第14讲·分式及其性质·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14讲·分式及其性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解分式的概念，会判断一个式子是否为分式 · 掌握分式有意义、无意义及值为零的条件 · 掌握分式的基本性质，能正确进行分式变形 · 会进行分式的约分，能把分式化为最简分式 · 会确定最简公分母并进行分式通分 🍗 知识梳理 ✅️ 1.分式的概念与有意义的条件 分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么叫做分式 分式有意义的条件：分母不等于0 分式无意义的条件：分母等于0 分式值为零的条件：分子为0且分母不为0 概念辨析例题：使分式的值等于0的条件是（　　）A．x+3y=0且2x-1=0　B．2x=1且x≠3y　C．x=2且x≠-3y　D．x=且y≠- 答案：D 解析：分式的值为零需要分子为零且分母不为零。令2x-1=0得x=；当x=时，x+3y=+3y，若y≠-则分母不为0，故选D。 ✅️ 2.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 用式子表示：=，=（C≠0） 应用：不改变分式的值，把分子、分母各项系数化为整数，把最高次项系数化为正数 注意：同乘或同除的整式必须不等于0 概念辨析例题：把分式的分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（　　）A．5　B．10　C．a　D．2a 答案：D 解析：分子5加10后变为15，是原来的3倍。要使分式的值不变，分母也需扩大3倍，即分母变为3a，所以应加上3a-a=2a，故选D。 ✅️ 3.约分与最简分式 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 约分步骤：先将分子、分母因式分解，再约去公因式 注意：约分的结果应为最简分式，分子分母的系数与符号要正确处理 概念辨析例题：化简的结果是（　　）A．-　B．-　C．-　D．- 答案：A 解析：分子分母的公因式为6xy4，约去公因式得，故选A。约分时先找公因式再约去，系数6与24约去公因数6。 ✅️ 4.通分与最简公分母 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式 最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积 通分步骤：先将各分母因式分解，再确定最简公分母，最后用公分母除以各分母确定每个分式应乘的因式 注意：分母是多项式时先因式分解，再确定公分母 概念辨析例题：分式、、的最简公分母是（　　）A．(m+n)(m2-n2)　B．m2-n2　C．(m+n)2(m-n)　D．m2-n2 答案：D 解析：m2-n2=(m+n)(m-n)，三个分母的因式为(m+n)、(m-n)、(m+n)(m-n)，取各因式的最高次幂相乘得(m+n)(m-n)=m2-n2，故选D。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 分式 A/B（B中含有字母的整式） 分母不能为0 分式有意义的条件 分母≠0 值为零需分子=0且分母≠0 分式的基本性质 分子分母同乘除非零整式，值不变 乘除的整式不能为0 约分与最简分式 约去分子分母的公因式 结果化为最简分式 通分与最简公分母 异分母分式化为同分母分式 公分母取各因式最高次幂 📩 核心考点 【考点1】分式的概念与有意义的条件（第1-16题） · 判断分式看分母是否含有字母，分母含字母即为分式 · 分式有意义的条件：分母≠0 · 分式值为零的条件：分子=0且分母≠0，注意与无意义区分 · 结合方程与不等式求字母取值时，先列条件再解 1．（2022·四川眉山·模拟预测）使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 2．（22-23八年级上·河北邢台·阶段检测）若是分式，则□可能是（   ） A．3 B．y C． D． 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】此题主要考查了分式，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式定义进行解答即可． 【详解】解：根据分式定义得□可能是y． 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【答案】A 【知识点】分式的求值、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级上·山东东营·期中）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】①根据，得到有意义; ②当时, ，无意义；③若的值为负，则，； ④若有意义，则有意义，三个分母不等于0，,且，． 本题主要考查了分式有意义的条件和分式为0的条件．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0；分式为0的条件：分子为0，分母不为0．是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， ∴不论a为何值都有意义， 故此结论正确； ②当时，，此时分式无意义， 故此结论不正确； ③若的值为负， ∵， ∴， ∴， 故此结论正确； ④∵有意义， ∴有意义， ∴， 解得，且， 故此结论不正确． 综上所述，其中正确的个数是2． 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为0的条件等知识，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 分式的分母中一定含有字母，分子中不一定含有字母，如是分式，但分子中不含有字母，故原选项错误，不合题意； B. ∵，∴，∴对于任意有理数x，分式总有意义，故原选项正确，符合题意； C. 分数的分母不含有字母，一定不是分式，故原选项错误，不合题意； D. 当时，分式的值为0（A，B为整式）,故原选项错误，不合题意． 故选：B 6．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的判断、最简分式 【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为___________时，分式没有意义． 【答案】3 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键．根据分式无意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， 解得：． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零，因此求解分母不等于零的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）若分式的值为，则的值为___________． 【答案】2 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分母不为零且分子为零的条件求解即可． 【详解】解：且分母 故答案为：． 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则______． 【答案】2 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式无意义的条件，分式的值为0时分子为0且分母不为0，分式无意义时分母为0，据此求出的值即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：2． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，则m___11． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，分式有意义的条件等知识点，解题的关键是掌握去绝对值的法则． 通过讨论的正负情况，分析等式成立的条件． 【详解】解：由，且分母， 当时，，则，等式成立； 当 时，，则，等式不成立； 因此，等式成立时，必有，即大于0， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·全国·周测）当_____时，分式有意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，因式分解，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需解分母不等于零的方程． 【详解】解：分式有意义的条件是分母 ，因式分解得 ， 所以 且 ，即 且 ， 故当 且 时，分式有意义． 故答案为：． 13．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 14．（23-24七年级上·上海·期末）已知x、y是实数，，则______． 【答案】/ 【知识点】求一个数的算术平方根、分式有意义的条件 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件、分式有意义的条件、代数式求值，先根据算术平方根的性质及分式有意义的条件求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即且， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)x为一切实数 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件，即分母不为0求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ 解得； （2）∵ ∴ 解得； （3）∵ ∵ ∴ ∴x为一切实数． 16．（25-26八年级下·全国·单元复习）下列各式中，哪些是分式？ ． 【答案】 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的定义进行判断，一般地，如果、（不等于0）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，据此逐一分析各式即可． 【详解】解：对给出的各式逐一判断： 中，分子分母都是整式，分母含字母，是分式； 分母为常数，是整式，不是分式； 中，分子分母都是整式，分母含字母，是分式； 是常数，属于整式，不是分式； 分母为常数，是整式，不是分式； ，分母含字母，属于分式，是分式； 分母为常数，是整式，不是分式； 因此分式为 ． 【考点2】分式的基本性质与变形（第17-31题） · 分子分母同乘或同除同一个非零整式，分式的值不变 · 判断分式变形是否正确：逐一检验分子分母是否同乘除同一非零整式 · 不改变分式的值，将分子分母各项系数化为整数、把最高次项系数化为正数 · 求使分式值为整数的字母取值：令分母能整除分子，转化为整除问题 17．（24-25七年级下·浙江台州·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变，原分式分子加10后变为原来的3倍，因此分母也需扩大3倍，从而确定需要加上的量． 【详解】解：原分式为，分子加10后变为，即分子变为原来的3倍，根据分式的基本性质，分母也需变为原来的3倍，即，原分母为，因此需要加上． 故选：D． 18． 19．（24-25八年级下·四川乐山·期末）若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，通过代入和化简来判断分式值的变化是解题的关键．根据、的值扩大倍得到新的、值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化情况． 【详解】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得： ∵分子分母可提取公因式， ∴ 新分式与原分式相同，所以分式的值不变． 故选：B． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期末）下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子分母同乘以一个非零数，分式的值不变是解题关键．根据分式的性质将各选项变形比较即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 21．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下列分式中，与分式结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 22．（21-22八年级下·山东青岛·阶段检测）如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【详解】解：把和都扩大为原来的倍后，分式变为， 即分式的值扩大为原来的倍． 23．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分、判断分式变形是否正确 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 24．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 25．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】图甲中阴影部分是一个长为，宽为的长方形，图乙中阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去正方形A和正方形B的面积，据此分别表示出与，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴. 26．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数符号的判断及其利用分式的基本性质判断分式值的大小； 由且 ，可得，，故，比较各选项与的大小即可． 【详解】解：∵且 ， ∴，， 故， A、∵，， ∴， ∴比小，故此选项不符合题意； B、∵且， ∴， ∴一定比大，故此选项符合题意； C、∵，故此选项不符合题意； D、∵，但可能大于或小于，故与大小不确定， ∴不一定比大； 故选：B． 27．（25-26八年级上·河北·单元复习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的三个符号（分子，分母，分式本身）任意改变其中两个不改变分式的值进行变形即可. 【详解】解：①； ②； ③； ④． 故答案为： ，，， 28．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入：__________，变形的依据是 _____． 【答案】 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变；掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 变形的依据是：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变． 故答案为：；分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的数，分式的值不变． 29．（25-26八年级上·北京通州·阶段检测）下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 30．（26-27九年级·全国·暑假作业）填空：，括号里应该填_______． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】∵分母 乘 得到 ， ∴分子 也要同乘 ， ∴． 故答案为：． 31．（2026·浙江温州·三模）某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】先分别求出甲店和乙店的手机支付笔数，再计算两店总的手机支付笔数与总交易笔数，最后根据比例的定义，用总手机支付笔数除以总交易笔数得到结果． 【详解】解：根据题意，甲店手机支付笔数为 ， 乙店手机支付笔数为 ， 两店总手机支付笔数为 ， 两店总交易笔数为 ， 因此手机支付笔数所占比例为． 【考点3】约分与最简分式（第32-38题） · 约分前先将分子、分母因式分解，再约去公因式 · 约分结果必须是整式或最简分式 · 注意负号与系数的处理，公因式要提尽 · 分式化简后可用于求值与比较大小 32．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 33．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）“若a为自然数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是1 B．有最大值是2 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【知识点】约分、分式有意义的条件、分式最值 【分析】先对分式因式分解约分，根据分式有意义的条件确定自然数的取值范围，再分析分式的取值，判断最值. 【详解】解：∵ 分式有意义要求分母不为0， ∴ ，得 ， ∵ 为自然数，∴ ， 的可取值为 ， ∵， 当时，， 当为大于等于2的自然数时，，，且越大，越小， 因此分式的值的最大值为，无最小值，只有B选项结论正确. 34．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分、整式的加减运算、完全平方公式分解因式 【详解】解：原式． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）若成立，则________． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则分析求解即可． 【详解】解：由题意得 ∵ ∴ 故答案为：． 36．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是______． 【答案】 【知识点】公因式、约分、最简分式 【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确找到分式分子分母公因式是解决问题的关键． 【详解】解：要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·北京通州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 38．（23-24八年级下·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)8 【知识点】约分、分式的求值 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的约分是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，约分即可； （2）设，用k表示出a，b，c，代入约分即可 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，即． ∴． （2）设．则，，， ∴． 【考点4】通分与最简公分母（第39-52题） · 分母是多项式时先因式分解，再确定最简公分母 · 最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积 · 通分后各分式的分子按同分母分式加法规则变形 · 结合代数式求值与值正负、值为整数的条件综合求解 39．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 40．（26-27八年级上·北京·单元测试）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查分式的最简公分母，因式分解，掌握分式的最简公分母的定义，因式分解方法是解题关键． 先将分式分母因式分解，然后根据最简公分母的确定方法解答即可． 【详解】解：先将分式分母因式分解， ∴分式的最简公分母是． 故选：D． 41．（25-26八年级上·山东青岛·期末）分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键． 【详解】解：分式中，分母为， 分式，分母为， 分式，分母为， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 42．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 【答案】6或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解． 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或， 解得：或， 故答案：6或． 43．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 44．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 45．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】或 【知识点】求不等式组的解集、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 46．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）若，其中a，b，c是不为零的自然数，则( )． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求式子的值，将原等式化为，，即可求解． 【详解】解： ， ， a，b，c是不为零的自然数， ， ， 整理得：， ∴，即， ， ，， ， 故答案为：． 47．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 48．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 【答案】，，0，1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 49．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 51．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为_______． 【答案】0或/或0 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或， 然后分别求解，即可确定的整数值． 【详解】解：若分式的值为整数， 则或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若取整数， 则的整数值为0或． 故答案为：0或． 52．（26-27八年级上·全国·课后作业）若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】先由原方程组解得，，再根据方程组的解为整数求出a的值即可． 【详解】解：由原方程组解得，． ∵关于x，y的方程组的解为整数， ∴为整数， ∴是偶数， ∵y为整数， ∴的值为或， 的值可以取，1，，3， a的值为，0，，2， 所有整数a的和为． 课后巩固 🍬 复习建议 · 判断分式看分母是否含有字母，分母不能为0 · 分式有意义分母≠0，值为零需分子=0且分母≠0 · 分式基本性质：分子分母同乘除非零整式，值不变 · 约分先因式分解再约公因式，结果化为最简分式 · 通分先分解分母，最简公分母取各因式最高次幂 【作业 1】（25-26八年级上·全国·单元测试）约分 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质化简即可； （2）先对分子分母因式分解，再约分． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【作业 2】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【答案】(1)（或） (2) 证明： （或）， ∴（1）中猜想是正确的． 【知识点】立方和与立方差公式分解因式、约分、猜想与证明 【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键． （1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式； （2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性． 【详解】（1）解∶依题意得 （或） 故答案为：（或） （2）略 【作业 3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 【答案】整式有，；分式有，，，． 【知识点】整式的判断、分式的判断 【分析】本题主要考查了整式与分式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称；如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整式有，； 分式有，，，． 【作业 4】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （1）分式的分子与分母中各项的系数是小数，分子、分母同乘10； （2）分式的分子与分母中各项系数是分数，分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数30． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【作业 5】（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【知识点】最简公分母、通分 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 【作业 6】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知（，是常数，）．① (1)若，，求； (2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； (3)若的取值与无关，试求与的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】约分、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了约分，等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）把，代入中并约分即可得到答案； （2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可； （3）由的取值与无关，可得，进而得到，即，得出结论． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解；将两边都乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 即， ，； （3）解：的取值与无关， ，即， ，即， 【作业 7】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 【作业 8】（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1)x为任意实数 (2)且 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据分母不为0可得x的取值范围； （2）根据分母不为0可得x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴x为任意实数． （2）解：， 解得且． 【作业 9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【答案】5 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式无意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母为是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算求出、的值，然后代入求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， 解得 ． 【作业 10】（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2) 选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、最简分式 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）略 【作业 11】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （4）分子展开合并，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）用适当的代数式表示下列问题的结果： (1)的面积为S，边的长为c，则边上的高是多少？ (2)水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为，箱子的质量为，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？ (3)有两块棉田，第一块，产棉花；第二块，产棉花．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少千克？ (4)一件商品的售价是x元，利润率为，则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】(1) (2) 元/千克 (3) 千克/公顷 (4) 元 【知识点】列代数式、按要求构造分式 【分析】（1）运用三角形面积公式进行求解即可． （2）运用销售问题的数量关系进行求解即可． （3）运用平均产量的计算方法进行求解即可． （4）运用利润率的计算公式，对已知量变形整理即可得到结果． 【详解】（1）解：设边上的高为， 根据三角形面积公式，已知，代入得，整理得． （2）解：由题意得，橘子的净质量为． 为不亏本，总售价不低于成本元， 因此每千克零售价至少为元． （3）解：由题意得，两块棉田总产棉花，总面积为， 因此平均每公顷棉产量为千克/公顷． （4）解：设这种商品每件成本为元.． 根据利润率的定义可得， 整理得，， 解得，即每件成本为元． 【作业 13】（25-26八年级上·北京·课后作业）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业 14】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【作业 15】（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】约分 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 【作业 16】（26-27八年级上·全国·课后作业）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式值为零的条件、将分式的分子分母的最高次项化为正数、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 【作业 17】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分、提公因式法分解因式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【作业 18】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲·分式及其性质·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解分式的概念，会判断一个式子是否为分式 · 掌握分式有意义、无意义及值为零的条件 · 掌握分式的基本性质，能正确进行分式变形 · 会进行分式的约分，能把分式化为最简分式 · 会确定最简公分母并进行分式通分 🍗 知识梳理 ✅️ 1.分式的概念与有意义的条件 分式：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么叫做分式 分式有意义的条件：分母不等于0 分式无意义的条件：分母等于0 分式值为零的条件：分子为0且分母不为0 概念辨析例题：使分式的值等于0的条件是（　　）A．x+3y=0且2x-1=0　B．2x=1且x≠3y　C．x=2且x≠-3y　D．x=且y≠- 答案：D 解析：分式的值为零需要分子为零且分母不为零。令2x-1=0得x=；当x=时，x+3y=+3y，若y≠-则分母不为0，故选D。 ✅️ 2.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变 用式子表示：=，=（C≠0） 应用：不改变分式的值，把分子、分母各项系数化为整数，把最高次项系数化为正数 注意：同乘或同除的整式必须不等于0 概念辨析例题：把分式的分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（　　）A．5　B．10　C．a　D．2a 答案：D 解析：分子5加10后变为15，是原来的3倍。要使分式的值不变，分母也需扩大3倍，即分母变为3a，所以应加上3a-a=2a，故选D。 ✅️ 3.约分与最简分式 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 约分步骤：先将分子、分母因式分解，再约去公因式 注意：约分的结果应为最简分式，分子分母的系数与符号要正确处理 概念辨析例题：化简的结果是（　　）A．-　B．-　C．-　D．- 答案：A 解析：分子分母的公因式为6xy4，约去公因式得，故选A。约分时先找公因式再约去，系数6与24约去公因数6。 ✅️ 4.通分与最简公分母 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式 最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积 通分步骤：先将各分母因式分解，再确定最简公分母，最后用公分母除以各分母确定每个分式应乘的因式 注意：分母是多项式时先因式分解，再确定公分母 概念辨析例题：分式、、的最简公分母是（　　）A．(m+n)(m2-n2)　B．m2-n2　C．(m+n)2(m-n)　D．m2-n2 答案：D 解析：m2-n2=(m+n)(m-n)，三个分母的因式为(m+n)、(m-n)、(m+n)(m-n)，取各因式的最高次幂相乘得(m+n)(m-n)=m2-n2，故选D。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/性质 注意事项 分式 A/B（B中含有字母的整式） 分母不能为0 分式有意义的条件 分母≠0 值为零需分子=0且分母≠0 分式的基本性质 分子分母同乘除非零整式，值不变 乘除的整式不能为0 约分与最简分式 约去分子分母的公因式 结果化为最简分式 通分与最简公分母 异分母分式化为同分母分式 公分母取各因式最高次幂 📩 核心考点 【考点1】分式的概念与有意义的条件（第1-16题） · 判断分式看分母是否含有字母，分母含字母即为分式 · 分式有意义的条件：分母≠0 · 分式值为零的条件：分子=0且分母≠0，注意与无意义区分 · 结合方程与不等式求字母取值时，先列条件再解 1．（2022·四川眉山·模拟预测）使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（22-23八年级上·河北邢台·阶段检测）若是分式，则□可能是（   ） A．3 B．y C． D． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 4．（23-24八年级上·山东东营·期中）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时, 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列判断中，正确的是（    ） A．分式的分子中一定含有字母 B．对于任意有理数x，分式总有意义 C．分数一定是分式 D．当时，分式的值为0（A，B为整式） 6．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为___________时，分式没有意义． 8．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）要使分式有意义，则的取值范围是______． 9．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段检测）若分式的值为，则的值为___________． 10．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式无意义，则______． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，则m___11． 12．（25-26八年级下·全国·周测）当_____时，分式有意义． 13．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 14．（23-24七年级上·上海·期末）已知x、y是实数，，则______． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 16．（25-26八年级下·全国·单元复习）下列各式中，哪些是分式？ ． 【考点2】分式的基本性质与变形（第17-31题） · 分子分母同乘或同除同一个非零整式，分式的值不变 · 判断分式变形是否正确：逐一检验分子分母是否同乘除同一非零整式 · 不改变分式的值，将分子分母各项系数化为整数、把最高次项系数化为正数 · 求使分式值为整数的字母取值：令分母能整除分子，转化为整除问题 17．（24-25七年级下·浙江台州·期末）把分式分子加10，要使分式的值不变，分母应该加上（   ） A．5 B．10 C． D． 18．（24-25八年级上·山东东营·期中）若分式的和均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原分式值的10倍 C．缩小到原分式值的 D．缩小到原分式值的 19．（24-25八年级下·四川乐山·期末）若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍 20．（24-25八年级下·山东青岛·期末）下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下列分式中，与分式结果相等的是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22八年级下·山东青岛·阶段检测）如果把分式中的和都扩大为原来的4倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．不变 D．缩小为原来的 23．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 26．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，则下列式子一定比大的是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级上·河北·单元复习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①___________；②___________； ③___________；④___________． 28．（23-24八年级上·北京石景山·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入：__________，变形的依据是 _____． 29．（25-26八年级上·北京通州·阶段检测）下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 30．（26-27九年级·全国·暑假作业）填空：，括号里应该填_______． 31．（2026·浙江温州·三模）某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占；乙店n笔交易中，手机支付笔数占．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是______． 【考点3】约分与最简分式（第32-38题） · 约分前先将分子、分母因式分解，再约去公因式 · 约分结果必须是整式或最简分式 · 注意负号与系数的处理，公因式要提尽 · 分式化简后可用于求值与比较大小 32．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 33．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）“若a为自然数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是1 B．有最大值是2 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 34．（26-27九年级上·天津河西·开学考试）化简的结果等于（     ） A．3 B． C． D． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）若成立，则________． 36．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）要将分式化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是______． 37．（23-24八年级上·北京通州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______． 38．（23-24八年级下·山西临汾·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【考点4】通分与最简公分母（第39-52题） · 分母是多项式时先因式分解，再确定最简公分母 · 最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积 · 通分后各分式的分子按同分母分式加法规则变形 · 结合代数式求值与值正负、值为整数的条件综合求解 39．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 40．（26-27八年级上·北京·单元测试）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·山东青岛·期末）分式，，的最简公分母是______． 42．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为______． 43．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 44．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 45．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 46．（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）若，其中a，b，c是不为零的自然数，则( )． 47．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 48．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 49．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 50．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为________． 51．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为_______． 52．（26-27八年级上·全国·课后作业）若关于x，y的方程组的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为_________． 课后巩固 🍬 复习建议 · 判断分式看分母是否含有字母，分母不能为0 · 分式有意义分母≠0，值为零需分子=0且分母≠0 · 分式基本性质：分子分母同乘除非零整式，值不变 · 约分先因式分解再约公因式，结果化为最简分式 · 通分先分解分母，最简公分母取各因式最高次幂 【作业 1】（25-26八年级上·全国·单元测试）约分 (1) (2) 【作业 2】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【作业 3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 【作业 4】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【作业 5】（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【作业 6】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知（，是常数，）．① (1)若，，求； (2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； (3)若的取值与无关，试求与的数量关系． 【作业 7】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 【作业 8】（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？ (1)； (2)． 【作业 9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，该分式无意义；当时，该分式的值为0．求分式的值． 【作业 10】（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【作业 11】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 【作业 12】（25-26八年级下·全国·课后作业）用适当的代数式表示下列问题的结果： (1)的面积为S，边的长为c，则边上的高是多少？ (2)水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为，箱子的质量为，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？ (3)有两块棉田，第一块，产棉花；第二块，产棉花．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少千克？ (4)一件商品的售价是x元，利润率为，则这种商品每件的成本是多少元？ 【作业 13】（25-26八年级上·北京·课后作业）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【作业 14】（24-25七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【作业 15】（25-26八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【作业 16】（26-27八年级上·全国·课后作业）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【作业 17】（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 18】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $