期中专项训练（第10章～12章）阶段复习解答题考点汇总训练（八大类型）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第10章～12章）阶段复习解答题考点汇总训练 （八大类型） 目录 考点一整式 1 考点二合并同类型 2 考点三整式的加法和减法 5 考点四整式的乘法 7 考点五乘法公式 9 考点六整式的除法 11 考点七因式分解的意义 12 考点八因式分解的方法 15 考点一整式 1．下列代数式哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？请写出相应的序号． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】单项式：③④⑨；多项式：①②⑤；整式：①②③④⑤⑨． 【分析】根据单项式、多项式和整式定义进行判断即可． 【详解】解：单项式有：③；④0；⑨； 多项式有：①；②；⑤； 整式有：①；②；③；④0；⑤；⑨． 2．已知单项式与的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式的指数的定义，单项式的所有字母指数之和为该单项式的次数，则，解之求出m的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与的次数相同， ∴， ∴， ∴． 3．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 考点二合并同类型 4．已知关于的多项式的次数是5，是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】的值为 【分析】根据多项式次数的定义求出m的值，再确定二次项的系数得到n的值，最后代入代数式计算． 【详解】解：∵多项式各项的次数依次为，且关于的多项式的次数是5， ∴， ∴， ∴， ∴二次项为， ∵是该多项式二次项的系数， ∴， ∴． 5．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 6．将字母C，H按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C，有4个字母H；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H；第3个图形中有3个字母C，有8个字母H根据此规律解答下面的问题． (1)第4个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ (2)第个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？（用含的式子表示） (3)第2026个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ 【答案】(1)第个图形中有个字母，有个字母 (2)第个图形中有个字母，有个字母 (3)第个图形中有个字母，有个字母 【分析】（1）根据规律作答即可； （2）根据规律找到个数与的关系即可； （3）代入（2）中的关系式计算即可． 【详解】（1）解：第个图形中有个字母，有个字母； 第个图形中有个字母，有个字母； 第个图形中有个字母，有个字母， 依此类推，第个图形中有个字母，有个字母； （2）解：观察规律：第个图形中有个字母；第个图形中有个字母；第个图形中有个字母； 总结规律得：第个图形中有个字母， 同理观察规律：第个图形中有个字母；第个图形中有个字母；第个图形中有个字母； ∵字母的个数是字母的个数的倍多，字母C的数量等于， ∴第个图形中有个字母； （3）解：由规律可知，第个图形中有个字母，有个字母． 考点三整式的加法和减法 7．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．恒恒做了一道题：已知两个多项式和，其中，试求的值．在做题过程中，他误将“”看成“”，得出的结果是，请你帮恒恒求出这道题的正确结果． 【答案】 【分析】根据算出的值，再代入运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值，______，_______，_____； (2)设点在数轴上对应的数为，若，则_____； (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则______； ②若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点，点的距离之和是? 【答案】(1)；； (2)或 (3)①；②秒或秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性，确定的值，利用距离公式计算即可； （2）由可知表示数的点与表示数的点之间的距离为，结合数轴列式求解； （3）①由于点在点之间，而与分别代表点与点的距离，那么即为之间的距离，也可以利用去绝对值求解； ②设经过秒，则点表示的数为，则可分别用含的绝对值式子表示，分点运动到点右侧和点左侧两种情况讨论，并检验解得的值是否符合条件即可． 【详解】（1）解：， ，， ，，． （2）解：， 表示数的点与表示数的点之间的距离为， 或． （3）解：①点在点之间，而点表示的数为，点表示的数为， 与分别代表点与点，点之间的距离， 表示点与点，点之间的距离之和，即为点之间的距离， ． ②设经过秒，则点表示的数为， ，， 当点运动到点右侧时，即时， ，， ， ， 解得． 当点运动到点左侧时，即时， ，， ， ， 解得． 综上所述，当经过秒或秒时，蚂蚁所在的点到点，点的距离之和是． 考点四整式的乘法 10．已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：，， ． 11．数学小组同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，比如在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图），同学们对于这个建筑的占地面积（图中阴影）展开了讨论，并对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用含a，b的代数式表示这个建筑物的占地面积（结果化为最简）； (2)若，，请计算出这座建筑物的占地面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形特点和长方形面积公式，利用多项式乘以多项式表示出建筑物的占地面积； （2）将已知的的值代入（1）中代数式，即可计算出建筑物的占地面积． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，时，． 12．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为_____； (2)展开式共有_____项，第3项系数为_____； (3)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)6，10 (3)32 【分析】（1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，然后写出的展开式，进而求解即可； （3）将原式还原为展开式的形式，然后求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解： ， ， ， ∴ ∴的展开式有6项，第3项系数为； （3）解：依题意，， ∴ ． 考点五乘法公式 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 14．先化简，再求值：，其中，满足，. 【答案】，3 【分析】展开中括号内的整式并合并同类项，完成整式除法化简后代入给定的，值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 当，时，原式． 15．用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形 (1)由图②和图①可以得到关于面积的等式为_____________________． (2)小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N两种纸片各多少张； 【答案】(1) (2)需要M纸片6张，N纸片6张 【分析】（1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答； （2）根据多项式乘多项式即可解答． 【详解】（1）解：由图可得，图②的大正方形边长为， ∴大正方形的面积为， 由图可得，大正方形由1张正方形M（面积为）、1张正方形N（面积为）和2张长方形D（每张面积为）拼成， ∴面积之和为， ∴； （2）解：由题意得， ， ∵每张M纸片的面积为，每张N纸片的面积为， ∴总面积中项和项的系数即为M和N纸片的张数， ∴需要M纸片6张，N纸片6张． 考点六整式的除法 16．计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 17．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 18．按下列程序计算，把答案写在表格内： (1)填写表格： 输入 3 输出答案 1 1 (2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 【答案】(1)1，1 (2)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把n的值代入程序中计算即可得到结果； （2）列出程序中表示的运算，化简即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，． （2）略． 考点七因式分解的意义 19．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 【分析】本题根据因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，对每个小题逐一判断即可． 【详解】（1）解：，从左到右是整式的乘法运算，结果是多项式的和的形式，不是几个整式的乘积，因此不属于因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此属于因式分解； （3）解：，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，因此属于因式分解； （4）解：，变形后结果仍是和的形式，不是几个整式乘积的形式，因此不属于因式分解． 20．因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【分析】先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等得到，，结合，，都为整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 21．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 考点八因式分解的方法 22．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 23．实践探索：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请根据图中数据分别表示这两个建筑物的占地面积； (2)若，则图中福建土楼和山西大院的占地面积谁更大，并说明理由？ 【答案】(1)福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为 (2)解：福建土楼的占地面积更大，理由如下： 由（1）知福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴福建土楼的占地面积更大. 【分析】（1）用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积进行求解即可； （2）利用作差法进行比较即可. 【详解】（1）解：福建土楼的占地面积为 ； 山西大院的占地面积为 ； （2）略 24．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； (2)【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1)解： ； (2)因式分解结果为；使成立的的值为或 (3)当，时，多项式有最小值，最小值为 【分析】（1）利用平方差公式继续分解因式即可； （2）先将二次三项式转化为完全平方减常数的形式，再用平方差公式因式分解；令多项式值为0可求得对应x的值； （3）将多项式中含x、y的项分别配方为完全平方的形式，利用平方的非负性确定最小值及对应x、y的取值． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∵， ∴当时，， ∴由乘法运算法则可得或， 解方程得， 解方程得， ∴使成立的x的值为或； （3）解： ， ∵， ∴，当且仅当时取得等号， ∴当，，即时，原式取得最小值5． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第10章～12章）阶段复习解答题考点汇总训练 （八大类型） 目录 考点一整式 1 考点二合并同类型 2 考点三整式的加法和减法 3 考点四整式的乘法 4 考点五乘法公式 5 考点六整式的除法 6 考点七因式分解的意义 7 考点八因式分解的方法 8 考点一整式 1．下列代数式哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？请写出相应的序号． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 2．已知单项式与的次数相同，求的值． 3．写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 考点二合并同类型 4．已知关于的多项式的次数是5，是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 5．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 6．将字母C，H按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字母C，有4个字母H；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H；第3个图形中有3个字母C，有8个字母H根据此规律解答下面的问题． (1)第4个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ (2)第个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？（用含的式子表示） (3)第2026个图形中有多少个字母C，有多少个字母H？ 考点三整式的加法和减法 7．化简： (1)； (2)． 8．恒恒做了一道题：已知两个多项式和，其中，试求的值．在做题过程中，他误将“”看成“”，得出的结果是，请你帮恒恒求出这道题的正确结果． 9．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出，，的值，______，_______，_____； (2)设点在数轴上对应的数为，若，则_____； (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则______； ②若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点，点的距离之和是? 考点四整式的乘法 10．已知，，求的值． 11．数学小组同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，比如在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图），同学们对于这个建筑的占地面积（图中阴影）展开了讨论，并对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用含a，b的代数式表示这个建筑物的占地面积（结果化为最简）； (2)若，，请计算出这座建筑物的占地面积． 12．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为_____； (2)展开式共有_____项，第3项系数为_____； (3)利用上面的规律计算：； 考点五乘法公式 13．先化简，再求值：，其中． 14．先化简，再求值：，其中，满足，. 15．用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形 (1)由图②和图①可以得到关于面积的等式为_____________________． (2)小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为的大长方形图片，求需要M，N两种纸片各多少张； 考点六整式的除法 16．计算： (1) (2)； (3)． 17．先化简，再求值：，其中，． 18．按下列程序计算，把答案写在表格内： (1)填写表格： 输入 3 输出答案 1 1 (2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 考点七因式分解的意义 19．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 20．因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 21．1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 考点八因式分解的方法 22．写出下列多项式各项的公因式： (1)； (2)． 23．实践探索：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请根据图中数据分别表示这两个建筑物的占地面积； (2)若，则图中福建土楼和山西大院的占地面积谁更大，并说明理由？ 24．【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如：要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法，这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； (2)【实战演练】用配方法因式分解；并直接写出使成立的x的值． (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $