第16讲三角形的内切圆优等生讲义（知识梳理典例练习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第16讲 三角形的内切圆 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形内心的概念，掌握内心是三条角平分线交点 · 掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系 · 能利用切线长定理解决线段与角度问题 · 综合运用内心、外心性质解决圆与三角形综合题 · 会作三角形内切圆（尺规作图） 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的内切圆与内心 与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心叫内心 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等（=半径r） 内心位置：一定在三角形内部 三角形面积 S=(a+b+c)r = pr（p为半周长） 概念辨析例题：△ABC中，∠A=50°，点I是内心，求∠BIC。 答案：115° 解析：∠BIC=90°+∠A=90°+25°=115°。 ☆ 2.内切圆半径的计算 一般三角形：r== 直角三角形：r=（c为斜边） 等边三角形：r=a 切线长：从圆外一点引圆的两条切线长相等 概念辨析例题：直角三角形两直角边为6和8，求内切圆半径。 答案：r=2 解析：斜边c=10，r==2。 ☆ 3.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 该点与圆心的连线平分两条切线的夹角 三角形周长=2×(切线长之和) 内切圆与三边切点分边长为三段，可列方程求边长 概念辨析例题：△ABC内切圆切BC于D，BD=3，DC=4，周长20，求AB和AC。 答案：AB=7，AC=6 解析：设切AB于E，切AC于F，则BE=BD=3，CF=CD=4，AE=AF=x，周长=2(3+4+x)=20，x=3，AB=6，AC=7。 ☆ 4.内心与外心的综合 外心是三边中垂线交点，到三顶点距离相等（外接圆半径R） 内心是角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径r） 等边三角形内心与外心重合 内外心综合题常结合圆周角定理、垂径定理 概念辨析例题：O是△ABC外心，I是内心，∠BOC=100°，求∠BIC。 答案：115° 解析：∠A=∠BOC=50°，∠BIC=90°+∠A=115°。 📋 知识总结表 概念 性质/公式 注意事项 内心 三条角平分线交点 到三边距离相等=r 外心 三边中垂线交点 到三顶点距离相等=R 内切圆半径 r= p为半周长 直角三角形r r= c为斜边 切线长定理 两切线长相等 连线平分夹角 ∠BIC =90°+∠A I为内心 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形内心的概念与性质（第1-13题） · 内心是角平分线交点，到三边距离相等 · ∠BIC=90°+∠A · 利用角平分线性质求角度 1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为______． 5．（23-24九年级上·山西·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．连接，若，则______．    6．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若，则_______． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是的内切圆，，则的大小为_______．    8．（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点I是的内心，，，，则的面积为______． 9．（21-22九年级上·广东肇庆·期末）已知在中，，用尺规作图，作出的内切圆，与边、、分别交于点（保留作图痕迹）． 10．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，中，．求作：的内切圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【考点2】三角形内切圆半径与面积周长关系（第14-17题） · r=，p为半周长 · 直角三角形r= · 结合勾股定理求边长 14．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆的面积为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的内切圆，，则的大小是______；的半径是_______． 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 17．（25-26九年级下·全国·随堂练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【考点3】切线长定理与切线证明（第18-22题） · 从圆外一点引两切线长相等 · 连线平分夹角 · 周长=2×切线长之和 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 19．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 20．（2024·山东济宁·一模）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线； (2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心． 21．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 22．（23-24九年级上·广东江门·阶段检测）如图，为的直径，C、D为圆上两点，平分， ，．    (1)求证：为切线； (2)用直尺和圆规：作的内心点I．并求长； (3)求长． 【考点4】三角形内切圆与外接圆综合（第23-27题） · 区分内心与外心性质 · 外心对应圆心角=2倍圆周角 · 内心对应∠BIC=90°+∠A 23．（23-24九年级上·山东滨州·期中）是直角三角形，，，，则的内切圆半径______． 24．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为________． 25．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则______． 26．（23-24九年级上·天津·阶段检测）已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为______． 27．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【考点5】内切圆与解直角三角形（第28-32题） · 内切圆半径与锐角三角函数结合 · 利用勾股定理列方程 · 注意切点分边长 28．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段检测）在中，，，若O为的内心，则___________． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，，，，I为的内心，则______． 30．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）在和中，固定，将绕点A旋转一周，连接相交于H，经过C 、E、H三点作⊙O．    (1)如图1： ①求证：． ②求证：是的直径； (2)如图2，若，在旋转过程中，连接．若点A恰好是的内心，求的长； 31．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 32．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【考点6】内切圆与圆的综合（第33-39题） · 结合垂径定理、圆周角定理 · 圆内接四边形对角互补 · 切线性质：切线垂直于过切点的半径 33．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．圆的内接平行四边形一定是正方形 B．平分弦的直径垂直弦 C．圆的切线一定垂直于半径 D．任何一个三角形的内心一定在三角形内 34．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 35．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个内切圆 36．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为的内心，于N，下列结论： ①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 39．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 【考点7】尺规作图：作角平分线与垂线（第40-42题） · 作角平分线确定内心位置 · 过圆心作垂线确定切点 · 保留作图痕迹 40．（24-25九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，在已知的中，按以下步骤： （1）分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N， （2）作直线，交于D，连接，若，则下列结论中错误的是（   ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．点D为的外心 D．点D为的内心 41．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．） 42．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 【考点8】内切圆与相似、正方形、旋转综合（第43-45题） · 相似三角形对应边成比例 · 正方形边长与内切圆直径关系 · 旋转前后对应点到旋转中心距离相等 43．（24-25八年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系内，，，，为的内心，为的内心（，2，3，4，5，……），且则解析式为（   ） A． B． C． D． 44．（2024·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为___________． 45．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）如图1，在中，，是的外接圆，点在上且． (1)求证：； (2)在图2中，求作的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 💯 课后巩固 复习建议 · 内心是角平分线交点，外心是中垂线交点，不要混淆 · r=S/p 是核心公式，直角三角形有简便公式 · 切线长定理是求线段的利器 · 内外心综合题要区分圆心角与圆周角 · 作图题注意保留痕迹 【作业1】．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D．相等的圆心角所对的弧也相等 【作业3】．（24-25九年级上·山东东营·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．等弧所对的圆周角相等 C．三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【作业4】．（2024·江苏泰州·一模）下列命题中，真命题是（   ） A．三角形的内心是三角形三条角平分线交点 B．对角线相等的四边形是菱形 C．五边形的内角和是 D．等边三角形是中心对称图形 【作业5】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【作业6】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法中，正确的有（   ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【作业7】．（25-26九年级下·全国·单元复习）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业8】．（23-24九年级下·重庆长寿·期中）下列命题中，真命题的个数是（   ） （1）三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等； （2）因式分解； （3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是； （4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是． A．1 B．2 C．3 D．4 【作业9】．（25-26九年级上·北京·期末）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．等弧对等弦 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 【作业10】．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业11】．（江苏省九年级上学期期中真题必刷基础60题（38个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版））如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是________． 【作业12】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 【作业13】．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 _________； 【作业14】．（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是_________________________． 【作业15】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 第27章·反比例函数·期中复习·培优提高讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 三角形的内切圆 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形内心的概念，掌握内心是三条角平分线交点 · 掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系 · 能利用切线长定理解决线段与角度问题 · 综合运用内心、外心性质解决圆与三角形综合题 · 会作三角形内切圆（尺规作图） 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的内切圆与内心 与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心叫内心 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等（=半径r） 内心位置：一定在三角形内部 三角形面积 S=(a+b+c)r = pr（p为半周长） 概念辨析例题：△ABC中，∠A=50°，点I是内心，求∠BIC。 答案：115° 解析：∠BIC=90°+∠A=90°+25°=115°。 ☆ 2.内切圆半径的计算 一般三角形：r== 直角三角形：r=（c为斜边） 等边三角形：r=a 切线长：从圆外一点引圆的两条切线长相等 概念辨析例题：直角三角形两直角边为6和8，求内切圆半径。 答案：r=2 解析：斜边c=10，r==2。 ☆ 3.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 该点与圆心的连线平分两条切线的夹角 三角形周长=2×(切线长之和) 内切圆与三边切点分边长为三段，可列方程求边长 概念辨析例题：△ABC内切圆切BC于D，BD=3，DC=4，周长20，求AB和AC。 答案：AB=7，AC=6 解析：设切AB于E，切AC于F，则BE=BD=3，CF=CD=4，AE=AF=x，周长=2(3+4+x)=20，x=3，AB=6，AC=7。 ☆ 4.内心与外心的综合 外心是三边中垂线交点，到三顶点距离相等（外接圆半径R） 内心是角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径r） 等边三角形内心与外心重合 内外心综合题常结合圆周角定理、垂径定理 概念辨析例题：O是△ABC外心，I是内心，∠BOC=100°，求∠BIC。 答案：115° 解析：∠A=∠BOC=50°，∠BIC=90°+∠A=115°。 📋 知识总结表 概念 性质/公式 注意事项 内心 三条角平分线交点 到三边距离相等=r 外心 三边中垂线交点 到三顶点距离相等=R 内切圆半径 r= p为半周长 直角三角形r r= c为斜边 切线长定理 两切线长相等 连线平分夹角 ∠BIC =90°+∠A I为内心 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形内心的概念与性质（第1-13题） · 内心是角平分线交点，到三边距离相等 · ∠BIC=90°+∠A · 利用角平分线性质求角度 1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内心可得平分，平分，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形内心有关应用、求扇形面积 【分析】本题考查了内切圆的性质，三角形的内角和定理，扇形面积；根据题意先求得，再根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴图中阴影部分的面积是 故答案为：． 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为______． 【答案】 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、三角形内心有关应用 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山西·阶段检测）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．连接，若，则______．    【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查内心的性质和同弧所对圆周角相等，设，，则，根据内心得，，利用三角形内角和定理即可求得，即可求得答案． 【详解】解：设，，则， ∵点是的内心， ∴，， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 6．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若，则_______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形内心以及三角形内角和定理的应用；设，根据题意得出，，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵点是的内心， ∴ ∵， ∴, ∴ ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是的内切圆，，则的大小为_______．    【答案】115° 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键． 先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∵是的内切圆， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，点I是的内心，，，，则的面积为______． 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、解直角三角形的相关计算、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解直角三角形，熟练作出辅助线是解题的关键，过点B作交延长线于点D，根据三角形的内心性质可得，进而求得，再利用解直角三角形求出，进而可求解． 【详解】解：过点B作交延长线于点D， 点I是的内心， 在直角三角形中， ， 故答案为：． 9．（21-22九年级上·广东肇庆·期末）已知在中，，用尺规作图，作出的内切圆，与边、、分别交于点（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】此题考查尺规作图，三角形的内切圆与内心根据尺规作图作两个角的平分线即可找到内切圆的圆心，再作出，进而以为半径，为圆心作出三角形的内切圆． 【详解】解：如图即为所求． 10．（20-21九年级上·陕西渭南·期末）如图，中，．求作：的内切圆的圆心O．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】分别作和的平分线，它们的交点即为所求的内切圆的圆心O． 【详解】解：的内切圆的圆心O如图所示： 11．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，则点O即为所求． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了作三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：略． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即所求： 【知识点】作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】略 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【考点2】三角形内切圆半径与面积周长关系（第14-17题） · r=，p为半周长 · 直角三角形r= · 结合勾股定理求边长 14．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形与圆的综合是关键． 连接，则，是等边三角形，由此得到，，由圆的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴正六边形内切圆的面积为， 故选：B ． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的内切圆，，则的大小是______；的半径是_______． 【答案】 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心及半径，是的内切圆，即O是的内心，求得，然后利用三角形内角和定理求解即可，如图所示，设、、与的切点分别为、、，内切圆半径为，证明，结合，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵是的内切圆，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 如图所示，设、、与的切点分别为、、，内切圆半径为， ∴，    在，，，， ∴， 在四边形中，，， 四边形是正方形， ∴， 由切线长定理，得：，， ∴， ∴． 故答案为： 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】应用切线长定理求解、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 17．（25-26九年级下·全国·随堂练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【答案】三角形内切圆的半径为． 【知识点】三线合一、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了三角形的内切圆与圆心，勾股定理，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先画出图形，过点作交于点，作交于点，连接，由等腰三角形的性质得出，，故点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为，由勾股定理求出，再由得出，从而求解． 【详解】解：如图，设，， 过点作交于点，作交于点，交于点，连接， ∵，， ∴，， ∴点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为， 根据题意可知：周长为， 在中，， ∴， 由， ， ∴， ∴三角形内切圆的半径为． 【考点3】切线长定理与切线证明（第18-22题） · 从圆外一点引两切线长相等 · 连线平分夹角 · 周长=2×切线长之和 18．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 19．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【答案】 （1）如图所示． （2）2 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 20．（2024·山东济宁·一模）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线； (2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心． 【答案】(1) 如图，直线，即为所求； (2) 证明：设交于点． ，是的切线， ，，， ， ，， ， ， ， 点是的内心． 【知识点】作垂线(尺规作图)、切线的性质定理、三角形内心有关应用 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明平分，平分即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，三角形的内切圆与内心，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 【答案】(1)内 (2)5 (3) 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据内心的定义，即可获得答案； （2）根据切线长定理可得，设，则有，进而可得，解得的值，然后计算的值； （3）连接，设半径为，证明四边形为正方形，易得，进而可得，，结合，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心． 故答案为：内； （2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∵，，，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如下图，连接， ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴，， 设半径为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·广东江门·阶段检测）如图，为的直径，C、D为圆上两点，平分， ，．    (1)求证：为切线； (2)用直尺和圆规：作的内心点I．并求长； (3)求长． 【答案】(1) 证明：如图：连接，    ∵为的直径，平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵是半径 ∴为切线； (2)如图：    (3) 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、三角形内心有关应用 【分析】（1）连接，因为为的直径，平分，得，根据同弧所对的弦相等，即，即，结合，即可作答． （2）作出的平分线，交于一点，为点I，并交于一点，结合三角形外角性质即对顶角相等，则，则，结合勾股定理，即可作答． （3）过点I作，结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即，结合，得，结合勾股定理，，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：作出的平分线，交于一点，为点I，并交于一点， 易知 ∵ ∴， 则， ∵， ∴在， 即 即； （3）解：如图：过点I作，    易知 ∴ ∵， ∴ ∴ 同理，得， 即 设， 则 ∵ ∴ ∴ 得， ∵ ∴ ， 由（2）知 ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，三角形的外角性质，等角对等边等知识内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点4】三角形内切圆与外接圆综合（第23-27题） · 区分内心与外心性质 · 外心对应圆心角=2倍圆周角 · 内心对应∠BIC=90°+∠A 23．（23-24九年级上·山东滨州·期中）是直角三角形，，，，则的内切圆半径______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题主要考查三角形内接圆的半径的计算，掌握内接圆的性质，切线的性质，勾股定理的运用的综合是解题的关键． 根据题意作图，再根据圆的切线的性质可得，四边形是正方形，设，可用含的式子表示出，在直角三角形中根据勾股定理可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，是直角三角形，，，，是的内切圆，分别于切于点，连接，    ∴，，， ∵，， ∴四边形是正方形， 设， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的内切圆半径为， 故答案为：． 24．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为________． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、三线合一、用勾股定理解三角形、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案． 【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴平分，且垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵、分别是的内心和外心， ∴点P、点Q、线段都在线段上， 则，，， 在中，，得，解得， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则． 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键． 25．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则______． 【答案】5 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内心有关应用、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接三角形、圆的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题连接，，，，过点分别作于，于，于，根据内心可得，，，再通过直角三角形的知识和等量变化可证得，在中，可求得，设，则，然后再根据， ，可求得，然后即可求解； 【详解】解：连接，，，，过点分别作于，于，于，如图： ∵点是的内心， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴设，则， ∵， ， ∴， 解得： 或0(舍去)， ∴， ∴， 故答案为：5 26．（23-24九年级上·天津·阶段检测）已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为______． 【答案】/65度 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题考查三角形的内心和外心、角平分线的定义、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接、，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得，再根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外心， ∴， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3) 证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 【知识点】垂心、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内切圆与外接圆综合、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）略 【考点5】内切圆与解直角三角形（第28-32题） · 内切圆半径与锐角三角函数结合 · 利用勾股定理列方程 · 注意切点分边长 28．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段检测）在中，，，若O为的内心，则___________． 【答案】/ 【知识点】三角形内心有关应用、求角的余弦值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内心，锐角三角函数的定义，设，，求出，由三角形面积求出，由勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】如图，点为的内心，，，，    则四边形是正方形，连接， 在中，，， 设，， ， 设内切圆半径为，则有， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，中，，，，I为的内心，则______． 【答案】/ 【知识点】三角形内心有关应用、求角的正切值 【分析】本题考查了正切的定义、三角形内心的概念、勾股定理以及正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关概念，构造直角三角形，利用三角形面积关系求解． 分别过I点作于D，于E，先求出，再利用三角形的面积关系求出和后即可求解． 【详解】解：如图，分别过I点作于D，于E， ∵中，， ∴四边形是矩形， ∵I为的内心， ∴， ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 30．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）在和中，固定，将绕点A旋转一周，连接相交于H，经过C 、E、H三点作⊙O．    (1)如图1： ①求证：． ②求证：是的直径； (2)如图2，若，在旋转过程中，连接．若点A恰好是的内心，求的长； 【答案】(1) 证明：①如图1，   ， ， 即：， ，， ∴， ②∵ ， 点、、、共圆， ， ， 是的直径； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、90度的圆周角所对的弦是直径、三角形内心有关应用、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①通过证明，即可作答． ②根据①的结论，从而，进而命题得证； （2）在基础上，点是的内心时，推出，从而得出，解即可； 【详解】（1）略 （2）解：如图2，    由（1）知：， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 作于， ， ， ； 31．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； (2) 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、三角形内心有关应用、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 32．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）目前数学家已经发现了三角形的“心”已经超过4万个，其中我们初中阶段对以下4个“心”比较熟悉，即：垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”． 【初步认识】（1）已知是的外接圆，点是的内心． ①请在图1中利用直尺和圆规作出内心，若连接，并延长交于点，连接，请猜想与的数量关系，并说明理由； ②若点是优弧上（不与、重合）的动点，的半径为5，，求最大值为________； 【深入探究】（2）在题（1）条件下，如图2，如果，于．求证：； 【灵活运用】（3）如图3，在中，，过点作，垂足为，且，点和点分别是的内心和外心，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）①如图所示； ，理由如下： ∵点I是的内心， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ② （2）证明：连接，交于点E， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，连接并延长交于点D，连接， 由题意可知平分， ∵， ∴． 由（1）得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由对称可知， ∴是等腰直角三角形， 延长到点H，使得，连接， ∵点F为的外心， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】对于（1）①，分别作平分线，交于点I，则点I即为所求作；根据三角形的内心的性质得，再根据同弧所对的圆周角相等得，然后根据三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得出答案；②连接，交于点L，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，可得，然后根据勾股定理求出，最后根据求出答案； 对于（2），连接，交于点E，先根据垂径定理得，，再根据“角角边”证明，可得，则答案可证； 对于（3），连接并延长交于点D，连接，先说明为等腰直角三角形，及是等腰直角三角形，再延长到点H，使得，连接，然后根据“边角边”证明，可得，进而说明，接下来说明，则答案可证． 【详解】解：（1）①略； ②如图，连接，交于点L， ∵的半径是5，，且点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 所以的最大值是； （2）略； （3）略． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点6】内切圆与圆的综合（第33-39题） · 结合垂径定理、圆周角定理 · 圆内接四边形对角互补 · 切线性质：切线垂直于过切点的半径 33．（22-23九年级上·内蒙古乌海·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．圆的内接平行四边形一定是正方形 B．平分弦的直径垂直弦 C．圆的切线一定垂直于半径 D．任何一个三角形的内心一定在三角形内 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、切线的性质定理、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了垂径定理的推论，切线的性质，三角形内心的定义，圆内接四边形的性质，掌握相关的知识是解题的关键． 利用圆的内接四边形的性质判定A，利用垂径定理判定B，利用切线的性质判定C，利用三角形内心的定义判定D． 【详解】解：A． 圆的内接平行四边形一定是矩形，该选项不符合题意； B． 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，该选项不符合题意； C． 圆的切线一定垂直于过切点的半径，该选项不符合题意； D． 任何一个三角形的内心一定在三角形内，选项符合题意； 故选：D． 34．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形内心有关应用 【分析】本题考查的知识点是圆的性质、三角形内心的定义，解题关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的性质和三角形内心的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：选项，对称轴是直线，直径是线段，任何直径所在的直线是对称轴，但直径本身不是对称轴，说法错误，不符合题意； 选项，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径，则不一定垂直，说法错误，不符合题意； 选项，三角形的内心是角平分线的交点，到三边距离相等，等于内切圆半径，说法正确，符合题意； 选项，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，否则不一定，说法错误，不符合题意． 故选：． 35．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个内切圆 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、同弧或等弧所对的圆周角相等、判断确定圆的条件、三角形内心有关应用 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦与直径的关系、确定圆的条件、圆周角与弧的关系以及三角形内切圆的性质．选项A、B、C均需附加条件才成立，而选项D符合三角形内切圆的唯一性，即可得出答案． 【详解】解：A、平分弦的直径垂直于弦，需弦不是直径才成立，但选项未指定，选项错误； B：三点共线时不能确定圆，B选项错误； C：相等的圆周角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，但选项未指定，C选项错误； D：任何三角形的三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等，因此有且只有一个内切圆，D选项正确； 故选：D． 36．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了三角形内心，圆周角定理，等腰三角形的判定，掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 根据三角形内心的性质可对（1）进行判断；根据圆内接四边形对角互补直接可对（2）进行判断；根据三角形内心的性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形等角对等边可对（3）进行判断；根据三角形内心的性质，等弧和等弦的关系可对（4）进行判断． 【详解】解：（1）∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故（1）不正确； （2）∵的延长线和的外接圆相交于点， ∴四边形是的外接圆的圆内接四边形， ∴， ∴， 故（2）正确； （3）∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（3）正确； （4）∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故（4）正确； ∴正确的结论是：（2）（3）（4）， ∴正确结论的个数为3． 故选：C． 37．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为的内心，于N，下列结论： ①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度、根据旋转的性质求解 【分析】如图，连接，，，，由弧的中点结合圆周角定理可得，故①符合题意；证明，，设，点I为的内心，证明，可得，故②符合题意；当时，可得，与已知矛盾，故③不符合题意；过作于，作于，而为内心，可得，，由，把绕点顺时针旋转得到，证明三点共线，为等腰直角三角形，可得，进一步可得故④符合题意． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵点M为半圆的中点， ∴， ∴，故①符合题意； ∵点M为半圆的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴，， 设，点I为的内心， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∴， 当时， ， 解得：， ∴， ∵为圆上一个动点， ∴不一定为， ∴错误，故③不符合题意； 过作于，作于，而为内心， ∴，，，，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 由，把绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴三点共线，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴．故④符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是旋转的性质，圆周角定理的应用，弦，弧之间的关系，三角形的内心的性质，圆的内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 38．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、圆周角定理、切线的性质定理、三角形内心有关应用 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26九年级下·广东广州·阶段检测）如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 【答案】(1)解：所作的内心如图所示： (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、三角形内心有关应用、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，作出任意两个角的平分线即可得到的内心； （2）连接，过点作于点，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，以及勾股定理求出，再结合弧、弦、圆心角的关系，以及解直角三角形的相关计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作于点， 的内心为， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【考点7】尺规作图：作角平分线与垂线（第40-42题） · 作角平分线确定内心位置 · 过圆心作垂线确定切点 · 保留作图痕迹 40．（24-25九年级下·福建莆田·阶段检测）如图，在已知的中，按以下步骤： （1）分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N， （2）作直线，交于D，连接，若，则下列结论中错误的是（   ） A．直线是线段的垂直平分线 B． C．点D为的外心 D．点D为的内心 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题考查基本作图，三角形外心和内切圆等知识．根据题意通过作图步骤和已知条件，判断直线的性质，以及点在中的位置和性质． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴点D为的外心， ∴， ∴A，B，C正确， 故选：D． 41．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．） 【答案】 如图所示即为所求作： 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了尺规作图，作圆内接三角形，作角平分线．要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可，分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心． 【详解】解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心，作于点，以为圆心，为半径作． 与三角形三边都相切时圆的半径最大，故此时圆的面积最大． 42．（24-25九年级下·重庆·阶段检测）学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 【答案】 如图，即为所求； ①；②；③；④三角形的内；⑤三角形的外心；⑥三角形的重心 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内心，外心，重心的概念，利用利用尺规作图即可；再根据角平分线定义和角度的计算，将过程补充完整；最后利用三角形相关概念填空即可，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】略 【考点8】内切圆与相似、正方形、旋转综合（第43-45题） · 相似三角形对应边成比例 · 正方形边长与内切圆直径关系 · 旋转前后对应点到旋转中心距离相等 43．（24-25八年级上·江西上饶·期末）在平面直角坐标系内，，，，为的内心，为的内心（，2，3，4，5，……），且则解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题题涉及三角形内心的性质以及直线平行的性质．通过分析三角形的相似关系，求出的解析式． 由， 得到，再求,的解析式∶设，由于为的内心，可得，根据相似比为 ，直线的解析式为，得到的解析式为． 【详解】解：如图， ∵， ， ,,, , , , 是等边三角形三角形， 为△ABC的内心， , , ，, ， 设直线的解析式为， A，C， ， ， 直线的解析式为， 设， 的解析式为， 故选：A． 44．（2024·浙江杭州·二模）如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为___________． 【答案】 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、三角形内切圆的定义和性质，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、，由勾股定理得出，由三角形内切圆的性质得出平分，从而得出在的垂直平分线上，证明出、、在同一直线上，得出，推出，连接、、，设的内切圆的半径长为，根据列式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，设的内切圆与、、分别相切于点、、，连接、、、， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵点为的内切圆的圆心， ∴平分， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， 连接、、，设的内切圆的半径长为， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 45．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）如图1，在中，，是的外接圆，点在上且． (1)求证：； (2)在图2中，求作的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ． ，， ． ． (2) 如图，点即为所求． (3)5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查圆的相关知识，涉及同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内心的概念以及相似三角形的判定与性质．熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． （1）要证明，可通过证明，利用同弧所对的圆周角相等以及已知条件进行角度转化． （2），根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点，利用尺规作角平分线的方法来作出的内心． （3），通过证明，利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而求出的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， 是的平分线， 作的角平分线，两条角平分线的交点即为的内心． 作法：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过和这个交点作射线；交于点． （3）解：，． 是的内心， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 💯 课后巩固 复习建议 · 内心是角平分线交点，外心是中垂线交点，不要混淆 · r=S/p 是核心公式，直角三角形有简便公式 · 切线长定理是求线段的利器 · 内外心综合题要区分圆心角与圆周角 · 作图题注意保留痕迹 【作业1】．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 【作业2】．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D．相等的圆心角所对的弧也相等 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、同弧或等弧所对的圆周角相等、判断确定圆的条件、三角形内心有关应用 【分析】根据确定圆的条件，三角形内心的性质，垂径定理，圆周角定理逐项分析即可． 【详解】解：A．不在同一直线上的三点确定一个圆，故不正确； B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，故不正确； C．三角形的内心到三角形三条边的距离相等，正确； D．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，三角形内心的性质，垂径定理，圆周角定理等知识点的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【作业3】．（24-25九年级上·山东东营·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．等弧所对的圆周角相等 C．三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等 【答案】B 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、切线的性质定理、判断确定圆的条件、三角形内心有关应用 【分析】本题考查圆的相关定理和性质，根据切线的判定定理、圆周角定理的推论、圆的确定条件、三角形的内心的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 经过半径的外端垂直于这条半径的直线是圆的切线，原说法错误； B. 等弧所对的圆周角相等，说法正确； C. 不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误； D. 三角形的内心到三角形各边的距离相等，原说法错误； 故选：B． 【作业4】．（2024·江苏泰州·一模）下列命题中，真命题是（   ） A．三角形的内心是三角形三条角平分线交点 B．对角线相等的四边形是菱形 C．五边形的内角和是 D．等边三角形是中心对称图形 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题、证明四边形是菱形、三角形内心有关应用、中心对称图形的识别 【分析】利用三角形的内心的性质、菱形的判定方法、多边形的内角和及等边三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，正确，是真命题，符合题意； B、对角线相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、五边形的内角和为，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图象，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：A． 【作业5】．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【知识点】圆周角定理、判断确定圆的条件、三角形内心有关应用、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项B错误，不符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【作业6】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法中，正确的有（   ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、判断点与圆的位置关系、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键． 根据等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系相关知识点判断即可． 【详解】解：（1）能够完全重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； （3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，说法正确，符合题意； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则，原说法错误，不符合题意； 因此正确的只有1个， 故选：D． 【作业7】．（25-26九年级下·全国·单元复习）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内切圆和三角形的外接圆，掌握内心与外心是解题的关键． 根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30度角所对的直角边是斜边的一半得∶；根据垂径定理和勾股定理即可得到结论， 【详解】解：如图， ​​​​​​​ ∵是等边三角形， ∴的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O， 设 ， ∴，故A正确． ∵， ∴， 在中， ，故B正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，，故C错误，D正确． 故选C． 【作业8】．（23-24九年级下·重庆长寿·期中）下列命题中，真命题的个数是（   ） （1）三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等； （2）因式分解； （3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是； （4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形内心有关应用、求扇形面积、判断命题真假 【分析】（1）根据三角形内心定理即其判断； （2）将公因式a提取出来，进而化成两个因式乘积的形式； （3）考查正方体展开图周长与棱长的关系； （4）利用扇形面积公式进行求解． 【详解】解：（1）三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题； （2）因式分解，是真命题； （3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题； （4）设扇形半径为，圆心角为， 弧长是，则，则， 面积是，则，则， 则，则， 故扇形的圆心角是，是假命题， 真命题的个数是3个， 故选C． 【点睛】本题考查了命题的真假，三角形内心定理，因式分解，正方体展开图，扇形的弧长和面积，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假． 【作业9】．（25-26九年级上·北京·期末）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．等弧对等弦 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了圆的基本概念和三角形内心的性质，根据圆的性质和三角形内心的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、平分不是直径的弦的直径垂直于弦，该选项命题错误，不符合题意； 、等弧所对的弦相等，该选项命题正确，符合题意； 、长度相等的弧不一定是等弧，该选项命题错误，不符合题意； 、内心是角平分线交点，到三边距离相等，到顶点距离不一定相等，该选项命题错误，不符合题意； 故选：． 【作业10】．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、应用切线长定理求证、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 【作业11】．（江苏省九年级上学期期中真题必刷基础60题（38个考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版））如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，则的外接圆的圆心坐标是________． 【答案】 【知识点】圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角直接求解即可． 根据圆周角为的弦即为直径来求解即可． 【详解】解：，，均在圆上，， 是外接圆的直径， 外接圆的圆心是的中点． 故答案为：． 【作业12】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 【答案】/40度 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键．根据内心定义得出即可求出结论． 【详解】解：∵点为的内心， ， ， ， 故答案为：． 【作业13】．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 _________； 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 【作业14】．（2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是_________________________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，进而即可求解．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心． 【详解】解：设是的内切圆与，，的切点分别为，，，令，与分别交于，， 则、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由圆的对称性及角平分线的对称性可知，图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∴， 故答案为：． 【作业15】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)如图即为所求． (2) 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆； （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $