专题30.1 直线与圆（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦直线与圆的核心知识点，系统梳理直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系，切线的性质（垂直于过切点的半径）和判定（过半径外端且垂直），以及切线长定理（切线长相等，圆心连线平分夹角），通过16个递进题型构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于分层设计16类题型，结合例题与变式培养推理能力，探究式学习引导学生发现特殊三角形中切线规律发展创新意识，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺提升应用意识，课中辅助教学，课后强化巩固。

简一数理 初中专题讲义 专题30.1 直线与圆 （新教材人教版） 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 2 知识点二、切线的性质和判定 2 知识点三、切线长定理 3 【题型1 判断圆与直线的位置关系】 3 【题型2 已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 4 【题型3 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 5 【题型4 求圆平移到与直线相切时圆心运动的距离】 6 【题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 7 【题型6 有关切线的概念辨析】 9 【题型7 判断或补全使直线成为切线的条件】 9 【题型8 证明某直线是圆的切线】 10 【题型9 切线的性质定理】 11 【题型10 切线的性质和判定综合应用】 12 【题型11 应用切线长定理求解】 14 【题型12 应用切线长定理求证】 15 【题型13 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 16 【题型14 圆外切四边形模型】 17 【题型15 过圆外一点做圆的切线（尺规作图）】 19 【题型16 切线的应用】 21 【探究式学习】 22 【课后检测】 25 【复盘笔记】 30 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 知识点二、切线的性质和判定 1．切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 2．切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 知识点三、切线长定理 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分． 【题型1 判断圆与直线的位置关系】 【例1】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-2】如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 【变式1-3】中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【题型2 已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【变式2-1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式2-2】如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知点若以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则圆的半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型3 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【题型4 求圆平移到与直线相切时圆心运动的距离】 【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【变式4-1】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【变式4-2】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 【变式4-3】如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒． 【题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例5】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切． 【变式5-1】已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【变式5-2】在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 【变式5-3】对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”． (1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点． ①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______． ②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围． (2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 【题型6 有关切线的概念辨析】 【例6】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【变式6-1】下列命题中，假命题是（　　） A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线 C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【变式6-2】下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 【变式6-3】下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【题型7 判断或补全使直线成为切线的条件】 【例7】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【变式7-2】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【变式7-3】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【题型8 证明某直线是圆的切线】 【例8】如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【变式8-2】有一道题目：“如图，是的直径，是的切线，要使直线是的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【变式8-3】如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【题型9 切线的性质定理】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 【变式9-1】如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【题型10 切线的性质和判定综合应用】 【例10】如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-2】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型11 应用切线长定理求解】 【例11】如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【变式11-1】如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型12 应用切线长定理求证】 【例12】如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式12-2】如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式12-3】《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【题型13 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例13】如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式13-3】如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【题型14 圆外切四边形模型】 【例14】如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【变式14-1】如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【变式14-2】如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式14-3】-如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【题型15 过圆外一点做圆的切线（尺规作图）】 【例15】对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【变式15-1】要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【变式15-2】如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【变式15-3】如图，由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图中先作直径，再过点作的切线； (2)在图中，点是与网格线的交点，先在上方作 ；再在下方作弦． 【题型16 切线的应用】 【例16】如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【变式16-1】如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（    ） A．64° B．65° C．67° D．44° 【变式16-2】如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（　　） A． B． C．或 D．（﹣2，0）或（﹣5，0） 【探究式学习】 1．综合与探究 问题情境： 如图，已知为的直径，点C为上异于A、B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． 探究发现： （1）证明：； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形时，与存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：__________． 2．【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 3．【提出问题】如图①，与的两边，相切于点P，Q，则，的数量关系为________． 【探究问题】如图②，矩形的边，，点P在上，连接，，求的最大值． 【问题解决】如图③，慕梓睿和格格在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条，让一圆盘在木条上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，，，分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为，请你帮助慕梓睿和格格探究：的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由． 【课后检测】 1．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 2．如图，点A在半径为2的上，P是半径上一个动点（不与A重合），过P的直线与过A的的切线交于点B，且，设，的面积为，那么关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 6．如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 12．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 13．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 14．如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 16．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【复盘笔记】 第 2 页 共 92 页 第 1 页 共 92 页 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $ 简一数理 初中专题讲义 专题30.1 直线与圆 （新教材人教版） 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 2 知识点二、切线的性质和判定 3 知识点三、切线长定理 3 【题型1 判断圆与直线的位置关系】 4 【题型2 已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 6 【题型3 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 10 【题型4 求圆平移到与直线相切时圆心运动的距离】 14 【题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 18 【题型6 有关切线的概念辨析】 24 【题型7 判断或补全使直线成为切线的条件】 25 【题型8 证明某直线是圆的切线】 30 【题型9 切线的性质定理】 34 【题型10 切线的性质和判定综合应用】 38 【题型11 应用切线长定理求解】 43 【题型12 应用切线长定理求证】 46 【题型13 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 51 【题型14 圆外切四边形模型】 55 【题型15 过圆外一点做圆的切线（尺规作图）】 61 【题型16 切线的应用】 66 【探究式学习】 71 【课后检测】 79 【复盘笔记】 92 知识点一、直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离 位置关系 定义 图形 性质及判定 直线l与相交 直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线． 直线l与相切 直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点． 直线l与相离 直线与圆没有交点． 知识点二、切线的性质和判定 1．切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直. 2．切线的判定： 定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线． 距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直. 知识点三、切线长定理 切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分． 【题型1 判断圆与直线的位置关系】 【例1】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 【变式1-1】圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 【变式1-2】如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交 【答案】A 【分析】过作于，解直角三角形求出点到上的高即可判断． 【详解】解：如图，过作于，    由题意得：， 解得：， 由勾股定理得：， 中，， ∵， ∴圆与相离． 【变式1-3】中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 【题型2 已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 【变式2-1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 【变式2-2】如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点O，连接，过点O作于点H，设，则，利用勾股定理求出，，然后求出，利用勾股定理求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，过点O作于点H， ∵，，， ∴设，则 ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∵点O是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵以为直径的与边有公共点， ∴ ∴ ∵ ∴的值不可以是． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知点若以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则圆的半径r的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算圆心M到给定直线的距离，再根据圆上满足距离为1的点仅有2个的条件，结合直线与圆的位置关系推导半径r的取值范围． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，如图，过M作于N， 当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有1个；当时，以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，如图， ∴以M为圆心，r为半径的圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个时，圆的半径r的取值范围是． 【题型3 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 【变式3-1】如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 【变式3-2】如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论． 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式3-3】如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点G是的中点， ∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形面积的最小值是142． 故选：A． 【题型4 求圆平移到与直线相切时圆心运动的距离】 【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 【变式4-1】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键． 【变式4-2】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 【变式4-3】如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒． 【答案】 【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解． 【详解】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差． 【题型5 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例5】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移_________cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式5-1】已知：的半径为，圆心到直线l的距离为，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与相切，则平移的距离是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：如图，当l经过点B时，，则； 当l移动到时，则； 即平移的距离是或． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)E，G (2)①或 ② 【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可； （2）①先求出点，，再根据勾股定理求出，可求出，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∴， ∴点D不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点E是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点F不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点G是线段的“似中点”． 故答案为：E，G； （2）解：①直线，当时，；当时，， ∴点，， ∴，， ∴，， 所求的点H是的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示． ∴，． 当“似中点”在x轴上时，，则； 当“似中点”在y轴上时，，则． 所以，； ②如图所示，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，． ∵，，的半径为2，， ∴，， ∴，， ∴当时，上存在线段的“似中点”． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键． 【变式5-3】对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”． (1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点． ①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______． ②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围． (2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①2；4 ②2≤m≤6 (2)xC≤-2或xC≥-1 【分析】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交 ⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空； ②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，则点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求得m=6，即可得出答案； （2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可． 【详解】（1）解：①如图1，连接PA，PB， 由图可知：A（-2，0），B（2，0）， ∴AB=4， ∵P（2，3）， ∴PB⊥x轴， ∴PB=3，PA==5， ∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2； 作直线OP交 ⊙O于G、H， 则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小， ∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4； 故答案为：2，4； ②∵点为x轴正半轴上的一点， ∴m>0， 当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意， 当m≥2时， ∵P（2，3）， ∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3， 又∵线段AM关于点P的“宽距”为2， ∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5， ∴PM最大==5， 解得m=6或m=-2， ∴2≤m≤6． （2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1， ∴D（-1，0），E（0，1）， ∴OD=OE=1， ∴∠ODE=45°， 当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时， ∵⊙C半径为1， ∴xC=-2， 由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2； 当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE， ∴CN=1， ∵∠ODE=45°， ∴∠DCN=90°-∠ODE=45°， ∴DN=CN=1， ∴CD==， ∴OC=CD-OD=-1， 由（1）①第二空可知，当xC≥-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2； 综上，圆心C的横坐标的取值范围为xC≤-2或xC≥-1． 【点睛】本题考查新定义，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，属圆的综合题目，新定义的理解和正确运用是解题的关键． 【题型6 有关切线的概念辨析】 【例6】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式6-1】下列命题中，假命题是（　　） A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线 C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】A 【分析】根据圆的切线的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误； B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意； C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意； D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握圆的切线的定义以及性质是解题的关键． 【变式6-2】下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误； B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误； D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键． 【变式6-3】下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 【题型7 判断或补全使直线成为切线的条件】 【例7】如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键． 【变式7-1】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式7-2】如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 【变式7-3】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 【题型8 证明某直线是圆的切线】 【例8】如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 【变式8-1】数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】根据切线的判定定理，需证明，嘉嘉利用了“直径所对的圆周角是直角”构造直角；淇淇利用了等腰三角形“三线合一”的性质构造直角，分别验证两人的作图依据即可． 【详解】解：对于嘉嘉的作法：∵作的垂直平分线交于点， 为的中点，即以为圆心，为半径的圆是以为直径的圆， 点在该圆上， ，即， 为的半径， 为的切线，故嘉嘉的作法正确； 对于淇淇的作法：连接， ∵以为圆心，为半径作弧， ，即为等腰三角形， ∵以为圆心，为半径作弧， ． 为的直径，为半径， ，即， 点在上且在上， 为的一半，即为的中点， 在等腰中，，为底边的中点， ，即， 为的半径， 为的切线， 故淇淇的作法正确； 综上所述，两人都正确． 【变式8-2】有一道题目：“如图，是的直径，是的切线，要使直线是的切线，需添加的条件是________（写一个条件即可）．”下面是三位同学写的答案，则下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲同学的答案正确 B．只有乙同学的答案正确 C．只有甲、丙同学的答案正确 D．三位同学的答案都正确 【答案】C 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可得：，可知直线是的切线；根据不能说明，不能说明直线是的切线；根据是的直径，可以说明，根据直角三角形的两个锐角互余，可以说明，因为，等量代换可以说明，可得：直线是的切线． 【详解】解：， ， 是的切线， ， ， 是的切线， 甲同学的答案正确； 不能说明， 不能说明直线是的切线， 故乙同学的答案错误； 是的直径， ， ， ， ， 直线是的切线， 故丙同学的答案正确； 综上所述，只有甲、丙同学的答案正确． 故选：C． 【变式8-3】如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理和勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，进而确定角的度数．从而判断位置关系． 【详解】解：在中，，，， ∵，， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． ∴，． 又∵ 是⊙上一点，是⊙的半径， ∴ 与⊙相切． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理和勾股定理的逆定理，解题关键是通过勾股定理的逆定理判断出与垂直，进而根据切线的判定定理得出结论． 【题型9 切线的性质定理】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点，与y轴分别交于点与点，则的直径是（     ） A．10 B． C． D．20 【答案】D 【分析】连接，作于H．由相切及切点的坐标得，再证明四边形是矩形，则有，由点B、C的坐标及垂径定理得的长，从而求得圆的半径，即可求得直径． 【详解】解：如图，连接，作于H． ∵与x轴相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的直径是20． 【变式9-1】如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据切线的性质和平行线的性质可知，由垂径定理可知，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， ， ． 【变式9-2】如图，是的直径，是的切线，切点为C，点D在的延长线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，再根据切线的性质得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为得到，然后利用圆周角定理得到，进而可得答案． 【详解】解：连接，． ∵、是的切线，切点分别为A，B， ∴（切线的性质）． ∴，     ∴， ∵， ∴，故选项C符合题意． 【题型10 切线的性质和判定综合应用】 【例10】如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 【变式10-1】如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断． 【详解】解：（1）连接、， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 又是半径， 与相切，（1）结论正确； （2）由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，（2）结论正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，（3）结论正确； （4）四边形是菱形，， ，， ， ，（4）结论错误； 即正确个数有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式10-2】如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-3】如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 【题型11 应用切线长定理求解】 【例11】如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 【变式11-1】如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 【变式11-2】如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 【变式11-3】如图，、与半径为2的相切于、两点，是的直径，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由圆周角定理得，得，证明是等边三角形，得，，由勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又、是的切线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【题型12 应用切线长定理求证】 【例12】如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式12-1】如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】连结OF，①②利用切线长定理即可判断正确性，③先推导∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º，再证∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO，可证△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS），可推出∠FOB+∠FOC=90º，即∠BOC=90°③正确；④由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形，再证∠GOC=∠EBO=∠OBC，可得△BEO∽△BOC∽△OGC④正确． 【详解】连结OF， ∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G， 又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长， ∴CG=CF，BE=BF， ∴①CG=CF，②BE=BF正确； ∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD， ∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG， ∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO， ∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS）， ∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC， ∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180º， ∴2∠FOB+2∠FOC=180º， ∴∠FOB+∠FOC=90º， ∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90º， ∴③∠BOC=90°正确；； 由△OBC、△BEO、△CGO都是直角三角形， ∵∠EOB+∠EBO=90º，∠EOB+∠EBO=90º， ∴∠GOC=∠EBO=∠OBC， △BEO∽△BOC∽△OGC， ∴④△BEO～△BOC～△OGC正确， ①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数有4个， 故选择：A． 【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等，三角形相似，掌握切线的性质，三角形全等的证明方法与性质，三角形相似的判定定理与判定方法的选择是解题关键． 【变式12-2】如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，    则：， ∵是的两条切线， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴； ∴， 条件不足，无法得到， ∴； 综上，只有选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等． 【变式12-3】《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 如图所示，连接，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，． ∵，是的切线， ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 设步，则步，步， ∵，，是的切线， ∴步，步． ∵步， ∴步． ∴． ∴． 故选：B． 【题型13 直角三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例13】如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理算，首先过点作、、，设，，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作、、， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 是的内切圆， 设，， 则有，，， ， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ． 故选：A ． 【变式13-1】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴是直角三角形， 如图，设内切圆的半径为r，则， ∴， ∴，解得：， ∴的面积为，内切圆的面积为， ∴小鸟落在花圃上的概率为． 故选A． 【变式13-2】如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 【变式13-3】如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 【题型14 圆外切四边形模型】 【例14】如图，在四边形中，，，与四边形各边都相切，连接，若的半径为2，，则的值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，由切线长定理可以推出，．根据内切圆半径与多边形面积和周长之间关系可以算出，梯形的高为4，使用勾股定理和矩形的性质算出下底，，最后使用勾股定理算出的值． 【详解】解：如图，设切点依次为点E、F、G、H，连接，，，，，，，，分别过点A、D作的垂线，垂足为M、N，设半径为， 与四边形各边都相切，由切线长定理可知，，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 由切线的性质可知，，，，， ∴， ， ， ， ， ∵在四边形中，，， ∴四边形是等腰梯形， 设梯形的高为h， 则，即， 解得，， ∵，， ∴， 在直角中，， 同理，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，解得，， ∴， 在直角中，． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，梯形的性质和勾股定理，熟练掌握切线相关的定理是解题关键． 【变式14-1】如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可． ②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式． 【详解】（1）由图知，正方形的边长， ∴容器甲的容积为立方米． 如图，连接， ∵， ∴为直径． 在中，，， 根据勾股定理，得，， ∴容器乙的容积为立方米． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，． ∵平行于横轴， ∴，． 由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米， ∴． 解得． ②设注水b小时后，，则有． 解得，即． 设线段所在直线的解析式为， ∵、在直线上， ∴， 解得：． ∴线段所在直线的解析式为． 【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 【变式14-2】如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 【变式14-3】-如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 【题型15 过圆外一点做圆的切线（尺规作图）】 【例15】对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 【变式15-1】要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点作已知圆的切线．两同学提供了如下作图方案（图1和图2）． 方案Ⅰ①连接，作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，为半径，作圆交圆于点，连接． 方案Ⅱ①以为圆心，为半径画弧； ②以点为圆心，为半径画弧，与①中的弧交于点，连接交圆于点，连接． 对于方案I和II，说法正确的是（   ） A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I，II都可行 D．I，II都不可行 【答案】A 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角；根据作图方法以及切线的判定，判断两个作图方法，即可求解． 【详解】解：对于方案I，如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故I正确； 对于方案II， 根据作图可得，则是等边三角形， 而不一定成立，故不一定成立， ∴不一定是的切线，故方案II，不可行 故选：A． 【变式15-2】如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图，直线为所作． (2) 如图，、为所作． 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）略 （2）略 【变式15-3】如图，由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图中先作直径，再过点作的切线； (2)在图中，点是与网格线的交点，先在上方作 ；再在下方作弦． 【答案】(1) 如图为所求， (2) 如图为所求， 【分析】本题考查了作图—应用设计作图，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理结合网格特点作图是解题的关键． （1）连接，连接，因为角所对的弦是直径，再连接，与直线交于点，连接，推出，即，即为的切线； （2）连接，连接，因为角所对的弦是直径，确定圆心，①作点的对称点，即，连接与直线交于点，连接交于点，连接，因为为中点，所以，，即； ②作点的对称点，与直线交于点，连接和，和相交于点，作射线，是的垂直平分线，连接，和相交于点，作射线与交于点，所以，因为，那么，所以，即． 【详解】（1）略 （2）略 【题型16 切线的应用】 【例16】如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 【变式16-1】如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（    ） A．64° B．65° C．67° D．44° 【答案】D 【分析】如图：作直径AF、连接DF，根据切线的性质求出∠F的度数，求出弧AD、弧DC的度数，进而弧ADC的度数即可. 【详解】解：如图：作直径AF，连接DF， ∵AE是圆O的切线， ∴∠EAF=90°， ∵∠ADF=90°， ∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°， ∴∠F=∠DAE ∵∠DAE=12°（已知）， ∴∠F=12°， ∴的度数是2×12°=24°， ∵， ∴弧的度数是×（360°-24°）=112°， ∴的度数是24°+112°=136°， ∴∠ABC=180°-136°=44°． 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了切线的性质的应用、圆周角定理、弦切角等于该弦与切线所夹弧所对的圆周角等知识点，正确作出辅助线、求出的度数是解答本题的关键． 【变式16-2】如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接AF 由题意知和均为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动 ∴过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时 在中，，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴当最大时， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形相似，切线，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于得出点F的运动轨迹． 【变式16-3】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（　　） A． B． C．或 D．（﹣2，0）或（﹣5，0） 【答案】C 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP= ， ∴OP= 或OP= ， ∴P或P， 故选：C． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键． 【探究式学习】 1．综合与探究 问题情境： 如图，已知为的直径，点C为上异于A、B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接． 探究发现： （1）证明：； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形时，与存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：__________． 【答案】（1）证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：．理由如下： ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴ ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，即可得证； （2）先证明，再证明，根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到结论； （3）先根据正三角形的性质得到，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，则，从而得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 而， ∴． 2．【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】 【特殊体会】 【初步探究】， 证明：如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【深入探究】①与相切； 理由：如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：略 深入探究：①略 ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 3．【提出问题】如图①，与的两边，相切于点P，Q，则，的数量关系为________． 【探究问题】如图②，矩形的边，，点P在上，连接，，求的最大值． 【问题解决】如图③，慕梓睿和格格在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条，让一圆盘在木条上做无滑动的滚动，将一根弹性良好的橡皮筋的两端固定在木条的两端点处，再紧绷在圆盘边上，此时，，，分别与圆盘相切于点C，D，E，当圆盘滚动时橡皮筋也随之伸缩变化（即的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为，请你帮助慕梓睿和格格探究：的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（提出问题）：；（探究问题）：的最大值为；（问题解决）： 【分析】（提出问题）：连接，根据切线性质得出，证明，即可求解； （探究问题）：过作与相切于点，交于F，连接连接并延长交于点，根据，得出，设得出，根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出，即可求解； （问题解决）：如图，连接，证明，得出，，从而得出，，求得当最小时，的长取到最小值，进一步得出当最大时，最小，确定点在直线上运动，作的外切圆，则与直线相切于点，连接，则有，确定，最小值为，最小值，即可求解； 【详解】（提出问题）：连接， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． （探究问题）：过作与相切于点，交于F，连接连接并延长交于点， ， ， 与相切于点， ， ， 设则， 又， 在中， ， ， ， ， ， 即的最大值为． ． （问题解决）：如图，连接， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∵， ∴当最小时，的长取到最小值， 又∵， ∴当最大时，最小， ， ∴点在直线上运动， 作的外切圆，则与直线相切于点，连接， 则有， ， ， ， ， ， 最小值为， 最小值， 最小值为． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，弧长公式等知识点，解题的关键是正确作出辅助圆以及辅助线． 【课后检测】 1．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 2．如图，点A在半径为2的上，P是半径上一个动点（不与A重合），过P的直线与过A的的切线交于点B，且，设，的面积为，那么关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线的性质得出，在中用表示出的长，根据三角形面积公式列出与的函数关系式，根据二次函数的性质及自变量取值范围判断图象． 【详解】解：是的切线， ，即， ，， ， 在Rt中，， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线 是半径上一个动点（不与重合）， ， 当时，，随的增大而减小． 故选项D的图象符合题意． 3．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 4．如图，为的切线，交于点，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得到，利用直角三角形两锐角互余求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为⊙的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5．如图，是的直径，、是上的点，过点作的切线交的延长线于点，，则等于(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据切线的性质可得，结合已知可得，进而根据圆周角定理求得，是的直径，可得，进而求得． 【详解】解：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ∵是的直径， ∴ ． 6．如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据圆周角定理即可求出的度数. 【详解】解：切于点， ， ， ， ， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 7．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 8．团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，过点A，B的与x轴相切于点B，与y轴交于另一点C（在点A上方），连接．若平分，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，求出．根据含角的直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：延长交于点D，如图1，则是直径． ∵与x轴相切于点B， ∴轴，即， ∴轴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 10．如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 11．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 12．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 13．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 14．如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 15．如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 16．如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 【复盘笔记】 第 2 页 共 92 页 第 1 页 共 92 页 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 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