专题15 直线与圆 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题15直线与圆同步培优讲义 ✺知识框架 1.位置关系判定 ：按公共点个数划分；按圆心到直线的距离d与半径r的数量关系划分 2.切线：切线的判定定理及两种证明思路；切线的性质定理及推论 3.切线长：切线长的概念；切线长定理及其推论 ✺学习目标 1.理解直线与圆相交、相切、相离的概念，能够依据公共点个数、圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定直线和圆的位置关系，也能根据位置关系推导对应的数量关系。 2.掌握切线的判定定理与性质定理，能够规范书写切线的证明过程，熟练掌握切线问题的常用辅助线作法。 3.理解切线长的定义，掌握切线长定理，会运用定理完成线段、角度的证明与相关计算，了解其拓展推论。 4.在推理论证中体会数形结合、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何运算能力。 ✺题型归纳 题型1.判断直线和圆的位置关系 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型6.有关切线的概念辨析 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 题型8.证明某直线是圆的切线 题型9.切线的性质定理应用 题型10.切线的性质和判定的综合应用 题型11.应用切线长定理求解 题型12.应用切线长定理求证 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型14.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 题型15.切线的应用 题型16.圆内知识综合 题型17.圆与三角形的综合 题型18.圆与四边形的综合 题型19.圆与函数的综合 题型20.圆与圆的位置关系 题型21.分层专项训练 ✺知识清单 知识点01直线与圆的位置关系 设⊙ O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。 1.相交：直线与圆有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。数量关系：d<r。 2.相切：直线与圆有且只有一个公共点，这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线。数量关系：d=r。 3.相离：直线与圆没有公共点。数量关系：d>r。 4.用表格表示直线与圆的位置关系 说明：两种判定方式等价；解题时优先利用d与r的数量关系判定位置关系。 知识点02切线的判定定理 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：∵OP是⊙O的半径，直线⊥OP，点P在⊙O上，∴直线是⊙O的切线。 切线证明两种基本思路： ① 已知直线与圆有公共点：连接圆心与该公共点，证明垂直； ② 未知直线与圆是否存在公共点：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径。 知识点03切线的性质定理 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：∵直线是⊙O的切线，P为切点，∴OP⊥。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 常用辅助线：已知切线，连接圆心与切点，构造垂直关系。 知识点04切线长定理 1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3.几何语言：∵ PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA=PB，OP平分∠APB。 推论【培优拓展】：圆心与圆外一点的连线垂直平分两个切点的连线，即OP垂直平分AB。 ✺题型精讲 题型1.判断直线和圆的位置关系 1．若的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则直线与的位置关系是（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 3．如图，，M为上一点，．判断直线与以点M为圆心，下列r为半径的圆的位置关系： (1)； (2)； (3)． 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 2．在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 3．如图，在中，，当以A为圆心的与直线：①相切；②相交；③相离时，分别求的半径r． 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 2．的半径为，直线和点的距离为，若直线与有公共点，则的范围________． 3．在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 2．如图，若直线与轴、轴分别交于点、，并且，，一个半径为的，圆心从点开始沿轴向下运动，当与直线相切时，运动的距离是__________． 3．在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 2．在平面直角坐标系中，将点变换得到点，则称点是点的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． （1）点的“变换点”的坐标为___________； （2）已知点在轴的上方，且，若点的“变换点”为点，且在点在直线上，则的最大值为___________． 3．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 题型6.有关切线的概念辨析 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 2．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 3．下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 2．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 3．如图，在△ABC中，AB=AC． （1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在下图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当∠BAC=100°时，求∠AED的度数. 题型8.证明某直线是圆的切线 1．数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 2．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 3．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 题型9.切线的性质定理应用 1．如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 2．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 3．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 题型10.切线的性质和判定的综合应用 1．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 2．如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为________，连接并延长交于G，则的最大值为________． 3．如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 题型11.应用切线长定理求解 1．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，分别与相切于点A，B，C为延长线上一点，与相切于点D，且于点C，，，则的半径____． 3．已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长． 题型12.应用切线长定理求证 1．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 3．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 2．已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________． 3．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 题型14.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 1．要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 2．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 3．如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 题型15.切线的应用 1．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是___． 3．综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 题型16.圆内知识综合 1．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　） A． B．10 C．7.2 D． 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 3．背景材料：舞台旋转光束．在平面直角坐标系中，固定一个圆形道具盘（圆），圆心为，半径．舞台中心处有一束张角固定为且可以绕逆时针方向旋转的探照灯，在探照灯旋转过程中，形成半径大于3的扇形光束，圆盘落在扇形内的部分为照亮区域．设角平分线为，从轴正半轴出发，当旋转的角度为时，照亮区域的面积为，其中． 示意图如下： (1)当时，的取值范围为___________． (2)请从对称性，增减性，最值三个方面描述的性质． 题型17.圆与三角形的综合 1．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 3．如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 题型18.圆与四边形的综合 1．如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 3．如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 题型19.圆与函数的综合 1．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 2．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 3．已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 题型20.圆与圆的位置关系 1．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 2．已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 3．如图，已知的直径，射线与相切于点A，半径为1，圆心P在射线上运动（点不与点重合），连接，交于点D，过点B作的平行线，交于点，交射线于点． (1)求证：； (2)令，请求出关于的函数解析式（不用写出定义域）； (3)连接并延长，交于点G，当时，求与的位置关系． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 3．如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 5．如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______． 6．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 三、解答题 7．小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动． 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧． 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线·圆”． 如图2，动点从确定的射线的端点出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线·圆”运动，图中的圆就是“射线·圆”． 【理解】 (1)请用直尺和圆规作图，探索下列问题．（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为的射线，再作动点关于射线的半径为的“射线·圆”． ②如图4，已知端点为的射线和直线，．动点从点出发做“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在直线上作出到点距离最大的点的位置． 【运用】 (2)如图5，点到直线的距离为．从点出发的动点做半径为的“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在动点落在直线上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的距离． 8．在平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离”，记作．特别地，若图形，有公共点，规定． (1)如图 ， 的半径为 ， 点 ，，则 _______，_______． 已知直线 ： 与 的“距离”， 求 的值． (2)如图，已知点 ，，， 的圆心为 ，半径为 ，若，请直接写出 的取值范围． 9．如图1和图2，在菱形中，，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为时，圆心落在边上． (2)如图，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由，求出的半径． (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长． (4)点在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15直线与圆同步培优讲义 ✺知识框架 1.位置关系判定 ：按公共点个数划分；按圆心到直线的距离d与半径r的数量关系划分 2.切线：切线的判定定理及两种证明思路；切线的性质定理及推论 3.切线长：切线长的概念；切线长定理及其推论 ✺学习目标 1.理解直线与圆相交、相切、相离的概念，能够依据公共点个数、圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定直线和圆的位置关系，也能根据位置关系推导对应的数量关系。 2.掌握切线的判定定理与性质定理，能够规范书写切线的证明过程，熟练掌握切线问题的常用辅助线作法。 3.理解切线长的定义，掌握切线长定理，会运用定理完成线段、角度的证明与相关计算，了解其拓展推论。 4.在推理论证中体会数形结合、转化的数学思想，提升逻辑推理与几何运算能力。 ✺题型归纳 题型1.判断直线和圆的位置关系 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型6.有关切线的概念辨析 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 题型8.证明某直线是圆的切线 题型9.切线的性质定理应用 题型10.切线的性质和判定的综合应用 题型11.应用切线长定理求解 题型12.应用切线长定理求证 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型14.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 题型15.切线的应用 题型16.圆内知识综合 题型17.圆与三角形的综合 题型18.圆与四边形的综合 题型19.圆与函数的综合 题型20.圆与圆的位置关系 题型21.分层专项训练 ✺知识清单 知识点01直线与圆的位置关系 设⊙ O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。 1.相交：直线与圆有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。数量关系：d<r。 2.相切：直线与圆有且只有一个公共点，这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线。数量关系：d=r。 3.相离：直线与圆没有公共点。数量关系：d>r。 4.用表格表示直线与圆的位置关系 说明：两种判定方式等价；解题时优先利用d与r的数量关系判定位置关系。 知识点02切线的判定定理 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：∵OP是⊙O的半径，直线⊥OP，点P在⊙O上，∴直线是⊙O的切线。 切线证明两种基本思路： ① 已知直线与圆有公共点：连接圆心与该公共点，证明垂直； ② 未知直线与圆是否存在公共点：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径。 知识点03切线的性质定理 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：∵直线是⊙O的切线，P为切点，∴OP⊥。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 常用辅助线：已知切线，连接圆心与切点，构造垂直关系。 知识点04切线长定理 1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3.几何语言：∵ PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA=PB，OP平分∠APB。 推论【培优拓展】：圆心与圆外一点的连线垂直平分两个切点的连线，即OP垂直平分AB。 ✺题型精讲 题型1.判断直线和圆的位置关系 1．若的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则直线与的位置关系是（     ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，据此即可解答． 【详解】解：∵的圆心O到直线的距离，的半径，， ∴直线与相离． 2．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 3．如图，，M为上一点，．判断直线与以点M为圆心，下列r为半径的圆的位置关系： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)相离 (2)相交 (3)相切 【分析】（1）过点M作，根据题意，得，再利用法则求解即可； （2）利用法则求解即可； （3）利用法则求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点M作，垂足为E， 根据题意，得， 故， ， 故直线与以点M为圆心，的圆相离； （2）解：， 故直线与以点M为圆心，的圆相交； （3）解：， 故直线与以点M为圆心，的圆相切． 题型2.已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点O，连接，过点O作于点H，设，则，利用勾股定理求出，，然后求出，利用勾股定理求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，过点O作于点H， ∵，，， ∴设，则 ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∵点O是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵以为直径的与边有公共点， ∴ ∴ ∵ ∴的值不可以是． 2．在中，，，，若以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点，则该圆半径的取值范围为______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理；分直线与圆相交和相切两种情况解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵，， ∴当时，可知以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点； 过点作于点，如图， 可知当时，以为圆心的圆与斜边相切，此时圆与斜边有且只有一个公共点， ∵， ∴， 解得，即； 综上，当以为圆心的圆与斜边有且只有一个公共点时，该圆半径的取值范围为或， 故答案为：或． 3．如图，在中，，当以A为圆心的与直线：①相切；②相交；③相离时，分别求的半径r． 【答案】①当与直线相切时，的半径， ②当与直线相交时，的半径， ③当与直线相离时，的半径． 【分析】先过点A作，解三角形算出，再根据直线与圆位置关系，比较的半径r与距离2的大小，最后分别写出相切、相交、相离对应的的半径r． 【详解】如图，过点A作于点D，设． ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中，， 则 ， ， 解得，即． 当以A为圆心的与直线相切时，的半径；当以A为圆心的与直线相交时，的半径；当以A为圆心的与直线相离时，的半径． 题型3.已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．已知的半径等于4，直线与没有公共点，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆无公共点，可得圆心到直线距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵ 直线与没有公共点， ∴ 直线l与相离， ∴ 圆心O到直线l的距离半径r， ∵， ∴， 故选：D 2．的半径为，直线和点的距离为，若直线与有公共点，则的范围________． 【答案】 【分析】直线和圆有三种位置关系：相离、相切或相交，根据以上内容即可得出，即可求解． 【详解】解：∵的半径为，直线和点的距离为，直线与有公共点， ∴直线和圆相交或相切， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，能理解直线和圆的三种位置关系的内容是解此题的关键． 3．在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； （2）解：∵直线与相切， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． 题型4.求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 2．如图，若直线与轴、轴分别交于点、，并且，，一个半径为的，圆心从点开始沿轴向下运动，当与直线相切时，运动的距离是__________． 【答案】3或7 【分析】分圆运动到第一次与AB相切，继续运算到第二次与AB相切两种情况，画出图形进行求解即可得. 【详解】设第一次相切的切点为 E，第二次相切的切点为 F，连接EC′，FC″， 在 Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1， ∴BC′＝2EC′＝2， ∵BC＝5， ∴CC′＝3， 同法可得 CC″＝7， 故答案为 3 或 7． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形的性质，会用分类讨论的思想解决问题是关键，注意数形结合思想的应用. 3．在平面直角坐标系中，的半径为1． 给出如下定义：记线段的中点为，当点不在上时，平移线段，使点落在上，得到线段（分别为点的对应点）线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”． （1）已知点的坐标为，点在轴上． ①若点与原点重合，则线段到的“平移距离”为________； ②若线段到的“平移距离”为2，则点的坐标为________； （2）若点都在直线上，且，记线段到的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点的坐标为，且，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②或；（2） ；（3） 【分析】（1）根据平移的性质以及线段AB到的“平移距离”的定义判断即可求出． （2）过点O作 于E，联立方程组求出OE即可得出的最小值． （3）以A为圆心，1为半径作，连接OA 交于E、F；由图可知：当M在点时，最小；在点E时，最大．由此得出的取值范围． 【详解】（1）①当B与原点O重合时，AB中点为，移动最小距离为向左平移到上． 故答案为： ②当“平移距离”为2时，如图： 有两种情况，当为时， ，AB=4， 为． 当为时，，AB=8，B为． 故答案为： 或． （2）如图： 直线如图L，当L平移到m位置时，最小.即平移到直线m与相切时，最小． 过点O作于E， 则 设直线OE为y=kx， ， ∴ 即， ∴． 联立方程组， 解得： ， ∴E为 ， ∴， ∴． （3）∵， ∴AM=1， 即M点在以A为圆心，半径为1的圆上，如图所示： 连接OA 交于E、F，可知：当M在点F时，最小；在点E时，最大． 当M在F时，， 当M在E时，， ∴． 【点睛】本题属于综合题，考查了平面直角坐标系平移变换，一次函数的性质，圆相切的相关概念，解直角三角形，线段AB到的“平移距离”的定义等知识；此题解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 题型5.求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 2．在平面直角坐标系中，将点变换得到点，则称点是点的“变换点”．例如，点的“变换点”是点． （1）点的“变换点”的坐标为___________； （2）已知点在轴的上方，且，若点的“变换点”为点，且在点在直线上，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】（）代入变换公式计算坐标，求出变换点； （）设，则，由题意判断点在以原点为圆心，半径为的半圆上，则点是直线与半圆的交点，故当直线与半圆相切时，的值最大，然后利用直线与圆相切求最大值即可． 【详解】解：（）根据“变换点”的定义：若原点坐标为，变换点坐标为， 对于点，，， 横坐标：， 纵坐标：， ∴点的变换点坐标为； （）设，则， ∵点在直线上， ，即． ∵点在轴的上方，且， ．点在以原点为圆心，半径为的半圆上， 根据点在直线上可得点是直线与半圆的交点， 当直线与半圆相切时，的值最大，即， 整理得中， ， 解得为，（负值舍去）, 即的最大值为． 3．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 题型6.有关切线的概念辨析 1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 3．下列说法正确的是（     ） A．在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定，由圆周角定理、垂径定理、切线的判定逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、经过切点且垂直于过切点的半径的直线是圆的切线，故原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 题型7.判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 3．如图，在△ABC中，AB=AC． （1）若以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，请在下图中作出点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若该圆与边AC相交于点E，连接DE，当∠BAC=100°时，求∠AED的度数. 【答案】 （1）如图所示，点D为所求 （2）65°. 【分析】(1)分析题干可知：作AD⊥BC，由于AB=AC，由等腰三角形的性质可知当AD平分∠BAC即可满足：以点A为圆心的圆与边BC相切于点D； （2）由AD平分∠BAC，可得 由圆A半径相等AD=AE，可得∠ADE=∠AED，即可得出答案. 【详解】解：（1）略 （2）如图： ∵AD平分∠BAC ∴ 在中，AD=AE， ∴∠ADE=∠AED ∴ 【点睛】本题考查作图，切线的判定和性质等知识，掌握圆的基本性质是解题的关键. 题型8.证明某直线是圆的切线 1．数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】根据切线的判定定理，需证明，嘉嘉利用了“直径所对的圆周角是直角”构造直角；淇淇利用了等腰三角形“三线合一”的性质构造直角，分别验证两人的作图依据即可． 【详解】解：对于嘉嘉的作法：∵作的垂直平分线交于点， 为的中点，即以为圆心，为半径的圆是以为直径的圆， 点在该圆上， ，即， 为的半径， 为的切线，故嘉嘉的作法正确； 对于淇淇的作法：连接， ∵以为圆心，为半径作弧， ，即为等腰三角形， ∵以为圆心，为半径作弧， ． 为的直径，为半径， ，即， 点在上且在上， 为的一半，即为的中点， 在等腰中，，为底边的中点， ，即， 为的半径， 为的切线， 故淇淇的作法正确； 综上所述，两人都正确． 2．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 3．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 【答案】(1)证明：连接、， ∵是的直径， ∴，即． 又， ∴，即D是的中点． ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 又是的半径， ∴是的切线； (2) (3)4 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，结合，得出，则是的中位线，即可得，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在中，根据勾股定理求出，再根据等面积法求解即可； （3）过点O作于点H，根据三线合一得出，在中，是的中位线，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴在中，． ∵， ∴，解得． （3）解：过点O作于点H， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴在中，是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离为4． 题型9.切线的性质定理应用 1．如图，内接于，平分交于点D，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由切线的性质可得，表示出，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，利用圆周角定理得出，最后再由角平分线的定义即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴若要求的度数，只需要知道的度数． 2．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大；进一步分析可得当与小圆相切时，最小，利用垂径定理和勾股定理可得的最小值，即可得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图．    当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为； 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 3．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程． 【答案】 【分析】根据切线的性质，可得，，再利用全等三角形的性质求，最后根据勾股定理，计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， 光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C． ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，，则， ， 直径为， 则这张光盘的直径为． 题型10.切线的性质和判定的综合应用 1．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 2．如图，在矩形中，，，E是边一个动点，将沿对折得到、若，则的度数为________，连接并延长交于G，则的最大值为________． 【答案】 /75度 2 【分析】本题考查了矩形与折叠，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据题意当与相切时有最大值是解题关键．根据折叠的性质即可求出的度数；以点为圆心，长为半径作，根据矩形与折叠的性质，可得是的切线，进而得出当与相切时，即、两点重合时，有最大值，然后根据等角对等边的性质以及勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， ； 如图，以点为圆心，长为半径作， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，， ， 当与相切时，即、两点重合时，有最大值， ， ， ， ， 在中，， ， 即的最大值为， 故答案为：；． 3．如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，其中交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， 是的半径， ∴是的切线； (2) (3) 【分析】（1）连接，如图，根据垂径定理由为的中点，得到为的垂直平分线，所以，证明，得出，根据切线的判定定理得与相切； （2）设的半径为，则，，得出，解得，求出的长； （3）由扇形的面积减去两个直角三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， , ， ∴； （3）解：∵， ∴在中，， 结合（1）可得：， ∴． 题型11.应用切线长定理求解 1．如图，是的切线，为切点，与相切于点，分别交于点．若的周长为，则切线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据切线长定理可知，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：连接，，， ，分别与相切， ， 同理，， 的周长为， ， ， ， ， ， ． 2．如图，已知，分别与相切于点A，B，C为延长线上一点，与相切于点D，且于点C，，，则的半径____． 【答案】2 【分析】先连接，再根据切线的性质说明四边形是正方形，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． ∵， ∴ ∵是的切线， ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 所以的半径． 3．已知：如图，分别为的切线，切点分别为，，，求的长． 【答案】 【分析】根据切线长定理得到，根据得到为等边三角形，继而得到． 【详解】解：分别为的切线， ， ， 为等边三角形， ． 题型12.应用切线长定理求证 1．如图，分别与相切于两点，与相切于点，与相交于两点，若，，则的周长和的度数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基础知识，切线的性质，掌握切线的性质，圆周角定理的运用是解题的关键． 根据切线的性质可得，，可得的周长，如图所示，连接，可求出所对圆心角，根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于两点， ∴，即，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵分别与相切于两点， ∴， ∴，， ∴的周长为， 如图所示，连接， ∵分别与相切于两点，， ∴，， 在中，， 同理，， ∴所对的圆心角， ∴所对圆心角， ∴， 故选：． 2．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【答案】65° 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 3．如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 题型13.直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 2．已知直角三角形的两直角边分别长为，8，则其内切圆的半径为__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用面积法建立等式求解内切圆半径． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为和， 由勾股定理得斜边长为， 如图，设该直角三角形内切圆的半径为， 该直角三角形的面积为， 该直角三角形的面积也为三个小三角形的面积和，即， ， 化简得， 解得． 3．如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 题型14.过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 1．要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【答案】A 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角；根据作图方法以及切线的判定，判断两个作图方法，即可求解． 【详解】解：对于方案I，如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故I正确； 对于方案II， 根据作图可得，则是等边三角形， 而不一定成立，故不一定成立， ∴不一定是的切线，故方案II，不可行 故选：A． 2．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3．如图，已知及圆外一点P． (1)尺规作图：过点P作的两条切线，，切点分别是点A，B（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，沿着与劣弧相切的任意一条直线（点M，N分别在，上）截下一块三角形，求截下的的周长． 【答案】(1) (2)截下的的周长为20 【分析】（1）要过圆外一点P作的切线，核心原理是利用“直径所对的圆周角是直角” ．首先连接线段，作线段的垂直平分线，找到的中点，以中点为圆心，到点O为半径画弧，交于A、B两点，连接、，、即为所求的两条切线，点A、B为切点． （2）首先找切线相等关系，设与圆相切于点D，根据切线长定理，从同一点引出的两条切线段长度相等；然后将的边拆分为，然后利用上面的相等关系进行替换即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如答图②，设D是与劣弧相切的点， ∵、是的两条切线， ∴． ∵是的切线，切点为D，且点M在上，点N在上， ∴和是从点M引出的两条切线段，和是从点N引出的两条切线段， ∴，． ∴，， 的周长． 题型15.切线的应用 1．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=， ∴AB=OA=6， ∴OP=， ∴PQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 2．矩形中，，，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若是以点E为直角顶点的直角三角形，则点E到直线的距离是___． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的折叠问题、切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键． 由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，当与相切于点E时，，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意矩形沿过点A的直线折叠，使点落在点处， ∴， ∴点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，    当与相切于点E时，，是直角三角形， 此时分两种情况： ①如图，点E在矩形的外部，过点E作交于点H，交于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， ②如图，点E在矩形的内部，过点E作交于点N，交于点M，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， ∴到直线的距离， 综上，点E到直线的距离是或， 故答案为：或． 3．综合与实践 活动主题 扇面制作 活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，． 活动小组 甲组 乙组 制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀 制作材料 【任务一】确定弦的长度． 如图2，请你求出 所对弦的长度． 【任务二】设计甲组扇面． 如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为请运用表格中所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据． 【任务三】确定卡纸大小． 如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）． 【答案】任务一： 任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面． 任务三：最小规格矩形边长为、或． 【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解， 任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同； 任务三：分两种情况：①在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形；②当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接；利用等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】任务一：解：过点O作，交于点，   ，， ， ， ，， ， 任务二：略 任务三：分两种情况： ①如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形， ∵，，， ∴，，， ∵当与矩形两边相切， ∴最小规格矩形的边长为、； ②如图，当矩形的边与相切于点M，且A、B两点分别在上，C、D在上；连接交于点N，连接； 由题意知，，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 同理：， ∴， 此时最小规格边长分别为； 综上，最小规格矩形边长为、或． 【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 题型16.圆内知识综合 1．如图，A（12，0），B（0，9）分别是平面直角坐标系xOy坐标轴上的点，经过点O且与AB相切的动圆与x轴、y轴分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　） A． B．10 C．7.2 D． 【答案】C 【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接OF，OD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABO是直角三角形，FO+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FO+FD≥OD；只有当点F、O、D共线时，FO+FD=PQ有最小值，最小值为OD的长，即当点F在直角三角形ABO的斜边AB的高OD上时，PQ=OD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时OD＝＝＝7.2. 【详解】解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、OF、OD，则FD⊥AB． ∵A（12，0）、B（0，9）， ∴AO＝12，BO＝9， ∴AB＝15， ∴∠AOB＝90°， ∴PQ是圆F的直径， ∴FO+FD＝PQ， ∴FO+FD≥OD， 当点F、O、D共线时，PQ有最小值，此时PQ＝OD， ∴OD＝＝＝7.2． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，得到FO+FD≥OD是解题的关键． 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 3．背景材料：舞台旋转光束．在平面直角坐标系中，固定一个圆形道具盘（圆），圆心为，半径．舞台中心处有一束张角固定为且可以绕逆时针方向旋转的探照灯，在探照灯旋转过程中，形成半径大于3的扇形光束，圆盘落在扇形内的部分为照亮区域．设角平分线为，从轴正半轴出发，当旋转的角度为时，照亮区域的面积为，其中． 示意图如下： (1)当时，的取值范围为___________． (2)请从对称性，增减性，最值三个方面描述的性质． 【答案】(1) (2)解：由（1）可知，当和时，圆盘全部落在扇形内，此时值达到最大； 当时；随着探照灯旋转，探照灯照亮圆盘区域逐渐减少； 当时；随着探照灯旋转，探照灯照亮圆盘区域为0，达到最小值； 当时；随着探照灯旋转，探照灯照亮圆盘区域逐渐增加； 关于对称，即． 【分析】（1）根据题意求得和，当从轴正半轴出发，旋转到与圆相切，连接切点与圆心，利用正弦值求得旋转角即可；当继续旋转到与圆相切，连接切点与圆心，同理求得旋转的角度，即可求得满足条件的范围； （2）由（1）可知，当和时，圆盘全部落在扇形内，此时值达到最大；当探照灯旋转至时探照灯照亮圆盘区域逐渐减少；当探照灯旋转至时，探照灯照亮圆盘区域为0达到最小值；探照灯旋转至时探照灯照亮圆盘区域逐渐增加；进一步分析可得关于对称，即． 【详解】（1）解：∵圆心为，舞台中心处有一束张角固定为，且为角平分线， ∴，， 当从轴正半轴出发，旋转到如图所示的位置时，此时与圆相切，连接切点与圆心， ∵半径， ∴， 在中，，则， 那么，从轴正半轴出发，旋转的角度； 当继续旋转到如图所示的位置时，此时与圆相切，连接切点与圆心， 同理可得，则旋转的角度为， 综上所述，时，的取值范围为； （2） 略 题型17.圆与三角形的综合 1．如图，在中，弦．点在上移动，连接，过点作，交于点，则长的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，为定值，最小时最大，根据垂线段最短，当时最小，最后求出最大值． 【详解】解：如图，连接， ， ， 为定值，则当取得最小值时，取得最大值， 当时，取得最小值， 此时点与点重合， ， ． 2．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理及弧中点性质推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用含角的直角三角形性质求出和的长，即可求解 ． 【详解】解：延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ． ∵， ∴， ∴点关于的对称点为点，即， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 设的半径为，则， ∵， ∴ ， ∴，解得 ， ∴． 在中，，， ∴ ， ∴ ， 即的最小值是． 3．如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． （2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数． 【详解】（1）解：∵为的半径，且点是的中点， ∴，，， ∵直径垂直弦于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设的半径为，则, 即， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． （2）解：∵直径垂直弦于点， ∴， 在中， 即， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 题型18.圆与四边形的综合 1．如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 2．如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 【答案】 【分析】作直径，连接，利用直径所对圆周角是直角及勾股定理求出的长，结合的长得出，进而得到，再由，得出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵半径为， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 3．如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 【答案】证明：平分， ， 、都是的圆周角， 且对，对， ， 同理，平分， ， ， ， 且，， ， 即， 为，即、为的一条直径的两个端点， 为的直径． 【分析】根据圆内接四边形性质得到，结合角平分线得到两组相等圆周角，进而推出，，再求出的度数为，证明是直径． 【详解】证明过程见答案处． 题型19.圆与函数的综合 1．如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可． 【详解】解：连接，． ， 点的坐标为， 令，则， 解得，，， ，， ， ∴， ∴轴．， ∴点在上， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆， 点运动的路径长是． 故选：D 2．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 3．已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 题型20.圆与圆的位置关系 1．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 2．已知和的半径分别为5和1，，与都内切，那么半径的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先根据两圆内切的性质得到点到两圆圆心的距离，再结合的长度，利用三角形三边关系列不等式，分情况讨论排除无解情况，即可得到的取值范围． 【详解】解：设半径为， ∵与都内切， ∴，， ∵， ∴当时，，， ∴， 根据三角形三边关系，任意两边之差的绝对值小于等于第三边， ∴， ∴不成立，此情况无解； 当时，，， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，符合条件； 当时，，， 则，不成立，此情况无解． 综上所述，半径的取值范围是． 3．如图，已知的直径，射线与相切于点A，半径为1，圆心P在射线上运动（点不与点重合），连接，交于点D，过点B作的平行线，交于点，交射线于点． (1)求证：； (2)令，请求出关于的函数解析式（不用写出定义域）； (3)连接并延长，交于点G，当时，求与的位置关系． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3)与相离 【分析】（1）连接，根据，可得，再结合，可得，即可求证； （2）过点O作于点Q，则，可得，再由切线的性质可得，从而得到，可得，，根据，即可求解； （3）连接，证明，可得，结合，可得到，从而得到，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：过点O作于点Q，则， ∵的直径， ∴， ∴， ∵射线与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的半径为3，半径为1，且， ∴与相离． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 3．如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【答案】/ 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和角的度数，利用勾股定理求出，假设与的半径分别为，根据等圆和相切的性质得出，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 假设与的半径分别为，且与外切，两圆为等圆， ∴，， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和为． 5．如图，是半圆的直径，点为半圆上一动点（除点、外），若圆弧沿所在直线折叠后与直径交于点，当，时，折痕_______． 【答案】或 【分析】过C作于H，连接，，先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系求得，，则，当点在点右侧时，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出，接着在中利用勾股定理可计算出的长；当点在点左侧时，利用同样的方法计算的长． 【详解】解：过C作于H，连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴，，又， ∴， ∵圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点D， ∴和所在的圆是等圆，又和所对的圆周角都是， ∴，则， ∵， ∴， 当点在点右侧时，则， 在中，， 在中，， ∴； 当点在点左侧时，同理可得． 6．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 三、解答题 7．小明看到一个有趣的现象：在如图1所示的装置中，带电粒子绕圆运动． 【新定义】 人站在射线端点处，看向射线的延伸方向时，人的右侧称为这条射线的右侧． 一个动点，从一条确定的射线端点出发，在射线的右侧，以该射线所在的直线为切线，端点为切点，顺时针方向做圆周运动，称这个点的运动为“射线·圆”运动，这个点运动所形成的图形叫作“射线·圆”． 如图2，动点从确定的射线的端点出发，在射线的右侧，沿顺时针方向做圆周运动，圆与射线所在的直线相切于点，那么点的运动就是“射线·圆”运动，图中的圆就是“射线·圆”． 【理解】 (1)请用直尺和圆规作图，探索下列问题．（不写作法，保留作图痕迹） ①如图3，任作一条端点为的射线，再作动点关于射线的半径为的“射线·圆”． ②如图4，已知端点为的射线和直线，．动点从点出发做“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在直线上作出到点距离最大的点的位置． 【运用】 (2)如图5，点到直线的距离为．从点出发的动点做半径为的“射线·圆”运动，当动点落在直线上时停止运动．在动点落在直线上的所有可能的位置中，求间距最大的两个位置之间的距离． 【答案】(1)①如图即为所求； ②如图即为所求． (2) 【分析】（1）①理解“射线·圆”的两个要素是相切和右侧，以P为端点，作一条射线，反向延长该射线，过点P作这条射线的垂线，再在垂线上截取长为的线段即可得到圆心，最后画圆即可，注意圆的位置要在射线的右侧； ②当点M为“射线·圆”与直线a的切点时，的长最大，易证此时“射线·圆”的圆心，点M，N，l与a的交点组成的四边形是正方形，故补全射线l，以该交点为圆心作半径为点N到直线a的距离的圆，圆与直线a的交点即为点M的位置． （2）由题意可知“射线·圆”的圆心在以点A为圆心，为半径的圆上运动，由于点Q是顺时针旋转，所以点Q始终为与直线的交点中靠右侧的点，分两种情况讨论，当点Q在点A左侧时，过点A作直线b的垂线，只需要找到一侧点Q到该垂线的距离的最大值时的位置即可，同（1）的思路，根据图象，利用圆的性质判断出“射线·圆”与直线b相切时取得最大值，再计算对应间距即可；当点Q在点A右侧时，根据点圆最值，可知的最大值为直径，计算此时的间距，然后相加即可得到结果． 【详解】（1）解：①略； ②如答案所示，补全射线l，得到l与a的交点，以该交点为圆心，点N到直线a的距离为半径作弧，交点即为点M的位置，理由如下： 如图，补全射线l，交直线a于点A，作“射线·圆”，记圆心为O，连接，过点M作， 由题意，，设两平行线间的距离为h，则，设“射线·圆”的半径为r， 又M为“射线·圆”与直线的交点， ∴， 设，则， ∴， ∵，， 又， ∴当越大，即当越大，越大，越小， 又h是定值，， ∴当时，最大，此时，， ∴四边形是正方形，，故在直线a上作即可得到点M； （2）解：如图，设“射线·圆”的圆心为O，由题意可知，，故点O在以A为圆心，半径为的圆上运动， 当圆心O在点A的左侧时，按照题意作与直线相切，切点记为Q，作，与直线b的交点（靠近点A处）为点，作， 由图，及圆的性质可知，当在O的下方时，点始终在Q的右侧， ∴当与直线b相切时，取得最大值， 如图，作，则四边形是矩形， ∴，， ∴，， 当圆心O在点A的右侧时，由圆的性质，可知，当为直径时，的值最大，即的值最大， 此时， 故间距最大的两个位置之间的距离为． 8．在平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“距离”，记作．特别地，若图形，有公共点，规定． (1)如图 ， 的半径为 ， 点 ，，则 _______，_______． 已知直线 ： 与 的“距离”， 求 的值． (2)如图，已知点 ，，， 的圆心为 ，半径为 ，若，请直接写出 的取值范围． 【答案】(1)①1；3；② (2)或或 【分析】（1）①根据图形M，N间的“距离”的定义即可解决问题； ②设直线l交x轴，y轴于点P，Q，作于H，交于G，根据与的“距离”，构建方程即可解决问题； （2）设交x轴于E，与y轴交于点F，求出直线的解析式为，再求出，，得出，然后分四种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图1中，连接交于点E，设交y轴于点F， 由题意：； ∵， ∴， ； ②如图，设直线l交x轴，y轴于点P，Q，作于H，交于G， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ，，， ， ， 直线l：与的“距离”， ， ． （2）解：如图，设交x轴于E，与y轴交于点F， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ，， 当时，满足条件， 当时，满足条件， 假设满足条件，过点作于点H，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， ， 观察图象可知：当时，满足条件， 假设满足条件，过点作于G， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ， ， ， 综上，m的取值范围为是或或． 9．如图1和图2，在菱形中，，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)如图1，当的长度为时，圆心落在边上． (2)如图，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由，求出的半径． (3)延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长． (4)点在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)解：小明的说法正确，的半径为，理由如下： 连接，，连接交于，连接交于， 设，由圆周角定理可得， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧与劣弧的长度相等； ∴，垂直平分， 由（1）知，在中，， 设，则， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， 在中，设半径， ， ， 解得：； (3)当是直角三角形时，或 (4)最小值 【分析】（1）根据菱形的性质得到，当圆心落在边上时，即为直径，此时，与重合，； （2）连接，，连接交于，连接交于，设，由圆周角定理可得，根据切线得到，由，，则，即可得到，根据圆心角相等得到劣弧与劣弧的长度相等；设，则，求出，在中，设半径，根据勾股定理列方程解决； （3）根据或分情况讨论，分别画出图形，根据菱形的性质和勾股定理计算即可； （4）作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，，利用面积和勾股定理求出，则，根据是的外接圆，得到在的垂直平分线上移动，根据垂线段最短求出线段有最小值即可． 【详解】（1）解：连接交于， ∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴圆心落在边上时，即为直径，此时， ∴与重合， ∴； （2）略 （3）解：当时，即，过作于， ∵， ∴， ∴，， 由菱形面积可得， ∴， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， 解得； 当时，即，交于，连接， 在菱形中，， 与时的过程同理，可得：，，，， ∴，， 由菱形的性质可得：， ， ∴，， ∴和中，， ∴， 解得：； 综上所述，当是直角三角形时，或； （4）解：作的垂直平分线，交于点G，过作于，延长交于点Q， 在菱形中，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴， 由菱形面积可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的外接圆， ∴在的垂直平分线上移动， ∴当，即在点时，线段有最小值，最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $