重难专题04 圆的方程和直线与圆的位置关系（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题04 圆的方程和直线与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 ：求圆的方程 题型1 求圆的方程（重） 题型2 求圆的轨迹方程 考点二：点与圆的位置关系 题型1 点与圆的位置关系的判断 题型2点与圆的位置关系求参数范围 考点三：圆的对称性问题 题型1 圆关于直线对称问题 考点四：直线与圆的位置关系 题型1 直线与圆位置关系的判断（重） 题型2 直线与圆的位置关系求参或范围（高频） 题型3 直线与圆相交求弦长或参数（高频） 题型4 圆上的点到直线距离为定值求参数范围（重） 考点五 圆有关最值问题 题型1 圆上的点到直线（点）的距离最值（高频） 题型2 与圆相关几何意义求最值（高频） 题型3 与圆相关数形结合求最值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 求圆的方程 题型1 求圆的方程 1．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为 A． B． C． D． 2．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 5．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 题型2 求圆的轨迹方程 6．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是_______． 9．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为______． 考点二 点与圆的位置关系 题型1 点与圆的位置关系的判断 10．已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 11．若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 12．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 13．若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 14．已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2点与圆的位置关系求参数范围 15．点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 16．已知点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 17．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三 圆的对称性问题 题型1 圆关于直线对称问题 19．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 21．已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 22．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 23．已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 考点四 直线与圆位置关系 题型1 直线与圆位置关系的判断 24．直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 25．（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 26．已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 27．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 28．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 题型2 直线与圆的位置关系求参或范围 29．已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 30．若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 31．若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 32．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型3 直线与圆相交求弦长或参数 33．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 34．直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 35．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 36．若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为__________. 题型4 圆上的点到直线距离为定值求参数范围 37．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五 圆有关的最值问题 题型1 圆上的点到直线（点）的距离最值 42．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 43．（多选）已知圆，点，（   ） A．若过点A作圆C的切线有且仅有一条，则 B．若圆C上总存在两点到点的距离为，则 C．若过点A且横纵截距相等的直线被圆C截得的弦长为，则 D．若圆C与圆心在上且半径为1的圆交于M，N两点，则当最大时， 44．（多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 45．（多选）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C．当最小时， D．当最大时， 46．（多选）直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 47．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 48．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 49．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 50．在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 题型2 与圆相关几何意义求最值 51．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 52．（多选）已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 53．（多选）已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 54．（多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 55．已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 题型3 与圆相关数形结合求最值 56．已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 57．“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 58．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 60．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 2．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 5．已知实数x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 9．已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 10．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”，则（   ） A．曲线有8个顶点 B．曲线上任意两点间的最大距离为 C．曲线围成的图形面积为 D．若点在曲线上，则 三、填空题 11．若直线和圆相切，则的最小值为_________． 12．在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线 上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 四、解答题 13．已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为． (1)直线，且直线过点，求直线方程 (2)求圆方程； (3)过点的直线与圆交于两点，且的面积是（O为坐标原点），求直线的方程． 14．已知点，，动点满足，的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：在轴上存在一点，使得. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程和直线与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 求圆的方程 题型1 求圆的方程 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 题型2 求圆的轨迹方程 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】 9．【答案】 考点二 点与圆的位置关系 题型1 点与圆的位置关系的判断 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】C 14．【答案】A 题型2点与圆的位置关系求参数范围 15．【答案】B 16．【答案】C 17【答案】D 18．【答案】B 考点三 圆的对称性问题 题型1 圆关于直线对称问题 19．【答案】B 20．【答案】C 21．【答案】B 22．【答案】2 23．【答案】 考点四 直线与圆位置关系 题型1 直线与圆位置关系的判断 24．【答案】A 25．【答案】BC 26．【答案】C 27．【答案】C 28．【答案】C 题型2 直线与圆的位置关系求参或范围 29． 【答案】D 30．【答案】A 31．【答案】D 32．【答案】A 题型3 直线与圆相交求弦长或参数 33．【答案】A 34．【答案】 35．【答案】或 36．【答案】 题型4 圆上的点到直线距离为定值求参数范围 37． 【答案】C 38．【答案】B 39．【答案】A 40．【答案】C 41．【答案】B 考点五 圆有关的最值问题 题型1 圆上的点到直线（点）的距离最值 42．【答案】B 43【答案】BD 44．【答案】ABD 45．【答案】BD 46．【答案】ABC 47．【答案】 48．【答案】C 49．【答案】C 50．【答案】8 题型2 与圆相关几何意义求最值 51．【答案】B 52．【答案】AD 53．【答案】ACD 54．【答案】ACD 55．【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 题型3 与圆相关数形结合求最值 56．【答案】A 57【答案】A 58．【答案】A 59．【答案】D 60．【答案】A 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7【答案】A 二、多选题 8．【答案】ACD 9．【答案】AD 10．【答案】ABD 三、填空题 11．【答案】 12【答案】4 四、解答题 13．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为的斜率为，， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为 （2）解：设圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 因为圆心在射线上，故设， 所以到直线的距离为，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆方程为 （3）解：当直线的斜率不存在时，的方程为，此时直线过圆心， 所以，原点到直线的距离为， 所以的面积是，满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到直线的距离为，即 原点到直线的距离为 所以弦长， 所以的面积是，整理得，显然方程无解， 综上，直线的方程为 14．【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）设，， 联立，消去得：， ，即， 由韦达定理：， 设，则， 化简得：， 展开得：， 即，由于， 即， 解得：， 即在轴上存在一点，使得    1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程和直线与圆的位置关系 常考题型·精准突破 考点一 ：求圆的方程 题型1 求圆的方程（重） 题型2 求圆的轨迹方程 考点二：点与圆的位置关系 题型1 点与圆的位置关系的判断 题型2点与圆的位置关系求参数范围 考点三：圆的对称性问题 题型1 圆关于直线对称问题 考点四：直线与圆的位置关系 题型1 直线与圆位置关系的判断（重） 题型2 直线与圆的位置关系求参或范围（高频） 题型3 直线与圆相交求弦长或参数（高频） 题型4 圆上的点到直线距离为定值求参数范围（重） 考点五 圆有关最值问题 题型1 圆上的点到直线（点）的距离最值（高频） 题型2 与圆相关几何意义求最值（高频） 题型3 与圆相关数形结合求最值（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 求圆的方程 题型1 求圆的方程 1．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程． 【详解】由题意设圆心坐标为， ∵圆与直线相切， ∴，解得a=2． ∴圆心为，半径为， ∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即． 故选D． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度． 2．过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 3．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 4．已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 5．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合点到直线距离公式，求出圆的半径，即可得出结果. 【详解】由题意知，圆的半径，故所求圆的方程为. 故选C 【点睛】本题主要考查求圆的方程，根据题意求出半径，即可求解，属于基础题型. 题型2 求圆的轨迹方程 6．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 7．已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程. 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 8．到两定点和的距离的比等于2（即），则动点的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】根据题设求出的表达式，建立方程并化简即可得出轨迹方程. 【详解】依题意，， 代入得， 整理可得，化简得， 则动点的轨迹方程为. 故答案为： 9．设为圆上两个动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设，设圆的圆心为，则有，由得，在中得，进而得点在以为圆心，半径为2的圆上，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】设，设圆的圆心为，连接， 则，又，所以， 在中有：， 所以点在以为圆心，半径为2的圆上， 所以点的轨迹方程为， 故答案为：. 考点二 点与圆的位置关系 题型1 点与圆的位置关系的判断 10．已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 11．若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 12．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 13．若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【答案】C 【分析】将点坐标代入圆的方程左侧，判断所得结果与右侧大小，即可得位置关系. 【详解】因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 14．已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依据点与圆的位置关系推断出点到圆心距离与半径的关系，进而判断充分性与必要性. 【详解】点到圆心距离. 点到圆心距离. 先判断充分性. 因点在圆外，故，即，故，即点在圆外. 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分条件. 再判断必要性. 因点在圆外，故，但不能判断与的大小关系. 故“点在圆外”不是“点在圆外”的必要条件. 综上，“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 故选：. 题型2点与圆的位置关系求参数范围 15．点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 16．已知点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由点和圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得：. ， 圆要表示圆，则即或， 所以或 故选：C. 17．已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可. 【详解】表示圆，故， 即，解得或. 因为点在圆外， 故，解得， 故实数的取值范围为或. 故选：D 18．若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 考点三 圆的对称性问题 题型1 圆关于直线对称问题 19．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 20．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 21．已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意知直线必过圆心，求出参数m的值，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题意可知，直线必过圆心，所以有， 解得，所以坐标原点到直线的距离． 故选：B． 22．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 23．已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 考点四 直线与圆位置关系 题型1 直线与圆位置关系的判断 24．直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 25．已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 26．已知直线，圆，则“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合点与圆的位置、点到直线的距离公式求解判断. 【详解】由点在圆C外，得，则圆心C到直线l的距离， 因此直线l与圆C相交，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分条件； 由直线l与圆C相交，得圆心C到直线l的距离，则， 因此点在圆C外，即“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的必要条件， 所以“点在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充要条件. 故选：C 27．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 28．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 29．已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 题型2 直线与圆的位置关系求参或范围 30．若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 31．若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 32．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 33．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 34．直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 35．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 36．若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为__________. 【答案】 【分析】由得是等边三角形，从而得到圆心到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解即可. 【详解】易知圆心即坐标原点，半径为，因为且， 所以为边长为的等边三角形， 所以的高线即圆心到直线的距离为，解得. 故答案为： 题型3 直线与圆相交求弦长或参数 37．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 38．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 39．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 40．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 41．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 考点五 圆有关的最值问题 题型1 圆上的点到直线（点）的距离最值 42．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值. 【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径． 可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点. 又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图， 设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形． 设，则，结合，， 可得，所以, ， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，当时，取得最大值． 故选：B. 43．已知圆，点，（   ） A．若过点A作圆C的切线有且仅有一条，则 B．若圆C上总存在两点到点的距离为，则 C．若过点A且横纵截距相等的直线被圆C截得的弦长为，则 D．若圆C与圆心在上且半径为1的圆交于M，N两点，则当最大时， 【答案】BD 【分析】对于，根据切线的条数即可知点在圆；即可判断选项；对于，将问题转化为圆与圆相交，利用圆与圆的位置关系求解；对于，分为直线在坐标轴上的截距相等且不为和直线在坐标轴上的截距为两种情况，利用几何关系依次求解即可；对于，将问题转化为当最大时，求的长度. 【详解】圆的圆心为，半径为， 对于选项,过点A作圆C的切线有且仅有一条，则点在圆上，即， 解得，故错误； 对于选项，此问题等价于圆与圆相交， 两圆心的距离为，即， 解得，故正确； 对于选项，当直线在坐标轴上截距相等且不为时，设过点的直线方程为， 将点的坐标代入直线方程得， 圆的圆心到该直线的距离，由几何关系可知 解得，则； 当直线在坐标轴上截距相等且为时，设过点的直线方程为， 同理由几何关系可知，解得， 将点的坐标代入直线方程得，故错误； 对于选项，如图所示，,圆的直径为，则， 当最大时，，在△中，,故正确； 故选： . 44．已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当直线与圆相切时，切线方程是 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 D．圆上的一点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【分析】将直线方程整理为，由，可得直线恒过的定点的坐标，判断出A的对错；由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，可得参数a的值，即求出直线的方程，判断出B的对错；当时，可得直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，可得圆上有四个点到直线的距离为，判断出C的对错；直线恒过的定点，当时，则圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，进而可得圆上的点到直线的距离的最大值为，可判断出D的对错. 【详解】对于A，将直线转化为， 由，解得，直线恒过定点，A正确； 对于B，圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离， 即，解得， 故切线方程为，即，B正确； 对于C，当时，直线， 点到此直线距离为， 因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误； 对于D，因为直线恒过定点，可得， 当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 45．已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BD 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误；    在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确；    如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C错误，D正确； 故选：BD 46．直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（   ） A．面积的最小值为6 B．面积的最大值为12 C．切线长的最小值是4 D．切线长的最小值是 【答案】ABC 【分析】根据题意，由条件可得坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点到距离的最小值，从而判断AB，再由勾股定理代入计算，即可判断CD. 【详解】根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 47．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 48．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为．则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，则直线的方程为， （注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是）， 化简可得：， 所以圆心到直线的距离为： 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C. 49．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 50．在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】8 【分析】根据圆的切线的几何性质及四边形面积公式可得四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值，再由点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意，得圆的半径为4，， 所以， 四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值， 由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离， 因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8. 故答案为：8 题型2 与圆相关几何意义求最值 51．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 52．已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】设，利用点到直线的距离可得，求解可判断A；设，，利用辅助角公式计算可判断B；表示点P到点的距离，求得圆心到的距离可求最值判断C；，求得到直线的距离，求得最小值判断D. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1. 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得，所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则，， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为，故最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍. 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：AD. 53．已知实数x、y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件的几何意义，结合圆与直线位置关系，逐项求解判断. 【详解】方程为，表示以为圆心，为半径的圆， 对于AB，设，直线与圆有公共点，由，解得，A正确，B错误； 对于C，表示圆上的点到原点的距离的平方， 又，因此，C正确； 对于D，设，直线与圆有公共点， 由，解得，则的最大值为，D正确. 故选：ACD 54．已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】可设，，，则结合辅助角公式计算可得A、B；设，则可结合直线与圆的位置关系计算得C；可以看作是圆上某点到原点的距离的平方，则可借助原点到圆心的距离加半径的平方得D. 【详解】因为圆，则， 设，，， 对A：， 所以当时，的最大值为，故A正确； 对B：， 所以当时，的最大值为，故B错误； 对C：设，则，圆， 圆心，半径为，则圆心到直线的距离小于等于半径，， 所以，计算得， 所以的最大值为，故C正确； 对D：可以看作是圆上某点到原点的距离的平方， ，故D正确. 故选：ACD. 55．已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 题型3 与圆相关数形结合求最值 56．已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时， ， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为．    故选：A 57．“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 58．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得函数图象为半圆，将问题转化为直线与半圆存在交点，结合图象可求得的取值范围. 【详解】将变形得出， 即该曲线是以为圆心，以为半径的半圆，如图， 其与轴的交点为， 当直线过时，有，即， 当直线与半圆相切时，有圆心到直线的距离，， 得或（舍）， 结合图象可知，若函数的图象与直线有公共点， 则实数的取值范围为. 故选：A 59．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得：为恒过定点的直线，曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，由此利用数形结合思想能求出的取值范围． 【详解】根据题意得：为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示，    当直线与圆相切时，有， 解得：（舍去）或， 把代入，得， 的取值范围是,． 故选：D. 60．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 2．若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 3．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 4．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 5．已知实数x，y满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，当，可得，令，过作圆的切线，切点分别为，连接，求出，结合斜率的几何意义求解即可. 【详解】由题知,圆心，半径为 若，则； 若，则，令，则    过作圆的切线，切点分别为，连接， 由于,, 同理可得， 所以， 由于在上单调递减，在上单调递减， 则， 所以，综上， 6．与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得，故选． 7．已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定为钝角时点满足的几何条件，结合切线性质、直角三角形边角关系，推导得到点到圆心的距离的取值范围，由条件点到圆心的距离的范围可由点的距离范围结合两圆半径推导，利用两点间距离公式建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】设点到圆心的距离，由切线性质，平分， 在直角三角形中，， 已知为钝角，则，故， 解得， 故圆存在点，使得， 圆的圆心为，半径， 圆心到的距离， 故， 因为圆上的点到的距离范围为，要使该区间与有交集， 则需，即，故，解得， 故的取值范围是． 二、多选题 8．已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得. 【详解】对原圆方程配方得，圆心，半径 对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点. 所以圆心到直线的距离，即， 平方整理得： ， 解得， 故​最大值为​​，A正确. 对B选项，设，即，即直线与圆有公共点， 所以圆心到直线距离 ，即， 解得，​ 所以的最小值为，不是，故B错误； 对C选项，过斜率为​的直线为， 令，得， ， 因为在圆上，所以，因此，故C正确； 对D选项，设，，， 所以， 因为，所以 ， 所以，故D正确. 9．已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 10．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”，则（   ） A．曲线有8个顶点 B．曲线上任意两点间的最大距离为 C．曲线围成的图形面积为 D．若点在曲线上，则 【答案】ABD 【分析】先化简原方程，根据方程的性质判断该曲线的形状为四段圆弧组成，再根据图形判断B选项，利用圆的面积公式即可判断C，转化为切线问题即可判断D选项. 【详解】原方程化简得. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第一象限的部分圆. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第四象限的部分圆. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第二象限的部分圆. 当时，曲线方程变为，表示的是圆心为半径为2的在第三象限的部分圆. 所以该曲线的对称轴为轴、轴、直线和直线. 对于A，令，则解得；令，解得； 令，则解得；令，解得. 所以顶点为：共8个，A正确； 对于B，曲线由四个象限的圆弧组成，最远的两个点的距离为 ，B正确； 对于C，第一象限的图形为圆心 、半径 2 的圆在第一象限的部分，其面积为： . 所以曲线围成的图形面积为，C错误； 对于D，将视为曲线上的点到直线的距离再乘以. 因为直线经过第一、三、四象限， 设与直线平行的直线方程为，联立该直线与曲线方程得 ，化简得. 要使得该直线与直线距离最远，则其与曲线的切点位于第二象限，此时. 继续化简得，令判别式为0， 则，解得. 此时两平行直线距离最远，最远距离为， 所以点到直线的距离为，即，D正确. 故选：ABD.    三、填空题 11．若直线和圆相切，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和圆相切，得，即， 则，因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 12．在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】根据，以及点到直线的距离计算. 【详解】由题意得，圆的半径， 因为为切线，所以， 则， 则， 因为点到的距离为， 所以的最小值为，则的最小值为 四、解答题 13．已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为． (1)直线，且直线过点，求直线方程 (2)求圆方程； (3)过点的直线与圆交于两点，且的面积是（O为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知直线的斜率为，再根据点斜式求解方程即可； （2）设，据弦长公式求得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求得，最后求解圆的方程即可； （3）先讨论直线斜率不存在时的情况得满足题意，再讨论直线斜率存在，设其方程为，再根据弦长公式，点到直线的距离公式列式解方程求解即可. 【详解】（1）解：因为的斜率为，， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为 （2）解：设圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 因为圆心在射线上，故设， 所以到直线的距离为，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆方程为 （3）解：当直线的斜率不存在时，的方程为，此时直线过圆心， 所以，原点到直线的距离为， 所以的面积是，满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到直线的距离为，即 原点到直线的距离为 所以弦长， 所以的面积是，整理得，显然方程无解， 综上，直线的方程为 14．已知点，，动点满足，的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：在轴上存在一点，使得. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ） 设，， 联立，消去得：， ，即， 由韦达定理：， 设，则， 化简得：， 展开得：， 即，由于， 即， 解得：， 即在轴上存在一点，使得    【分析】（1）设动点，根据条件化简即可求解； （2）设直线的方程为：， （ⅰ）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式结合基本不等式即可求解； （ⅱ）设，，，联立，由韦达定理得，化简即可证明结论. 【详解】（1）设动点，由于点，，动点满足， 则； 化简得：， 经检验方程上所有点都满足； 即曲线的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其方程为 （2）显然直线的斜率不为，则设直线的方程为：， （ⅰ）点到直线的距离，解得：， 则弦长， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号； 所以，即面积的最大值为； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $