专题03 直线与圆 圆的几何化 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题03 圆的几何化 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、圆的方程 题型二、含参配方与圆心半径 题型三、点与圆、弦长与弦中点 题型四、切线、切线长与切点弦 题型五、圆过定点与圆关于直线对称 压轴挑战 ▍ 解题通法 圆的问题很少需要联立．方程写出来，圆心与半径就定了；弦长写出来，弦心距就定了；切线连出去，直角三角形就出来了；圆关于直线对称，圆心落在对称轴上．本专题把圆的问题统一成“找圆心、定半径、算距离”三个动作，再用垂径、切线、对称三条几何线索，把代数条件翻译成图形关系． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、圆的方程 ▸ 典例 1 若 过点 和 ，且圆心在直线 上，则其方程为           ． 【答案】 【分析】圆心在定直线上，用一个参数设出圆心，再用“到两定点距离相等”列方程，先定圆心，再算半径． 【详解】解：设圆心 ． 由 ，得 ． 展开得 ，解得 ． 所以 ，． 故 的方程为 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出圆心所在直线、圆上两点或三个点，求圆的方程． 2.方法：圆心在定直线上就设一个参数，用“到两点距离相等”定圆心；过三点先看有没有两点的连线竖直，用中垂线更省算． 3.提醒：标准方程右边是 ；三点共线时不存在外接圆，先判断三点是否共线． ▸ 变式 1-1 已知 的顶点为 ，，，则其外接圆的标准方程为           ． 【答案】 【详解】解：设圆心为 ． 由 ，得 ，整理得 ． 由 ，得 ，整理得 ． 联立解得 ，，所以 ． ，故外接圆的标准方程为 ． ▸ 变式 1-2 已知圆 过 ，，且圆心在 上，则其标准方程为           ． 【答案】 【详解】解：由 得 ，设圆心 ． 由 ，得 ． 展开得 ，解得 ． 所以 ，． 故圆 的标准方程为 ． ▍ 题型二、含参配方与圆心半径 ▸ 典例 2 已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，则           ． 【答案】 【分析】先配方读出圆心与半径，再用点到直线的距离公式；含绝对值时两边平方，最后回代检验． 【详解】解：配方得 ，圆心为 ． 由点到直线的距离公式，，即 ． 两边平方得 ，解得 ． 回代检验，圆心到直线的距离确为 ． ▍ 题型模版 1.特征：圆的方程含参数，或给出圆心、半径、切线等条件反求参数． 2.方法：一般式先配方成标准式，读出圆心与半径；方程表示圆的条件是 ． 3.提醒：半径是 ，方程右边是 ；含参配方时不要漏掉常数项，求出的参数要回代． ▸ 变式 2-1 若方程 表示圆，则 的取值范围是           ． 【答案】 【详解】解：配方得 ． 方程表示圆，需 ，所以 ． 故 的取值范围是 ． ▸ 变式 2-2 已知圆 与 轴相切，则           ． 【答案】 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径 ． 圆与 轴相切，圆心到 轴的距离为 ，所以 ． 即 ，解得 ． ▍ 题型三、点与圆、弦长与弦中点 ▸ 典例 3 设直线 与圆 交于 ，若 ，则其面积为           ． 【答案】 【分析】先把圆配方，写出圆心与半径；再用垂径定理，把弦长、弦心距、半径放进同一个直角三角形． 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径 ． 圆心 到直线 的距离 ． 由 ，得 ． 平方得 ，所以 ，． 故圆 的面积为 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现弦长、弦的中点、圆被坐标轴截得的弦，或点到圆的最短距离． 2.方法：弦长一律走垂径定理 ；弦中点与圆心的连线垂直于弦，先定方向再写方程． 3.提醒：弦心距是圆心到弦所在直线的距离，不是圆心到端点的距离；弦的中点必须在圆内． ▸ 变式 3-1 直线 与圆 交于 两点，则           ． 【答案】 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径 ． 圆心到直线 的距离 ． 所以 ． ▸ 变式 3-2 已知圆 ，弦 的中点为 ． (1)求直线 的方程； (2)求 ． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径 ． (1)因为 与 的纵坐标相同，所以 为水平线，，直线 的斜率不存在． 故直线 的方程为 ． (2)圆心 到 的距离 ，所以 ． ▍ 题型四、切线、切线长与切点弦 ▸ 典例 4 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则           ． 【答案】 【分析】把半角放进直角三角形：半径、切线长、点到圆心的距离构成直角三角形，先求半角的正弦与余弦，再用二倍角公式． 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径 ． 设切点为 ，点 ，则 ． 因为 ，所以 ． 设 ，则 ，． 两条切线关于 对称，夹角为 或 ，两种情形下正弦值相同． 所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现切线、切点、切线长、两切线夹角或切点弦． 2.方法：先判点在圆上还是圆外；切线长用 ，夹角用半角，切点弦用 ． 3.提醒：点在圆外才有两条切线，点在圆上只有一条；夹角可能是钝角，求正弦不受影响，求余弦要先看半角的范围． ▸ 变式 4-1 已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 ，若直线 与圆 相切于点 ． (1)求 的值； (2)求 的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】解：(1)圆心为 ，切点为 ，则 垂直于切线 ． 直线 的斜率为 ，所以 ，解得 ． (2)此时 ，． 也可用点到直线的距离验证：． ▸ 变式 4-2 过点 作圆 的两条切线，切点为 ，则直线 的方程为           ． 【答案】 【详解】解：圆心为 ，半径 ，点 在圆外． 以 为直径的圆为 ，即 ． 已知圆为 ，两式相减得 ． 所以直线 的方程为 ． ▍ 题型五、圆过定点与圆关于直线对称 ▸ 典例 5 当 变化时，圆 恒过定点，则这两个定点的坐标是           ． 【答案】， 【分析】把方程按参数 整理成“ 的一次式等于零”，令含 的项与不含 的项同时为零． 【详解】解：方程整理为 ． 要使它对任意 都成立，需 且 ． 把 代入，得 ，解得 或 ． 所以圆恒过定点 和 ． 又 ，这些定点对每个 都有意义． ▍ 题型模版 1.特征：圆的方程含参数，问恒过的定点；或圆关于某条直线对称，求参数、求对称圆． 2.方法：过定点就分离参数；对称时圆心在对称轴上，求对称圆则圆心对称，半径不变． 3.提醒：定点要代回检验；对称轴是直径所在直线，必过圆心． ▸ 变式 5-1 若直线 是圆 的一条对称轴，则           ． 【答案】 【详解】解：圆的圆心为 ． 对称轴是直径所在的直线，必过圆心，所以 ． 解得 ． ▸ 变式 5-2 已知圆 ，直线 ．若圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为           ． 【答案】 【详解】解：圆 的圆心为 ，半径 ． 设 关于 的对称点为 ，则 ，且线段 的中点在 上． 由 的斜率为 ，得 ，即 ． 由中点在 上，得 ，即 ． 联立解得 ，．半径不变，故圆 的方程为 ． ▍ 压轴挑战 1．过三点 ，， 的圆交 轴于 两点，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三点中 的横坐标相同，圆心必在 的垂直平分线上；先定圆心，再让 截圆． 【详解】解： 的横坐标都是 ，所以圆心在直线 上． 设圆心为 ，由 ，得 ． 解得 ，圆心为 ，半径 ． 圆的方程为 ．令 ，得 ，即 ． 所以 ，选 C． 2．已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆心到定点的距离等于半径，圆心的轨迹是一个圆；到原点的距离用三角不等式估计． 【详解】解：设圆心为 ，则 ，即圆心在以 为圆心、 为半径的圆上． 由 ，得 ． 当 在线段 上时取等号，所以最小值为 ，选 A． 3．若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆与两坐标轴都相切且过第一象限的点，圆心必在第一象限；设圆心 ，半径为 ，再用点在圆上求 ． 【详解】解：点 在第一象限，若圆心不在第一象限，圆必与至少一条坐标轴相交，不合题意，所以圆心在第一象限． 设圆心为 ，，则半径为 ，圆的方程为 ． 代入 ，得 ，即 ，解得 或 ． 圆心为 或 ，到直线 的距离分别为 和 ． 所以距离为 ，选 B． 4．已知直线 （）是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对称轴必过圆心，先用圆心在 上定 与点 ，再把切线长放进直角三角形 ． 【详解】解：配方得 ，圆心 ，半径 ． 直线 是圆的对称轴，必过圆心，所以 ，即 ，． 于是 ． 因为 ，所以 ，选 C． 5．已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截圆 所得弦长的最小值为 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】弦长最小等价于弦心距最大；圆心到 的距离随 变化，最大值在 时取得． 【详解】解：圆心 到 的距离 ． 因为 ，所以 ，当 时取最大值 ． 弦长为 ，其最小值在 最大时取得，所以 ． 解得 ，即 ，选 C． 6．过四点 ，，， 中的三点的一个圆的方程为           ． 【答案】（或 ，或 ，或 ，写出一个即可） 【分析】四点中任取三点都能确定一个圆，共四种；取含原点的三点，用一般方程代入最省算． 【详解】解：若圆过 ，，，设圆的一般方程为 ． 代入 得 ；代入 得 ，所以 ． 代入 得 ，即 ，所以 ． 方程为 ，即 ． 同理，过 ，， 的圆为 ；过 ，， 的圆为 ；过 ，， 的圆为 ． 写出其中任意一个即可． 7．若直线 （）与圆 相交所得的弦长为 ，则           ． 【答案】 【分析】弦长与弦心距满足勾股关系，把弦长写成 的方程． 【详解】解：圆心为 ，半径 ，圆心到直线的距离 ． 由弦长公式，． 平方得 ，即 ． 所以 ．又 ，故 ． 8．已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点． (1)求点 的轨迹方程； (2)当 时，求 的方程及 的面积． 【答案】(1)；(2)，面积为 【分析】弦中点与圆心的连线垂直于弦， 落在以 为直径的圆上； 说明 在线段 的垂直平分线上，先定斜率，再用弦长与点到直线的距离求面积． 【详解】解：(1)配方得 ，圆心 ，半径 ，点 在圆内． 由 为弦 的中点，得 ，所以 ，即 ． 整理得点 的轨迹方程为 ． (2)由(1)， 在以 为圆心、 为半径的圆上；由 ，得 ． 因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，即 ． 圆心 到 的距离为 ，故 ． 原点 到 的距离为 ，所以 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的几何化 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、圆的方程 题型二、含参配方与圆心半径 题型三、点与圆、弦长与弦中点 题型四、切线、切线长与切点弦 题型五、圆过定点与圆关于直线对称 压轴挑战 ▍ 解题通法 圆的问题很少需要联立．方程写出来，圆心与半径就定了；弦长写出来，弦心距就定了；切线连出去，直角三角形就出来了；圆关于直线对称，圆心落在对称轴上．本专题把圆的问题统一成“找圆心、定半径、算距离”三个动作，再用垂径、切线、对称三条几何线索，把代数条件翻译成图形关系． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、圆的方程 ▸ 典例 1 若 过点 和 ，且圆心在直线 上，则其方程为           ． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出圆心所在直线、圆上两点或三个点，求圆的方程． 2.方法：圆心在定直线上就设一个参数，用“到两点距离相等”定圆心；过三点先看有没有两点的连线竖直，用中垂线更省算． 3.提醒：标准方程右边是 ；三点共线时不存在外接圆，先判断三点是否共线． ▸ 变式 1-1 已知 的顶点为 ，，，则其外接圆的标准方程为           ． ▸ 变式 1-2 已知圆 过 ，，且圆心在 上，则其标准方程为           ． ▍ 题型二、含参配方与圆心半径 ▸ 典例 2 已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，则           ． ▍ 题型模版 1.特征：圆的方程含参数，或给出圆心、半径、切线等条件反求参数． 2.方法：一般式先配方成标准式，读出圆心与半径；方程表示圆的条件是 ． 3.提醒：半径是 ，方程右边是 ；含参配方时不要漏掉常数项，求出的参数要回代． ▸ 变式 2-1 若方程 表示圆，则 的取值范围是           ． ▸ 变式 2-2 已知圆 与 轴相切，则           ． ▍ 题型三、点与圆、弦长与弦中点 ▸ 典例 3 设直线 与圆 交于 ，若 ，则其面积为           ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现弦长、弦的中点、圆被坐标轴截得的弦，或点到圆的最短距离． 2.方法：弦长一律走垂径定理 ；弦中点与圆心的连线垂直于弦，先定方向再写方程． 3.提醒：弦心距是圆心到弦所在直线的距离，不是圆心到端点的距离；弦的中点必须在圆内． ▸ 变式 3-1 直线 与圆 交于 两点，则           ． ▸ 变式 3-2 已知圆 ，弦 的中点为 ． (1)求直线 的方程； (2)求 ． ▍ 题型四、切线、切线长与切点弦 ▸ 典例 4 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则           ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现切线、切点、切线长、两切线夹角或切点弦． 2.方法：先判点在圆上还是圆外；切线长用 ，夹角用半角，切点弦用 ． 3.提醒：点在圆外才有两条切线，点在圆上只有一条；夹角可能是钝角，求正弦不受影响，求余弦要先看半角的范围． ▸ 变式 4-1 已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 ，若直线 与圆 相切于点 ． (1)求 的值； (2)求 的值． ▸ 变式 4-2 过点 作圆 的两条切线，切点为 ，则直线 的方程为           ． ▍ 题型五、圆过定点与圆关于直线对称 ▸ 典例 5 当 变化时，圆 恒过定点，则这两个定点的坐标是           ． ▍ 题型模版 1.特征：圆的方程含参数，问恒过的定点；或圆关于某条直线对称，求参数、求对称圆． 2.方法：过定点就分离参数；对称时圆心在对称轴上，求对称圆则圆心对称，半径不变． 3.提醒：定点要代回检验；对称轴是直径所在直线，必过圆心． ▸ 变式 5-1 若直线 是圆 的一条对称轴，则           ． ▸ 变式 5-2 已知圆 ，直线 ．若圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为           ． ▍ 压轴挑战 1．过三点 ，， 的圆交 轴于 两点，则  （　　） A． B． C． D． 2．已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为 （　　） A． B． C． D． 3．若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 （　　） A． B． C． D． 4．已知直线 （）是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则  （　　） A． B． C． D． 5．已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截圆 所得弦长的最小值为 ，则  （　　） A． B． C． D． 6．过四点 ，，， 中的三点的一个圆的方程为           ． 7．若直线 （）与圆 相交所得的弦长为 ，则           ． 8．已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点． (1)求点 的轨迹方程； (2)当 时，求 的方程及 的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $