重庆市西南大学附属中学校、重庆育才中学校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

数学试题 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，，则是的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等比数列的前3项和为28，且，则（ ） A．28 B．56 C．64 D．128 5．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．已知圆台上底面的圆心为，下底面的圆心为，为下底面直径，，，点在下底面圆周上，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．若函数与函数的图象有唯一的交点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知的内角，，的对边分别为，，，若边上的高等于，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．若，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数在点处的切线方程为 B． C．当时， D．若，使得，均有成立，则实数的取值范围是 11．下列物体中能够被整体放入底面半径为，高为的有盖圆柱体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A．底面直径为，高为的圆柱体 B．棱长为的正四面体 C．2个底面半径为，高为的圆锥体 D．上底面边长为，下底面边长为，高为的正四棱台 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知菱形的边长为2，，为的中点，则________． 13．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是球的直径，若面面，，，且三棱锥的体积为72，则球的表面积为________． 14．已知函数及其导函数的定义域为，记．若，均为偶函数，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知函数的最小正周期是 （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 16．（本小题15分）已知数列满足， （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求满足条件的最大整数的值． 17．（本小题15分）已知函数，其中 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，讨论函数在的零点个数． 18．（本小题17分）如图，在三棱柱中，，，， （1）证明：； （2）当时，求直线与面所成角的正弦值； （3）若，求三棱柱的体积取最大值时的的值． 19．（本小题17分）圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上一点反射后，反射光线会经过椭圆的另外一个焦点．已知椭圆：的左右焦点分别为，，从右焦点发出的一条光线经过椭圆上的点反射，反射光线经过反射点反射到上的点，经过（，）次反射后经过反射点． （1）求，，并验证，的值是否满足； （2）当为奇数时，反射光线经过左焦点，反射光线经过右焦点，求证： 数列为等比数列，其中，并求出数列的通项公式； （3）求（为奇数，且）面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $题号12345 678 9 10 11 答案C DD B AB ACD ACD 12.-313.144元14.-4 15.【解析】1)因为函数/代)=sin(+名+coox-孕=2snax+名的最小正周期是元， 6 所以@=2，回f)=2sm2x+7.由-号+2r≤2x+名经+2ke2, 6 解得-号+k红≤x≤名+k红ke工，所以f的单调递增区间 -+kz,T+k kEZ. 6 2)-22x-孕+引-2n2x-骨，令2x-号=，因为r[ π2π 3 2 所以e33 因为y=2在号引上单调莲瑞，在[各号]上单调减 所以当1=号时，=2sin1的最大值为y=2sm号=2； 当号时，少=2m-骨=5，当1-时，y=2m行-5.所以y=2n1的最小值为-5. 3 即g)的值域为5,2 …13分 6【1a》法上当2，由8a-8-月释名受-片则受- a n a受各是品 a 2' 而a=1满足上式，所以数列包，)的通项公式为a=" 法2当m≥2时.由1ga-ga=+},得1ga-ga=le++le”片-侵×…”-2 因此a,:”生，而a=1清足上式，所以数别么的通项公式为，”空 2 7分 2》由④0a+o习产品 2 4++=沿引》-（引传 由1-2，≤20，得m≤40，又neN,所以满足条件的最大整数n=40 n+221 …15 分 17.【解析】(1)f'(x)=e*+(x-2)e-mr+m=(x-1(e*-m) 因为定义域为x∈(-o,+o),则e>0 ①当m≤0时，则e-m>0恒成立，则当x<1时，f(x)<0:当x>1时，f(x)>0: ②当m>0时，令f'(x)=0则x=1或x=lnm 若lnm<1,即0<m<e时，当x<lnm或x>1时，f'(x)>0:当lnm<x<1时，f'(x)<0: 若nm=1,即m=e时，fx)=(x-1(e-m)≥0，当且仅当x=1取得等号： 若lnm>1,即m>e时，当x<1和x>lnm时，f'(x)>0:当1<x<lnm时，'(x)<0: 综上所述：当m≤0时，fx)在(-∞，)上单调递减，fx)在(L,+∞)上单调递递增： 当0<m<e时，f(x)在(-o,lnm)和(1，+o)上单调递增，f(x)在(lnm,l)上单调递减： 当m=e时，f(x)在(-o,+o)上单调递增： 当m>e时，f(x)在(-o,l)和nm,+o)上单调递增，f(x)在(l,lnm)上单调递减. 8分 (2)法1：=(-2e-2+m，0=-2,当x→o时，f)→m 由(1)可得，当m=e时：f(x)在(0，+o)上单调递增，故f(x)在(0，+o)有唯一零点. 当m>e时，f(x)在(O,)和(nm,+o)上单调递增，f(x)在(L,lnm）上单调递减，所以fx)在x=nm取得极小值 f0m)=0nm-2m-受am+mnm=-受hm-2且/仙m)≤0，f在x=1取得极大值/0=空-e @当级-e<0,即e<m<2e时，f)有唯一零点： @当贺-e=0,即m=2时，f)有两个零点： @当贺-e>0且fm=-受nm-2P<0,即m>2且m≠e2时，f)有三个零点： 当-e>0且/m)=-受nm-2=0,即m=e时，fd有两个零点 综上所述：当e≤m<2e时，f)仅有一个零点： 当m=2e或m=e2时，f(x)有两个零点； 当m>2e且m≠e2时，f(x)有三个零点 15分 法2：=-2-受+m=-2e-空，=0台=2政2-空 设g国->0，则e产-受e8国-受8e=- x2 x2 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减：当x>1时，g'(x)>0,g(x)在(1，+o)单调递增 所以g(x)的极小值g0)=e;当x→0*，g(x)→+0；当x→+o,g()→+o, @当e≤m<2e时.直线y-受与y=8)无交点，即/)仅有一-个零点x=2: ②当m=2时，直线y=号与y=g)有一个交点，即f)两个零点分别为x=1或x=2: 国当m>2e且m≠e时，直线y=”与y=g)有两个交点，即fx)有三个零点： 2 @当m=时，直线y=受与y=g)有两个交点且有一个交点横坐标x=2, 即f(x)有两个零点重合，故f(x)只有两个零点 综上所述：当e≤m<2e时，f(x)仅有一个零点： 当m=2e或m=e2时，f(x)有两个零点： 当m>2e且m≠e2时，f(x)有三个零点. 15分 18.【解析】(1)连接AC,取BC的中点O,连接AO,AO,因为AB=AC,∠AAC=∠AAB,A4=AA, 所以△MAC≌△4AB,，则4C=AB,所以A,O⊥BC①又因为AB=AC,所以AO1⊥BC② 而AO,AOc面AAO,且AO∩AO=O,所以BC⊥面AAO, 又AAc面AAO,所以BC⊥AA 5分 (2)当a=B=号时，A1BC为等边三角形 又由余弦定理4C=48=2+2-2x3x2×c号=5， 所以40=√4B2-B02=V7-1=6, 又AO=V5,所以AO+AO=AA,故AO⊥AO,又AO⊥BC, 所以AO⊥面ABC. 法1：如图，以OA,OB,OA为x轴，y轴，：轴的正方向建立空间直角坐标系： 43,00),B0,10),C(0,-10),A(0,0V6) AB=(0,1-6),BC=(0,-2,0),BB=A=(-3,06 设面8C℃品的法向量m=k,由@C=0一 -2y=0 m.BB=01-V3x+6:=01 解得y=0,可取x=√2，：=1，则m=(20,) 设直线AB与面BCCB所成角为O, 48 则sin0=cos(4B,m 614 A园 7x5 7 .11分 法2：取B,C,的中点D,连接AD,DO,则A,A,O,D四点共面过A作AH⊥OD于H① 由(1)：BC⊥面AAO,则BC⊥面A4OD,而4Hc面A4OD,所以BC⊥AH② 由①②，且OD,BCc面BCCB,且OD,∩BC=O,则AHL面BCC,B, 所以∠ABH为直线AB与面BCC,B所成角， 在Rn40中，4H=4DX40-5x6=5, OD 3 则sim∠ABH=4H=巨-4 AB√77 .11分 (3)法1：由已知∠AAC=∠4AB=a,所以A在面ABC上的射影P在∠ABC的角平分线上， 过P作PQ⊥AB于Q,连接AQ,则AB⊥AQ,在R△4AQ,RA4AP,RA4PQ中， cosa=40 AA ，cos∠A4P=P ,cosB=4但，则cosa=cos∠44 P.cos 2 AP 2 所以cos∠AAP=cosa 故c-AG=5uc×4Axm∠44P=×4 xsinx3x7-4sn2号=6s血B-20-csg网 2 =6V0-cos2B2cosB-D,令f0=0-t21-),其中1=cosBe(5) 由0=，2+2=0，则“西，则0在兮，上举港中正0单建说 6 6 所以当1=c0sB=+正时，0取得最大值，从而三棱柱ABC-ABG,的体积取得最大值 6 17分 法2：在△4AB中：AB2=9+4-2×3×2×cosa=13-12cosa 在RA4OB中：AO=2cos ’B0=2sin B 在RIM,OB中：AO=√AB-BO= 13-12cosa-4sin' 2 在AM40中：cos∠440-4+40-A0_9+4os号-03-12csa-45in马 cosa cos(-B) 2×AA×AO 2×3×2cos月 cos B cos B 2 2 以下同法1 17分 19【解折】因为%=5=}所以RB的直线方程为y=+)。 =+ 联立 ,得7x2+6x-13=0,故x,x2为方程7x2+6x-13=0的两个相异的实根， -=1 所以名=号又由于名山，解得名=号将代入y=+)解得为=名 9 因为密片，故=号为品且著 4分 (2)证明：如图，当n为奇数时，点Pn在第四象限，点P1在第二象限，由己知Pn1(x1) 当点户在第四象限时，反射光线P经过左焦点R,设x=m-1,其中m=， x=my-1 若5-460-90 -9 -9 由韦达定理得：3n千故 -9 -9y2 3m2+4 3+12 3x+4y+6xn+3 +4 y. -3→y-2x,+5 又由于点P化，)在曲线C上，所以3戏+4=12，故，12+6+32x,+5 -9y2 -3y 所以=m-1上，之3。-1= -5xm-8 yn 2x +5 2xm+5 -5xn-8 故当n为奇数时，X=2元+5 又由于当n为奇数时，反射光线PnDn2经过右焦点，同理可得y+2 3yn 5xn+1-8 25221=1 5-5x,-8)-8 51-8=2x,+5 当n为奇数时.：--；25-9-520x+4 41xn+80 2xn+5 41x21+80 +2 61+80,所以+2-20+4 令n=2k-1,故n-20+41 21-241x4+80 =81.+2 -2 4-2 20x2-1+41 又由于x=,所以+？-3，故数列+2是以-3为首项，81为公比的等比数列， ￥-2 x2-1-2 所以号-3×81=-34=2-g子eN) 4 12分 2k--2 (3)法一：当n为奇数时，设nD=Pn,Pnn2=μPn(,μeR), 故元=1-业，u=a1-2, Yn+l yn+l 时3PPPP,且5y SAPFF3 2B5m26 PF PF2 所以S=业.21=-01-2 yn+l 5x-8,得x,=2x1+5 由于x22xn+5 -5xm+1-8 「25a-8+ 又迪得2+2+5之 -=- 3yn+1 3 3 2x1+5' 43y1） -3y1】 故S=-0a1-2) +2+5y2-a(色1+824-8）_4-l64 yn+l yn+l (2n+1+5)(2x1-5) 4x71-25 又自于号号1，解得94石，故S 25(x2-16)4-x 3 4x21-25 当n为有藏时，令n=2张-收eN所以=名2-一2) 9 所以x+ 2远x52 -5x-8_526 设1=4-x1, 2tr,w2- 4r2+9 2W5(4-21r2+108) 5r 因为f'= >0, 42+9 (42+9 (4r2+9 所以0在09上单调超，放了0， 7 所以：的面积的取值粒调为别 17分 法二：设PnE=Pn，PnPn=uPn(亿，ueR) 由A=D,得（化，-以-y）=1-小，所以。-=2）， (y-n+1=-yn+1 故=+0-水，由于点P在曲线C上，所以3买+4好=12， Jn=(1-)yn1 所以3[-+0-2)x]+40-)}'y21=12→322-60-元)k1+0-元x+4y2上12， 又有于说+，代入式得会之等程得-之 4(x24-16)y1 故S=Sn5= 4x71-25 又自于学号1，解得4一石，故5人子 25(-16)4-,后面解法同法一。 43 4x7+1-25