点满足的等量关系，可直接转化为坐标等式。 · 解题步骤： ① 建系设点：建立合适的平面直角坐标系，设动点坐标为 ； ② 译条件：将题目中的几何等量关系，用 翻译成代数方程； ③ 化最简：整理化简方程，得到圆的标准形式或一般形式； ④ 验范围：根据几何约束，剔除不符合条件的点，注明轨迹的范围。 · 典型场景：动点到定点距离为定值、动点到两定点的距离平方和为定值等。 2. 定义法 · 适用场景：动点的几何条件恰好符合圆的定义，可直接判定轨迹为圆，写出方程。 · 核心依据：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 · 高频模型：直角对直径：若动点 对两个定点 的张角恒为直角（），则 的轨迹是以 为直径的圆（ 两点除外，三点共线时无直角）。 · 解题步骤：识别圆的定义特征 确定圆心和半径 直接写出圆的标准方程。 3. 相关点法（代入法/伴随点法） · 适用场景：动点 随另一个在已知圆上运动的点 运动，且两点坐标存在明确的对应关系。 · 解题步骤： ① 设点：设动点 ，相关点 ； ② 找关系：用 表示出 ； ③ 代入：将 代入已知圆的方程； ④ 化简：整理得到动点 的轨迹方程。 · 典型场景：弦中点轨迹、平移/伸缩变换后的轨迹、对称点轨迹。 4. 参数法 · 适用场景：动点坐标可通过同一个参数（角度、斜率、时间等）表示，消去参数即可得到轨迹方程。 · 解题步骤： ① 选参数：选取合适的参数（如旋转角、直线斜率）； ② 写坐标：用参数表示出动点的横、纵坐标； ③ 消参数：联立两个式子消去参数，得到普通方程。 例1．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）设，是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，已知，，且，则点所在圆的方程为________． 【答案】 【分析】设出点的坐标，再用该坐标表示条件并化简即得. 【详解】设，由，即， 得，整理得. 所以点所在圆的方程为. 故答案为： 例2．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若，，判断是否存在点满足，若存在，请求出点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，，理由如下： ， 由得， 化简得， 与相减得， 将代入中得， 故存在点满足. 【分析】（1）根据得到方程，求出轨迹方程； （2）根据得，与（1）中的轨迹方程联立可得. 【详解】（1）因为，， 所以，即，化简得， 故点的轨迹方程为； （2）略 例3．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知圆C：，直线过点． (1)当与圆C相切时，求的方程； (2)已知B是圆C上一动点，点M满足，求点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹 【答案】(1)或． (2)，点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆． 【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在两种情况表示直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求直线方程； （2）设，根据表示出B点坐标，代入到圆C方程中整理可得点M的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆的圆心是，半径是2， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；     当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为，解得，故直线l的方程为．     综上，直线l的方程为或． （2）设点，，则由点M满足得即， 所以①，因为点B在圆C上运动，所以②， 将①代入②得，     化简得点M的轨迹方程是． 所以点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆． 变式1．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． (1)求圆的标准方程； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理可得出点的横坐标，将代入直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）设、，由中点坐标公式化简得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为圆与轴交于两点、，则线段的中点为， 由垂径定理可知轴，则点的横坐标为， 将代入，得，解得，得圆心， 圆的半径为， 圆C的标准方程为． （2）设、，由中点坐标公式得，即． 将点的坐标代入圆C的方程得， 即，即， 化简得， 线段中点的轨迹方程为． 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)；动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆 (2)或 【分析】（1）设，由建立等式化简可得，根据圆的概念可说明轨迹的形状； （2）设点关于轴的对称点为，设反射光线所在直线斜率为，写出直线方程，根据直线与圆的位置关系建立等式计算即可求解. 【详解】（1）设，因为， 所以，化简可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （2）点关于轴的对称点为， 由题意可得过点的直线斜率存在，则反射光线所在直线斜率也存在， 设过点的直线斜率为，则反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与动点的轨迹相切， 则，解得， 所以反射光线所在直线的方程为或.    变式3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆，线段AB的一端A点在圆上运动，另一个端点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，，利用中点公式得，根据点在圆上求轨迹方程； （2）设（注意验证斜率不存在的情况），并确定圆的半径和圆心，应用几何法求弦长，列方程得圆心到直线的距离为，最后应用点线距离公式列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设，，则，得，A点在圆上运动， 代入得，则 所以的轨迹方程为； （2）若直线斜率不存在时，， 代入圆的方程有，可得 此时，弦长为，显然与题设不符，所以直线的斜率存在， 设，而圆的半径为，圆心为，其到直线的距离为， 则弦长，得， 由，得，得， 整理得，解得， 所以，即. 考点二 圆中的定点问题 一、核心本质 含参数的动直线、动圆，无论参数如何变化，恒经过一个（或多个）固定的点，该点坐标与参数无关。核心思路是参变分离：将含参数的项整理合并，令参数的系数与常数项同时为 0，解出定点坐标。 二、两大经典题型 1. 动直线过定点 · 基础型：含单个参数的直线方程，整理为 ，令两部分同时为 0，解方程组得定点，即两条定直线的交点。 · 圆衍生型：过圆上/圆外定点的动直线与圆相交，衍生的弦中点、切线交点、对称点连线等恒过定点。 · 解题技巧：特殊值探路，先取两个不同的参数值，求出对应直线的交点，猜出定点，再验证该点恒在动直线上。 2. 动圆过定点 · 题型特征：圆的方程含有参数，随参数变化圆的位置、大小改变，但恒过某个固定点。 · 解法： ① 将圆的一般方程按参数整理，令参数的各次幂的系数分别为 0，同时常数项也为 0； ② 解方程组，得到的解即为定点坐标； ③ 验证该点满足圆的方程，与参数取值无关。 · 典型场景：直径两端点分别在两条定直线上运动的动圆，恒过定点。 三、通用解题步骤 1. 写方程：写出含参数的直线/圆的方程； 1. 整参数：按参数的次数整理方程，分离参数项与常数项； 1. 列方程组：令参数的各次系数均为 0，常数项为 0； 1. 解定点：解方程组得到定点坐标； 1. 验结论：代入验证定点与参数无关，符合题意。 例1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）设，，，为坐标原点， 则，即，     整理，得，其中，故， 同理，， 故，都在直线上，     又，故，即， 令，解得， 故直线恒过定点．     （Ⅱ）存在， 【分析】（1）设，从而得到，，再根据向量数量积的计算，进而整理即可得到曲线的方程； （2）（Ⅰ）设，再根据圆的性质得到直线的方程，进而即可证明直线恒过定点，并得到此定点的坐标； （Ⅱ）先根据对称性确定点在直线上，设，再利用圆上的特殊点列方程求出，并求出定值，进而再证明对圆上任意一点，都有恒为定值即可． 【详解】（1）设，则，， 由，得，整理得． 所以曲线的方程为． （2）（Ⅰ）略 （Ⅱ）由（2）（Ⅰ），知， 显然直线：交圆：于，两点， 又显然圆关于直线对称， 设圆上任意一点沿直线对称得到点，则， 假设对圆上任意一点，都恒为定值，即，所以， 所以点在直线上，设． 由，都在圆上，则，即，解得，或（不符合题意，舍去）． 当时，，     以下证明：对圆：上任意一点，都有， ． 综上所述，存在与点相异的点，使得恒为定值． 例2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆的方程为，直线：． (1)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值； (2)圆交轴于点，斜率为的直线交圆于，（异于点），直线，的斜率分别为，且，过作直线的垂线，垂足为，平面内求一定点，使得为定值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求点关于直线的对称点坐标，后将问题转化为在直线上找点，使得距离最小，利用对称点即可求最小距离 . （2）先求点坐标，再设出直线的方程，将其与圆的方程联立，列出韦达定理，根据，代入韦达定理即可求出直线过的定点，再根据确定点的轨迹方程，根据为定值进而确定点的坐标. 【详解】（1） 圆的方程为，圆心，半径， 设点关于直线的对称点， 则，的中点在上， 可列方程，解得， 所以， ， ， 所以的最小值为. （2） 对于圆的方程， 令，得， 所以坐标为， 设直线的方程为，，， 直线的方程与圆的方程联立得： ， 判别式 ， 由韦达定理，，， 由题意，，， 因为， 所以， 代入韦达定理，化简得： 所以， 即， 代入判别式，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 因为，且恒过定点， 所以， 因为直径所对的圆周角为直角， 所以的轨迹是以为直径的圆的部分圆弧， 圆心为中点， 半径为， 因为点在圆周上运动，要使为定值， 点即为该圆的圆心， 所以，此时为定值. 例3．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，，平面内满足的点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线：被曲线截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程； (3)为圆：上的任意一点，过点向曲线引切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有符合条件的定点的坐标，并求出相应的定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3)存在，定点，定值；定点，定值 【分析】（1）距离比值型轨迹问题，直接用坐标翻译，利用距离条件列式化简（阿波罗尼斯圆）； （2）联立直线与圆的方程保证两个交点存在并得到参数k取值范围，根据直径圆过原点得到垂直关系，利用垂直向量坐标表示结合韦达定理，整理出关于k的方程求解并检验； （3）利用距离公式得到，用切线长公式化简，用点Q在圆E上消去二次项，根据多项式恒等、系数成比例求解定点与定值. 【详解】（1）由题意得，设， ，整理得， 曲线C为圆心在原点，半径的圆，曲线C：. （2） 或 设， ，整理得， ，解得， 由韦达定理得， 又以为直径的圆过坐标原点，故,有， 整理得，解得， 直线方程： 或 （3） 设， ， QS是圆E上的点Q向单位圆C引的一条切线，则有， 又点Q在圆E上，，整理得， ， ， 令，为定值，有 ， 故，由第一式与第二式解得， 代入第三式解得或， 当时，，定点，定值； 当时，，定点，定值； 综上所述，存在定点，定值；定点，定值. 变式1．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)2或． (3)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．    将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．    设直线和的斜率分别为，．则所以直线和的斜率之和为定值． 【分析】（1）设点，利用直接法求轨迹方程即可； （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆，由三角形的面积公式及平方关系可得，取的中点，由半角公式可得，由锐角三角函数可得，即点到直线的距离为，设直线方程为，利用点到直线的距离公式列式求解即可； （3）设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理及直线的斜率公式计算直线和的斜率之和即可证明. 【详解】（1）设点．由，得， 即．    化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．    取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．    此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）略 变式2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)或 (3)当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，且，，联立方程组， 整理得， ，, ，所以， 又由，解得，， 所以， 因为，，均在直线上，且， ， 所以. 【分析】（1）设，利用，化简即可求得的轨迹方程； （2）若直线与曲线相切，则分两种情况求解：当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，用点斜式假设，利用圆心到直线的距离等于半径求解； （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，，，与曲线联立方程组，运用韦达定理表示出点坐标，联立直线的方程求出坐标，由于，，均在直线上，所以，最后证明为定值. 【详解】（1）设，因为点，且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）由（1）知：，圆心为，半径为， 因为直线与曲线相切，可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程：，即， 则，解得，此时：即； 综上可得，直线的方程为或. （3）略 变式3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)过点的直线截所得弦长为，求的方程； (2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2) 证明：根据题意，，，设（且），则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令，得， 所以 ， 即为定值. 【分析】（1）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【详解】（1）根据垂径定理可得圆心到直线的距离. ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截所得弦长，符合题意： ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得. 综上所述，直线的方程为或. （2）略 考点三 圆中的定值问题 一、核心本质 在直线与圆、圆与圆的动态变化中，某个几何量（长度、斜率、数量积、面积等）不随参数变化，结果为恒定常数。核心是消去参数，化简后目标量不含任何参数，得到固定数值。 二、常见经典题型 1. 长度类定值 · 弦长定值：过定点的动直线截圆，若定点为圆心，弦长恒为直径；满足特定几何条件时，弦长为定值。 · 切线长定值：定直线上的点到圆的切线长为定值，等价于点到圆心的距离平方减半径平方为定值。 2. 斜率类定值 · 过圆上定点的两条动弦，若满足斜率和/积为定值，则对应弦恒过定点；反之，特定条件下两斜率的和/积为定值。 · 常用结论：过圆上定点 的两条弦 ，若斜率之积为定值，则直线 过定点。 3. 向量与数量积类定值 · 动弦与定点构成的向量数量积为定值，常结合坐标运算与韦达定理，或利用几何性质转化为圆心相关的定值。 · 经典结论：过圆内定点 的弦 ，则 为定值，等于 （ 为圆心， 为半径）。 4. 面积类定值 · 特定条件下三角形、四边形的面积为定值，多结合弦长、距离的定值推导。 三、核心解题思路 1. 几何法：利用圆的几何性质（垂径定理、切线长定理、勾股定理），直接推导目标量为固定值，无需复杂代数运算； 1. 代数法： ① 设参数：设直线斜率、截距等参数，写出直线方程； ② 联立方程：联立直线与圆的方程，利用韦达定理得到坐标的和与积； ③ 表目标量：将目标量用坐标、参数表示； ④ 化简消参：代入韦达定理，整理后参数抵消，得到常数。 例1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 【答案】(1) (2)圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为，都是圆的切线， 所以，， 所以，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点． 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论． 【详解】（1）设点，， 由点的坐标为，且是线段的中点， 则， 可得，，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为． （2）略 例2．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，即为以为圆心，半径为的圆． (2)①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上， 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在， 【分析】（1）设动点，因为与的比为，所以根据两点间距离公式列等式，整理后得到曲线的方程，再根据圆的标准方程特征判断曲线形状即可. （2）①根据题意分析出P，D，Q，R四点共圆，进而得出点Q，R为两圆交点 ，再写出两圆的相交弦，即为直线QR的方程，即可得出直线经过定点; ②由题设分析出点在以为直径的圆（除去点）上，且轴，从而得出与重合时，△ADN的面积最大，即可得点的坐标. 【详解】（1）设，则，即， 所以， 整理得，即为以为圆心，半径为的圆． （2）①由题设，易知，，，四点共圆，即，在以为直径的圆上 而，的中点坐标为，， 以为直径的圆为， 又，在上，即为两圆的公共弦， 两圆方程作差，得直线为， 显然该直线恒过定点． ②存在，，理由如下： 由题设，易知在以为直径的圆（除去点）上， 即以为圆心、半径为的圆（除去点）上， 且轴，则，且到直线的距离为， 故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时． 变式1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点． (1)求； (2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点． 【答案】(1) (2)证明： 当直线的斜率不存在，即轴时， 直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，，则直线方程为， 代入直线得：， 故，因为， 所以是的中点，得， 所以， 所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设， 联立得：， ，解得或， 由韦达定理得：， 所以③， ④，且⑤， 将代入直线得：， 所以，是的中点，得， 所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理， 化简得：， 将①③④⑤代入上式得： ， 显然成立. 综上可得：直线过定点. 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【详解】（1）易知圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）证明略，定点为. 【点睛】(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆上三点，，. (1)求圆的方程； (2)过点任意作两条互相垂直的直线，，分别与圆交于两点和两点，设线段的中点分别为.求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）设出圆M的标准方程，根据圆上三个点列出方程组，求解方程组即可； （2）当斜率存在且不为零时，设，，，联立的方程和圆M的方程，根据韦达定理和中点坐标公式表示出R的坐标，同理表示出S的坐标，求出直线RS的方程即可判断其经过的定点． 【详解】（1）设圆M的方程为， 则，解得， ∴圆M的方程为． （2）若斜率不存在，则此时AB中点为R(0，0)，CD中点为S(1，0)，则直线RS为y=0； 同理斜率为零时，直线RS为y=0； 当斜率存在且不为零时，设，，， 则， ，， ∴， ，同理为，即， ∴， ∴RS：，化简为， ∴RS过定点． 当k=1时，R为，S为，直线RS为，也过定点； 同理时直线RS也过定点， 斜率不存在或斜率为0时，直线RS也过定点． 综上可得，直线RS过定点． 【点睛】本题主要考查待定系数法求圆的标准方程，以及直线过定点的问题.第二问的关键在于根据题意求出直线RS的方程，从而判断直线RS经过的定点.解题时从设直线的方程入手，通过联立和圆M的方程，结合中点坐标公式和韦达定理求出R坐标，根据两直线垂直，斜率相乘为－1可求S坐标，从而可求出RS的方程.求解过程中需要对特殊情况进行单独讨论． 变式3．（25-26高二上·北京通州·期中）已知圆经过点，且与轴相切，切点为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)直线：与圆交于，两点，直线：与圆交于，两点，且. （i）若，求四边形的面积； （ii）求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明:当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立可得， 根据题意，其， 设两点的坐标分别为， 则， 故 又，即，整理得：， 则或，显然时，不满足题意，故舍去； 当时，，其恒过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，， 联立圆方程可得，解得， 不妨设， 由可得：，解得（舍）或， 此时，直线也过点. 综上所述：直线恒过定点. 【分析】（1）根据已知条件，求得圆心和半径，即可写出圆方程； （2）（i）联立直线方程和圆方程，求得交点的坐标，结合三角形面积公式即可求得结果； （ii）设出直线的方程，联立圆方程，结合已知条件，找到直线方程中参数之间的关系，即可求得结果. 【详解】（1）因为圆与轴相切，切点为坐标原点，故可得其圆心在轴上， 又其过点，故圆的圆心坐标为，半径， 则圆的标准方程为：. （2）（i）因为，又,故可得， 联立直线与，可得，解得或， 故可得点坐标为； 联立直线与，可得，解得或， 当，此时，故点坐标为. 故四边形的面积； （ii）略. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆方程的求解，以及直线与圆的交点坐标的求解，以及结合韦达定理处理直线恒过定点的问题，处理问题的关键是准确的讨论直线的斜率，以及根据直线与圆的位置关系，由韦达定理进行求解，属综合中档题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册讲义 期中复习：圆的轨迹方程问题、圆中的定点问题、圆中的定值问题复习讲义 考点目录 圆的轨迹方程问题 圆中的定点问题 圆中的定值问题 考点一 圆的轨迹方程问题 一、核心本质 根据动点满足的几何约束条件，通过坐标化转化为代数方程，化简得到动点的轨迹方程，若轨迹是圆（或圆的一部分）即为圆的轨迹问题。核心是「几何条件代数化，化简验证完备性」。 二、四大核心求法 1. 直接法（直译法） · 适用场景：题目直接给出动点满足的等量关系，可直接转化为坐标等式。 · 解题步骤： ① 建系设点：建立合适的平面直角坐标系，设动点坐标为 ； ② 译条件：将题目中的几何等量关系，用 翻译成代数方程； ③ 化最简：整理化简方程，得到圆的标准形式或一般形式； ④ 验范围：根据几何约束，剔除不符合条件的点，注明轨迹的范围。 · 典型场景：动点到定点距离为定值、动点到两定点的距离平方和为定值等。 2. 定义法 · 适用场景：动点的几何条件恰好符合圆的定义，可直接判定轨迹为圆，写出方程。 · 核心依据：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 · 高频模型：直角对直径：若动点 对两个定点 的张角恒为直角（），则 的轨迹是以 为直径的圆（ 两点除外，三点共线时无直角）。 · 解题步骤：识别圆的定义特征 确定圆心和半径 直接写出圆的标准方程。 3. 相关点法（代入法/伴随点法） · 适用场景：动点 随另一个在已知圆上运动的点 运动，且两点坐标存在明确的对应关系。 · 解题步骤： ① 设点：设动点 ，相关点 ； ② 找关系：用 表示出 ； ③ 代入：将 代入已知圆的方程； ④ 化简：整理得到动点 的轨迹方程。 · 典型场景：弦中点轨迹、平移/伸缩变换后的轨迹、对称点轨迹。 4. 参数法 · 适用场景：动点坐标可通过同一个参数（角度、斜率、时间等）表示，消去参数即可得到轨迹方程。 · 解题步骤： ① 选参数：选取合适的参数（如旋转角、直线斜率）； ② 写坐标：用参数表示出动点的横、纵坐标； ③ 消参数：联立两个式子消去参数，得到普通方程。 例1．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）设，是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，已知，，且，则点所在圆的方程为________． 例2．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若，，判断是否存在点满足，若存在，请求出点；若不存在，请说明理由． 例3．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）已知圆C：，直线过点． (1)当与圆C相切时，求的方程； (2)已知B是圆C上一动点，点M满足，求点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹 变式1．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点，． (1)求圆的标准方程； (2)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与动点的轨迹相切，求反射光线所在直线的方程． 变式3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆，线段AB的一端A点在圆上运动，另一个端点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 考点二 圆中的定点问题 一、核心本质 含参数的动直线、动圆，无论参数如何变化，恒经过一个（或多个）固定的点，该点坐标与参数无关。核心思路是参变分离：将含参数的项整理合并，令参数的系数与常数项同时为 0，解出定点坐标。 二、两大经典题型 1. 动直线过定点 · 基础型：含单个参数的直线方程，整理为 ，令两部分同时为 0，解方程组得定点，即两条定直线的交点。 · 圆衍生型：过圆上/圆外定点的动直线与圆相交，衍生的弦中点、切线交点、对称点连线等恒过定点。 · 解题技巧：特殊值探路，先取两个不同的参数值，求出对应直线的交点，猜出定点，再验证该点恒在动直线上。 2. 动圆过定点 · 题型特征：圆的方程含有参数，随参数变化圆的位置、大小改变，但恒过某个固定点。 · 解法： ① 将圆的一般方程按参数整理，令参数的各次幂的系数分别为 0，同时常数项也为 0； ② 解方程组，得到的解即为定点坐标； ③ 验证该点满足圆的方程，与参数取值无关。 · 典型场景：直径两端点分别在两条定直线上运动的动圆，恒过定点。 三、通用解题步骤 1. 写方程：写出含参数的直线/圆的方程； 1. 整参数：按参数的次数整理方程，分离参数项与常数项； 1. 列方程组：令参数的各次系数均为 0，常数项为 0； 1. 解定点：解方程组得到定点坐标； 1. 验结论：代入验证定点与参数无关，符合题意。 例1．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆的方程为，直线：． (1)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值； (2)圆交轴于点，斜率为的直线交圆于，（异于点），直线，的斜率分别为，且，过作直线的垂线，垂足为，平面内求一定点，使得为定值． 例3．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，，平面内满足的点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线：被曲线截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程； (3)为圆：上的任意一点，过点向曲线引切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有符合条件的定点的坐标，并求出相应的定值；若不存在，请说明理由． 变式1．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 变式2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 变式3．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点. (1)过点的直线截所得弦长为，求的方程； (2)若点为上异于，的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 考点三 圆中的定值问题 一、核心本质 在直线与圆、圆与圆的动态变化中，某个几何量（长度、斜率、数量积、面积等）不随参数变化，结果为恒定常数。核心是消去参数，化简后目标量不含任何参数，得到固定数值。 二、常见经典题型 1. 长度类定值 · 弦长定值：过定点的动直线截圆，若定点为圆心，弦长恒为直径；满足特定几何条件时，弦长为定值。 · 切线长定值：定直线上的点到圆的切线长为定值，等价于点到圆心的距离平方减半径平方为定值。 2. 斜率类定值 · 过圆上定点的两条动弦，若满足斜率和/积为定值，则对应弦恒过定点；反之，特定条件下两斜率的和/积为定值。 · 常用结论：过圆上定点 的两条弦 ，若斜率之积为定值，则直线 过定点。 3. 向量与数量积类定值 · 动弦与定点构成的向量数量积为定值，常结合坐标运算与韦达定理，或利用几何性质转化为圆心相关的定值。 · 经典结论：过圆内定点 的弦 ，则 为定值，等于 （ 为圆心， 为半径）。 4. 面积类定值 · 特定条件下三角形、四边形的面积为定值，多结合弦长、距离的定值推导。 三、核心解题思路 1. 几何法：利用圆的几何性质（垂径定理、切线长定理、勾股定理），直接推导目标量为固定值，无需复杂代数运算； 1. 代数法： ① 设参数：设直线斜率、截距等参数，写出直线方程； ② 联立方程：联立直线与圆的方程，利用韦达定理得到坐标的和与积； ③ 表目标量：将目标量用坐标、参数表示； ④ 化简消参：代入韦达定理，整理后参数抵消，得到常数。 例1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 例2．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）已知动点M与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点），连接交于点． ①求证：直线经过一个定点； ②是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点． (1)求； (2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点． 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆上三点，，. (1)求圆的方程； (2)过点任意作两条互相垂直的直线，，分别与圆交于两点和两点，设线段的中点分别为.求证：直线恒过定点. 变式3．（25-26高二上·北京通州·期中）已知圆经过点，且与轴相切，切点为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)直线：与圆交于，两点，直线：与圆交于，两点，且. （i）若，求四边形的面积； （ii）求证：直线恒过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $