精品解析：广东 潮州市潮安区枫溪中学2026-2027学年度第一学期九年级数学10月学情自测试卷

2026－2027学年度第一学期一阶考试 九年级数学科试卷 说明： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟 2、考生答卷必需写于答案卷中指定的位置，答案写于本卷中无效 一、选择题：本大题10小题，每题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 6. 若 ，则的值是 （ ） A. －3 B. 4 C. －4或3 D. 4或－3 7. 已知二次函数，下列说法正确的是 （ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. D. 9. 点都在抛物线上，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，都有．其中正确的是 （ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②④⑤ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解是__________． 12. 若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则________，方程的另一个根为________． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 15. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙的一边长为x米． （1）用含x的代数式表示菜园的面积S（平方米），并写出x的取值范围； （2）若菜园的面积是192平方米，求x的值． 18. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 20. 如图，某景区跨河古拱桥的桥洞上沿为抛物线形状，已知正常水位时水面宽度为20米，拱桥最高点距离水面5米．以拱桥的对称轴为y轴、正常水位的水面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）按要求建立平面直角坐标系，并求该拱桥抛物线的函数解析式； （2）景区准备安排一艘宽度为8米、高度为3米的观光船从桥下通行，请问在正常水位下这艘船能否安全通过？ （3）若汛期水位上涨1米，此时水面宽度变为多少米？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出当取何值时，抛物线在直线的上方？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 年春节期间，国产游戏《黑神话：悟空》的联名文创周边金箍棒造型书签持续热销，一度成为爆款．某电商平台数据显示，该款书签月份销量为万件，月份销量已增至万件． （1）求该电商平台这款书签月到月销量的月平均增长率． （2）某店铺以每件元的价格购进这款书签，当售价为元／件时，日销量为件．市场调查发现，售价每降低元，日销量可增加件．为借助春节热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到元，则每件应降价多少元？ （3）在（2）的条件下，售价定为多少元时日销售利润最大？最大利润是多少元？ 23. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期一阶考试 九年级数学科试卷 说明： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟 2、考生答卷必需写于答案卷中指定的位置，答案写于本卷中无效 一、选择题：本大题10小题，每题3分，共30分． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由， 根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）， 可知顶点坐标为（-1，3）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 3. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 4. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据抛物线平移的左加右减、上加下减规则求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向下平移1个单位长度，得． 5. 已知是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：由根与系数的关系，方程的两根满足，， 代入， 原式． 6. 若 ，则的值是 （ ） A. －3 B. 4 C. －4或3 D. 4或－3 【答案】B 【解析】 【分析】将视为整体换元，转化为一元二次方程后结合非负性取舍根． 【详解】解：设. ∵ ，， ∴ ， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ 舍去， ∴ ． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是 （ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】把函数解析式化为顶点式，运用性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 图象开口向下，对称轴为直线，故选项、均错误，不符合题意； ∴顶点坐标为，故选项正确，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 8. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程未明确为一元二次方程，需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 【详解】解：当，即时， 方程为一元一次方程， 解得，有实数根，符合条件； 当，即时， 方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时的取值范围为且， 综上所述，的取值范围是. 9. 点都在抛物线上，则的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵ 开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为，且， ∴ ． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，都有．其中正确的是 （ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与 y 轴交点位置判断 a，b，c 的符号，可判断①；根据抛物线与 x 轴交点个数判断 的符号，可判断②；根据对称轴为直线，可判断③；根据对称轴为直线，可得与时的函数值相等，可判断④；根据函数的最值，可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， ∴，， ∴， ∵抛物线与y轴交点在 x轴上方， ∴， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与 x轴有两个交点，则，故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， 由图象可得，当时，， ∴当时，，故④错误； ⑤∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， ∴当时，函数取最大值， ∴对于任意实数m，，即，故⑤错误； 综上所述，正确的是①②③． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 12. 若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则________，方程的另一个根为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入方程可求出，再利用根与系数的关系求出另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， 解得， 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积为， ∴， 解得． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 15. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，矩形的性质， 先画出抛物线，根据图像的位置可知当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5，再根据矩形的性质可得答案． 【详解】解：根据题意画出图象， 可知抛物线， 此时抛物线有最高点． 当点A在抛物线的顶点时，最小，最小值是5． ∵四边形是矩形， ∴， ∴对角线的最小值是5． 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 所以，． 17. 如图，用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙的一边长为x米． （1）用含x的代数式表示菜园的面积S（平方米），并写出x的取值范围； （2）若菜园的面积是192平方米，求x的值． 【答案】（1） （2）8或12 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用矩形的面积公式列出关系式； （2）把代入（1）中函数解析式求解即可. 【小问1详解】 解：∵垂直于墙的一边为，篱笆总长度为40米， ∴平行于墙的一边为， ∴， 由， 解得 ∴； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得，， ∵， ∴x的值为8或12． 18. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2） 对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法，结合已知三点坐标求解二次函数解析式． （2）利用二次函数的性质求对称轴、顶点坐标，判断增减性． 【小问1详解】 解： ∵二次函数的图象经过点、， ∴设该二次函数的解析式为（）． 将代入解析式， 得 ， 解得． ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴对称轴为直线． 将代入， 得 ， ∴顶点坐标为． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根： （2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值． 【答案】（1） 证明：， 因为，所以， 所以方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系建立关于的方程解决问题． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用根与系数的关系建立关于的方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程，得， 整理，得或， ∵方程的一个根比另一个根大3，∴或， ∴或． 20. 如图，某景区跨河古拱桥的桥洞上沿为抛物线形状，已知正常水位时水面宽度为20米，拱桥最高点距离水面5米．以拱桥的对称轴为y轴、正常水位的水面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）按要求建立平面直角坐标系，并求该拱桥抛物线的函数解析式； （2）景区准备安排一艘宽度为8米、高度为3米的观光船从桥下通行，请问在正常水位下这艘船能否安全通过？ （3）若汛期水位上涨1米，此时水面宽度变为多少米？ 【答案】（1）， （2）能 （3）米． 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，再利用待定系数法进行解答即可； （2）求出当时的自变量的值，再作差后进行判断即可； （3）求出当时的自变量的值即可求出答案 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图，则抛物线顶点为，经过点， 设抛物线的解析式是，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式是， 【小问2详解】 解：当时，，解得， ∵，， ∴观光船从桥下正中间通行，在正常水位下这艘船能安全通过； 【小问3详解】 解：当时，， 解得 ∴若汛期水位上涨1米，此时水面宽度变为米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）求的面积； （3）直接写出当取何值时，抛物线在直线的上方？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）联立函数解析式，求出方程组的解即可求解； （）连接，设直线与轴交于点，可得，再根据解答即可； （）利用函数图象解答即可求解． 【小问1详解】 解：联立函数解析式，得， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，连接，设直线与轴交于点， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，抛物线在直线的上方． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 年春节期间，国产游戏《黑神话：悟空》的联名文创周边金箍棒造型书签持续热销，一度成为爆款．某电商平台数据显示，该款书签月份销量为万件，月份销量已增至万件． （1）求该电商平台这款书签月到月销量的月平均增长率． （2）某店铺以每件元的价格购进这款书签，当售价为元／件时，日销量为件．市场调查发现，售价每降低元，日销量可增加件．为借助春节热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到元，则每件应降价多少元？ （3）在（2）的条件下，售价定为多少元时日销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） 月平均增长率为 （2） 每件应降价13元 （3） 售价定为元时日销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据月平均增长率表示出月销量，列一元二次方程求解． （2）根据“总利润每件利润销量”列方程，结合尽快减少库存的条件选取合适的解． （3）根据“总利润每件利润销量”，得到总利润关于售价的二次函数，结合二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：设这款书签月到月销量的月平均增长率为，则 , 解得：(不合题意，舍去)， 因此，这款书签月到月销量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：每件应降价元,则 , 解得：, 为尽快减少库存，取, 即每件应降价13元． 【小问3详解】 解：设售价定为元时销售利润是元，则 ， ∵， ∴售价定为元时日销售利润最大，最大利润是元． 23. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）求出，利用待定系数法求出解析式即可； （2），连接与抛物线的对称轴交于点，此时的周长最小，求出，进一步求出直线的解析式为，由的对称轴是直线，即可得到； （3）过点作，交于点，求出，得到，设，则，得到，当时，有最大值，最大值为，得到的最大面积为， 即可得到，得到四边形的面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， 将，代入得到 解得 ∴抛物线的解析式是 【小问2详解】 解：如图所示，连接与抛物线的对称轴交于点，则， ∵， ∴此时的周长最小， 此 ∵，， ∴ ∴， 设直线的解析式为，把，代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∵的对称轴是直线， 当时，， ∴ 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于点， ∵的对称轴是直线，， ∴ ∴， ∴， 由（2）可知直线的解析式为， 设，则， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $