精品解析：重庆市西南大学附属中学校、重庆育才中学校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

数学试题 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】， 则. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解. 【详解】 ， 故选：C 3. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】假设“”成立，结合向量运算可得、方向相同，若“”成立，得到、方向相同或相反，即可得. 【详解】在向量，非零向量向量的情况下， 若，即， 即有，即， 又，故，即、方向相同，故， 即“”是“”的充分条件； 若，则、共线，但、方向可能相同也可能相反； 综上所述，“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 4. 已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】通过前3项和以及，求解，由通项公式可计算结果. 【详解】因为，所以， 又的前3项和为28，即①， 又②， ②式比①式可得，解得（舍）或， 代入②式得，则. 故选：D 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性，先通过中间量区分与的大小，再比较和c的大小即可得出三者顺序. 【详解】对数函数的底数为，函数在上单调递减， ，即， 指数函数的底数为，函数在上单调递减， ，即， 幂函数，指数为，函数在上单调递增， ， 指数函数的底数为，函数在上单调递减， ， 综上得，. 6. 已知圆台上底面的圆心为，下底面的圆心为，为下底面直径，，，点在下底面圆周上，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形求圆台的高及下底面半径；过作的垂线，利用二面角的平面角求到的距离，再求三角形面积． 【详解】过作，垂足为，连接，如图所示， 因为是下底面圆的直径，所以是的中点，且， 又垂直于下底面，所以，故为的垂直平分线，， 在等腰三角形中，平分顶角，故， 于是，， 由于在下底面内，垂直于下底面，所以， 又由作图知，且直线与相交于点，两直线均在平面内， 所以垂直于平面，又平面，从而， 因为在上，、分别在平面、内，且都垂直于交线， 所以是二面角––的平面角，即， 在直角三角形中，，，故，， 又是下底面圆的圆心，且，故为弦的中点， 由勾股定理，， 因此. 7. 若函数与函数的图象有唯一的交点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两函数图象有唯一交点转化为对应方程有唯一实根，通过换元构造偶函数，结合偶函数性质与函数最值求解参数. 【详解】函数与图象有唯一交点等价于方程有唯一实根， 即 ， 令，则， 代入上式展开化简得 ， 设，由题意有唯一零点， 的定义域为R，显然，故为偶函数，图象关于轴对称， 因为有唯一零点，则零点只能为， 若存在非零零点，则也为零点，与唯一实根矛盾， 将代入方程得  ，解得. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若边上的高等于，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角形面积公式、余弦定理将转化为关于内角的三角函数，再利用辅助角公式求最大值. 【详解】因为边上的高为，故， 化简得， 由余弦定理得，将代入得， 所以，其中，为锐角， 由于，故的最大值为1，因此的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据共轭复数和模的定义可判断A、B，根据复数的运算法则可判断C、D． 【详解】因为，所以，故A正确， ，故B正确， ，故C错误， ，故D错误． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在点处的切线方程为 B. C. 当时， D. 若，使得，均有成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求导确定函数的单调区间，判断A、B、C；再求函数在上的最大值，把D中的存在性条件化为区间有公共点的问题． 【详解】由已知，故在，上单调递增，在上单调递减． 对于A，，， 故切线方程为，即，故A正确． 对于B，因为，且在上单调递减， 所以，故B错误． 对于C，当时，有，由单调递减可得，故C正确． 对于D，由上述单调性可得在上的最大值为． 因此题设条件等价于存在，使． 又，故或． 所以只需满足，或，即或． 则，故D正确． 11. 下列物体中能够被整体放入底面半径为，高为的有盖圆柱体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 底面直径为，高为的圆柱体 B. 棱长为的正四面体 C. 2个底面半径为，高为的圆锥体 D. 上底面边长为，下底面边长为，高为的正四棱台 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆柱体的轴截面结合空间几何体的结构特征逐一进行分析求解. 【详解】选项A，圆柱体表面任意两点之间的直线距离的最大值为轴截面的对角线AC的长度，如图（1），， 若某圆柱体放置到容器中时其旋转轴恰好与AC重合，作出轴截面，如图（2）， 设，则，当时，且，所以选项A正确； 选项B，同选项A的分析知，若棱长为的正四面体可以放入，则其一条棱必与圆柱体容器的轴截面的对角线重合，不妨设与AC重合， 又圆柱体内长为的线段都过AC中点，这与正四面体对棱互相异面矛盾，故选项B错误； 选项C，按如图（3）所示放置，让两个圆锥体的某两条母线重合，且轴截面与圆柱体的轴截面共面， 此时组合体高度与圆柱高度相等，底面直径为，小于圆柱底面直径，故选项C正确； 选项D，按如图（4）所示放置，让正四棱台的下底面与圆柱体的轴截面重合，为圆柱中心轴线， 下底面顶点到轴线的距离为1，上底面顶点到轴线的距离为， 故全部顶点到轴线的距离均不大于1，故选项D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知菱形的边长为，，为的中点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】 已知边长为，， ，， . 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是球的直径，若平面平面，，，且三棱锥的体积为72，则球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到两个等腰直角三角形，结合面面垂直的性质求出三棱锥的高，通过体积求解球半径后计算球的表面积. 【详解】如图所示； 设球的半径为，由是球的直径，球心为的中点， 由直径所对圆周角为直角，，， 由，，与为等腰直角三角形，，且， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， ， 解得， 设为球的表面积，所以. 14. 已知函数及其导函数的定义域为，记，若，均为偶函数，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，再求导变换可得，又为偶函数，则，再推导可得函数的周期为，然后利用周期性求和即可． 【详解】为偶函数，， 求导得，即， 则， ，解得， 为偶函数，， 又，则， ， 则， 函数的周期为， 又，， 则，，即， 又，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期是 （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换化简 ，结合最小正周期求出 ，再利用正弦函数的单调性求解 的递增区间； （2）再根据图象平移规则得到 的解析式，结合给定定义域确定相位的取值范围，利用正弦函数的图象性质求 的值域. 【小问1详解】 ， 已知 的最小正周期 ，且 ，由周期公式 ，得 ，故 令 ，移项得 ， 两边同除以 2 得 , 因此 的单调递增区间为 . 【小问2详解】 将 的图象向右平移 个单位，得：， 当 时， ，故 ， 由正弦函数的图象性质， ，因此 ， 即 在 上的值域为 . 16. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求满足条件的最大整数的值． 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用累乘法即可求出通项公式； （2）结合（1）求出，利用裂项相消法求和，再求解不等式即可得解． 【小问1详解】 当时，由，得，则， 因此， 又当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得， 故， 因此可得，即，解得， 所以满足条件的最大整数． 17. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，讨论函数在的零点个数． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，仅有1个零点； 当或时，有2个零点； 当且时，有3个零点． 【解析】 【分析】（1）求导后得，再分和讨论即可； （2）方法1：首先当时零点情况，再分析时的极小值和极大值，再对极大值的正负进行分类讨论即可； 方法2：令得或，再分离参数并设新函数，求导后分析其极值，并得到其图象，再转化为直线与函数交点个数问题即可. 【小问1详解】 ， 因为定义域为，则． ①当时，则恒成立，则当时，；当时，； ②当时，令则或， 若，即时，当或时，；当时，； 若，即时，，当且仅当时取得等号； 若，即时，当和时，；当时，； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 法1：，当时，． 由（1）可得，当时，在上单调递增，故在有唯一零点． 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值. 且， 在取得极大值. ①当，即时，有唯一零点； ②当，即时，有2个零点； ③当且，即且时，有3个零点； 当且，即时，有两个零点。 综上所述：当时，仅有1个零点； 当或时，有2个零点； 当且时，有3个零点． 法2：或， 设，则 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 所以的极小值；当；当， ①当时，直线与无交点，即仅有1个零点； ②当时，直线与有一个交点，即有两个零点，且分别为和； ③当且时，直线与有两个交点，即有3个零点； ④当时，直线与有两个交点且有一个交点横坐标，即有两个零点重合，故只有2个零点． 综上所述：当时，仅有1个零点； 当或时，有2个零点； 当且时，有3个零点． 18. 如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与面所成角的正弦值； （3）若，求三棱柱的体积取最大值时的的值． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 所以，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）取中点，由题设可证明，，，则可建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）过作，证明平面，再通过各边关系，将三棱柱的体积用表示，再构造函数，利用导数求函数的单调性，从而可求最大值时的. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 在中，，， 所以，， 在中，， 同理在中，， 所以在中，，则，， 在中，，所以， 如图，以点为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 设直线与面所成的角为， 则， 所以直线与面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 过作，交于点，过作，交于点，连接， 在中，，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 且，即， ， 所以三棱柱的体积， 所以， 令，，， ，令，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以当时，三棱柱的体积取得最大值. 19. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上一点反射后，反射光线会经过椭圆的另外一个焦点．已知椭圆：的左右焦点分别为，，从右焦点发出的一条光线经过椭圆上的点反射，反射光线经过反射点反射到上的点，经过（，）次反射后经过反射点． （1）求，，并验证，的值是否满足； （2）当为奇数时，反射光线经过左焦点，反射光线经过右焦点，求证： 数列为等比数列，其中，并求出数列的通项公式； （3）求（为奇数，且）面积的最大值． 【答案】（1），，满足； （2）如图，当为奇数时，点在第四象限，点在第二象限，且， 当点在第四象限时，反射光线经过左焦点，设，其中， 由，消去整理得， 则，故； 由点在椭圆上，所以， 所以，即， 所以； 故当为奇数时，. 由于当为奇数时，反射光线经过右焦点，同理可得，， 当为奇数时，， 令，，则， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得. （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立求得，代回验证，得解； （2）由题可得设，其中，将其与椭圆方程联立求得，结合可得，进而得，同理可得，即，令，，则，结合等比数列的定义证明； （3）设，，可得，，进而可得，又，所以，结合（2）可得，由，令，得，得，，利用导数判断单调性求解. 【小问1详解】 因为椭圆，所以，，所以， 所以直线的方程为， 联立，消去整理得， 故为方程的两个相异的实根，所以， 又，故，将的值代入解得， 因为，所以，，且成立. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当为奇数时，设，， 所以，， 由于， 又， 所以， 由于，可得， 又由，得， 故 ， 由于，解得， 所以， 当为奇数时，令，，所以， 所以，令，得，且， 所以，， 令，， 因为， 所以在上单调递增，故， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 128 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台上底面的圆心为，下底面的圆心为，为下底面直径，，，点在下底面圆周上，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与函数的图象有唯一的交点，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，若边上的高等于，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在点处的切线方程为 B. C. 当时， D. 若，使得，均有成立，则实数的取值范围是 11. 下列物体中能够被整体放入底面半径为，高为的有盖圆柱体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 底面直径为，高为的圆柱体 B. 棱长为的正四面体 C. 2个底面半径为，高为的圆锥体 D. 上底面边长为，下底面边长为，高为的正四棱台 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知菱形的边长为，，为的中点，则________． 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是球的直径，若平面平面，，，且三棱锥的体积为72，则球的表面积为________． 14. 已知函数及其导函数的定义域为，记，若，均为偶函数，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期是 （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 16. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求满足条件的最大整数的值． 17. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，讨论函数在的零点个数． 18. 如图，在三棱柱中，，，，. （1）证明：； （2）当时，求直线与面所成角的正弦值； （3）若，求三棱柱的体积取最大值时的的值． 19. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上一点反射后，反射光线会经过椭圆的另外一个焦点．已知椭圆：的左右焦点分别为，，从右焦点发出的一条光线经过椭圆上的点反射，反射光线经过反射点反射到上的点，经过（，）次反射后经过反射点． （1）求，，并验证，的值是否满足； （2）当为奇数时，反射光线经过左焦点，反射光线经过右焦点，求证： 数列为等比数列，其中，并求出数列的通项公式； （3）求（为奇数，且）面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $