专题04 直线与圆 位置关系与圆系 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题04 位置关系与圆系 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、直线与圆位置关系（含参、恒成立） 题型二、圆与圆位置关系（含参） 题型三、公切线 题型四、公共弦与根轴 题型五、圆系与圆幂 压轴挑战 ▍ 解题通法 判断位置关系有两条路：几何上比较圆心距与半径，代数上看方程组解的个数．含参问题的难点不在计算，而在把“恒成立”化成某个距离的最大值，把“相切”化成圆心到直线的距离等于半径．本专题沿五个题型展开：直线与圆、圆与圆、公切线、公共弦与根轴、圆系与圆幂． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、直线与圆位置关系（含参、恒成立） ▸ 典例 1 在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为           ． ▍ 题型模版 1.特征：含参数的直线与圆，判断位置关系、求参数范围，或问“总有公共点”“恒相切”． 2.方法：先按参数整理出定点，把“恒成立”转化为圆心到直线的距离的最大值；定量判断用 与 比较，不必联立． 3.提醒：定点在圆内时，对任意参数都相交；求“总有公共点”只需 ，不要解判别式． ▸ 变式 1-1 已知直线 与圆 （）相交于 两点，若 ，则           ． ▸ 变式 1-2 若直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为           ． ▍ 题型二、圆与圆位置关系（含参） ▸ 典例 2 在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ．设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程． ▍ 题型模版 1.特征：两圆相切、相交、相离，求半径或参数范围；或已知切点、公切线反求圆的方程． 2.方法：先配方求圆心与半径，再比较圆心距 与 、；只说“相切”时要分内切与外切． 3.提醒：两圆相切于同一点时，两个圆心都在过切点且垂直于公切线的直线上；设圆心时只留一个参数． ▸ 变式 2-1 已知圆 ，直线 （）．若直线 与圆 和圆 均相切于同一点，且圆 经过点 ，则圆 的标准方程为           ． ▸ 变式 2-2 已知圆 （）截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是           ． ▍ 题型三、公切线 ▸ 典例 3 已知直线 （）与圆 和圆 均相切，则           ，           ． ▍ 题型模版 1.特征：求两圆公切线的条数或方程，或已知公切线求参数． 2.方法：先由圆心距判断位置关系定条数；求方程时用圆心到直线的距离等于半径，注意斜率不存在的情形． 3.提醒：外离 条、外切 条、相交 条、内切 条、内含 条；只设斜截式会漏掉竖直线． ▸ 变式 3-1 与圆 和圆 都相切，且斜率为正的直线的方程为           ． ▸ 变式 3-2 若圆 与圆 恰有两条公切线，则 的取值范围是           ． ▍ 题型四、公共弦与根轴 ▸ 典例 4 已知圆 和圆 ． (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线的方程； (3)求公共弦的长度． ▍ 题型模版 1.特征：两圆相交，求公共弦方程、弦长，或公共弦过定点、被第三条曲线所截． 2.方法：两圆方程相减得根轴；弦长用圆心到根轴的距离与半径的勾股关系；根轴与连心线垂直． 3.提醒：相减前要把两个方程的二次项系数化成相同；两圆相离时根轴仍存在，但此时不能称为公共弦． ▸ 变式 4-1 圆 与圆 的公共弦长为           ． ▸ 变式 4-2 圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为           ． ▍ 题型五、圆系与圆幂 ▸ 典例 5 已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则           ． ▍ 题型模版 1.特征：过两圆交点的圆系、过直线与圆交点的圆系；切线长、切点弦、圆幂． 2.方法：圆系设为 （），由圆心条件定 ；切线长用 ，切点弦用两圆方程相减． 3.提醒：圆系不含 本身；用切线长前先判断点在圆外，点在圆内时无切线，点在圆上时切线长为 ． ▸ 变式 5-1 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则           ． ▸ 变式 5-2 圆心在直线 上，且经过圆 与圆 的交点的圆的方程为           （写出标准方程）． ▍ 压轴挑战 1．已知直线 （）与圆 ，点 ，则 （　　） A． 在圆上相切 B． 在圆外相离 C． 在 上相切 D． 在圆内相离 2．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．当 变化时， 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 3．已知圆 ，圆 ，则 （　　） A．圆心 B． 时两圆内切 C． 时与 轴相切 D．公共弦 4．平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是 （　　） A． B． C． D． 5．已知圆 ，圆 ， 分别是圆 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D． 6．已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 ．若直线 与圆 相切于点 ，则           ，           ． 7．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 外接圆的方程为           ． 8．已知圆 和圆 ． (1)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 位置关系与圆系 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、直线与圆位置关系（含参、恒成立） 题型二、圆与圆位置关系（含参） 题型三、公切线 题型四、公共弦与根轴 题型五、圆系与圆幂 压轴挑战 ▍ 解题通法 判断位置关系有两条路：几何上比较圆心距与半径，代数上看方程组解的个数．含参问题的难点不在计算，而在把“恒成立”化成某个距离的最大值，把“相切”化成圆心到直线的距离等于半径．本专题沿五个题型展开：直线与圆、圆与圆、公切线、公共弦与根轴、圆系与圆幂． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、直线与圆位置关系（含参、恒成立） ▸ 典例 1 在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为           ． 【答案】 【分析】含参直线恒过定点，圆心到直线的距离不超过圆心到定点的距离，半径的最大值就是圆心到定点的距离． 【详解】解：把直线方程按 整理，得 ，所以直线恒过定点 ． 设圆心为 ，半径为 ．直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于 ． 圆心到过 的直线的距离不超过 ，当 与直线垂直时取到最大值． ，所以 的最大值为 ． 所求圆的标准方程为 ． ▍ 题型模版 1.特征：含参数的直线与圆，判断位置关系、求参数范围，或问“总有公共点”“恒相切”． 2.方法：先按参数整理出定点，把“恒成立”转化为圆心到直线的距离的最大值；定量判断用 与 比较，不必联立． 3.提醒：定点在圆内时，对任意参数都相交；求“总有公共点”只需 ，不要解判别式． ▸ 变式 1-1 已知直线 与圆 （）相交于 两点，若 ，则           ． 【答案】 【详解】解：圆心为 ，它到直线 的距离 ． 弦长为 ，半弦长为 ，由半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，得 ． 结合 ，得 ． 回代：此时 ，直线与圆确实相交于两点． ▸ 变式 1-2 若直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为           ． 【答案】 【详解】解：直线方程整理为 ，恒过定点 ． 点 在圆内：． 当 与 垂直时，圆心到直线的距离最大，弦长最短，此时 ． 所以 ． ▍ 题型二、圆与圆位置关系（含参） ▸ 典例 2 在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ．设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程． 【答案】 【分析】圆 与 轴相切，半径等于圆心纵坐标的绝对值；两圆外切，圆心距等于半径之和． 【详解】解：圆 化为 ，圆心 ，半径 ． 设 ，圆 的半径为 ．若 ，则外切要求 等于 ，即 ，矛盾，故 ，半径为 ． 两圆外切，所以 ，即 ． 当 时，，解得 ；当 时， 无解． 所以圆 的标准方程为 ． ▍ 题型模版 1.特征：两圆相切、相交、相离，求半径或参数范围；或已知切点、公切线反求圆的方程． 2.方法：先配方求圆心与半径，再比较圆心距 与 、；只说“相切”时要分内切与外切． 3.提醒：两圆相切于同一点时，两个圆心都在过切点且垂直于公切线的直线上；设圆心时只留一个参数． ▸ 变式 2-1 已知圆 ，直线 （）．若直线 与圆 和圆 均相切于同一点，且圆 经过点 ，则圆 的标准方程为           ． 【答案】 【详解】解：圆 化为 ，圆心 ，半径 ． 与圆 相切，所以 ，得 ，结合 得 ． 此时 ，切点为 在 上的垂足 ． 圆 与 切于 ，圆心在过 且垂直于 的直线上，设圆心为 ，半径为 ． 由 过 ，得 ，解得 ． 所以圆心为 ，半径为 ，圆 的标准方程为 ． ▸ 变式 2-2 已知圆 （）截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是           ． 【答案】相交 【详解】解：圆 配方得 ，圆心 ，半径 ． 圆心到直线 的距离为 ，半弦长为 ，所以 ，得 ． 结合 得 ，圆 的圆心为 ，半径为 ． ，而 ，所以两圆相交． ▍ 题型三、公切线 ▸ 典例 3 已知直线 （）与圆 和圆 均相切，则           ，           ． 【答案】， 【分析】两个等圆外离，四条公切线；由 选出倾斜角为锐角的内公切线，用两个圆心到直线的距离都等于半径列式． 【详解】解：两圆半径都为 ，圆心分别为 ，，圆心距为 ，大于半径之和 ，所以两圆外离，公切线有四条． 圆心到直线的距离都等于 ：，． 所以 ，即 或 ．前者给出 ，与 矛盾；故 ． 代入 ，得 ，所以 ． 结合 ，得 ，． ▍ 题型模版 1.特征：求两圆公切线的条数或方程，或已知公切线求参数． 2.方法：先由圆心距判断位置关系定条数；求方程时用圆心到直线的距离等于半径，注意斜率不存在的情形． 3.提醒：外离 条、外切 条、相交 条、内切 条、内含 条；只设斜截式会漏掉竖直线． ▸ 变式 3-1 与圆 和圆 都相切，且斜率为正的直线的方程为           ． 【答案】 【详解】解：两圆圆心为 ，，半径分别为 ，，圆心距 ，两圆外切，公切线有三条． 设公切线为 ．由原点到它的距离为 ，可令 ． 由 到它的距离为 ，得 ． 若 ，则 ，与 联立，取 得 或 ，分别对应 与 ． 若 ，则 ，联立得 ，，对应 ． 三条公切线中斜率为正的只有 （斜率为 ），所以所求直线为 ． ▸ 变式 3-2 若圆 与圆 恰有两条公切线，则 的取值范围是           ． 【答案】 【详解】解：两圆半径都为 ，圆心距为 ． 两圆恰有两条公切线，等价于两圆相交，即 ． 当 时两圆重合，不是两条公切线；当 时两圆外切，有三条公切线；当 时两圆外离，有四条公切线． 所以 ． ▍ 题型四、公共弦与根轴 ▸ 典例 4 已知圆 和圆 ． (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线的方程； (3)求公共弦的长度． 【答案】(1)相交；(2)；(3) 【分析】先配方比较圆心距与半径，再用两圆方程相减得根轴，最后用圆心到根轴的距离与半径求弦长． 【详解】解：(1)配方得 ，． 圆心分别为 ，，半径分别为 ，，圆心距 ． 因为 ，所以两圆相交． (2)两圆方程相减，得 ，即公共弦所在直线的方程为 ． (3)圆心 到 的距离为 ． 所以公共弦长为 ． ▍ 题型模版 1.特征：两圆相交，求公共弦方程、弦长，或公共弦过定点、被第三条曲线所截． 2.方法：两圆方程相减得根轴；弦长用圆心到根轴的距离与半径的勾股关系；根轴与连心线垂直． 3.提醒：相减前要把两个方程的二次项系数化成相同；两圆相离时根轴仍存在，但此时不能称为公共弦． ▸ 变式 4-1 圆 与圆 的公共弦长为           ． 【答案】 【详解】解：两圆方程相减，得 ，即公共弦所在直线的方程为 ． 圆 的圆心为 ，半径为 ，圆心到直线的距离为 ． 所以公共弦长为 ． ▸ 变式 4-2 圆 与圆 的公共弦所在直线的方程为           ． 【答案】 【详解】解：配方得 ，圆心 ，半径 ；，圆心 ，半径 ． 圆心距为 ，满足 ，两圆相交，公共弦存在． 两圆方程相减，得 ，即公共弦所在直线的方程为 ． 校验：圆心 到该直线的距离为 ，公共弦长为 ，与两圆相交相符． ▍ 题型五、圆系与圆幂 ▸ 典例 5 已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则           ． 【答案】 【分析】圆的对称轴必过圆心，由此求 ；切线长用圆幂 ． 【详解】解：圆 化为 ，圆心 ，半径 ． 直线 是圆的对称轴，必过圆心，所以 ，得 ． 此时 ，． 由切线长公式，． ▍ 题型模版 1.特征：过两圆交点的圆系、过直线与圆交点的圆系；切线长、切点弦、圆幂． 2.方法：圆系设为 （），由圆心条件定 ；切线长用 ，切点弦用两圆方程相减． 3.提醒：圆系不含 本身；用切线长前先判断点在圆外，点在圆内时无切线，点在圆上时切线长为 ． ▸ 变式 5-1 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则           ． 【答案】 【详解】解：圆心为 ，半径 ．设 ，直线方程为 ，即 ． 直线与圆相切，所以 ，得 ，即 或 ． 无论哪种情形，，所以 ． ▸ 变式 5-2 圆心在直线 上，且经过圆 与圆 的交点的圆的方程为           （写出标准方程）． 【答案】 【详解】解：设所求圆的方程为 （），整理得 ，圆心为 ． 圆心在 上，所以 ，解得 ． 代入并整理，得 ，即 ． ▍ 压轴挑战 1．已知直线 （）与圆 ，点 ，则 （　　） A． 在圆上相切 B． 在圆外相离 C． 在 上相切 D． 在圆内相离 【答案】ACD 【分析】圆心到直线的距离为 ，把点 的位置转化为 与 的大小关系． 【详解】解：圆心 到直线 的距离 ． 若 在圆上，则 ，，相切，A 正确． 若 在圆外，则 ，，相交，B 错误． 若 在直线 上，则 ，即 ，，相切，C 正确． 若 在圆内，则 ，，相离，D 正确． 所以选 ACD． 2．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．当 变化时， 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点 在单位圆上，直线恒过定点 ，把距离放大为两点间距离． 【详解】解：点 的轨迹是单位圆 ． 直线 恒过定点 ． 点 到直线的距离不超过 ，而 ． 当 且直线为 （即 ）时， 到直线的距离为 ，取到最大值． 所以 的最大值为 ，选 C． 3．已知圆 ，圆 ，则 （　　） A．圆心 B． 时两圆内切 C． 时与 轴相切 D．公共弦 【答案】BC 【分析】含参圆先配方，写出圆心与半径，并留意半径为正的条件；两圆“相切”要分内切与外切；公共弦所在直线由两式相减得到，常数项最容易错． 【详解】解：圆 配方得 ，所以圆心 ，半径 ，且 ． A 项：圆心为 ，不是 ，错误． B 项： 时半径为 ，两圆圆心距 ，而 ，两圆内切，正确． C 项： 时半径为 ，圆心到 轴的距离为 ，等于半径，圆 与 轴相切，正确． D 项：两圆方程相减得 ，不是 ，错误． 所以选 BC． 4．平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与已知直线平行，先设出带参数的平行线；相切等价于圆心到它的距离等于半径，解出参数的两个值． 【详解】解：设所求直线为 （），它与原直线平行． 该直线与圆 相切，所以原点到它的距离等于半径 ：，即 ． 所以 或 ，即 ，亦即 或 ． 所以选 A． 5．已知圆 ，圆 ， 分别是圆 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆 关于 轴对称，折线转化为两定点间的距离，再减去两个半径． 【详解】解：圆 关于 轴的对称圆为 ，圆心 ，半径 ． 对 轴上的点 ，有 ，其中 是 关于 轴的对称点，在圆 上． 所以 ． ，故最小值为 ． 当 为 与 轴的交点，且 在线段 上时取到，选 A． 6．已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 ．若直线 与圆 相切于点 ，则           ，           ． 【答案】， 【分析】圆心与切点的连线垂直于切线，先由斜率关系求 ，再用两点间距离求 ． 【详解】解：切线 的斜率为 ，所以 的斜率为 ，即 ，解得 ． 所以圆心为 ，． 7．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 外接圆的方程为           ． 【答案】 【分析】切线垂直于过切点的半径，所以 四点共圆， 为外接圆的直径． 【详解】解：因为 ，，所以 ， 四点共圆，且 为该圆的直径． 以 为直径的圆为 ，即 ，此即 外接圆的方程． 8．已知圆 和圆 ． (1)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程． 【答案】(1)，公共弦长为 ；(2) 【分析】第(1)问相减得根轴，再用勾股关系求弦长；第(2)问用圆系方程，由圆心在定直线上定参数． 【详解】解：(1)两圆方程相减，得 ，即公共弦所在直线的方程为 ． 圆 化为 ，圆心到 的距离为 ，所以公共弦长为 ． (2)设所求圆的方程为 （），其圆心为 ． 代入 ，得 ，解得 ，即 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $