专题12 期中复习易错17大题型-2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题12 期中复习易错17大题型 范围：第13章-第15章 题型1 三角形三边关系求边长、取值范围 题型2 三角形高、中线、角平分线识别与计算 题型3 三角形内角和、外角性质计算角度 题型4 等腰三角形边长分类讨论(三边检验) 题型5 三角形角度多解问题 题型6 全等三角形性质求边、角 题型7 全等判定辨析 题型8 线段和差(截长补短)模型 题型9 一线三等角、手拉手旋转全等 题型10 角平分线性质定理与判定 题型11 尺规作图(作角平分线、作全等三角形) 题型12 轴对称图形识别 题型13 坐标系内点关于 x轴、y轴对称坐标变换 题型14.垂直平分线性质与判定计算 题型15 等腰三角形角度分类讨论 题型16 等边三角形性质与证明 题型17 最短路径(将军饮马) 题型1 三角形三边关系求边长、取值范围 1．下列各组数中，能构成三角形三边长的是（     ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，8 2．若三角形的三边长分别是2，4，x，写出x的取值范围_________________． 3．劳动实践课上，小明已有两根长分别为和的木条，要再选一根木条钉成三角架．下列长度中，可以选择的是（    ）． A． B． C． D． 题型2 三角形高、中线、角平分线识别与计算 4．在中作边上的高，四位同学所作图形如表所示，作图正确的是（     ） 图形 作图同学 小远 小艳 小芳 小英 A．小远 B．小艳 C．小芳 D．小英 5．如图，在中，已知点D，E，F分别是边上的中点，且，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 题型3 三角形内角和、外角性质计算角度 7．如图，在中，若，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D．不能确定 10．如图，，则（     ） A． B． C． D． 11．如图，是的角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型4 等腰三角形边长分类讨论(三边检验) 12．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 13．已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 14．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 题型5 三角形角度多解问题 15．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④D．①②③④ 16．如图，在四边形中，于点，于点，平分交于点，，为上方一点，连接、，点、分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（     ） A． B． C．与是内错角 D． 17．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④；正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④D．①②③④ 18．如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③D．①②③④ 19．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 题型6 全等三角形性质求边、角 20．如图，图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则的度数为（     ） A． B． C． D． 21．如图，若，点、、、在同一条直线上，，，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 22．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（      ） A．24 B．23 C．22 D．26 题型7 全等判定辨析 23．下列关于三角形的说法正确的是（     ） A．全等三角形的对应边和对应角都相等 B．所有周长相等的三角形都是全等三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．全等三角形是指形状相同的两个三角形 24．下列图形中与全等的是（     ） A． B． C．D． 25．下边图形是全等形的是（     ） A． B． C． D． 题型8 线段和差(截长补短)模型 26．综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 27．问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法． 问题具化：如图1，在中，，求证：； 问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在中，是的平分线，，则___________度． 28．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 题型9 一线三等角、手拉手旋转全等 29．综合与探究 【初步探索】 (1)如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，且、在直线的同侧．求证：，且． 【灵活运用】 (2)如图②，将直线绕点旋转，使、分别在直线的两侧，其余条件不变．（）中与、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 (3)在图②中，若，，求的长；若在图①的位置，，，求的长． 30．探究以下问题： (1)【基础回顾】 如图1，在中，，，直线l经过点C，分别从点A，B向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：． (2)【变式探究】 如图2，在中，，直线l经过点C，点D，E在直线l上．如果，猜想之间的数量关系，并给予证明． (3)【拓展应用】 在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点N．若，，，请直接写出的面积． 31．某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 32．问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 题型10 角平分线性质定理与判定 33．如图，在中，平分交于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 34．如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． (1)求证：点在的平分线上； (2)若，，，，则的面积为______． 35．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 题型11 尺规作图(作角平分线、作全等三角形) 36．如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 37．尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，E是的边上一点，请在上找一点F，连接，使得．若，，求的度数． (2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？ 38．尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 题型12 轴对称图形识别 39．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C．D． 40．下列四个图形中，是轴对称图形的为（     ） A．B．C．D． 41．运动是每个人生活中的一部分，下列各个运动图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C．D． 题型13 坐标系内点关于 x轴、y轴对称坐标变换 42．点关于y轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 43．点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 44．已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（     ） A．3， B．，3 C．3，4 D．，4 题型14.垂直平分线性质与判定计算 45．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 46．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，则的周长为（     ） A．12 B．14 C．19 D．26 47．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型15 等腰三角形角度分类讨论 48．如图，在中，，，，若点M从点B出发以的速度向点A运动，点N从点A出发以的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为． (1)线段_____________、_____________（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值． 49．如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）． (1)求证：； (2)设与交于点M，求的度数，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 50．如图，已知在中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由； (2)若点与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等？ 51．如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． (1)连接，在点P、Q运动过程中，当是直角三角形时，求t的值； (2)连接、相交于点M，在点P、Q运动过程中，的度数是否变化？请说明理由； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 52．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型16 等边三角形性质与证明 53．如图，在等边三角形中，厘米，点、分别是边、上的动点，点从顶点出发，以1厘米/秒的速度向点运动．同时点从顶点出发，以1厘米/秒的速度向点运动．连接、相交于点，设运动时间为秒． (1)__________厘米（用含的代数式表示）； (2)连接，在点、运动过程中，当是直角三角形时，求的值； (3)在点、运动过程中，的度数是否变化？请说明理由； (4)直接写出当为何值时，为等腰三角形． 54．解答下列各题 (1)如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接，．求证：； (2)如图2，当和都为等腰直角三角形时，，点B、D、E三点共线，求的度数； (3)为等腰直角三角形，，，在直线上取一点D，使得，连接，过A作，且，连接，．请直接写出的面积． 题型17 最短路径(将军饮马) 55．如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．12 56．如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长最小值的平方是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 57．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 58．如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 59．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 期中复习易错17大题型 范围：第13章-第15章 题型1 三角形三边关系求边长、取值范围 题型2 三角形高、中线、角平分线识别与计算 题型3 三角形内角和、外角性质计算角度 题型4 等腰三角形边长分类讨论(三边检验) 题型5 三角形角度多解问题 题型6 全等三角形性质求边、角 题型7 全等判定辨析 题型8 线段和差(截长补短)模型 题型9 一线三等角、手拉手旋转全等 题型10 角平分线性质定理与判定 题型11 尺规作图(作角平分线、作全等三角形) 题型12 轴对称图形识别 题型13 坐标系内点关于 x轴、y轴对称坐标变换 题型14.垂直平分线性质与判定计算 题型15 等腰三角形角度分类讨论 题型16 等边三角形性质与证明 题型17 最短路径(将军饮马) 题型1 三角形三边关系求边长、取值范围 1．下列各组数中，能构成三角形三边长的是（     ） A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，8 【答案】C 【详解】解：A.，不能构成三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C.，能构成三角形，符合题意； D.，不能构成三角形，不符合题意． 2．若三角形的三边长分别是2，4，x，写出x的取值范围_________________． 【答案】 【详解】解：根据三角形三边关系可知， 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 故， 即． 3．劳动实践课上，小明已有两根长分别为和的木条，要再选一根木条钉成三角架．下列长度中，可以选择的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形三边关系确定第三边的取值范围，再筛选选项； 【详解】解：设第三根木条长为， ∵三角形三边关系， ∴，即，选项C的符合该范围． 题型2 三角形高、中线、角平分线识别与计算 4．在中作边上的高，四位同学所作图形如表所示，作图正确的是（     ） 图形 作图同学 小远 小艳 小芳 小英 A．小远 B．小艳 C．小芳 D．小英 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形高的定义，中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 小远过点作交延长线于点，符合定义； 小艳过点作的垂线，是边上的高； 小芳过点作的垂线，是边上的高； 小英作的垂线不过顶点，不是边上的高． 5．如图，在中，已知点D，E，F分别是边上的中点，且，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】利用三角形中线平分面积的性质，先求出的面积，再求出的面积． 【详解】解：是的中点， ，， ， 是的中点， ． 6．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误. 题型3 三角形内角和、外角性质计算角度 7．如图，在中，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得出答案． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 8．如图，在中，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据折叠性质得出 ，，利用平角定义表示出 与 的关系，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解： 将三角形纸片 沿 折叠，点 落在点 处， ，， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过三角形内角和和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 由图可得，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ． 11．如图，是的角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据解答即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型4 等腰三角形边长分类讨论(三边检验) 12．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．25 B．25或20 C．20 D．15 【答案】A 【分析】分两种情况：若腰长为5，底边长为10；若腰长为10，底边长为5，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若腰长为5，底边长为10，三边长为5，5，10， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ② 若腰长为10，底边长为5，三边长为10，10，5， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为， 即该等腰三角形的周长为25． 13．已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【分析】分腰长为和腰长为两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 情况2：当腰长为时，三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 周长为． 因此这个等腰三角形的周长为或． 14．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分边长为的边为腰和底边两种情况，结合构成三角形的条件进行求解． 【详解】解：①当边长为的边是腰时，则另一腰长为，底边长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； ②当边长为的边是底边时，则腰长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； 故底边长为或． 故答案为：或． 题型5 三角形角度多解问题 15．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据，可得，据此可判断①；根据三角形内角和定理可得，再由平角的定义可得，则可得到，再根据，可得，据此可判断③；过点E作，则，由平行线的性质可得，则，即可得到，同理可得，则，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解；∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故结论中正确的有①③④． 16．如图，在四边形中，于点，于点，平分交于点，，为上方一点，连接、，点、分别是，延长线上的点．则下列结论中错误的是（     ） A． B． C．与是内错角 D． 【答案】D 【分析】由，判定；由等角的余角相等得；由内错角的定义得到与为内错角；不一定等于，因此不一定等于． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； B、∵， ， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； C、与为内错角， 故C正确，不符合题意； D、∵， ∴， 若，则， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， 但不一定是， ∴不一定等于， 故D错误，符合题意． 17．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④；正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和平角的定义即可判断①；三角形的内角和定理判断②，平行线的性质，角的和差关系求出的度数，进而判断③和④． 【详解】解：∵平分，平分，点、、共线， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误． 18．如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】利用平行线的判定与性质、角平分线和垂直定义可判断①②③；结合三角形的内角和定理可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的是①②③④． 19．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 题型6 全等三角形性质求边、角 20．如图，图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出左图中边 与边 的夹角，再根据全等三角形对应角相等求解． 【详解】解：在左图中，边与边的夹角为，边与边的夹角为， 边与边的夹角为， 两个三角形全等，且右图中为边与边的夹角， ． 21．如图，若，点、、、在同一条直线上，，，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 22．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（      ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】先根据全等三角形的性质得到，，所以，即可求得答案． 【详解】解：， ，， 的周长为． 题型7 全等判定辨析 23．下列关于三角形的说法正确的是（     ） A．全等三角形的对应边和对应角都相等 B．所有周长相等的三角形都是全等三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．全等三角形是指形状相同的两个三角形 【答案】A 【分析】依据全等三角形的定义与性质判断各选项正误. 【详解】解：A选项，全等三角形的对应边和对应角都相等，说法正确； B选项，周长相等的三角形不一定能完全重合，不是全等三角形，说法错误； C选项，面积相等的三角形不一定能完全重合，不是全等三角形，说法错误； D选项，形状相同的三角形大小不一定相等，不一定能完全重合，不是全等三角形，说法错误． 24．下列图形中与全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形．判断即可． 【详解】解： 选项B中的图形与原图形状、大小完全相同 ， 选项B中的图形与原图全等． 25．下边图形是全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、两个圆的大小不同，不能完全重合，不是全等形； B、两个图形的形状相同、大小相等，能够完全重合，是全等形； C、两个三角形的形状不同，不能完全重合，不是全等形； D、两个正方形的大小不同，不能完全重合，不是全等形． 题型8 线段和差(截长补短)模型 26．综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 27．问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法． 问题具化：如图1，在中，，求证：； 问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在中，是的平分线，，则___________度． 【答案】问题解决：在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题拓展： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 问题解决：证明，得出，根据，即可得出答案； 问题拓展：在上取点E，使，连接，证明，得出，，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】问题解决：略 问题拓展：在上取点E，使，连接，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型9 一线三等角、手拉手旋转全等 29．综合与探究 【初步探索】 (1)如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，且、在直线的同侧．求证：，且． 【灵活运用】 (2)如图②，将直线绕点旋转，使、分别在直线的两侧，其余条件不变．（）中与、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 (3)在图②中，若，，求的长；若在图①的位置，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； (2)解：不成立，正确的数量关系是，理由如下： 同（）可证， ∴，， ∴； (3)； 【分析】（）利用余角性质可证，进而由判定定理“”可证，得到，，再根据线段的和差关系及等量代换即可求证； （）同理（）解答即可； （）利用（）、（）所得的数量关系计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在图②中，； 在图①中，． 30．探究以下问题： (1)【基础回顾】 如图1，在中，，，直线l经过点C，分别从点A，B向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：． (2)【变式探究】 如图2，在中，，直线l经过点C，点D，E在直线l上．如果，猜想之间的数量关系，并给予证明． (3)【拓展应用】 在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点N．若，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：直线l，直线l， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． (2)． 证明：， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ． (3)18 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，再根据证明即可； （2）证明即可； （3）证明，，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点D作于点G，过点E作并交的延长线于点H． ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 同理，可证明， ， ． 31．某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 【答案】(1) 证明：分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定、三角形内角和定理的应用，准确识图，正确使用相关定理是正确解答此题的关键． （1）根据等腰直角和等腰直角， ，只要证明，即可解决问题； （2）同法证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ． 32．问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且 ，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）①证明：由（1）， ∴，BD， ， ， ∵， ； 5 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）①由，可得，BD，结合，可得，最后根据，可得结论；②在上截取，连接，先证明，可得，再证明，从而得到，那么有． 【详解】（1） 略 （2）① 略 如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 题型10 角平分线性质定理与判定 33．如图，在中，平分交于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：平分，，， ． (2)8 【分析】（1）直接利用角平分线上的点到角两边距离相等证明即可； （2）由（1）得到，再用三角形面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 即的面积为． 34．如图，分别平分，相交于点P，过点P作，，，垂足分别为、． (1)求证：点在的平分线上； (2)若，，，，则的面积为______． 【答案】(1)证明：∵分别平分， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上． (2) 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理证明即可； （2）连接，利用割补法计算的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ， ． 35．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）证明得出，由（1）可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 题型11 尺规作图(作角平分线、作全等三角形) 36．如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作； (2) 【分析】（1）依题意分别作、的平分线相交于点P即可； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 37．尺规作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） (1)如图，E是的边上一点，请在上找一点F，连接，使得．若，，求的度数． (2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔与两个城镇A、B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？ 【答案】(1)如图所示： ． (2)如图所示： 【分析】第小题，利用同位角相等，两直线平行作平行线；先借助三角形内角和求出，再利用平行线性质完成角度计算，将作图原理和角度计算结合考查． 第小题属于选址作图问题，是两个轨迹的综合：到角两边距离相等的点在角平分线上；到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，满足双重条件的点是两条轨迹的交点． 【详解】（1）解：作图思路：作，同位角相等，两直线平行，，落在上． 图见答案 在中 （两直线平行，同位角相等）； （2）解：作图思路：作的角平分线（到、距离相等的点在角平分线上）； 作线段的垂直平分线（到、距离相等的点在线段垂直平分线上）； 两条线在区域内的交点，就是发射塔的位置． 图见答案 38．尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，在已知的内部求作一点，使得点到三角形三条边的距离相等； (2)如图②，在边上找一点，使的周长等于； 【答案】(1)如图，分别作、的角平分线，交于点，根据角平分线的性质，点到、的距离相等，到、的距离也相等，因此，点到三条边的距离相等，点即为所求． (2)如图，以B、C为圆心，以相同且大于的长度为半径画弧，交于E、F，连接，交于点D，连接，点D即为所求． 【分析】（1）要求点O到三条边的距离相等，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可以利用三角形两个内角的角平分线交点确定所求点． （2）要求的周长等于，将周长条件转化为线段相等，得到，根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，要使，则点D在线段的垂直平分线上，所以作线段的垂直平分线，它与的交点D即可满足要求． 【详解】（1）略 （2）略 题型12 轴对称图形识别 39．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 40．下列四个图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 41．运动是每个人生活中的一部分，下列各个运动图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 题型13 坐标系内点关于 x轴、y轴对称坐标变换 42．点关于y轴的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵所求点与点关于轴对称， ∴对称点横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为. 43．点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求出点关于轴对称的点的坐标. 【详解】解：根据关于轴对称的点的坐标特点得： 点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为. 44．已知点与点关于x轴对称，则m、n的值分别为（     ） A．3， B．，3 C．3，4 D．，4 【答案】A 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，； 解得，. 题型14.垂直平分线性质与判定计算 45．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ，， ， 垂直平分， ． 46．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，则的周长为（     ） A．12 B．14 C．19 D．26 【答案】C 【分析】根据尺规作图得出垂直平分线段，然后根据线段垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 47．如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长为多少即可． 【详解】解： 是线段的垂直平分线， ， 的周长是， ， ， ， ， 又 ， ． 题型15 等腰三角形角度分类讨论 48．如图，在中，，，，若点M从点B出发以的速度向点A运动，点N从点A出发以的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为． (1)线段_____________、_____________（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)； (2)或4 【分析】（1）根据线段的和差即可得到结论； （2）分两种情况，结合直角三角形的性质，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：、， ∵， ∴； （2）解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或4． 49．如图，为等边三角形，边长为．点P从点A出发沿向点B运动，速度为；点Q同时从点B出发沿向点C运动，速度为．设运动时间为t秒（）． (1)求证：； (2)设与交于点M，求的度数，并说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，． 由题意，，， ∴， 在和中，，，， ∴． (2)解：． 理由：由（1）得， ∴， ∵点M在线段上， ∴， 又， ∵是在顶点M处的外角． ∴． (3)解：存在，． 理由：，，， 若为等边三角形，则， 即， 解得：． 此时，符合题意， ∴当秒时，为等边三角形． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质，进行求解即可； （3）根据等边三角形的判定和性质，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 50．如图，已知在中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由； (2)若点与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等？ 【答案】(1) 解：结论：与全等． 理由：经过秒后，， 中，， ， 在和中， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是明确对应关系； （1）根据边角边论证两三角形全等； （2）根据对应关系不同分两种情况讨论两三角形全等，进而求得速度． 【详解】（1）略 （2）解：设点的运动速度为，经过与全等； 则可知，，， ， ， ①当且时，（）， 且， 解得， ， 舍去此情况； ②当时，（） ∴且， 解得：； ∵点的运动速度与点的运动速度不相等， ∴当点的运动速度为时，能够使与全等． 51．如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． (1)连接，在点P、Q运动过程中，当是直角三角形时，求t的值； (2)连接、相交于点M，在点P、Q运动过程中，的度数是否变化？请说明理由； (3)在（2）的条件下，当t为何值时，为等腰三角形？请说明理由． 【答案】(1)当为秒或秒时，是直角三角形 (2) 解：的大小不发生变化，，理由如下， ∵是等边三角形， ， ∵点的速度相同， ， 在和中 ， ， ， ， 则． (3)时，为等腰三角形，理由 ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质． （1）设点运动秒时，则，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可． （2）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可； （3）根据，得出，则，，得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 设点运动秒时，是直角三角形， 则， ①当时， ∵， ∴， ∴，即，解得，； ②当时， ∵， ∴， ∴，即，解得； 故当为秒或秒时，是直角三角形． （2）略 （3）略 52．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了列代数式、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，数形结合是解决问题的关键． （1 ）根据即可列代数式； （ 2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3 ）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，，此时点在上，如图所示： ∴的面积； （3）解：存在， 理由如下： 当以为底时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，如图所示： 则， ∴， 综上所述：存在，的值为或． 题型16 等边三角形性质与证明 53．如图，在等边三角形中，厘米，点、分别是边、上的动点，点从顶点出发，以1厘米/秒的速度向点运动．同时点从顶点出发，以1厘米/秒的速度向点运动．连接、相交于点，设运动时间为秒． (1)__________厘米（用含的代数式表示）； (2)连接，在点、运动过程中，当是直角三角形时，求的值； (3)在点、运动过程中，的度数是否变化？请说明理由； (4)直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2)为或 (3)的度数不变．理由如下： 是等边三角形， ，， 点，的运动速度相同， ， 在和中， ， ， ， ， 的度数不变； (4) 【分析】（1）根据速度表示，用总长减去得到； （2）中，分两种情况讨论，利用含直角三角形边的倍数关系列方程求出t； （3）先证，转化角，利用外角得到，角度不变； （4）先利用第（3）问结论得到，是钝角，钝角一定是等腰三角形的顶角，因此当为等腰三角形时只能，再利用等边对等角和三线合一推导出． 【详解】（1）解：由题意得厘米， 厘米， ∴厘米； （2）解：由题意得厘米， 是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，当是直角三角形时，为或； （3）略 （4）解：由（3）得， ， 要使为等腰三角形，则有， ，即， 由（3）得， ， ， ， 是的中线， 厘米， 当时，为等腰三角形． 54．解答下列各题 (1)如图1，和都是等边三角形，点D在内部，连接，．求证：； (2)如图2，当和都为等腰直角三角形时，，点B、D、E三点共线，求的度数； (3)为等腰直角三角形，，，在直线上取一点D，使得，连接，过A作，且，连接，．请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：∵和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ，； (2)； (3)或50． 【分析】（1）利用等边三角形的边、角性质，通过角的等量代换得到，再用证明，从而推出对应边相等； （2）由等腰直角三角形的性质得到、，推导出，用证明，得到；结合、、共线的条件，计算的度数，进而求出； （3）分点在线段上和的延长线上两种情况进行讨论，先证明，通过角度计算得出是直角三角形，分别算出两条直角边的长度，最后代入三角形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵和都是等腰直角三角形，且， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点B，D，E共线， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图3，是等腰直角三角形，，连接， ，， ，， ， ， 即， ， ，， ，即， ，， ， ， ， 当点D在线段的延长线上，如图4，，连接， ， 同理可证，，， ， 综上所述，或50． 题型17 最短路径(将军饮马) 55．如图，在等边三角形中，D是的中点，点E，F分别在，上，且，，在上有一动点G，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 作E点关于的对称点，连接交于点G，结合等边三角形的性质得到，进而得到是等边三角形，从而得到的最小值． 【详解】解：如图，作E点关于的对称点，连接交于点G， 在等边三角形中，，， 、， 、， ， ， 是等边三角形， 的最小值为， 故选：C． 56．如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长最小值的平方是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 周长， 周长的最小值是的长， 周长最小值的平方是，线段的长度是， ， ， 是等边三角形， ， ． 57．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 58．如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的应用，最短路径，理解轴对称的性质是解题的关键．连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接交于点，点即是所求的点，此时取最小值， 在等边中，于点D， ， ， ， E是边的中点， ， ， ． 故选：B． 59．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，当时，最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示： 由对称性可知，，， 的周长， ，， ， ， ， ， 当时，最短，此时的周长最小， ，的面积9， ， 的周长最小值为6， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $