专题02 直线与圆 距离计算与对称法 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题02 距离与对称 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、点到直线距离与平行线距离 题型二、含参距离最值（定点 + 距离） 题型三、点、直线、圆关于点或直线的对称 题型四、入射反射与光路（将军饮马） 题型五、角平分线与对称型轨迹 压轴挑战 ▍ 解题通法 距离与对称是解析几何里最容易被“算对却想错”的一块：平行线距离忘了先对齐系数，含参直线看不出定点，对称题分不清动的是点、线还是圆，光路题不敢把折线拉直，角平分线只会背公式不会选内角．本专题把这一块拆成五个动作：代距离、找定点、定对称、拉直光路、取平分线，每个动作都给出判定顺序和必须回代检验的临界情形． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、点到直线距离与平行线距离 ▸ 典例 1 已知 的三个顶点分别为 ，，． (1)求 边所在直线的方程； (2)求 边上的高； (3)求 的面积． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】三角形的高就是顶点到对边所在直线的距离，先把对边写成一般式，再代距离公式；面积用“底乘高的一半”，比行列式更不容易错． 【详解】解：(1)由两点式得 的方程为 ，即 ． (2)点 到直线 的距离 ，即 边上的高为 ． (3)因为 ，所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出点与直线、两条平行线，或要求三角形的高与面积． 2.方法：点到直线的距离先把方程化成一般式，再代 ；两平行线先统一 的系数，再用 ． 3.提醒：平行线距离公式只对 系数完全一致的两条直线成立；分母是 ，不含 ． ▸ 变式 1-1 已知两条平行直线 与 ，则 与 的距离为           ． 【答案】 【详解】解：两条直线 的系数已经相同，直接代平行线距离公式． ． ▸ 变式 1-2 求与直线 平行，且与它的距离为 的直线的方程． 【答案】 或 【详解】解：设所求直线为 （）． 由平行线距离公式得 ，即 ． 解得 或 ． 所以所求直线为 或 ． 两条直线分居已知直线两侧，这也说明距离为定值的平行线总是一对． ▍ 题型二、含参距离最值（定点 + 距离） ▸ 典例 2 已知直线 ，圆 ． (1)证明：直线 恒过定点 ，并求原点 到直线 的距离的最大值； (2)当 时，求直线 被圆 截得的弦长． 【答案】(1)定点 ，最大值为 ；(2) 【分析】含参直线按 整理后，令含 的系数与剩余部分同时为零，即得定点；原点到过定点的直线的距离不超过原点到定点的距离，当直线与这条连线垂直时取到最大值；弦长用垂径定理． 【详解】解：(1)把方程按 整理，得 ． 令 且 ，解得 ，，所以 恒过定点 ． 原点 到 的距离不超过 ，当 时取等号． 此时 ， 的斜率为 ，即 ，，取等条件可实现，故最大值为 ． (2)当 时，． 原点 到 的距离 ． 圆的半径 ，由垂径定理，弦长为 ． ▍ 题型模版 1.特征：直线方程含一个参数，问某个定点到它的距离的最值，或由最值反求参数． 2.方法：按参数整理成 ，令 求出定点 ；点 到过 的直线的距离不超过 ，当直线与 垂直时取到． 3.提醒：最大值一定取得到，最小值是 （直线允许经过 ）；反求参数时用“垂直”，不要错用成“平行”． ▸ 变式 2-1 当点 到直线 的距离最大时， 的值为           ． 【答案】 【详解】解：把方程按 整理，得 ，所以 恒过定点 ． 点 到 的距离不超过 ，当 时取到最大值． 因为 ，所以 的斜率为 ，即 ． 检验： 时 ，点 到它的距离为 ，取等成立． ▸ 变式 2-2 已知两条平行直线 分别经过点 ，，且 ．当它们分别绕 旋转时， 与 之间的距离的取值范围是           ． 【答案】 【详解】解：设两平行线的距离为 ．过 作 的垂线，垂足为 ，则 ． 因为 ，所以 ，当两线都与 垂直时取到 ． 另一方面，当两线都趋近于直线 时， 趋近于 ，但两线分别过不同的点且保持平行，不可能重合，故 ． 所以 ． ▍ 题型三、点、直线、圆关于点或直线的对称 ▸ 典例 3 已知点 ，直线 ． (1)求点 关于 的对称点 ； (2)求直线 关于点 对称的直线 的方程； (3)求圆 关于 对称的圆的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】点关于直线对称要同时用两个条件：中点在轴上、连线与轴垂直；直线关于点对称只改常数项；圆关于直线对称只动圆心． 【详解】解：(1)设 ．由线段 的中点在 上，得 ，即 ． 由 且 的斜率为 ，得 ，即 ． 联立解得 ，，所以 ． (2) 关于点 对称的直线与 平行，设为 ． 取 上的点 ，它关于 的对称点为 ，代入得 ，所以 ． (3)圆关于直线对称后半径不变，只需把圆心对称过去． 圆心 关于 的对称点为 ，所以所求圆的方程为 ． ▍ 题型模版 1.特征：求对称点、对称直线、对称圆，或已知对称关系反求参数、求轨迹． 2.方法：点关于直线对称列“中点在轴上”与“连线垂直于轴”两式；直线关于点对称只改常数项；直线关于直线对称，先找轴上的不动点，再对称轴外一点；圆对称只动圆心． 3.提醒：对称轴上的点不动，这是最省事的一个点；求对称直线前先看已知直线与轴是否相交，相交就取交点作第一个点． ▸ 变式 3-1 求直线 关于直线 对称的直线 的方程． 【答案】 【详解】解：先求 与 的交点．联立解得 ，，即交点为 ，它在对称轴上，对称后不动． 再取 上一点 ，设它关于 的对称点为 ． 由中点条件得 ，即 ；由连线垂直于 得 ，即 ． 解得 ，对称点为 ． 过 与 的直线为 ，即 ． ▸ 变式 3-2 求直线 关于点 对称的直线的方程． 【答案】 【详解】解：直线关于点对称后与已知直线平行，斜率不变，所以可设为 ． 取已知直线上的两点 与 ，它们关于 的对称点分别为 与 ． 把 代入 得 ，检验 也满足 ． 所以所求直线为 ． ▍ 题型四、入射反射与光路（将军饮马） ▸ 典例 4 一条光线从点 射出，射到直线 上的点 后被反射，反射光线射到 轴上的点 后再次被反射，这时反射光线恰好经过点 ．求 所在直线的方程． 【答案】 【分析】两次反射就把光源与终点各对称一次： 关于 对称， 关于 轴对称，两个对称点与 共线． 【详解】解：点 关于直线 的对称点为 ． 点 关于 轴的对称点为 ． 由入射角等于反射角，反射光线与入射光线关于反射面对称，故 四点共线． ，所以 所在直线为 ，即 ． ▍ 题型模版 1.特征：光线经直线（或坐标轴）反射后过定点，或求折线路程的最小值． 2.方法：把反射面看作对称轴，把光源或终点对称过去，反射点就是对称点与另一点的连线与反射面的交点；折线长度等于这条直线段的长度． 3.提醒：先判断两点在反射面的同侧还是异侧：异侧直接连线，同侧要先对称；反射两次就连续对称两次，顺序不能乱． ▸ 变式 4-1 一束光线从原点 出发，经直线 反射后通过点 ，求反射光线所在直线的方程，以及光线从 到 经过的路程． 【答案】反射光线为 ，路程为 【详解】解：设 关于 的对称点为 ． 因为 ，所以 在直线 上，设 ． 线段 的中点为 ，代入 得 ，即 ，故 ． 反射光线的反向延长线经过 ，又经过 ，两点纵坐标相同，故反射光线所在直线为 ． 反射点 是 与 的交点，由 得 ，即 ． 路程为 ． ▸ 变式 4-2 一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为           ． 【答案】 或 【详解】解：点 关于 轴的对称点为 ，反射光线的反向延长线经过 ． 设反射光线所在直线的斜率为 ，则其方程为 ，即 ． 反射光线与圆相切，圆心 到它的距离等于半径 ： ，即 ． 两边平方得 ，整理得 ． 解得 或 ． ▍ 题型五、角平分线与对称型轨迹 ▸ 典例 5 已知 的三个顶点分别为 ，，，求 的平分线所在直线的方程． 【答案】 【分析】角平分线交对边所得两段与两邻边成比例，先定分点再连线；也可以直接用“到两边距离相等”列式，再按内外角取舍． 【详解】解：设 的平分线交 于点 ． 由角平分线定理，，所以 的坐标为 ． 的斜率为 ，故所求直线为 ，即 ． 另解（距离法）： 的方程为 ， 的方程为 ．设角平分线上的点为 ，则 ． 即 ．取正号得 ，是内角平分线；取负号得 ，是外角平分线． ▍ 题型模版 1.特征：求两直线夹角的平分线、三角形的内角平分线，或动点关于定直线（定点）的对称点满足某条件，求轨迹． 2.方法：角平分线上的点到两边距离相等，用两个距离相等列式；三角形的角平分线也可用“分对边成两邻边之比”；对称型轨迹用“对称是等距变换”，只把圆心、定点这些特征点对称过去． 3.提醒：两条直线对应两条平分线且互相垂直，要分清内角与外角；距离相等列式两边都带绝对值，平方后可能增解，必须回代． ▸ 变式 5-1 求直线 与 的夹角平分线所在直线的方程． 【答案】 或 【详解】解：两条直线的法向量长都是 ，设所求直线上的点为 ，则它到两直线的距离相等： ，即 ． 取正号得 ；取负号得 ． 两条平分线的斜率分别为 与 ，乘积为 ，互相垂直，符合两条平分线垂直的结论． ▸ 变式 5-2 圆 关于直线 对称后的圆的方程为           ． 【答案】 【详解】解：圆关于直线对称后半径不变，只需把圆心对称过去． 直线 即 ．设圆心 关于 的对称点为 ． 由线段 的中点在 上，得 ，即 ． 由 且 的斜率为 ，得 ，即 ． 联立解得 ，，所以圆心为 ，半径仍为 ． 所求圆的方程为 ． ▍ 压轴挑战 1．已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先配方求圆心，再把圆心坐标代入点到直线的距离公式． 【详解】解：配方得 ，圆心为 ． 由 ，得 ． 展开得 ，所以 ，选 A． 2．（多选）圆  （　　） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 【答案】ABC 【分析】圆关于点对称，对称中心必须是圆心；圆关于直线对称，对称轴必须过圆心． 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径为 ． A 项，点 就是圆心，圆关于圆心中心对称，正确． B 项，直线 过圆心 ，正确． C 项，，直线过圆心，正确． D 项，，直线不过圆心，错误． 所以选 ABC． 3．已知 ，，若 的平分线所在直线方程为 ，则 所在直线的方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】角平分线是 与 的对称轴，把 对称过去，对称点必在 上；点 在对称轴上，它不动． 【详解】解：直线 即 ．设 关于它的对称点为 ． 由中点条件得 ，即 ；由连线垂直于对称轴得 ，即 ． 联立解得 ，，即 ． 因为角平分线是对称轴，所以 在直线 上． ，故 的方程为 ，即 ，选 C． 4．已知直线 （）是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线是圆的对称轴，说明它过圆心；切线长用“圆心到点的距离的平方减去半径的平方”再开方． 【详解】解：配方得 ，圆心为 ，半径 ． 因为 是圆的对称轴，所以 在 上：，得 ． 所以 ，． 由切线长公式，，所以 ，选 C． 5．直线 分别与 轴、 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 ，再把面积化成“底乘点到直线距离的一半”；圆上点到直线的距离用圆心到直线的距离加减半径． 【详解】解：令 得 ，令 得 ，所以 ． 圆心为 ，半径 ，圆心到直线 的距离 ． 点 到直线的距离的取值范围是 ． 所以 ，选 A． 6．在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为           ． 【答案】 【分析】圆心固定、直线转动，半径就是圆心到直线的距离；最大距离即圆心到定点的距离． 【详解】解：直线即 ，恒过定点 ． 圆心 到这条直线的距离不超过 ，当直线与 垂直时取到． 所以半径的最大值为 ，所求圆的标准方程为 ． 7．设 ，过定点 的动直线 与过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值为           ． 【答案】 【分析】两条动直线各过一个定点，先求 ；再验两线垂直，于是 在以 为直径的圆上，用勾股定理与基本不等式． 【详解】解：直线 恒过 ；直线 即 ，恒过 ． 两条直线的方向向量分别为 与 ，数量积为 ，所以两线始终垂直，即 ． 于是 在以 为直径的圆上，． 由基本不等式 ，当 时取到，所以最大值为 ． 8．已知点 ，，直线 ． (1)求点 关于 的对称点 ； (2)在 上求一点 ，使 最小，并求这个最小值； (3)若圆 经过 两点，且圆心在 上，求圆 的方程． 【答案】(1)；(2)，最小值为 ；(3) 【分析】第(1)问用“中点在轴上、连线垂直轴”两式；第(2)问把 对称过去，折线变成直线段；第(3)问圆心由两个条件定：在 的垂直平分线上，又在 上． 【详解】解：(1)设 ．由线段 的中点在 上得 ，由 得 ，解得 ，，故 ． (2)把 的坐标代入 ，分别得 与 ，同号，说明两点在 的同侧． 对 上任意一点 ，，当且仅当 在线段 上时取等号． 直线 的方程为 ，与 联立解得 ． 最小值为 ，此时 ，取等成立． (3) 的垂直平分线为 ，圆心 又在 上，故 ． 半径 ，所以圆 的方程为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 距离与对称 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、点到直线距离与平行线距离 题型二、含参距离最值（定点 + 距离） 题型三、点、直线、圆关于点或直线的对称 题型四、入射反射与光路（将军饮马） 题型五、角平分线与对称型轨迹 压轴挑战 ▍ 解题通法 距离与对称是解析几何里最容易被“算对却想错”的一块：平行线距离忘了先对齐系数，含参直线看不出定点，对称题分不清动的是点、线还是圆，光路题不敢把折线拉直，角平分线只会背公式不会选内角．本专题把这一块拆成五个动作：代距离、找定点、定对称、拉直光路、取平分线，每个动作都给出判定顺序和必须回代检验的临界情形． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、点到直线距离与平行线距离 ▸ 典例 1 已知 的三个顶点分别为 ，，． (1)求 边所在直线的方程； (2)求 边上的高； (3)求 的面积． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出点与直线、两条平行线，或要求三角形的高与面积． 2.方法：点到直线的距离先把方程化成一般式，再代 ；两平行线先统一 的系数，再用 ． 3.提醒：平行线距离公式只对 系数完全一致的两条直线成立；分母是 ，不含 ． ▸ 变式 1-1 已知两条平行直线 与 ，则 与 的距离为           ． ▸ 变式 1-2 求与直线 平行，且与它的距离为 的直线的方程． ▍ 题型二、含参距离最值（定点 + 距离） ▸ 典例 2 已知直线 ，圆 ． (1)证明：直线 恒过定点 ，并求原点 到直线 的距离的最大值； (2)当 时，求直线 被圆 截得的弦长． ▍ 题型模版 1.特征：直线方程含一个参数，问某个定点到它的距离的最值，或由最值反求参数． 2.方法：按参数整理成 ，令 求出定点 ；点 到过 的直线的距离不超过 ，当直线与 垂直时取到． 3.提醒：最大值一定取得到，最小值是 （直线允许经过 ）；反求参数时用“垂直”，不要错用成“平行”． ▸ 变式 2-1 当点 到直线 的距离最大时， 的值为           ． ▸ 变式 2-2 已知两条平行直线 分别经过点 ，，且 ．当它们分别绕 旋转时， 与 之间的距离的取值范围是           ． ▍ 题型三、点、直线、圆关于点或直线的对称 ▸ 典例 3 已知点 ，直线 ． (1)求点 关于 的对称点 ； (2)求直线 关于点 对称的直线 的方程； (3)求圆 关于 对称的圆的方程． ▍ 题型模版 1.特征：求对称点、对称直线、对称圆，或已知对称关系反求参数、求轨迹． 2.方法：点关于直线对称列“中点在轴上”与“连线垂直于轴”两式；直线关于点对称只改常数项；直线关于直线对称，先找轴上的不动点，再对称轴外一点；圆对称只动圆心． 3.提醒：对称轴上的点不动，这是最省事的一个点；求对称直线前先看已知直线与轴是否相交，相交就取交点作第一个点． ▸ 变式 3-1 求直线 关于直线 对称的直线 的方程． ▸ 变式 3-2 求直线 关于点 对称的直线的方程． ▍ 题型四、入射反射与光路（将军饮马） ▸ 典例 4 一条光线从点 射出，射到直线 上的点 后被反射，反射光线射到 轴上的点 后再次被反射，这时反射光线恰好经过点 ．求 所在直线的方程． ▍ 题型模版 1.特征：光线经直线（或坐标轴）反射后过定点，或求折线路程的最小值． 2.方法：把反射面看作对称轴，把光源或终点对称过去，反射点就是对称点与另一点的连线与反射面的交点；折线长度等于这条直线段的长度． 3.提醒：先判断两点在反射面的同侧还是异侧：异侧直接连线，同侧要先对称；反射两次就连续对称两次，顺序不能乱． ▸ 变式 4-1 一束光线从原点 出发，经直线 反射后通过点 ，求反射光线所在直线的方程，以及光线从 到 经过的路程． ▸ 变式 4-2 一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为           ． ▍ 题型五、角平分线与对称型轨迹 ▸ 典例 5 已知 的三个顶点分别为 ，，，求 的平分线所在直线的方程． ▍ 题型模版 1.特征：求两直线夹角的平分线、三角形的内角平分线，或动点关于定直线（定点）的对称点满足某条件，求轨迹． 2.方法：角平分线上的点到两边距离相等，用两个距离相等列式；三角形的角平分线也可用“分对边成两邻边之比”；对称型轨迹用“对称是等距变换”，只把圆心、定点这些特征点对称过去． 3.提醒：两条直线对应两条平分线且互相垂直，要分清内角与外角；距离相等列式两边都带绝对值，平方后可能增解，必须回代． ▸ 变式 5-1 求直线 与 的夹角平分线所在直线的方程． ▸ 变式 5-2 圆 关于直线 对称后的圆的方程为           ． ▍ 压轴挑战 1．已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，则  （　　） A． B． C． D． 2．（多选）圆  （　　） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 3．已知 ，，若 的平分线所在直线方程为 ，则 所在直线的方程为 （　　） A． B． C． D． 4．已知直线 （）是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则  （　　） A． B． C． D． 5．直线 分别与 轴、 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为           ． 7．设 ，过定点 的动直线 与过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值为           ． 8．已知点 ，，直线 ． (1)求点 关于 的对称点 ； (2)在 上求一点 ，使 最小，并求这个最小值； (3)若圆 经过 两点，且圆心在 上，求圆 的方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $