精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2027届高三第三次质量检测数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2027届高三第三次质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 又，所以. 若一个集合含有个元素，则它的所有子集个数为，真子集需要排除集合本身，因此真子集个数为. 代入，得真子集个数为. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简求，再求正切值. 【详解】由，可知，， 且，则，所以，所以， 所以. 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，若，则，因此. 已知，代入上式得，解得. 由等差数列前项和公式，可得. 又，得，代入得. 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，先确定函数定义域，又在上单调递减，则函数在上单调递减，再根据奇偶性的定义判断即可；对于BD，易知函数为增函数；对于C，根据定义可知函数为偶函数． 【详解】对于A，函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 则函数既是奇函数又在区间上单调递减，故A符合题意； 对于B，在上单调递增， 在上单调递增，故B不符合题意； 对于C，的定义域为，且， 则函数为偶函数，故C不符合题意； 对于D，函数在上单调递增，故D不符合题意． 5. 若数列是以为首项、以为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（ ） A. 是以为首项、以为公差的等差数列 B. 是以为首项、以为公比的等比数列 C. 是以为首项、以为公比的等比数列 D. 是以为首项、以为公比的等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可判断是等比数列. 【详解】，，对任意，，为定值， 所以是公比为、首项的等比数列. 6. 若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“存在，使得成立”为假命题， 则其否定“对任意，恒成立”为真命题. 由，将不等式变形为，该不等式要在上恒成立， 则需小于等于的最小值. 根据基本不等式，当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的取值范围是. 7. 数列满足，设数列的前项和为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据前项和与通项公式之间的关系可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足， 当时，则； 当时，则，可得，即； 且符合上式，所以. 则， 可得，即， 若对任意恒成立，则， 且，可得，解得或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 8. 已知，将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像关于对称，则的取值个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象变换可得，根据对称轴可得，，进而分析求解即可. 【详解】将向轴正方向平移个单位，得到， 可知函数的图像关于对称， 则，，解得，， 且，即，解得， 且，则，所以的取值个数为5. 二．选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式、纯虚数的定义、复数的四则运算法则、复数的几何意义，逐一判断各选项正误. 【详解】选项A：，A正确； 选项B：，是实数，不符合纯虚数“实部为0且虚部不为0”的定义，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，对应复平面内的点，位于第四象限，D正确. 10. 已知在中，，，，，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，，，，且，，三点共线，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据题设结合余弦定理及勾股定理得到，，通过平面向量基本定理可判断A；结合勾股定理求解判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D． 【详解】因为， 由余弦定理，， 即，所以，则， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，由题意知， 故A正确； 对于B，，由勾股定理，故B正确； 对于C，， 则 ， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，则， 由B知，则， 又三点共线，所以，所以，故D错误． 11. 是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 函数有个零点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件根据偶函数性质可得，结合周期函数的定义判断A，数形结合可判断B选项；利用对数的运算性质以及函数的周期性、对称性、可判断CD选项． 【详解】对于选项A，因为函数是定义在上的偶函数，所以恒成立，故， 又，所以， 将替换为可得，， 将替换为可得，， 所以，故函数是周期为的周期函数，A正确； 对于选项B，因为，所以函数的图像关于点对称， 又当时，，为偶函数，函数是周期为的周期函数， 可得函数的图象如下图所示： 由可得， 由图可知，函数的图象与函数的图象有3个交点， 故函数有个零点，B错误； 对于选项C，因为，故，则， 所以，且， 即， 所以 ，C正确； 对于选项D，因为函数是周期为的偶函数且图像关于对称， 所以，， ， 又因为，所以， 所以 ， 因为， 所以，D正确． 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，．若，则实数的值为________． 【答案】 6 【解析】 【详解】因为，则. 代入，，得 ，即，解得. 13. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式计算得出公比，再结合等比数列求和计算得解. 【详解】设等比数列公比为， 由得， 即，解得，（舍去）， 所以. 14. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数，求得，从而求得. 【详解】函数， ， 令，得，即，； 令，得，即，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值 ，极小值点为. 所以，. 令，得， 所以，即， 所以. 因为，所以，. 所以. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 （1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； （2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关. （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望（或1.2）. 【解析】 【分析】（1）注意和作比较； （2）利用超几何分布进行计算. 【小问1详解】 由题意得：男生体质测试不达标为人，女生合计为人， 女生体质达标为人，体质测试达标合计人，体质测试不达标合计人，列联表如下： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为学生体质健康测试达标与性别有关。 【小问2详解】 体测不达标的男女比例为，所以抽取男生2人，女生3人， 所以抽取2人，女生的人数为，则可能取值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16. 已知函数． （1），时，求曲线在处的切线方程； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入参数确定函数解析式，计算切点坐标与该点处的导数值（切线斜率），再用点斜式写出切线方程； （2）由极值点必要条件建立的关系，代入导数后因式分解，通过分类讨论导数在两侧的符号变化，结合极小值点的符号特征确定的取值范围. 【小问1详解】 ，时，函数为，定义域为， ，即切点为， ，得斜率， 由点斜式得， 故曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 函数定义域为，， 因为是的极值点，故，代入得，即， 所以， 分母，因此的符号由分子决定， 当时，，，单调递减；，，单调递增，所以是的极小值点，符合题意； 当时，，在上单调递减，故不是的极值点； 当时，，，单调递增；，，单调递减，所以是的极大值点，不符合题意； 综上，的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． （1）证明：； （2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】（1） ，为中点，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质可证得结论； （2）取中点，根据垂直关系，可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用体积公式可求得，设，利用二面角的向量求法可求得的值，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 为等边三角形，； 分别为中点，，， 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， ，解得：， ，，，， ，，， 假设在棱上存在点，使得二面角的大小为， 设，则， ； 设平面的法向量， 则， 令，解得：，，； 平面，平面的一个法向量为， ，解得（舍）或， ，则； 存在点，满足，使得二面角的大小为. 18. 已知的内角，，对应的边为，，，且． （1）求； （2）若，为所在平面内一点，，位于直线两侧，满足且． （i）设，分别为和的面积，且，求； （ii）设，分别为和的重心，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为三角函数关系，再结合三角形内角和求角； （2）（i）设，分别表示两个三角形的面积，利用已知面积关系求；（ii）取的中点，利用重心的向量关系把转化为，再由余弦定理和辅助角公式求最小值． 【小问1详解】 由，结合正弦定理可得： ，又， 可得：，即， 即． 因为，所以. 【小问2详解】 设，则，且． （ⅰ）在中，由正弦定理得. 所以. 因此. 而. 由，得． 结合，得. 故． （ⅱ） 取的中点，连接，． 因为，分别为和的重心，所以. 从而. 在中，由正弦定理得. 又，位于直线两侧，所以. 在中，由余弦定理得. 化简得. 设，，则. 当时等号成立，且此时． 因此. 所以的最小值为. 19. 已知椭圆：的上顶点为． （1）若椭圆经过点，且离心率为，求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，分别与椭圆交于不同于点的、两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． （i）在（1）的条件下，求直线的斜率的所有可能值； （ii）是否存在椭圆，使得满足条件的恰有个，若存在，求椭圆离心率的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）. （2）（i）；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用离心率建立的关系，将已知点代入椭圆方程，联立求解得到椭圆标准方程； （2）（i）设直线斜率为，得斜率为，分别联立椭圆求弦长，由列方程求解正根；（ii）对一般椭圆推导弦长相等的三次方程，因式分解后分析二次因子的正根个数，将条件转化为离心率的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆离心率，得， 由，得，故，所以椭圆方程为， 又椭圆经过点，得，解得， 因此椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）椭圆上顶点，设直线的方程为（），由，直线的方程为， 联立直线与椭圆方程得，消去并整理得， 方程的一个根为（对应点），由韦达定理得点的横坐标为， 由弦长公式得，将替换为，可得弦长， 由等腰直角三角形条件，得，约去公共正项得， 整理得，即， 二次方程的判别式，无实根，因此唯一正实根为， 综上，直线的斜率的值为； （ii）设一般椭圆，上顶点， 当直线的斜率不存在或斜率时，不能构成； 设直线的方程为，不妨设， 联立直线与椭圆方程得，消去 得，展开并整理得， 设方程两根为 （分别对应点 、点 的横坐标），显然 ，由韦达定理，两根之和满足， 得点的横坐标为， 由弦长公式 ， 当时，，得，将替换为，可得， 由得， 约去公共正项，整理得，即， 是一个正实根，对应1个以为直角顶点的等腰直角三角形； 对二次方程，其判别式， 当时，，二次方程无正实根（或重根），仅存在1个满足条件的三角形； 当时，，由韦达定理，两根之和，两根之积为，因此方程有两个不同的正实根，且均不等于，对应2个新的等腰直角三角形， 因此当时，共有3个满足条件的， 由，，代入得，即，得， 结合椭圆离心率范围为，得； 综上，存在满足条件的椭圆，离心率的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2027届高三第三次质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 若数列是以为首项、以为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（ ） A. 是以为首项、以为公差的等差数列 B. 是以为首项、以为公比的等比数列 C. 是以为首项、以为公比的等比数列 D. 是以为首项、以为公比的等比数列 6. 若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，设数列的前项和为，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像关于对称，则的取值个数为（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 10. 已知在中，，，，，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，，，，且，，三点共线，则 11. 是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 函数有个零点 C. D. 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，．若，则实数的值为________． 13. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为________． 14. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要（年）》文件精神，全面落实“健康第一”的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一．某校为了解学生体质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了名学生，由样本数据整理得到如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 （1）将列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析学生体质健康测试达标是否与学生性别有关； （2）在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取人作进一步调查，再从这人中随机抽取人进行访谈，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1），时，求曲线在处的切线方程； （2）若是的极小值点，求的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为的等边三角形，且． （1）证明：； （2）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 18. 已知的内角，，对应的边为，，，且． （1）求； （2）若，为所在平面内一点，，位于直线两侧，满足且． （i）设，分别为和的面积，且，求； （ii）设，分别为和的重心，求的最小值． 19. 已知椭圆：的上顶点为． （1）若椭圆经过点，且离心率为，求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，分别与椭圆交于不同于点的、两点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． （i）在（1）的条件下，求直线的斜率的所有可能值； （ii）是否存在椭圆，使得满足条件的恰有个，若存在，求椭圆离心率的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $