4.2.1等差数列的概念（分层作业，13大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.1等差数列的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等差数列的概念 题型02 等差数列的判定与证明 题型03 等差数列通项公式的基本量计算 题型04 等差数列的通项公式及应用 题型05 利用等差数列通项公式求数列中的项 题型06 等差中项及其应用 题型07 等差数列的性质及其应用 题型08 等差数列的单调性 B组 能力进阶 题型01 求等差数列的最大（小）项 题型02 设元法巧解等差数列 题型03 等差数列的实际应用 C组 思维拔高 题型01 构造等差新数列 题型02 新定义问题 等差数列的概念题型01 1．下列数列中成等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（24-25高二下·四川·月考）.① .② ③ ④ 观察上面各组数，你能从运算角度发现它们有什么共同的特点吗？ 等差数列的判定与证明题型02 1．已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 2．已知数列的前项和． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由． 3．设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. (1)设，，求数列的通项公式； (2)设，求数列的通项公式. 等差数列通项公式的基本量计算题型03 1．（25-26高二下·广东广州·期中）在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．已知为等差数列，，则等于（   ） A．21 B．17 C．23 D．20 3．（25-26高一·上海·期末）已知数列满足：，，则________ 4．（24-25高二下·辽宁·期中）在等差数列中，若，，则公差d=______． 5．在等差数列中． (1)已知，求； (2)已知，，求公差． 等差数列的通项公式及应用题型04 1．（25-26高二上·福建·月考）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 2．在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（    ） A．0 B． C． D．1 4．已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为___________． 5．（25-26高二上·江苏·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 利用等差数列通项公式求数列中的项题型05 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在等差数列中，，公差，则（    ） A．31 B．28 C．25 D．22 2．（25-26高二·广东深圳·期中）等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（    ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 3．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．133项 B．134项 C．135项 D．136项 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）在数列中，，且，则__________． 5．（1）已知，，求数列的通项公式； （2）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项. 等差中项及其应用题型06 1．已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 2．在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．32 4．设，若与的等差中项是2，则的最小值为________ 5．（25-26高三上·陕西安康·质检）在中，设，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，. (1)求外接圆的面积； (2)若，求的值及的面积. 等差数列的性质及其应用题型07 1．在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 2．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 4．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ） A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D． 5．数列满足，，则_______． 等差数列的单调性题型08 1．已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是首项为，公差为的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________ 5．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是__________． 求等差数列的最大（小）项题型01 1．在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________ 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 3．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________． 设元法巧解等差数列题型02 1．锐角三角形的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知，为双曲线的左右焦点，P为C左支上的一点，，，成等差数列，且，则C的离心率等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数______________. 等差数列的实际应用题型03 1．（24-25高二上·天津·期末）某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（    ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 2．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（    ） A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5 3．（24-25高二上·北京·期末）做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（   ） A． B． C． D． 4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 5．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为__________；2021年全年他们约定的“家庭日”共有__________个. 构造等差新数列题型01 1．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 3．在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为___． 新定义问题题型02 1．定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ） A．45 B．85 C．121 D．166 2．在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 3．在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断： ①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列； ②{（﹣1）n}是等方差数列； ③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列． 5．如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”. (1)下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论） 、、、 、、、 、、、 、、、 (2)证明：若数列是“数列”，则且公差； (3)若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.1等差数列的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等差数列的概念 题型02 等差数列的判定与证明 题型03 等差数列通项公式的基本量计算 题型04 等差数列的通项公式及应用 题型05 利用等差数列通项公式求数列中的项 题型06 等差中项及其应用 题型07 等差数列的性质及其应用 题型08 等差数列的单调性 B组 能力进阶 题型01 求等差数列的最大（小）项 题型02 设元法巧解等差数列 题型03 等差数列的实际应用 C组 思维拔高 题型01 构造等差新数列 题型02 新定义问题 等差数列的概念题型01 1．下列数列中成等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答. 【详解】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列. 故选：C 2．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 3．已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【详解】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A 4．已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当点都在直线上成立时，可得，因此当时， ，所以为等差数列； 当为等差数列成立时，例如，显然点都不在直线上，所以点都在直线上”是“为等差数列”的充分不必要条件. 故选：C 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了等差数列的定义，属于基础题. 5．（24-25高二下·四川·月考）.① .② ③ ④ 观察上面各组数，你能从运算角度发现它们有什么共同的特点吗？ 【答案】从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数 【分析】观察相邻两项的关系，从而归纳得出结论. 【详解】对于①：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于7； 对于②：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于； 对于③：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于0.5； 对于④：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于2； 综上，它们的共同特点为：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数； 等差数列的判定与证明题型02 1．已知数列满足，那么（    ）是等差数列 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件进行转化，从而求得正确答案. 【详解】由得， ∴，， 故，即有， 故数列是等差数列. 故选：D 2．已知数列的前项和． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由． 【答案】(1)因为数列的前项和，当时，，当时，，因为当时也满足，故.故为常数，故是等差数列 (2)第1596项最小，无最大项 【分析】（1）根据通项与前项和的关系求解可得，再根据等差数列的定义证明即可； （2）根据（1）可得，再分析的正负值，进而可得的增减性，进而求得最值项即可 【详解】（1）略 （2）由（1），故，则，因为，故令可解得或，即，，，因为，，故数列有最小项为第1596项，又随着的增大一直增大无最大值，故数列第1596项最小，无最大项 3．设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为，已知对任意整数属于，当时，都成立. (1)设，，求数列的通项公式； (2)设，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列定义可得答案； （2）方法1：利用递推得是公差为等差数列，求出；方法2：利用递推得是公差为等差数列，求出； 【详解】（1）因为，所以时，， 又，所以时，， 即，又，所以为公差为4等差数列， 所以，所以时，， 所以； （2）方法1： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时，由得，③， 同理，时，④， 由③得，时，， 所以时，两式相加得， 即，结合④得，时，， 即， 所以时，， 设，则时，， 由得，时，， 所以， ， 所以时，， 所以是公差为等差数列，所以时，， 又由①得，所以， 又，， 所以，所以，又，所以，， 所以时，符合此式， 所以. 方法2： ，所以时，， 即①， 所以时，②， 所以时由得，③， 同理，时，④， 由③得，成等差数列，设公差为, 成等差数列，设公差为； 由④得，成等差数列，公差为， 成等差数列，设公差为； 成等差数列，设公差为； 所以，， ， ，所以， 又由①得，所以⑤， 同理 ， 所以，与⑤联立解得， 所以， 故，， 所以时，符合此式， 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是要求，得求出的递推关系式，而由求出的递推关系式. 等差数列通项公式的基本量计算题型03 1．（25-26高二下·广东广州·期中）在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】在等差数列中， 公差. 2．已知为等差数列，，则等于（   ） A．21 B．17 C．23 D．20 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式求得和公差，然后计算出． 【详解】设的公差为，因为， 所以，解得， 所以， 故选：D． 3．（25-26高一·上海·期末）已知数列满足：，，则________ 【答案】4 【详解】已知，则，即，且， 故数列是首项为1，公差为的等差数列， ， 故． 4．（24-25高二下·辽宁·期中）在等差数列中，若，，则公差d=______． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质结合基本量运算求解. 【详解】由等差数列的性质，可得， 则，解得， 又，所以，得. 故答案为：. 5．在等差数列中． (1)已知，求； (2)已知，，求公差． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算可得； （2）根据下标和性质得到，再解方程组，即可求出、，从而求出公差； 【详解】（1）解：因为， 所以， 即，所以，即 （2）解：因为，①， 又，所以②， 即，解得或， 当时， 当时， 所以或 等差数列的通项公式及应用题型04 1．（25-26高二上·福建·月考）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【答案】C 【详解】由题可得， 则， 又因为， 所以. 2．在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一方面假设，结合数列是等差数列算出即可排除ABD，另一方面考虑一般情况，设，通过等差数列性质以及数论知识可判断C正确. 【详解】一方面若，则，从而， 此时，即ABD不满足题意； 另一方面我们考虑一般情况，若，则， 从而， 所以， 又，所以，也就是说一定能被21整除. 故选：C. 3．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质知的周期为，再利用项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 【详解】由题知，所以， 易知周期为，考虑前项的值：，，，，，，，， 因为集合中有且只有5个元素， 所以项的值必有互为相反数的二项同为，即集合中有元素，则中的所有元素之积为， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用三角函数的周期性，集合中的元素只需考虑前项，注意到项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 4．已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为___________． 【答案】## 【分析】设数列的公差为，由可得，代入可得答案. 【详解】设数列的公差为，由 ， 可得，解得， ， ， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 【详解】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 利用等差数列通项公式求数列中的项题型05 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在等差数列中，，公差，则（    ） A．31 B．28 C．25 D．22 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式，求解即可. 【详解】等差数列中，，公差， . 故选：B 2．（25-26高二·广东深圳·期中）等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（    ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 【答案】D 【详解】解：设等差数列，公差为， ，， 又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026，2071共有47项. 3．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．133项 B．134项 C．135项 D．136项 【答案】C 【分析】由，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余1数为1，4，7，10,……，故，， 被5除余2的数为2，7，12，17，……，故，， 由，；，， 故，， 由，得， 又，故此数列共有135项， 故选：C 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）在数列中，，且，则__________． 【答案】 【分析】根据，可得数列是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， . 故答案为：. 5．（1）已知，，求数列的通项公式； （2）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项. 【答案】（1）；（2）是. 【分析】（1）判断数列为等差数列，由等差数列通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用通项公式判断即可. 【详解】（1）由可得， 所以数列是公差为，首项为的等差数列， 所以, 故数列的通项公式为. （2）因为，所以，解得， 又，所以， 所以， 令，解得， 即91为数列中的第项. 等差中项及其应用题型06 1．已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【详解】在等差数列中，由，解得. 2．在等差数列中，、是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理结合等差中项的性质可求得的值. 【详解】由韦达定理和等差中项的性质可得， 因此，. 故选：A. 3．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（    ） A．21 B．24 C．27 D．32 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合平均数公式，中位数，众数的定义，即可求解. 【详解】设丢失的数据为，则平均数为：， 众数是， 若，则中位数为，此时，解得：（舍去）， 若，则中位数为，此时，解得：， 若，则中位数为，此时，解得：， 所有可能的值为，其和为. 故选：D. 4．设，若与的等差中项是2，则的最小值为________ 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为与的等差中项是2，可得， 即，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·陕西安康·质检）在中，设，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，. (1)求外接圆的面积； (2)若，求的值及的面积. 【答案】(1) (2) 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据等差数列的性质、三角形内角和定理，结合正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，，成等差数列， 所以， 因为，所以，所以， 设外接圆的半径为， 由正弦定理得，， 所以三角形外接圆的面积为. （2）由余弦定理得，， 所以， 所以，所以或. 当时，； 当时，. 等差数列的性质及其应用题型07 1．在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用等差公式下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，，， 所以，即，解得. 故选：B. 2．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列的性质进行计算即可. 【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， ∴， ∵数列为等差数列， ∴， ∴. 故选：B. 3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】先分析函数的单调性和奇偶性，利用函数性质来分析条件中所给的等式，然后得出结论. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 又因为，所以是奇函数； 因为奇函数在上单调递增，等差数列满足且，在 内， 的唯一解为 ， 故 的充要条件是数列关于原点对称， 则中间项 ，且，，， 则有，即. 故选：B. 4．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ） A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确； 对于B，由题意可知，，， ∴，，，． ∴，． 根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确； 对于C，， 当时，，C正确； 对于D，，， ． 当时，，∴即； 当时，，∴即，所以，D不正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 5．数列满足，，则_______． 【答案】 【分析】推导出数列中的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式可求得的值. 【详解】因为，则， 上述两式作差可得， 所以，数列中的奇数项成以为首项，以为公差的等差数列， 因此，. 故答案为：. 等差数列的单调性题型08 1．已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 2．已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用等差数列的单调性即可判断． 【详解】利用等差数列的单调性可得：若，所以公差，所以等差数列是递增数列， 所以，成立，∴A，B正确； 则不一定成立，例如时不一定成立，∴D不一定成立； 若，则，所以成立，∴C正确. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知是首项为，公差为的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据的通项公式，讨论其单调性，从而找到参数的取值范围. 【详解】由题可知： 当和，该数列单调递减. 若，则该数列在时，单调递减，不可能满足题意； 若，要满足题意，只需： 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查数列的单调性，要用函数的角度去看待数列的单调性，同时也要注意其与函数不同的点. 5．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据数列通项与前项和的关系可得（），进而推导得（），算出首项可得数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，从而得出再求解即可. 【详解】由得（）， 两式相减得：（），所以（）， 两式相减得：（）， 所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列， 将代入及可得， 将代入（）可得，且， 要使得，恒成立，只需要即可， 所以，解得：，即实数的取值范围是． 故答案为： 求等差数列的最大（小）项题型01 1．在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________ 【答案】 【分析】求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值． 【详解】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等差数列的前项，考查前项和的最值问题． 是等差数列的前项和，时，求其最大值的两种方法： （1）若，，则最大； （2）可利用二次函数的性质求得最大值． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝_______． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 3．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________． 【答案】196 【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 设元法巧解等差数列题型02 1．锐角三角形的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，等差数列公差为，然后将代入条件可得，然后结合可得答案. 【详解】不妨设，等差数列公差为， 则，代入，得，可得， 又由锐角三角形可知，最大角为锐角， 所以，将代入可得， 所以，，解得， 所以， 故选：C 2．已知，为双曲线的左右焦点，P为C左支上的一点，，，成等差数列，且，则C的离心率等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、结合等差中项的意义、勾股定理列式计算得解. 【详解】设成等差数列的三项，，分别为，m，，， 由双曲线定义，得，， 由，得，而，联立解得， 当时，得到，，所以离心率 故选：D 3．已知函数的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数______________. 【答案】3 【分析】结合一元三次方程韦达定理和等差中项列出等式求解即可. 【详解】先证：一元三次方程韦达定理. 设方程有三个根，则有， 证明：因为方程有三个根， 所以方程即为， 变形为， 比较两个方程可得. 由题意函数的三个零点从小到大依次成等差数列， 也即的三个根从小到大依次成等差数列， 设三个根分别为， 由韦达定理可得：， 即， 将代入， 可得，即， 所以， 故答案为：3 等差数列的实际应用题型03 1．（24-25高二上·天津·期末）某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（    ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算可得结果. 【详解】设该同学每天的运动时长构成等差数列，公差为， 由题意得，， ∴，即该同学第十天的运动时长为55分钟. 故选：C. 2．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（    ） A．4 B．8.5 C．12.5 D．15.5 【答案】D 【分析】记该等差数列为，设其公差为，根据题中条件，列出等式求解，即可得出结果. 【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列， 记该等差数列为，设其公差为， 因为冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， 所以，即，即，则， 所以，因此， 故选：D. 3．（24-25高二上·北京·期末）做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质可得，，利用可得结果. 【详解】记7根横梁的长度从上到下成等差数列， 由题意得，，， ∴，，故，， ∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是. 故选：B. 4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案. 【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A 5．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为__________；2021年全年他们约定的“家庭日”共有__________个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 构造等差新数列题型01 1．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，从而可求出数列的 通项，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 3．在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式，最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以， 得到. 设，则，且. 所以是以0为首项，为公差的等差数列. 所以该数列的通项公式为. 所以. 所以. 故选：B. 5．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为___． 【答案】 【分析】先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为， 故新数列的首项为，故通项公式为， 故. 故答案为：31 新定义问题题型02 1．定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ） A．45 B．85 C．121 D．166 【答案】C 【分析】利用二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可. 【详解】该数列的一阶差数列为3，6，10，15，，则二阶差数列为3，4，5，， 因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，， 所以一阶差数列后面的项为21，28，36，， 从而原数列后面的项为57，85，121，，故． 故选：C 2．在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】显然，，解得，于是， 故． 3．在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断： ①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列； ②{（﹣1）n}是等方差数列； ③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】利用等方差数列的定义与等差数列的定义判断①；利用等方差数列的定义判断②；先表示出{akn}的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断③；利用等方差数列和等差数列的定义判断④． ①若数列{an}是等方差数列，则有p（n∈N*，且n≥2）， 则数列{}是公差为p的等差数列，故①正确； ②数列{（﹣1）n}中，an2﹣an﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，（n≥2，n∈N*）， ∴数列{（﹣1）n}是等方差数列，故②正确； ③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，… 数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，… ∵（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p ∴（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp ∴ak（n+1）2﹣akn2＝kp，即数列{akn}是等方差数列，故③正确； ④∵数列{an}是等差数列，∴an﹣an﹣1＝d1（n≥2）． ∵数列{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12＝d2（n≥2）， ∴（an+an﹣1）d1＝d2， ∴当d1≠0时，为常数列； 当d1＝0，数列{an}为常数列． 则该数列{an}必为常数列，故④正确． ∴正确命题的个数是4个． 故选：D． 本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题． 4．若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列． 【答案】(1) 数列具有性质，理由如下： 根据有穷数列满足：，且对任意的，或 是数列中的项，则称数列具有性质， 对于数列中，若对任意的，可得或或， 可得一定是数列中的项，所以数列具有性质. (2) 证明：由是数列中的任意一项， 因为数列具有性质，即或 是数列中的项， 令，可得或 是数列中的项， 又因为，可得一定不是数列中的项， 所以一定是数列中的项. (3) 由数列具有性质，可得，所以， 则，且， 又由，所以， 又由， ①设，因为 可得， 当时，可得，  （） ②设，则，所以， 由， 又由， 可得， 所以， 因为，由以上可知：且， 所以且，所以，（） 由（）知， 两式相减，可得， 所以当时，数列为等差数列. 【分析】（1）由数列中，得到，一定是数列中的项，即可求解； （2）根据题意，得到一定不是数列中的项，进而证得一定是数列中的项； （3）根据题意得到，且，进而得到，得到，当，证得，当，得到，由时，得到，两式相减得出，结合等差中项公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”. (1)下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论） 、、、 、、、 、、、 、、、 (2)证明：若数列是“数列”，则且公差； (3)若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式. 【答案】(1)、 (2)证明：若，则由①可知，所以或，且公差， 以下设. 由①，、，，， 两式作差得， 因为，所以. 由①，、，，， 两式作差得， 因为，所以，因此，. 若，则等差数列是递减数列，由①为中的项，因此，， 解得， 由且公差，所以或，，， 由①，为中的项，且，这与等差数列递减矛盾，因此，不成立. 综上，且公差. (3)或 【分析】（1）根据“数列”的定义可得出结论； （2）验证成立，利用①②推导出，假设，可得出等差数列是递减数列，结合①得出，结合可得出或，，再结合不等式的基本性质以及数列的单调性推出矛盾，从而说明不成立，即可证得结论成立； （3）由（2）知，，可得知数列是递增数列，推导出不成立，可得出，分、两种情况讨论，验证、满足①②，即可得出结果. 【详解】（1）由“数列”的定义可知，数列、为“数列”. （2）略； （3）因为公差，所以，即是递增数列. 若，因为，所以， 则，且， 由①为中的项，这与等差数列是递增数列矛盾. 因此，，又由（2），故. 由，知，且中存在一项为正整数，取最小的正整数项. 则由②，，使得且，. 因此，解得，又，故. 因为是递增数列， （i）若，则，此时. 因为，， 令，有，且，所以满足条件①. 因为，令，有，所以满足条件②. （ii）若，则，. 因为， . 令，则，且，所以满足条件①. 因为，令，，有，所以满足条件②. 综上，或. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“数列”，在第二问的证明中，可采取反证法证明不成立，结合数列的单调性可证出结论；在第三问的求解，要注意对是否为零进行分类讨论，结合①②进行验证即可. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $