4.2.1等差数列的概念（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.1等差数列的概念 知识点01 判断等差数列 1． 【答案】BD 2． 【答案】C 3． 【答案】B 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 4． 【答案】 5． 【答案】B 6． 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 知识点03 验证是否为等差数列中的项 7． 【答案】B 8． 【答案】A 9． 【答案】(1)； (2)2026是数列中的项，第507项. 【分析】（1）利用已知及等差数列的通项公式列方程求基本量，进而求项； （2）由（1）得，再结合已知求基本量判断是否为数列中的项，即可得. 【详解】（1）因为在等差数列中，，解得，， 所以； （2）由（1）得，令，得， 所以2026是数列中的项，即2026为中的第507项. 知识点04 利用等差数列通项公式求数列中的项 10． 【答案】C 11． 【答案】A 12． 【答案】A 知识点05 求等差中项 13． 【答案】A 14． 【答案】B 15． 【答案】C 知识点06 等差中项的应用 16． 【答案】B 17． 【答案】B 18． 【答案】C 知识点07 利用等差数列的性质计算 19． 【答案】A 20． 【答案】 21． 【答案】 知识点08 等差数列的单调性 22． 【答案】递减数列 【分析】根据等差数列的性质判断即可. 【详解】因为公差，所以数列是递减数列． 23． 【答案】C 24． 【答案】AC 知识点09 求等差数列中的最大（小）项 25． 【答案】16 26． 【答案】ABD 27． 【答案】 知识点10 证明数列是等差数列 28． 【答案】数列中，由，得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的定义推理得证. 【详解】略 29． 【答案】(1) ∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 30． 【答案】(1)证明: （且）， ，（且）， 是公差为的等差数列． (2) 【分析】（1）根据题设可得，进而得到，，即可求证； （2）根据等差数列的通项公式求得，进而代值计算即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）知， ，． 知识点11 等差数列的应用 31． 【答案】C 32． 【答案】A 33． 【答案】C 1． 【答案】C 2． 【答案】C 3． 【答案】C 4． 【答案】A 5． 【答案】D 6． 【答案】B 7． 【答案】AD 8． 【答案】ACD 9． 【答案】ACD 10． 【答案】 72 6 11． 【答案】 12． 【答案】 13． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，，则，即， 因此数列是公差为的等差数列， 又，则， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以数列的前项和． 14． 【答案】(1)证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． (2) 【分析】（1）由题设可得，进而得到，由此即证是等差数列； （2）由（1）可得，代入得到，解方程即可求得的通项公式． 【详解】（1）略 （2）由题设可得，故， 所以，解得． 15． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）将递推式变形，构造等比数列，利用等比数列的通项公式求解． （2）由第（1）问及已知条件求出的通项公式，化简，再将严格递减条件转化为对所有正整数恒成立，求参数范围． 【详解】（1）由，得，又，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． 因此，故． （2）由第（1）问得，由得． 设等差数列的公差为，则，所以． 因为，所以． 数列为严格减数列的充要条件是对任意，均有，即． 因为，所以，且当时取到最小值，故上述不等式对所有正整数恒成立的充要条件为． 1． 【答案】D 2． 【答案】 3． 【答案】ACD 4． 【答案】(1)①是；②不是；③是； (2) (3)3和5 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）分别假设数列四项均不同，有三项相同，以及有两项相同和全部相同，分别用定义判断即可； （3）（3）对各项作仿射变换，把最小项、最大项化为 ，．由端点对先得到 ；再证明右半区间内若有额外项只能是 ，由对称性左半区间内只能是 ，从而确定项数． 【详解】（1）根据定义验证， ①数列1，2，3中任意两项都存在剩余的第三项，三者可排列为等差数列，符合定义； ②数列1，2，3，4中取两项1和4，剩余项只有2，3，不存在第三项使得1，4和2或3的某种排列为等差数列，不符合定义； ③数列0，2，3，4，6中任意两项都能找到剩余第三项满足三者可排列为等差数列，符合定义. （2）记该数列为，该数列共4项，先假设四项各不相同，将四项从小到大排序为， 取最小项0，和最大项M，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，故，即， 此时数列中包括，设数列的第四项为t， 取数列中两项，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，或者成等差， 即或者，其中或者， 由此可知存在三种情况，而我们假设是四项各不相同，且为数列中最大项， 无论哪种情况均和假设不符，故该数列存在相同项； 当数列存在三项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在或者，使得这三项成等差，故该假设错误； 当数列存在两项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在另一项为0，使得这三项成等差，故该假设错误； 综上，若使0，，，为“分差数列”，只能是 ， 故. （3）设该数列共有 项，且各项互不相同． 按定义必须有 ． 设最小项为 ，最大项为 ，作仿射变换． 变换后仍为“分差数列”，且最小项为0，最大项为1． 取0与1两项，第三项不可能落在区间 外，因此只能是二者的中点 ． 所以数列中必有． 若没有其他项，则 ，并且 ，， 确为“分差数列”，故 可行． 下面设还有其他项． 先研究区间 ． 若其中有一项 ，取0与 两项． 由于所有项都在 内，能与0， 组成等差数列的第三项只能是 ，所以 也在数列中． 再取 与1两项，同理第三项只能是，所以它也在数列中． 令，则所有 都是数列中的项，并且． 若 ，则 两两不同，与数列有限矛盾． 因此区间 内若有项，只能是． 对数列作变换 ，仍保持“分差数列”性质，因此区间 内若有项，只能是． 若 出现，取0与 两项，第三项只能是 ； 反之，若 出现，取 与1两项，第三项只能是 ． 因此额外项要么都不出现，要么 与 同时出现． 所以项数只能为3或5． 当 时，数列 是第（1）问中 经仿射变换得到的“分差数列”，故 也可行． 因此该数列项数的所有可能值为 和 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.1等差数列的概念 目录 知识点01 判断等差数列 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 知识点03 验证是否为等差数列中的项 知识点04 利用等差数列通项公式求数列中的项 知识点05 求等差中项 知识点06 等差中项的应用 知识点07 利用等差数列的性质计算 知识点08 等差数列的单调性 知识点09 求等差数列中的最大（小）项 知识点10 证明数列是等差数列 知识点11 等差数列的应用 知识点01 判断等差数列 1．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（      ） A．1，，1，，1 B．1，1，1，1，1 C．1，2，3，4，5 D．5，5，5，5，5 【答案】BD 【详解】对于A选项，这个数列不是等差数列，是等比数列，公比为； 对于B选项，这个数列是等差数列，公差为0，也是等比数列，公比为； 对于C选项，这个数列是等差数列，公差为1，不是等比数列； 对于D选项，这个数列是等差数列，公差为0，也是等比数列，公比为； 2．（26-27高二上·全国·课后作业）若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以数列，，是等差数列. 3．（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件； 若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如数列，通项公式为，满足，不是等差数列； 所以“为等差数列”是“，（m为常数）”的充分不必要条件. 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知在等差数列中，首项，公差，则通项公式________． 【答案】 【分析】直接代入等差数列的通项公式即得. 【详解】由等差数列的通项公式，可得． 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 6．（25-26高二下·北京·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）将条件转化为关于和的等式组，联立后结合等差数列通项公式即可求解； （2）将问题化为关于和的式子，并结合（1）中求得的值即可求解. 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 知识点03 验证是否为等差数列中的项 7．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出等差数列的通项公式，再计算求出项数. 【详解】由等差数列前几项可得，该等差数列首项为，公差为， 则该等差数列通项公式， 令，则，则是这个数列的第项. 8．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等差数列，，，…，则下列属于该数列的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列，，，…为等差数列，且，， 所以. 对A，由 ，所以为该数列的第8项； 对B，由 ，不是整数，所以不是该数列中的项； 对C，由 ，不是整数，所以不是该数列中的项； 对D，由 ，不是整数，所以不是该数列中的项. 9．（25-26高二·全国·寒假作业）在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【答案】(1)； (2)2026是数列中的项，第507项. 【分析】（1）利用已知及等差数列的通项公式列方程求基本量，进而求项； （2）由（1）得，再结合已知求基本量判断是否为数列中的项，即可得. 【详解】（1）因为在等差数列中，，解得，， 所以； （2）由（1）得，令，得， 所以2026是数列中的项，即2026为中的第507项. 知识点04 利用等差数列通项公式求数列中的项 10．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【答案】C 【详解】由题可得， 则， 又因为， 所以. 11．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列对于任意，都有，若，则（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【详解】因为，，不妨令，由得：， 即， 所以数列是以为公差的等差数列， 因此. 12．（26-27高三上·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 【答案】A 【详解】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，， 又因为各项均为正数，则. 知识点05 求等差中项 13．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是等差中项，，故选项A正确. 14．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 15．（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 知识点06 等差中项的应用 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 17．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差中项的概念即可求解. 【详解】由等差中项可得：，即. 18．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为15尺，则春分时节的日影长为（   ） A．6尺 B．6.5尺 C．7尺 D．7.5尺 【答案】C 【分析】用数列来表示题目中的等差数列，由题意列出前三项与末三项的和，由等差中项求得，由等差数列的定义求得数列公差，再由等差数列项与项之间的关系通过求得. 【详解】设这十二个节气日影长为数列，则， 由等差中项可知，即. ，由等差中项可知，即， 所以公差， 春分时节的日影长为. 知识点07 利用等差数列的性质计算 19．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知等差数列满足，，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】数列为等差数列，，， ，得. 20．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 【答案】 【分析】利用等差数列的等差中项性质，将两个已知等式相加，整体转化为所求式的倍数关系求解. 【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，其中. 根据等差数列的等差中项性质：对于任意等差数列，若，则. 将已知两个等式相加，可得： ， 又，. 所以 ，所以. 21．（26-27高二上·全国·课堂例题）若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【详解】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 知识点08 等差数列的单调性 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列中，，则数列是递增数列，还是递减数列？ 【答案】递减数列 【分析】根据等差数列的性质判断即可. 【详解】因为公差，所以数列是递减数列． 23．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，设其公差为， 若数列是递减数列，可得； 若，则，所以数列是递减数列； 综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件. 24．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）（多选）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 知识点09 求等差数列中的最大（小）项 25．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 26．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）在数列中，已知，，，其前项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由得， 由得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故，，故AB正确； 因为，所以，故C错误； 因为时，时， 所以；， 所以，故D正确. 27．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 知识点10 证明数列是等差数列 28．（26-27高三上·吉林四平·阶段检测）已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 【答案】数列中，由，得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的定义推理得证. 【详解】略 29．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1) ∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 30．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 【答案】(1)证明: （且）， ，（且）， 是公差为的等差数列． (2) 【分析】（1）根据题设可得，进而得到，，即可求证； （2）根据等差数列的通项公式求得，进而代值计算即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）知， ，． 知识点11 等差数列的应用 31．（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 32．（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【答案】A 【分析】由题意得7个尺码最适合的人的体重成等差数列，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，，所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 33．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】显然，，解得，于是， 故． 一、单选题 1．等差数列的公差，若成等差，则（     ） A． B．12 C．26 D．48 【答案】C 【详解】由成等差数列，可得 ， 所以. 由成等差数列，可得 ， 所以，因为，且，解得. 2．已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】由，，得等差数列的公差为， 所以，所以， 又数列的公差不为，所以数列为单调数列， 所以结合，可得，故． 3．在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. 4．设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，且，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 比较， 所以的最小值为. 5．将数列与数列中的公共项按从小到大的顺序排列，得到数列，则数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以的通项公式为， 则． 6．已知数列满足，则（       ） A．250 B．500 C．550 D．1000 【答案】B 【分析】建立起偶数项的递推公式，利用递推公式求出偶数项的通项可得答案. 【详解】设偶数项为， 令，得， 所以， 当时， ， 当时， ， 代入： ， 即， 所以是等差数列，首项，公差为， 因此：， 而. 二、多选题 7．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 8．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意的，都有 【答案】ACD 【分析】先将原等式同除以，然后化简可得到是首项为1，公差为1的等差数列，进而可根据等差数列的通项公式，以及裂项相消法等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，已知，且各项不为零， 两边同除以得，所以数列是“调和数列”，A正确； 对于B，由，可知是首项为1，公差为1的等差数列， 因此，即，故数列是递减数列，B错误； 对于C，，前项和， 所以C正确； 对于D，要证明，代入，即证明. 右边通分得，因而只需要证明，即. 化简得，即，所以D正确. 9．已知是递增的等差数列，公差为d，满足，且从第5项开始为正数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，利用等差数列的性质求出，再结合等差数列通项中项与项的关系推导. 选项B，利用等差数列通项公式.选项C、D，结合数列是递增等差数列和题意建立关于和的不等式组并求解. 【详解】选项A，由，得，即， 因此，A正确. 选项B，若，由，解得， 所以， B错误. 选项C，数列从第5项开始为正数，则第4项及之前非正、第5项起为正， 即：，代入，得： ，即，C正确. 选项D，由得， 由可得，， 因此，D正确. 三、填空题 10．已知数列为等差数列，，则的最小值为______，此时______. 【答案】 72 6 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式把目标函数表示成关于的函数，求最值即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，. ，，. ， 当时，取得最小值，最小值为72，此时. 11．数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【分析】根据已知得，应用构造法及等差数列的定义写出通项公式即可. 【详解】由，得， 令，即，且， 所以是公差为的等差数列， 又，因此， 所以，. 12．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 【答案】 【分析】取，判断和所满足的关系，代入数列即可得出的通项公式，判断单调性即可解得的最小值. 【详解】取得， 则为2的倍数，即为偶数， 则为偶数， 令，代入得， ，即通项公式为； 当时，，此时，反之，当时，， 则的最小值在取到， 当时， 有， ，， 则， 当时，， 故的最小值为. 四、解答题 13．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，，则，即， 因此数列是公差为的等差数列， 又，则， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以数列的前项和． 14．已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． (2) 【分析】（1）由题设可得，进而得到，由此即证是等差数列； （2）由（1）可得，代入得到，解方程即可求得的通项公式． 【详解】（1）略 （2）由题设可得，故， 所以，解得． 15．已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)​ (2)​ 【分析】（1）将递推式变形，构造等比数列，利用等比数列的通项公式求解． （2）由第（1）问及已知条件求出的通项公式，化简，再将严格递减条件转化为对所有正整数恒成立，求参数范围． 【详解】（1）由，得，又，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． 因此，故． （2）由第（1）问得，由得． 设等差数列的公差为，则，所以． 因为，所以． 数列为严格减数列的充要条件是对任意，均有，即． 因为，所以，且当时取到最小值，故上述不等式对所有正整数恒成立的充要条件为． 1．已知数列是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于中任意两项、，在中都存在一项，使得，若，则满足条件的数列的个数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由题设结合赋值法，可得为的正因数，据此可得答案. 【详解】设数列公差为，因，则. 取，由，可得， 又，则，因为该式对任意成立， 则取，得，因为，得，结合，得. 再取，可得：， 从而，又由以上分析可得均为正整数，则为正整数， 从而为的正因数，即可为共计个数， 则满足题意的有个. 2．数列满足，则__________． 【答案】 【分析】由已知条件可令，则有，两边平方，再进行放缩即可得，则累加得，最后取对数，取整即可求出的值. 【详解】因为，设，所以，显然为正值，而且递增， 两边平方得，于是，故， ，累加得， 故； 再由得，累加可证， 故， 代入得， 所以 3．（多选）已知实数，且成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等差数列性质，取特殊值，以及均值不等式逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 因为成等差数列，所以， 两边同乘可得：， 即，也即，可得， 因 故，即A正确； 对于B，若取，代入，可得， ，此时不满足，故B错误； 对于C，由A项分析，得，当且仅当时取等，故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D正确． 4．若有限数列满足：对任意两项，（），总存在第三项（，），使得，，的某种排列为等差数列，则称为“分差数列”． (1)判断以下数列是否为“分差数列”，无需说明理由； ①1，2，3； ②1，2，3，4； ③0，2，3，4，6 (2)若为“分差数列”，求的值； (3)若是各项各不相同的“分差数列”，求该数列项数的所有可能值． 【答案】(1)①是；②不是；③是； (2) (3)3和5 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）分别假设数列四项均不同，有三项相同，以及有两项相同和全部相同，分别用定义判断即可； （3）（3）对各项作仿射变换，把最小项、最大项化为 ，．由端点对先得到 ；再证明右半区间内若有额外项只能是 ，由对称性左半区间内只能是 ，从而确定项数． 【详解】（1）根据定义验证， ①数列1，2，3中任意两项都存在剩余的第三项，三者可排列为等差数列，符合定义； ②数列1，2，3，4中取两项1和4，剩余项只有2，3，不存在第三项使得1，4和2或3的某种排列为等差数列，不符合定义； ③数列0，2，3，4，6中任意两项都能找到剩余第三项满足三者可排列为等差数列，符合定义. （2）记该数列为，该数列共4项，先假设四项各不相同，将四项从小到大排序为， 取最小项0，和最大项M，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，故，即， 此时数列中包括，设数列的第四项为t， 取数列中两项，根据分差数列定义，存在第三项使得成等差，或者成等差， 即或者，其中或者， 由此可知存在三种情况，而我们假设是四项各不相同，且为数列中最大项， 无论哪种情况均和假设不符，故该数列存在相同项； 当数列存在三项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在或者，使得这三项成等差，故该假设错误； 当数列存在两项相同，即或者，其中不为0 此时取和，根据分差数列定义，不存在另一项为0，使得这三项成等差，故该假设错误； 综上，若使0，，，为“分差数列”，只能是 ， 故. （3）设该数列共有 项，且各项互不相同． 按定义必须有 ． 设最小项为 ，最大项为 ，作仿射变换． 变换后仍为“分差数列”，且最小项为0，最大项为1． 取0与1两项，第三项不可能落在区间 外，因此只能是二者的中点 ． 所以数列中必有． 若没有其他项，则 ，并且 ，， 确为“分差数列”，故 可行． 下面设还有其他项． 先研究区间 ． 若其中有一项 ，取0与 两项． 由于所有项都在 内，能与0， 组成等差数列的第三项只能是 ，所以 也在数列中． 再取 与1两项，同理第三项只能是，所以它也在数列中． 令，则所有 都是数列中的项，并且． 若 ，则 两两不同，与数列有限矛盾． 因此区间 内若有项，只能是． 对数列作变换 ，仍保持“分差数列”性质，因此区间 内若有项，只能是． 若 出现，取0与 两项，第三项只能是 ； 反之，若 出现，取 与1两项，第三项只能是 ． 因此额外项要么都不出现，要么 与 同时出现． 所以项数只能为3或5． 当 时，数列 是第（1）问中 经仿射变换得到的“分差数列”，故 也可行． 因此该数列项数的所有可能值为 和 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.1等差数列的概念 目录 知识点01 判断等差数列 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 知识点03 验证是否为等差数列中的项 知识点04 利用等差数列通项公式求数列中的项 知识点05 求等差中项 知识点06 等差中项的应用 知识点07 利用等差数列的性质计算 知识点08 等差数列的单调性 知识点09 求等差数列中的最大（小）项 知识点10 证明数列是等差数列 知识点11 等差数列的应用 知识点01 判断等差数列 1．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（      ） A．1，，1，，1 B．1，1，1，1，1 C．1，2，3，4，5 D．5，5，5，5，5 2．（26-27高二上·全国·课后作业）若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 3．（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点02 等差数列通项公式的基本量计算 4．（26-27高二上·全国·课后作业）已知在等差数列中，首项，公差，则通项公式________． 5．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·北京·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 知识点03 验证是否为等差数列中的项 7．（26-27高二上·福建漳州·阶段检测）等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A． B． C． D． 8．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知等差数列，，，…，则下列属于该数列的项的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·寒假作业）在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 知识点04 利用等差数列通项公式求数列中的项 10．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 11．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列对于任意，都有，若，则（     ） A．9 B．12 C．16 D．18 12．（26-27高三上·安徽·开学考试）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 知识点05 求等差中项 13．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 知识点06 等差中项的应用 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 17．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为15尺，则春分时节的日影长为（   ） A．6尺 B．6.5尺 C．7尺 D．7.5尺 知识点07 利用等差数列的性质计算 19．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）已知等差数列满足，，则（   ） A．2 B．0 C． D． 20．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列，均为等差数列，且，，则_____． 21．（26-27高二上·全国·课堂例题）若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 知识点08 等差数列的单调性 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列中，，则数列是递增数列，还是递减数列？ 23．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）（多选）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 知识点09 求等差数列中的最大（小）项 25．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 26．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）在数列中，已知，，，其前项和为，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 知识点10 证明数列是等差数列 28．（26-27高三上·吉林四平·阶段检测）已知数列中，，．证明：数列是等差数列； 29．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 30．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 知识点11 等差数列的应用 31．（24-25高二下·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 32．（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 33．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 一、单选题 1．等差数列的公差，若成等差，则（     ） A． B．12 C．26 D．48 2．已知等差数列，，，若，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 4．设数列为公差不为的等差数列，若存在两项，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．将数列与数列中的公共项按从小到大的顺序排列，得到数列，则数列的第项为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，则（       ） A．250 B．500 C．550 D．1000 二、多选题 7．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 8．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意的，都有 9．已知是递增的等差数列，公差为d，满足，且从第5项开始为正数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 三、填空题 10．已知数列为等差数列，，则的最小值为______，此时______. 11．数列满足递推关系，，则数列的通项公式为_______． 12．与的公共项从小到大构成新数列，则的通项公式为________________.则的最小项的值为____________. 四、解答题 13．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 14．已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 15．已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 1．已知数列是公差不为0的无穷等差数列，且满足：对于中任意两项、，在中都存在一项，使得，若，则满足条件的数列的个数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．数列满足，则__________． 3．（多选）已知实数，且成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若有限数列满足：对任意两项，（），总存在第三项（，），使得，，的某种排列为等差数列，则称为“分差数列”． (1)判断以下数列是否为“分差数列”，无需说明理由； ①1，2，3； ②1，2，3，4； ③0，2，3，4，6 (2)若为“分差数列”，求的值； (3)若是各项各不相同的“分差数列”，求该数列项数的所有可能值． / 学科网（北京）股份有限公司 $