专题01 直线与圆 设线与直线系 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题01 设线与直线系 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、倾斜角与斜率范围 题型二、直线方程与截距 题型三、平行与垂直的含参判定 题型四、含参直线过定点 题型五、直线与线段相交 压轴挑战 ▍ 解题通法 解析几何的第一步不是联立，而是把直线设完整．漏掉竖直线，交点、弦长、定点都会跟着漏；截距式忘记讨论过原点，会少一条直线；平行题只解行列式而不回代，会把重合的根留下．本专题把设线拆成五个动作：定倾斜角、定截距、判平行垂直、找定点、定线段相交的范围． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、倾斜角与斜率范围 ▸ 典例 1 若直线 的斜率 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是           ． 【答案】 【分析】斜率范围跨过 ，倾斜角要分锐角与钝角两段； 处斜率不存在． 【详解】解：当 时，．由正切函数在 上单调递增，得 ． 当 时， 为钝角，即 ． 当 时斜率不存在，不在 的取值范围内． 综上，． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出倾斜角、斜率或线段端点，问另一个量的范围． 2.方法：画出 的图象，先判断范围是否跨过 ：跨过取两侧，不跨取中间． 3.提醒：倾斜角一定存在，斜率不一定； 处要单独处理，不能直接取反正切． ▸ 变式 1-1 若三点 ，，（）共线，则           ． 【答案】 【详解】解：由斜率公式得 ，． 因为 三点共线，所以 ，即 ． 整理得 ，即 ． 因为 ，两边同除以 ，得 ． ▸ 变式 1-2 已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的斜率           ． 【答案】 【详解】解：因为 ，且 ，所以 为锐角或钝角． 由 ，得 ． 当 为锐角时，；当 为钝角时，． 所以 ． ▍ 题型二、直线方程与截距 ▸ 典例 2 求过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】 或 【分析】截距互为相反数包括两种情况：两个截距非零且互为相反数；两个截距同为零． 【详解】解：若两个截距非零，设直线为 ． 代入 ，得 ，即 ，所以 ． 此时直线为 ． 若两个截距同为零，直线过原点，设 ．代入 ，得 ，所以 ． 综上，所求直线为 或 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现截距相等、互为相反数、绝对值相等，或与两坐标轴围成三角形． 2.方法：先判截距是否为零：非零设 ，同为零设 ． 3.提醒：截距是坐标，可以为负；面积用 ，正半轴才可直接去掉绝对值． ▸ 变式 2-1 求过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】 或 【详解】解：若两个截距非零，设直线为 ． 代入 ，得 ，所以 ，直线为 ． 若两个截距同为零，直线过原点，设 ．代入 ，得 ，所以 ． 综上，所求直线为 或 ． ▸ 变式 2-2 过点 作直线 ，分别交 轴、 轴的正半轴于 两点， 为坐标原点．当 的面积最小时，求直线 的方程及面积的最小值． 【答案】，面积的最小值为 【详解】解：设 ，，，，则直线 的方程为 ． 因为 在 上，所以 ． 由基本不等式，，所以 ． 于是 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号． 此时直线为 ，即 ，面积的最小值为 ． ▍ 题型三、平行与垂直的含参判定 ▸ 典例 3 已知直线 ，．分别求 与 时 的值． 【答案】 时 ； 时 【分析】平行用系数行列式，垂直用点积；平行求出参数后要回代排除重合． 【详解】解：若 ，则 ，所以 ． 回代：，即 ，与 不重合，符合题意． 若 ，则 ，所以 ． 综上， 时 ； 时 ． ▍ 题型模版 1.特征：两条含参直线，已知平行或垂直，求参数；或判断两条直线的位置关系． 2.方法：平行用 并回代排重合；垂直用 ． 3.提醒：平行题只解方程不回代，往往会把重合的根留下；含参垂直用点积，不必讨论斜率． ▸ 变式 3-1 已知直线 与 平行，则           ． 【答案】 【详解】解：由平行条件得 ，即 ，解得 或 ． 当 时，，，两直线重合，舍去． 当 时，，，两直线平行，符合题意． 所以 ． ▸ 变式 3-2 “”是“直线 与直线 互相垂直”的            条件． 【答案】充要 【详解】解：当 时，直线 为 ，其斜率为 ，而 的斜率为 ，两直线垂直，充分性成立． 反过来，若两直线垂直，当 时，两直线斜率分别为 与 ，所以 ，得 ；当 时， 为 ，与 不垂直． 所以必要性也成立，故为充要条件． ▸ 变式 3-3 已知直线 与 相互垂直，则           ． 【答案】 【详解】解：由垂直条件得 ． 解得 ． ▍ 题型四、含参直线过定点 ▸ 典例 4 已知直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为           ． 【答案】 【分析】先把含 的项集中找定点，再把最短弦转化为圆心到弦的距离最大． 【详解】解：直线方程整理为 ，所以直线恒过定点 ． 圆 配方得 ，圆心为 ，半径为 ． 因为 ，所以点 在圆内． 当 时，圆心到弦的距离最大，弦长最短，此时 ． 所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：含一个参数的直线，问定点；或定点后求距离、弦长、面积． 2.方法：按参数整理成 ，令 求交点；定点后把几何量转化为圆心距． 3.提醒：参数在分母时先标限制；定点不一定在圆内，要先比较定点到圆心的距离与半径． ▸ 变式 4-1 求证：直线 恒过定点，并求该定点． 【答案】 【详解】证明：把方程按 整理，得 ． 令 且 ，解得 ，． 把 代入原方程，含 的项恰好为零，等式对任意 成立． 所以直线恒过定点 ． ▸ 变式 4-2 求证：直线 恒过定点，并求该定点． 【答案】 【详解】证明：把方程按 整理，得 ． 令 且 ，解得 ，． 把 代入原方程，含 的项恰好为零，等式对任意 成立． 所以直线恒过定点 ． ▸ 变式 4-3 求证：直线 恒过定点，并求该定点． 【答案】 【详解】证明：把方程按 整理，得 ． 令 且 ，解得 ，． 把 代入原方程，含 的项恰好为零，等式对任意 成立． 所以直线恒过定点 ． ▍ 题型五、直线与线段相交 ▸ 典例 5 已知两点 ，，过点 的直线 与线段 有公共点． (1)求直线 的斜率 的取值范围； (2)求直线 的倾斜角 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】先算两端斜率，再判断线段是否跨过定点的竖直线：跨过取外侧并集，不跨取中间． 【详解】解：(1)由斜率公式得 ，． 线段 的横坐标从 到 ，跨过 的竖直线 ，所以直线绕 旋转时会经过竖直方向． 当倾斜角为锐角时，；当倾斜角为钝角时，． 所以 ． (2) 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，旋转过程中经过 ， 所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：过定点的直线与一条线段有公共点，求斜率、倾斜角或参数的范围． 2.方法：先画图，判断线段是否跨过定点的竖直线：跨过取两端斜率的外侧并集，不跨取中间区间． 3.提醒：竖直线没有斜率，但可能有倾斜角；题目问斜率就不补竖直线，问倾斜角要补． ▸ 变式 5-1 已知点 ，，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是           ． 【答案】 【详解】解：，． 线段 的横坐标从 到 ，跨过 的竖直线 ，所以斜率取两端的外侧． 所以 ． ▸ 变式 5-2 已知两点 ，，过点 的直线 与线段 有公共点，则直线 的倾斜角 的取值范围是           ． 【答案】 【详解】解：由典例得 或 ． 对应 ， 对应 ． 竖直线 也与线段 有公共点，补上 ． 所以 ． ▍ 压轴挑战 1．点 到直线 的距离的最大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线恒过定点 ，最大距离在直线与两点连线垂直时取得． 【详解】解：直线 恒过定点 ．设 ，则点 到过 的直线的距离不超过 ，当直线与 垂直时取等号． 此时 ． 所以最大值为 ，选 B． 2．已知圆 ，过点 的直线被该圆截得的弦长的最小值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最短弦在圆心与定点的连线垂直于弦时取得，用半弦、圆心距、半径的勾股关系． 【详解】解：圆化为 ，圆心 ，半径 ．点 在圆内． 当直线与 垂直时，圆心到直线的距离最大，弦最短，此时 ． 所以最短弦长为 ，选 B． 3．已知 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作 的切线 ，切点为 ．当 最小时，直线 的方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把 转化为切线长，再用切点弦方程． 【详解】解：圆化为 ，圆心 ，半径 ． 四边形 的面积为 ，所以 ，当 最小时它最小． 此时 ．直线 的方程为 ，与 联立得 ． 切点弦 是以 为直径的圆与 的公共弦．以 为直径端点的圆为 ，即 ． 与 相减得 ，选 D． 4．已知实数 满足 ，则 的最大值是 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 看作直线在 轴上的截距，用圆心到直线的距离不超过半径． 【详解】解：配方得 ，圆心 ，半径 ． 设 ，则直线 与圆有公共点，所以 ． 解得 ，故 的最大值为 ，选 C． 5．已知点 在圆 上，点 ，，则 （　　） A．点 到直线 的距离小于 B．点 到直线 的距离大于 C．当 最小时， D．当 最大时， 【答案】ACD 【分析】先求圆心到直线 的距离，再比较距离范围；角的最值在切线位置取得． 【详解】解：直线 的方程为 ，即 ．圆心 到 的距离 ，半径为 ． 点 到 的距离范围为 ．因为 ，故 A 正确；又 ，故 B 错误． ．当 与圆相切时， 取到最值，此时 ，故 C、D 都正确． 所以选 ACD． 6．已知直线 与 交于 两点，写出满足“ 的面积为 ”的 的一个值：          ． 【答案】 或 或 或 ，写出其中一个即可 【分析】直线恒过 ，且该点在圆上；设圆心到直线的距离为 ，用 表示面积． 【详解】解：直线恒过 ，且该点在圆 上．圆心 ，半径 ． 设圆心到直线的距离为 ，则 ，弦长 ． 所以 ． 平方得 ，解得 或 ． 代入 ，得 或 ，即 或 ． 7．写出与圆 和 都相切的一条直线的方程：          ． 【答案】 或 或 ，写出其中一条即可 【分析】先判断两圆外切，再找三条公切线；注意竖直线也是一条公切线． 【详解】解：两圆圆心分别为 ，，半径分别为 ，．因为 ，所以两圆外切，公切线共有三条． 第一条：竖直线 ．它到 的距离为 ，到 的距离为 ，与两圆都相切． 第二条：过切点 的内公切线．它与 垂直，斜率为 ，方程为 ，即 ． 第三条：设斜率为 的外公切线为 ，由两圆心到它的距离分别等于 和 ，可解得 ． 所以写出 、、 中任意一条即可． 8．设点 ，，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则 的取值范围是           ． 【答案】 【分析】先求点 关于 的对称点，写出对称直线，再用圆心到直线的距离不超过半径． 【详解】解：点 关于 的对称点为 ，对称直线过 与 ． 由两点式得对称直线方程为 ． 圆心 到它的距离不大于 ：． 平方整理得 ，即 ，所以 ． 9．已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 两点． (1)求 的取值范围； (2)若 ，其中 为坐标原点，求 ． 【答案】(1)；(2) 【分析】第(1)问用圆心到直线的距离小于半径；第(2)问联立后用韦达定理表示数量积，求出 后再回代． 【详解】解：(1)设 ，即 ．圆心 到 的距离小于半径 ：． 平方整理得 ，解得 ． (2)将 代入圆方程，整理得 ． 设 ，，则 ，． ． 由 ，得 ，符合(1)的范围． 此时圆心 在 上，故 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 设线与直线系 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、倾斜角与斜率范围 题型二、直线方程与截距 题型三、平行与垂直的含参判定 题型四、含参直线过定点 题型五、直线与线段相交 压轴挑战 ▍ 解题通法 解析几何的第一步不是联立，而是把直线设完整．漏掉竖直线，交点、弦长、定点都会跟着漏；截距式忘记讨论过原点，会少一条直线；平行题只解行列式而不回代，会把重合的根留下．本专题把设线拆成五个动作：定倾斜角、定截距、判平行垂直、找定点、定线段相交的范围． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、倾斜角与斜率范围 ▸ 典例 1 若直线 的斜率 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是           ． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出倾斜角、斜率或线段端点，问另一个量的范围． 2.方法：画出 的图象，先判断范围是否跨过 ：跨过取两侧，不跨取中间． 3.提醒：倾斜角一定存在，斜率不一定； 处要单独处理，不能直接取反正切． ▸ 变式 1-1 若三点 ，，（）共线，则           ． ▸ 变式 1-2 已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的斜率           ． ▍ 题型二、直线方程与截距 ▸ 典例 2 求过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现截距相等、互为相反数、绝对值相等，或与两坐标轴围成三角形． 2.方法：先判截距是否为零：非零设 ，同为零设 ． 3.提醒：截距是坐标，可以为负；面积用 ，正半轴才可直接去掉绝对值． ▸ 变式 2-1 求过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． ▸ 变式 2-2 过点 作直线 ，分别交 轴、 轴的正半轴于 两点， 为坐标原点．当 的面积最小时，求直线 的方程及面积的最小值． ▍ 题型三、平行与垂直的含参判定 ▸ 典例 3 已知直线 ，．分别求 与 时 的值． ▍ 题型模版 1.特征：两条含参直线，已知平行或垂直，求参数；或判断两条直线的位置关系． 2.方法：平行用 并回代排重合；垂直用 ． 3.提醒：平行题只解方程不回代，往往会把重合的根留下；含参垂直用点积，不必讨论斜率． ▸ 变式 3-1 已知直线 与 平行，则           ． ▸ 变式 3-2 “”是“直线 与直线 互相垂直”的            条件． ▸ 变式 3-3 已知直线 与 相互垂直，则           ． ▍ 题型四、含参直线过定点 ▸ 典例 4 已知直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为           ． ▍ 题型模版 1.特征：含一个参数的直线，问定点；或定点后求距离、弦长、面积． 2.方法：按参数整理成 ，令 求交点；定点后把几何量转化为圆心距． 3.提醒：参数在分母时先标限制；定点不一定在圆内，要先比较定点到圆心的距离与半径． ▸ 变式 4-1 求证：直线 恒过定点，并求该定点． ▸ 变式 4-2 求证：直线 恒过定点，并求该定点． ▸ 变式 4-3 求证：直线 恒过定点，并求该定点． ▍ 题型五、直线与线段相交 ▸ 典例 5 已知两点 ，，过点 的直线 与线段 有公共点． (1)求直线 的斜率 的取值范围； (2)求直线 的倾斜角 的取值范围． ▍ 题型模版 1.特征：过定点的直线与一条线段有公共点，求斜率、倾斜角或参数的范围． 2.方法：先画图，判断线段是否跨过定点的竖直线：跨过取两端斜率的外侧并集，不跨取中间区间． 3.提醒：竖直线没有斜率，但可能有倾斜角；题目问斜率就不补竖直线，问倾斜角要补． ▸ 变式 5-1 已知点 ，，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围是           ． ▸ 变式 5-2 已知两点 ，，过点 的直线 与线段 有公共点，则直线 的倾斜角 的取值范围是           ． ▍ 压轴挑战 1．点 到直线 的距离的最大值为 （　　） A． B． C． D． 2．已知圆 ，过点 的直线被该圆截得的弦长的最小值为 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，直线 ， 为 上的动点，过点 作 的切线 ，切点为 ．当 最小时，直线 的方程为 （　　） A． B． C． D． 4．已知实数 满足 ，则 的最大值是 （　　） A． B． C． D． 5．已知点 在圆 上，点 ，，则 （　　） A．点 到直线 的距离小于 B．点 到直线 的距离大于 C．当 最小时， D．当 最大时， 6．已知直线 与 交于 两点，写出满足“ 的面积为 ”的 的一个值：          ． 7．写出与圆 和 都相切的一条直线的方程：          ． 8．设点 ，，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则 的取值范围是           ． 9．已知过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 两点． (1)求 的取值范围； (2)若 ，其中 为坐标原点，求 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $