第17讲·整数指数幂与分式方程·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第17讲·整数指数幂与分式方程·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解零指数幂与负整数指数幂的意义，掌握 a0=1、a-p=（a≠0） · 掌握整数指数幂的运算性质，能熟练进行幂的混合运算 · 会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能还原成原数 · 掌握分式方程的解法：去分母化为整式方程、求解、检验 · 理解增根产生的原因，会处理分式方程无解与求参数问题 · 能列分式方程解决工程、行程、经济等实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1 负整数指数幂：a-p=（a≠0，p为正整数），即负指数幂等于同底数正指数幂的倒数 引入负整数指数幂后，幂的指数可以是任意整数，指数的取值范围扩大到全体整数 注意：底数不能为0；0的0次幂、0的负整数指数幂都没有意义 概念辨析例题：计算：(-2026)0 + 2-2 - ()-1 的结果是（　　） 答案：- 解析：(-2026)0=1，2-2==，()-1=3，所以原式=1+-3=-+=-。注意负指数先化为倒数再计算。 ✅️ 2.整数指数幂的运算性质 同底数幂相乘：am·an=am+n（底数不变，指数相加） 同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0，底数不变，指数相减） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=an bn 以上性质对整数指数（正整数、0、负整数）同样成立，运算结果一般化为正指数幂或最简分数 概念辨析例题：计算 (a-2)3 · a5 的结果是（　　） 答案：a-1 解析：先算幂的乘方：(a-2)3=a-6；再同底数幂相乘：a-6·a5=a-6+5=a-1，即 。运算顺序为先乘方，再乘除。 ✅️ 3.科学记数法表示绝对值小于1的数 形式：把一个绝对值小于1的数写成 a×10-n 的形式，其中 1≤|a|<10，n为正整数 n的确定：n等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个零） 还原：把 a×10-n 中的小数点向左移动n位即得原数 绝对值大于10的数仍写成 a×10n（n为正整数） 概念辨析例题：把 0.000000076 用科学记数法表示为（　　） 答案：7.6×10-8 解析：第一个非零数字7前面共有8个0，故n=8，a=7.6，所以 0.000000076=7.6×10-8。 ✅️ 4.分式方程的解法 基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 步骤：①找最简公分母；②方程两边同乘最简公分母；③解整式方程；④检验 检验方法：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0则是增根，必须舍去 注意：去分母时方程两边的每一项都要乘最简公分母，不含分母的项不能漏乘 概念辨析例题：解方程：= 答案：x=-5 解析：最简公分母为 (x-1)(x+1)，两边同乘得 2(x+1)=3(x-1)，解得 x=-5。检验：当 x=-5 时 (x-1)(x+1)≠0，所以原分式方程的解为 x=-5。 ✅️ 5.分式方程的增根与无解 增根：去分母后所得整式方程的根，但使原分式方程的分母为0，这样的根叫增根 无解的两种情形：①去分母后的整式方程本身无解；②整式方程的解全是增根 已知增根求参数：把增根（令最简公分母为0的值）代入去分母后的整式方程求参数 已知解的范围求参数：先解出含参数的根，再由条件列不等式，并排除增根情形 概念辨析例题：若关于 x 的分式方程 =+3 有增根，则增根是（　　） 答案：x=2 解析：最简公分母为 x-2，令 x-2=0 得 x=2，所以增根只能是 x=2。增根由最简公分母为0确定，与参数无关。 ✅️ 6.分式方程的实际应用 一般步骤：审（审题）→设（设未知数）→列（列分式方程）→解（解方程）→检（双重检验）→答 常见模型：工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、行程问题（路程=速度×时间） 常见模型：经济问题（总价=单价×数量）、和差倍分问题 检验要双重进行：既要检验是否为原方程的解，又要检验是否符合实际意义 概念辨析例题：某工程队计划用x天完成一项工程，实际每天多完成，结果提前5天完成，求原计划天数。 答案：25天 解析：设原计划x天完成，则原效率为，实际效率为(1+)=，实际用时 x-5 天。由 (x-5)=1 得 5(x-5)=4x，解得 x=25。检验：x=25 时分母不为0且符合实际，故原计划25天完成。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 零指数幂 a0=1（a≠0） 底数不能为0，00无意义 负整数指数幂 a-p=（a≠0，p为正整数） 底数不为0；结果化为正指数幂或最简分数 科学记数法 a×10-n（1≤|a|<10，n为正整数） n为第一个非零数字前零的个数 分式方程 分母中含有未知数的方程 去分母时各项都要乘最简公分母 增根 使最简公分母为0的整式方程的根 必须检验，是增根则舍去 分式方程无解 整式方程无解，或它的解全是增根 分两种情况讨论，不要漏解 📩 核心考点 【考点1】整数指数幂与科学记数法（第1-15题） · 负指数先化倒数：a-p=，再按运算性质化简 · 混合运算顺序：先乘方，再乘除，结果化为正指数幂或最简分数 · 科学记数法：先定a（1≤|a|<10），再数第一个非零数字前零的个数定n 1．（24-25六年级下·山东烟台·期末）研究发现，某种品牌计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（），即．该品牌计算机完成次基本运算，所用的时间用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东佛山·期末）计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（），即，将0.000000001用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）______（结果保留幂的形式）． 6．（2024·浙江·模拟预测）计算：＝_________． 7．（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）______． 8．（25-26八年级上·山东·课后作业）若，则的大小关系为_______（用“<”连接）． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中），则m的值为_______． 10．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若，且的展开式中不含x的一次项，则代数式的值______． 11．（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1) (2) 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）用分数或小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级下·四川达州·期中）计算： (1)； (2)． 15．（23-24八年级·全国·课后作业）计算（结果用科学记数法表示）： (1)； (2)． 【考点2】分式方程的解法与检验（第16-30题） · 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，注意不漏乘不含分母的项 · 求解：解整式方程（一元一次或一元二次），可灵活运用换元法 · 检验：把解代入最简公分母，不为0才是原方程的解，否则是增根要舍去 16．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·全国·期末）分式方程的解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）解分式方程的步骤：①方程两边同时乘最简公分母；②得到整式方程；③解得；④检验：当时，，故原分式方程的解为．其中最开始出现错误的一步为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 20．（23-24八年级下·山东济南·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 21．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 22．（25-26八年级上·山东淄博·期末）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 23．（23-24八年级上·北京海淀·阶段检测）若分式方程的解是，则________． 24．（2024·北京大兴·二模）方程的解为______． 25．（24-25八年级上·四川南充·期末）当___________时，分式与的值互为相反数． 26．（2025八年级·全国·竞赛）的解是______________． 27．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）解方程：． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 29．（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）解下列方程： (1) (2) (3) 30．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式，整式． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，分式的值为整数； (3)试判断与的大小关系，并说明理由． 【考点3】分式方程的增根、无解与参数问题（第31-44题） · 增根定位：令最简公分母为0，所得未知数的值就是可能的增根 · 由增根求参数：把增根代入去分母后的整式方程，解出参数 · 无解讨论：整式方程无解，或整式方程的解恰好是增根，两种情况都要考虑 · 解的范围问题：先用参数表示根，再列不等式，并剔除使分母为0的值 31．（25-26七年级下·山东济南·期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 32．（24-25八年级下·四川巴中·阶段检测）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 33．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为_______________． 34．（24-25八年级下·江苏南京·期中）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________． 35．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 36．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 37．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为__________． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_____ ． 39．（24-25八年级下·上海·阶段检测）若分式方程无实数解，则__________ 40．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 41．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 42．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 43．（2025九年级·全国·专题练习）若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数的值的和． 44．（25-26八年级上·山西长治·期末）王林准备完成题目：解分式方程： ，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成5，请你解方程： (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【考点4】分式方程的实际应用（第45-60题） · 审清题意，找准等量关系：工程、行程、经济问题分别对应工作量、路程、总价相等 · 设未知数并列方程，单位要统一，注意「提前」「增加」等关键词的转化 · 求出解后双重检验：既是原分式方程的解，又符合实际意义（如天数、单价为正） 45．（25-26八年级上·江苏南通·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 46．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·山东滨州·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）随着农业技术发展，农作物的产量大幅度增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1 2024年每亩地的产量比较2014年多240斤 2 2014年总产量12000斤，2024年总产量16800斤 求2014年与2024年花生每亩地的产量，若设2014年每亩地花生的产量x斤，可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（   ） 甲同学：设该饮料每瓶是元，则 乙同学：设该饮料每箱是瓶，则 丙同学：设该饮料每瓶是元，则 丁同学：设该饮料每箱是瓶，则 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丁 50．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则______出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 51．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是_______． 52．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是______． 53．（2025·湖北·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程___________． 54．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 55．（24-25八年级上·北京通州·期中）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 56．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 57．（2025八年级上·全国·专题练习）某边防哨所运来一筐苹果，共有个．计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩个苹果；改为每名战士再多分个，结果还差个苹果．那么，这个哨所共有多少名战士？ 58．（24-25七年级上·上海·阶段检测）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 59．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 60．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）2026年云南省玉溪市开展了“玉见米线”暨新春年货节．为了促进家庭和睦，同时积极迎合该活动，某市民计划从某店购买“马年拍马屁”钥匙挂件和伴手礼套装送给家人作为新春礼物．已知购进一套伴手礼的价格比购进一个钥匙挂件的价格贵35元，且用500元购进钥匙挂件的数量正好是用600元购进伴手礼套装数量的2倍． (1)求购进一个钥匙挂件和一套伴手礼的价格分别为多少元？ (2)如果该市民需要钥匙挂件的数量是伴手礼套装数量的2倍少1个，且购进钥匙挂件和伴手礼套装的总费用不超过860元，那么该市民最多可购进多少套伴手礼？ 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 先把公式记牢：a0=1、a-p=，运算前先看底数是否为0 · 幂的混合运算按「先乘方、再乘除」的顺序，最后结果统一化为正指数幂 · 科学记数法先定a再数零，做完把结果还原回去验一遍 · 解分式方程「去分母—解整式—检验」三步缺一不可，检验这一步最容易被漏掉 · 增根、无解、参数问题先想清楚最简公分母，再分类讨论，避免漏解 【作业 1】（17-18七年级下·广东深圳·阶段检测）（   ） A． B． C． D．3 【作业 2】（2026·湖南郴州·一模）为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业 3】（25-26八年级上·天津和平·期末）在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于0.00000002s，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【作业 4】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【作业 5】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为（   ） A．200件 B．300件 C．400件 D．500件 【作业 6】（24-25八年级下·四川成都·期末）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为 ，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业 7】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列数是用科学记数法表示的数，请将它还原： （1）表示__________． （2）表示__________． 【作业 8】（2025·河北邯郸·三模）计算：________． 【作业 9】（25-26八年级上·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【作业 10】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为__________． 【作业 11】（24-25八年级上·全国·期末）某种植物果实的质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为_____． 【作业 12】（2025·山东青岛·模拟预测）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为________． 【作业 13】（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用时间与乙班种66棵树所用时间相等，则乙班每小时种树______棵． 【作业 14】（2024·江西赣州·二模）元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著．该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽、每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：用6210文钱买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文能够买株椽，则列出分式方程为___________． 【作业 15】（23-24七年级下·福建漳州·期中）计算： (1)； (2)． 【作业 16】（24-25八年级下·江西九江·期末）某超市购进A型和B型两种玩具，已知用720元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元? (2)该超市计划以原单价再次购进这两种型号的玩具共150个，且支付费用不超过1100元，则最多可购进A型玩具多少个? 【作业 17】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算 (1)； (2)． 【作业 18】（24-25八年级上·重庆忠县·期末）忠县临江公园美化后的夜景引来众多游客观赏，拍照打卡者络绎不绝，也带来了商机．李师傅今年元旦节网购A、B两种类型的拍立得相纸前往公园为游客开展陪拍服务，已知购进1盒A型号相纸比购进一盒B型号相纸便宜13元，并且花费180元购进A型号相纸和花费232元购进B型号相纸盒数相等． (1)求购进A、B两型号相纸的单价分别是多少元？ (2)李师傅购进A，B两种型号的相纸共50盒，每盒均包含10张相纸，并把A，B两种型号的相纸分别以8元/张，10元/张进行陪拍服务，如果李师傅计划本次陪拍服务后的总利润不低于1890元，那么最多购进A型号相纸多少盒？ 【作业 19】（25-26九年级上·重庆·开学考试）某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．    (1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？ 【作业 20】（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲·整数指数幂与分式方程·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解零指数幂与负整数指数幂的意义，掌握 a0=1、a-p=（a≠0） · 掌握整数指数幂的运算性质，能熟练进行幂的混合运算 · 会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能还原成原数 · 掌握分式方程的解法：去分母化为整式方程、求解、检验 · 理解增根产生的原因，会处理分式方程无解与求参数问题 · 能列分式方程解决工程、行程、经济等实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1 负整数指数幂：a-p=（a≠0，p为正整数），即负指数幂等于同底数正指数幂的倒数 引入负整数指数幂后，幂的指数可以是任意整数，指数的取值范围扩大到全体整数 注意：底数不能为0；0的0次幂、0的负整数指数幂都没有意义 概念辨析例题：计算：(-2026)0 + 2-2 - ()-1 的结果是（　　） 答案：- 解析：(-2026)0=1，2-2==，()-1=3，所以原式=1+-3=-+=-。注意负指数先化为倒数再计算。 ✅️ 2.整数指数幂的运算性质 同底数幂相乘：am·an=am+n（底数不变，指数相加） 同底数幂相除：am÷an=am-n（a≠0，底数不变，指数相减） 幂的乘方：(am)n=amn；积的乘方：(ab)n=an bn 以上性质对整数指数（正整数、0、负整数）同样成立，运算结果一般化为正指数幂或最简分数 概念辨析例题：计算 (a-2)3 · a5 的结果是（　　） 答案：a-1 解析：先算幂的乘方：(a-2)3=a-6；再同底数幂相乘：a-6·a5=a-6+5=a-1，即 。运算顺序为先乘方，再乘除。 ✅️ 3.科学记数法表示绝对值小于1的数 形式：把一个绝对值小于1的数写成 a×10-n 的形式，其中 1≤|a|<10，n为正整数 n的确定：n等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（含小数点前的那个零） 还原：把 a×10-n 中的小数点向左移动n位即得原数 绝对值大于10的数仍写成 a×10n（n为正整数） 概念辨析例题：把 0.000000076 用科学记数法表示为（　　） 答案：7.6×10-8 解析：第一个非零数字7前面共有8个0，故n=8，a=7.6，所以 0.000000076=7.6×10-8。 ✅️ 4.分式方程的解法 基本思路：去分母，把分式方程化为整式方程 步骤：①找最简公分母；②方程两边同乘最简公分母；③解整式方程；④检验 检验方法：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0则是增根，必须舍去 注意：去分母时方程两边的每一项都要乘最简公分母，不含分母的项不能漏乘 概念辨析例题：解方程：= 答案：x=-5 解析：最简公分母为 (x-1)(x+1)，两边同乘得 2(x+1)=3(x-1)，解得 x=-5。检验：当 x=-5 时 (x-1)(x+1)≠0，所以原分式方程的解为 x=-5。 ✅️ 5.分式方程的增根与无解 增根：去分母后所得整式方程的根，但使原分式方程的分母为0，这样的根叫增根 无解的两种情形：①去分母后的整式方程本身无解；②整式方程的解全是增根 已知增根求参数：把增根（令最简公分母为0的值）代入去分母后的整式方程求参数 已知解的范围求参数：先解出含参数的根，再由条件列不等式，并排除增根情形 概念辨析例题：若关于 x 的分式方程 =+3 有增根，则增根是（　　） 答案：x=2 解析：最简公分母为 x-2，令 x-2=0 得 x=2，所以增根只能是 x=2。增根由最简公分母为0确定，与参数无关。 ✅️ 6.分式方程的实际应用 一般步骤：审（审题）→设（设未知数）→列（列分式方程）→解（解方程）→检（双重检验）→答 常见模型：工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、行程问题（路程=速度×时间） 常见模型：经济问题（总价=单价×数量）、和差倍分问题 检验要双重进行：既要检验是否为原方程的解，又要检验是否符合实际意义 概念辨析例题：某工程队计划用x天完成一项工程，实际每天多完成，结果提前5天完成，求原计划天数。 答案：25天 解析：设原计划x天完成，则原效率为，实际效率为(1+)=，实际用时 x-5 天。由 (x-5)=1 得 5(x-5)=4x，解得 x=25。检验：x=25 时分母不为0且符合实际，故原计划25天完成。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 零指数幂 a0=1（a≠0） 底数不能为0，00无意义 负整数指数幂 a-p=（a≠0，p为正整数） 底数不为0；结果化为正指数幂或最简分数 科学记数法 a×10-n（1≤|a|<10，n为正整数） n为第一个非零数字前零的个数 分式方程 分母中含有未知数的方程 去分母时各项都要乘最简公分母 增根 使最简公分母为0的整式方程的根 必须检验，是增根则舍去 分式方程无解 整式方程无解，或它的解全是增根 分两种情况讨论，不要漏解 📩 核心考点 【考点1】整数指数幂与科学记数法（第1-15题） · 负指数先化倒数：a-p=，再按运算性质化简 · 混合运算顺序：先乘方，再乘除，结果化为正指数幂或最简分数 · 科学记数法：先定a（1≤|a|<10），再数第一个非零数字前零的个数定n 1． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 2． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂（， ）和负整数指数幂（，，为正整数 ）的运算，熟练掌握这两种幂的运算法则是解题的关键．本题需根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别求出、、的值，再比较大小． 【详解】解： ． ． ． ∵， ∴ ． 故选：A ． 3． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选B． 4． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，解题关键是熟悉上述知识，并能运用求解． 先化简各式，再比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选： C． 5． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 6． 【答案】2 【知识点】负整数指数幂、特殊三角形的三角函数、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算．根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：2． 7． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则（，为整数）求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、实数的大小比较、求一个数的绝对值、零指数幂 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，本题需先分别求出的值，再进行比较，即可求出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9． 【答案】1或0或 【知识点】负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 10． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、负整数指数幂、已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先将展开，根据展开式不含的一次项求出的值，再对已知等式配方，利用平方的非负性求出的值，最后代入计算结果． 【详解】解： 因为展开式中不含的一次项， 所以一次项系数为．即． 解得． 即 ，． 解得， 将代入得 ． 11． 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】幂的混合运算、负整数指数幂、积的乘方的逆用、零指数幂 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，绝对值和零指数幂，然后计算加减； （2）根据幂的混合运算法则求解即可； （3）利用积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，绝对值和零指数幂，幂的混合运算，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 12． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】负整数指数幂、计算单项式乘单项式、零指数幂、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方，单项式的乘法与除法运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （2）先计算积的乘方运算，再按照从左至右的顺序计算乘法与除法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 13． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】负整数指数幂、将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了负整数指数幂，科学记数法表示的原数，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用负整数指数幂计算； （2）把小数点向左移动4位即可； （3）利用负整数指数幂计算； （4）利用负整数指数幂计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 14． 【答案】(1) (2)5 【知识点】负整数指数幂、积的乘方运算、零指数幂、计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式与单项式的乘除法计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、用科学记数法表示数的乘法、同底数幂相乘、用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后同科学计算法表示即可． 【详解】（1）解： （2） 【考点2】分式方程的解法与检验（第16-30题） · 去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，注意不漏乘不含分母的项 · 求解：解整式方程（一元一次或一元二次），可灵活运用换元法 · 检验：把解代入最简公分母，不为0才是原方程的解，否则是增根要舍去 16． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解： ， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 故选：A． 17． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：A 18． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得，解得． 检验：当时，，即是原分式方程的解． 19． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解： ①方程两边同时乘最简公分母得： ②， ③解得； ④检验：当时，， 故原分式方程的解为． 其中最开始出现错误的一步为②． 故选：B 20． 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和解分式方程等知识点，根据增根的定义可得出，然后去分母得出：，把代入得，即可得出m的值，熟练掌握增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解决此题的关键． 【详解】∵分式方程有增根， ∴， 原方程去分母可得：， 把代入可得：， 解得：． 故选：A． 21． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键． 先去分母，然后把分母为0的值代入整式方程，可求的值，则有增根，整式方程不成立，则没有增根． 【详解】解：， 方程两边都乘以去分母得： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得， ∴当时有增根， 当时，不成立， ∴分式方程只有一个增根， 故选择：． 22． 【答案】A 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分类讨论思想是解题的关键； 根据的符号分类讨论的值，列出方程，然后解方程即可，注意分母不为零的条件且． 【详解】解：∵且， 当时，， ∴ ， 两边乘以，得， 解得， 检验且，符合题意； 当时，， ∴， 两边乘以，得， 解得， 但与矛盾，故无解； 综上可知，方程的解为， 故选：A． 23． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，将1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程的解为， 代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：． 24． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后解方程并检验，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 25． 【答案】0 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 26． 【答案】原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，先对原方程进行化简整理，再解分式方程，最后要验根． 【详解】 化简得 则， 解得． 检验：当时，故是增根， ∴原方程无解， 故答案为：原方程无解． 27． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【详解】解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 28． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题的关键；根据分式的加减法，可得，再根据换元法求解即可； 【详解】解：原方程化为：， 设， 则原方程化为：， 方程两边同时乘以y得：，解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解． 29． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】题目主要考查解分式方程，熟练掌握求解方法是解题关键，注意进行检验． （1）根据解分式方程的方法步骤求解即可； （2）根据解分式方程的方法步骤求解即可； （3）根据解分式方程的方法步骤求解即可． 【详解】（1）解： 分式两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为：； （2）， 分式两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为：； （3） ∴， ∴， 分式两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为：． 30． 【答案】(1) (2)或 (3)当，，且时， ，当时，． 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求使分式值为整数时未知数的整数值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的值，分式的值的大小比较，掌握运算法则是解本题的关键； （1）把代入再解方程即可； （2）把化为，再根据为整数，为整数，再建立方程求解即可； （3）先计算，可得，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴， 解得：， 经检验符合题意； （2）∵，而为整数，为整数， ∴或， 解得：，， （3） ， 当，即， ∴，则， 当，即， ∴且时，，即， 当时，，即． 【考点3】分式方程的增根、无解与参数问题（第31-44题） · 增根定位：令最简公分母为0，所得未知数的值就是可能的增根 · 由增根求参数：把增根代入去分母后的整式方程，解出参数 · 无解讨论：整式方程无解，或整式方程的解恰好是增根，两种情况都要考虑 · 解的范围问题：先用参数表示根，再列不等式，并剔除使分母为0的值 31． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 方程的解为正数， ，即， 解得， 又 ， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 32． 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 原方程去分母得，整理得，然后根据题意分类讨论即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得：， 当，即时， 无解，则原分式方程无解，符合题意， 当时， 若原方程无解，那么它有增根， 把代入整式方程， 得：， 解得：， 综上，或， 故选：D． 33． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可．本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式会产生增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：． 34． 【答案】且． 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得：， 且， 且， 的取值范围是且． 故答案为：且． 35． 【答案】， 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 36． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 37． 【答案】或3 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程无解，先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当的系数为0时，方程无解，求出的值；当的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出的值即可． 【详解】解： 去分母后，， 整理得，， 当时，方程无解，此时； 当时，，此时； 综上，或； 故答案为：或3． 38． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，掌握求解的方法是关键； 分式方程先去分母化为整式方程，得到方程的解为，再根据题意可得且，进而可得关于m的不等式，进一步求解即可得． 【详解】解：分式方程去分母，得， 解得， ∵方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且； 故答案为：且． 39． 【答案】或1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解，可得的值．掌握分式方程增根的概念是解决此题的关键． 【详解】解：分式方程去分母，得， 整理得：①， 有两种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得：； 第二种情况：①， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，的值是或1． 故答案为：或1． 40． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 41． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分式方程是做题的关键．首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，可得， 解第二个不等式，可得， 又不等式组的解集为， ，即； 解分式方程： 可化为 ， 两边乘（）得，，即； 因为要求为正整数且， 所以且，即且， 同时为偶数，故为奇数， 结合，可得满足条件的整数为、、、， 故和为． 故答案为：． 42． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 43． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查一元一次不等式组及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法是解题的关键． 根据题意解不等式组的解集，然后根据不等式组至少有个整数解，得出的取值范围，解分式方程，得，再根据，，得出的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组， 解得：， 关于的不等式组至少有三个整数解， ∴取， ， ． 解分式方程， 解得：， 关于的分式方程有可能产生增根， ， ， 关于的分式方程有整数解， 为整数， 又∵，， 或， 所有满足条件的整数的值的和为． 44． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 【考点4】分式方程的实际应用（第45-60题） · 审清题意，找准等量关系：工程、行程、经济问题分别对应工作量、路程、总价相等 · 设未知数并列方程，单位要统一，注意「提前」「增加」等关键词的转化 · 求出解后双重检验：既是原分式方程的解，又符合实际意义（如天数、单价为正） 45． 【答案】B 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案． 【详解】解：设改造后每天生产的机器台数为，则改造前每天生产台，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， ∴改造后每天生产的机器台数为150. 故选：B． 46． 【答案】C 【知识点】分式方程和差倍分问题、列分式方程 【分析】根据数量总价单价，分别表示出降价后和按原价购买布的数量，再根据题目给出的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：设每匹布原价为钱，则降价后每匹布的价格为钱， 降价后用48钱买到布的数量为，原价用48钱买到布的数量为． 降价后买到布的数量是原价购买数量的倍， 可列方程为． 47． 【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键． 设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可． 【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的， ∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为， ∵工程全部完成，总工程量为1， ∴可得方程 ， 移项整理得 ，与选项A一致． 故选：A． 48． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找出等量关系，即年和年种植花生的土地面积相同． 明确年每亩产量为ⅹ斤，则年每亩产量为斤；根据“土地面积=总产量÷每亩产量”，分别表示出两年的种植面积；由于土地面积相同，列出等式． 【详解】解：已知设年每亩地花生的产量为x斤， 因为年每亩地的产量比年多斤，所以年每亩地花生的产量为斤． 根据“土地面积总产量每亩产量”，可得年的种植面积为亩，年的种植面积为亩． 又因为两年利用的是同样的土地，即种植面积相等，所以可列出方程：． 故选：A． 49． 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设该饮料每瓶是元，则， 设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故甲、乙、丙正确，丁错误， 故选：A． 50． 【答案】乙先到达 【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是准确找到数量关系，建立方程．根据题意设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，列出方程解得乙从体验区到的速度和到的速度，进而比较两人行走时间，比较即可得到结果． 【详解】解：设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，米，米， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同， 甲从体验区前往出口的速度是米/分钟， 甲从体验区前往出口的时间为分，乙从体验区前往出口的时间为分， ， 乙先到达出口． 故答案为：乙先到达． 51． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 52． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出小明平均每分钟打字为个，再根据小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：小明平均每分钟打字为个， 则可列方程是， 故答案为：． 53． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键． 设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，根据时间、路程、速度结合时间相同，列出方程即可解答． 【详解】解：设走路快的人走x步就能追上走路慢的人， 根据题意，得． 故答案为：． 54． 【答案】明骑自行车的速度是15千米/小时 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时，根据题意列方程即可得到解答． 【详解】解：设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列方程的解． 答：小明骑自行车的速度是15千米/小时． 55． 【答案】60件 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解． 设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 56． 【答案】王老师步行速度为，骑自行车的速度为 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 王老师接小明上学后走的总路程为，平时步行去学校的路程为，根据时间路程速度，以及关键语“比平时步行上班多用了”可得出的等量关系是：接小明上学后走的路程骑车的速度平时上班的路程步行的速度，据此列方程求解即可． 【详解】解：设王老师步行速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，可得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 则， 答：王老师步行速度为，骑自行车的速度为． 57． 【答案】 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键． 设战士人数为，根据两次分苹果的差异列出方程求解． 【详解】设哨所共有名战士， 第一次分苹果，每人分得个， 第二次分苹果，每人分得个， 由于第二次每人比第一次多分个， ， 解得：， 检验可得：是方程的解； 这个哨所共有名战士． 58． 【答案】0.5万平方米 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 实际每天绿化的面积为， 答：实际每天绿化的面积为0.5万平方米． 59． 【答案】(1)一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； (2)共有三种方案， 方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个； 方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个； 方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 【知识点】分式方程的工程问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 60． 【答案】(1)购进一个钥匙挂件的价格为25元，一套伴手礼的价格为60元 (2)该市民最多可购进8套伴手礼 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设钥匙挂件的价格为元，则购进一套伴手礼的价格为元，根据题干给出的数量等量关系列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设该市民购进套伴手礼，则购进钥匙挂件的数量为个，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，求解后取符合题意的最大整数即可. 【详解】（1）解：设购进一个钥匙挂件的价格为元，则购进一套伴手礼的价格为元， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：购进一个钥匙挂件的价格为25元，购进一套伴手礼的价格为60元； （2）解：设该市民购进套伴手礼，则购进钥匙挂件的数量为个， 根据题意得：， 解得：， 而，即， 取最大正整数，得， 答：该市民最多可购进8套伴手礼． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 先把公式记牢：a0=1、a-p=，运算前先看底数是否为0 · 幂的混合运算按「先乘方、再乘除」的顺序，最后结果统一化为正指数幂 · 科学记数法先定a再数零，做完把结果还原回去验一遍 · 解分式方程「去分母—解整式—检验」三步缺一不可，检验这一步最容易被漏掉 · 增根、无解、参数问题先想清楚最简公分母，再分类讨论，避免漏解 【作业1】 【答案】B 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的定义，一个数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，根据负整数指数幂的运算法则直接计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【作业2】 【答案】B 【知识点】分式方程的工程问题、列分式方程 【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 【作业3】 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示较小的数时，形式为，其中，为原数中第一个非零数字前所有零的个数即可． 【详解】解：原数的第一个非零数字是，其前面有个零， ∴ ，且满足， ∴ ． 故选：B． 【作业4】 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为，其中的取值范围为，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 【作业5】 【答案】C 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹，根据分拣3200件比人工分拣1600件少用的时间差关系列方程求解． 【详解】解：设人工每小时分拣x件包裹，则每小时分拣件包裹， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 因此，人工每小时分拣400件包裹． 故选：C． 【作业6】 【答案】A 【知识点】分式方程的经济问题、列分式方程 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意列出方程，关键找准等量关系．设去年水价为 ，今年水价上涨，即今年价格为．根据用水量差为5立方米列方程． 【详解】解：设去年水价为 ，今年水价上涨，即今年价格为． 根据题意，知去年12月用水量为，今年5月用水量为． 因为小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，所以可列方程为 ． 故选：A． 【作业7】 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的定义，科学记数法：把一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法． （1）时，n是几，小数点就向右移几位． （2）时，n是几，小数点就向左移几位． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【作业8】 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂和有理数的乘方．先计算负整数指数幂和有理数的乘方，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业9】 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 【作业10】 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将数据0.000001125用科学记数法可表示为． 故答案为：． 【作业11】 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．正确地确定的值即可解题. 【详解】解： ， 故答案为：． 【作业12】 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．原来计划每天施工米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划少用3天，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际每天施工米，原来计划每天施工米， 依题意得：． 故答案为：． 【作业13】 【答案】22 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题关键． 设乙班每小时种x棵树，根据甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等列出方程即可． 【详解】解：设乙班每小时种x棵树，甲班每小时种棵树， 则可列方程为， 解得， 经检验符合题意， 故答案为：22． 【作业14】 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．设6210文购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210文购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故答案为：． 【作业15】 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、计算单项式乘单项式、零指数幂、计算单项式除以单项式 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，幂的运算： （1）先去绝对值，进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行乘法和加减运算即可； （2）先进行积的乘方运算，再进行单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业16】 【答案】(1)型玩具单价为9元/个，型玩具单价为6元/个 (2)最多可购进A型玩具66个 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设型玩具每个元，则型玩具每个元，根据用720元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多30个，列出方程，解方程即可； （2）设购进个型玩具，则购进型玩具个，根据支付费用不超过1100元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设型玩具每个元，则型玩具每个元． 依题意，可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴型玩具单价：（元/个）， 答：型玩具单价为9元/个，型玩具单价为6元/个． （2）解：设购进个型玩具，则购进型玩具个， 依题意，可列不等式：， 解得：， 可得，不等式的最大整数解为66． 答：最多可购进66个型玩具． 【作业17】 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、积的乘方运算、零指数幂、同底数幂相乘 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，积的乘方，正确计算是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算即可； （2）根据零指数幂，负整数指数幂进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【作业18】 【答案】(1)购进A、B两种型号相纸单价分别是45、58元 (2)30盒 【知识点】分式方程和差倍分问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设型号相纸的单价是元，则型号相纸的单价是元，利用数量总价单价，结合花费180元购进型号相纸和花费232元购进型号相纸盒数相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即型号相纸的单价），再将其代入中，即可求出型号相纸的单价； （2）设购进型号相纸盒，则购进型号相纸盒，利用总利润每盒型号相纸可获得的利润购进型号相纸的数量每盒型号相纸可获得的利润购进型号相纸的数量，结合总利润不低于1890元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号相纸的单价是元，则型号相纸的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：型号相纸的单价是45元，型号相纸的单价是58元； （2）解：设购进型号相纸盒，则购进型号相纸盒， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为30． 答：最多购进型号相纸30盒． 【作业19】 【答案】(1)3000元；5000元 (2)6个；4个 【知识点】分式方程的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设2024年单枪充电桩的单价为x元,根据双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，列出分式方程，解方程即可。 【详解】（1）解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元 由题意知： 解得： ∴ 答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元． （2）解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个． 由题意知： 解得： 经检验：是分式方程的解，且符合题意 ∴ 答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个． 【作业20】 【答案】(1)1； (2)； (3)存在，时，题中等式成立． 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由（1）可知，则 ； （3）解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $