精品解析：广东清远市博爱学校2026-2027学年第一学期九年级数学9月份学情反馈

2026-2027学年第一学期9月份学情反馈 九年级数学科 时间120分钟 一、本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、化简得，整理为，不是一元二次方程； B、分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、含两个未知数，不是一元二次方程． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】需注意各特殊四边形判定定理的适用前提，逐一验证选项． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C、 平行四边形的对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定条件． 3. 一元二次方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 的值分别是 （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程一般形式确定，，的值． 【详解】解：方程中，，，． 4. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 6. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 7. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即． 将，，代入，得． 整理得． 解得． 8. 2026年的世界杯足球赛的小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有72场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有x支球队，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且两队之间的比赛为同一场， ∴单个小组的比赛总场数为， ∵每小组共有72场比赛， ∴可列方程为． 9. 已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点，是线段的两个黄金分割点，则，即可解答． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴． 10. 如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点， ∴，且，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 如图，公路与互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为____________． 【答案】 1.2 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：公路与互相垂直， ， 是直角三角形， 点是的中点，的长为， ， 即，两点间的距离为． 12. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 13. 如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小． ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 14. 某公司前年营业额40万元，今年营业额万元，该公司这两年的营业额的年均增长率为，可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据前年营业额今年营业额，即可列出方程． 【详解】解：设该公司这两年的营业额的年均增长率为，可列方程， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 15. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有露出水面，那么此时水面高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【详解】解：如图所示：作 于点 ， 由题意可得，，，, 故 ， 由题意可得：，， 故 ， , , 解得：, 所以此时水面高度为 三、解答题(一)：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC. 【答案】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°． ∴四边形OCED是矩形．∴DE=OC． ∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°， ∴． ∴BC=OE． 【解析】 【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，从而得到OCED是矩形，由勾股定理即可求出BC=OE． 【详解】略 17. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解∶第一步 或第二步 ，第三步 （1）嘉嘉的解法从第 步开始出现错误，她采用 的方法解方程； （2）请用正确的方法解方程． 【答案】（1）一；因式分解． （2），． 【解析】 【分析】（1）把嘉嘉第一步所得的两个一次因式乘开，与原方程左边逐项比较，判断错误从哪一步开始，并由“两个因式的积为”这一转化识别她所用的解法； （2）用因式分解法重新分解原方程左边，再由“两个因式的积为，则至少有一个因式为”把二次方程化为两个一次方程求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴它与原方程左边的不相等，嘉嘉第一步的因式分解有误，她的解法从第一步开始出现错误． ∵嘉嘉是把方程左边分解成两个一次因式的积，再由两个因式的积为得出每个一次因式为， ∴她采用的是因式分解法． 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴． ∴原方程可化为． ∴或． ∴，． 18. 如图，四边形是矩形，请在矩形内找一点，使，．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，在上截取，使，则，作线段的垂直平分线，连接，交线段的垂直平分线于点P，点P即为所求． 【详解】略 四、解答题(二)：本大题共3小题，每题9分，共27分． 19. 如图是一个三角点阵，从上往下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点． （1）前8行的点数和为___________，用含n的式子表示前n行的点数和为___________； （2）根据（1）的结论，前n行的点数和能是100吗？如果能，请求出n的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）36， （2）前n行的点数和不能是100．理由如下：假设前n行的，点数和是100，则，即， 解得． 为整数， 前n行的点数和不能是100. 【解析】 【分析】（1）前8行的点数和为：，解答即可，用含n的式子表示前n行的点数和为，解答即可； （2）建立一元二次方程，求方程的整数解，解答即可． 【小问1详解】 解：前8行的点数和为：， 用含n的式子表示前n行的点数和为： ． 【小问2详解】 解：略． 20. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程是常用的解题方法，这种方法可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式 的最大值． 解：原式 的最大值为4． 【问题解决】 （1）写出代数式的最大值为 ． （2）如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边上，，分别与交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）仿照示例求解即可； （2）根据三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，证明四边形是矩形，得到；设，则，证明，求出，再用含x的式子表示出对应矩形的面积，利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为9； 【小问2详解】 解：∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴，即， ∴， ∴； ∵，即 ∴，即， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 设，则， ∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为3， 答：矩形台面面积的最大值为． 21. 【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【解析】 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 五、解答题(三)(共2题)：本大题共2小题，每题12分，共24分． 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）①且；②或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，求一次函数解析式，写出直角坐标系中点的坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标； （2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可；②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而得到，求出的值，即可得到的值； （3）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 23. （1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】 （1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期9月份学情反馈 九年级数学科 时间120分钟 一、本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 一元二次方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 的值分别是 （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，，，，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 8. 2026年的世界杯足球赛的小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有72场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有x支球队，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分． 11. 如图，公路与互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为____________． 12. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 13. 如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是__________． 14. 某公司前年营业额40万元，今年营业额万元，该公司这两年的营业额的年均增长率为，可列方程__________． 15. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有露出水面，那么此时水面高度是________． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每题8分，共24分． 16. 如图所示,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证OE＝BC. 17. 嘉嘉解一元二次方程的过程如图所示： 解方程 解∶第一步 或第二步 ，第三步 （1）嘉嘉的解法从第 步开始出现错误，她采用 的方法解方程； （2）请用正确的方法解方程． 18. 如图，四边形是矩形，请在矩形内找一点，使，．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每题9分，共27分． 19. 如图是一个三角点阵，从上往下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点． （1）前8行的点数和为___________，用含n的式子表示前n行的点数和为___________； （2）根据（1）的结论，前n行的点数和能是100吗？如果能，请求出n的值；如果不能，请说明理由． 20. 【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程是常用的解题方法，这种方法可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式 的最大值． 解：原式 的最大值为4． 【问题解决】 （1）写出代数式的最大值为 ． （2）如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边上，，分别与交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 21. 【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． （1）晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； （2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 五、解答题(三)(共2题)：本大题共2小题，每题12分，共24分． 22. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为___________； （2）若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； （3）已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 23. （1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $