6.5 多边形与对角线 专题讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第6章 平面图形的初步认识——多边形与对角线 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、认识多边形与正多边形　1 二、从一个顶点连线与分割　3 三、对角线的重复计数　5 四、剪拼后重新确定边界　7 A组　基础巩固　10 B组　方法运用　13 C组　综合提升　17 D组　真题衔接　21 一、认识多边形与正多边形 多边形是在同一平面内，由三条或三条以上线段依次首尾相接组成的封闭图形；相邻两条线段不在同一直线上，各边除相邻的公共端点外不相交。组成多边形的线段是它的边，相邻两条边的公共端点是它的顶点。边上另外标出的点，以及图形内部的交点，不会因为有了字母名称就自动成为原多边形的顶点。 连接多边形两个不相邻顶点的线段，叫作这个多边形的对角线。判断时先核对两点是否都是顶点，再核对它们是否相邻。沿边界顺序命名多边形时，最后一个字母和第一个字母所表示的顶点也相邻。 正多边形有两个缺一不可的条件：各边相等，各内角也相等。只知道各边相等，或者只知道各内角相等，都不能直接把一个多边形认作正多边形。 如：在七边形PQRSTUV中，P与Q、V分别相邻，所以PQ、PV是边；P与R、T分别不相邻，所以PR、PT是对角线。正方形的四边相等、四角相等，所以正方形是正四边形。 多边形短例图 例1、 如图，六边形ABCDEF的六个内角都是点M在线段AB内部。 （1）六边形ABCDEF有几个顶点？ （2）在线段AC、AM、CE、BF、AF、BM中，写出其中属于六边形ABCDEF对角线的线段。 （3）六边形ABCDEF是不是正多边形？填“是”或“不是”。 例1图 变式1-1、 如图，六边形ABCDEF的六条边都长3 cm，下列说法正确的是（　　） A．它是正六边形 B．它的六个内角都相等 C．它的六条边都相等，但它不是正多边形 D．它只有三条边相等 变式1-1图 变式1-2、 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O。在线段OA、OB、OC、OD、AC、BD中，四边形ABCD的对角线是________；三角形AOB有________条对角线。 变式1-2图 变式1-3、 如图，在五边形ABCDE中连接AC、CE。请在表格中填“边”或“对角线”。 线段 在五边形ABCDE中 在三角形ACE中 AC ________ ________ CE ________ ________ AE ________ ________ 变式1-3图 二、从一个顶点连线与分割 在一个n边形中（n为不小于3的整数），从一个顶点出发，不能把这个顶点自己作为另一端点，也不能把与它相邻的两个顶点算进去。其余n-3个顶点，每个都对应一条从该顶点出发的对角线。 把这些对角线画全，多边形就被分成n-2个三角形。可以沿与所选顶点相对的一侧边界，依次找出这些三角形。三角形个数比所画的对角线条数多1。 所求数量 从一个顶点出发时的关系 对角线条数 边数-3 分成的三角形个数 边数-2 边数 三角形个数 这些关系讨论的是从原多边形的一个顶点出发，且该顶点的对角线已画全。本讲图形都没有向内凹入的角。从边内点出发，或只画了部分对角线时，要根据实际分出的图形重新计数。 如果题目已经画出一些分割线，应先看每一部分是什么图形，再分别补线。例如，一个四边形只需补画一条对角线，就能分成两个三角形。补线时还要符合题目对端点、交叉或禁画线段的要求，不能只记总条数。 如：在四边形PQRS中，从P出发只有一条对角线PR，画出后得到△PQR、△PRS，共2个三角形。 分割短例图 例2、 如图，在五边形ABCDE中，画出所有从顶点A出发的对角线。 （1）写出所画对角线的名称。 （2）五边形被分成了几个三角形？写出这些三角形的名称。 例2图 变式2-1、 从一个多边形的某个顶点出发，画出所有对角线，恰好把这个多边形分成6个三角形。这个多边形有________条边，所画对角线有________条。 变式2-2、 如图，在七边形ABCDEFG中已经连接AC、AE。只添加从顶点A出发的对角线，把七边形分成若干个三角形。 （1）在图中补画所需的对角线，并写出它们的名称。 （2）补画后，七边形共被分成________个三角形。 变式2-2图 变式2-3、 如图，M是五边形ABCDE的边AB上的一点，且不与A、B重合。 （1）连接MC、MD、ME。 （2）五边形被分成了________个三角形；刚画出的三条线段中，属于原五边形ABCDE对角线的有________条。 变式2-3图 三、对角线的重复计数 只统计从一个顶点出发的对角线，不会在这一组中出现重复。如果要合并两个顶点引出的对角线，就要检查两组有没有同一条线段。 • 两个顶点相邻时，连接它们的线段是边，不是对角线，两组没有共同的对角线。 • 两个顶点不相邻时，连接它们的线段同时属于两组，合计时必须减去重复的一次。 统计一个多边形的全部对角线，也可以先逐个顶点记录。但每条对角线都有两个端点，会在两个端点处各记录一次，最后要把记录次数除以2。也可以按顶点顺序逐条写出，只记录尚未出现的线段。 需要补画全部对角线时，先列出原多边形的顶点，再按顺序逐个检查，只补尚未出现的线段。如果擦去部分线段，题目仍然研究原多边形时，就仍用原顶点和原相邻关系判断，不把被交点分开的短线段另算一条对角线。 对角线彼此相交，并不会使一条对角线变成两条对角线。计数的对象仍是连接原多边形两个不相邻顶点的完整线段。 如：在四边形PQRS中，从P记录到PR，从R又记录到RP。PR和RP的两个端点相同，是同一条对角线，只计一次。 例3、 下列两幅图中的六边形ABCDEF相同。同一条对角线只计一次。 （1）在图①中，画出所有以A或B为一个端点的对角线，共________条。 （2）在图②中，画出所有以A或D为一个端点的对角线，共________条。 例3图① 例3图② 变式3-1、 如图，画出五边形ABCDE的所有对角线，写出它们的名称，并求出对角线的总条数。 变式3-1图 变式3-2、 如图，已经画出了正六边形ABCDEF的所有对角线。图中共有________条对角线；若擦去所有以A为一个端点的对角线，其他线段保持不变，则还剩________条原正六边形的对角线。 变式3-2图 变式3-3、 如图，在五边形ABCDE中，从A和另一个顶点分别画出从该顶点出发的所有对角线。同一条对角线只计一次。 （1）若一共画出4条对角线，则另一个顶点可能是________。 （2）若一共画出3条对角线，则另一个顶点可能是________。 变式3-3图 四、剪拼后重新确定边界 剪去或拼上一块纸片后，应先沿留下图形的外边界走一周，再认顶点、边和对角线，不能继续沿用原图的相邻关系。 剪去三角形时，剪切线的端点可能在原边内部，也可能恰好是原来的顶点。这会影响哪些旧顶点被剪掉、哪些新顶点留下。不能认为“剪掉一个角，边数就一定少1”。 两块纸片沿公共边拼接，且内部不重叠时，公共边不再是新图形的外边界。若外边界上前后两段位于同一直线上，应合成一条边，中间的点不再是新多边形的顶点。确定新顶点后，还要重新检查两点是否相邻。 沿原多边形的一条对角线剪开时，剪切线会在两块纸片中各作为一条边。两块的边数相加，除原来的边以外，还额外数了两次剪切线，所以原多边形的边数等于两块纸片的边数之和减2。这个关系不能直接代替任意拼接后的边界检查；拼接若有共线合并，还要把相邻的共线外边合成一条边。 如：图中的两个三角形沿QS拼在一起，外边界是PQ、QR、RS、SP，拼成四边形PQRS。QS不再是外边界上的边，但它连接新四边形两个不相邻的顶点，所以成为新四边形的一条对角线。两个三角形各有3条边，公共边QS各被数过一次，外边界共有条边。 拼接短例图 例4、 如图，M在四边形纸片ABCD的边AB上，且不与A、B重合。沿MD剪去三角形AMD，图中阴影部分表示剪去的纸片。 （1）留下的纸片是几边形？按边界顺序写出它的各个顶点。 （2）在图中画出留下的图形的所有对角线，并写出它们的名称。 例4图 变式4-1、 对同样的四边形纸片ABCD作下列两种剪切，图中阴影部分均表示剪去的纸片。 图①：M、N分别在AB、AD内部，沿MN剪去三角形AMN。 图②：沿BD剪去三角形ABD。 （1）图①留下的纸片有________个顶点，图②留下的纸片有________个顶点。 （2）两种剪切中，剪切线恰好是原四边形的一条对角线的是图________，这条对角线是________。 变式4-1图① 变式4-1图② 变式4-2、 如图，把三角形纸片ABC与三角形纸片ACD沿公共边AC拼在一起，两块纸片的内部不重叠。B、A、D依次在同一直线上，C不在这条直线上。 （1）拼成的图形是________边形，按边界顺序写出它的各个顶点：________。 （2）AC是拼成图形的________（填“边”“对角线”或“既不是边，也不是对角线”）。 变式4-2图 变式4-3、 如图，在矩形纸片ABCD的右侧，沿BC拼接三角形纸片BCE，两块纸片的内部不重叠。 图①中，A、B、E依次在同一直线上；图②中，E在直线BC的右侧，且位于直线AB与直线CD之间。 （1）图①拼成________边形，图②拼成________边形。 （2）分别写出两幅图中拼成图形的顶点，均按边界顺序填写。 图①：________；图②：________。 （3）BC在图①拼成的图形中是________，在图②拼成的图形中是________（填“边”“对角线”或“既不是边，也不是对角线”）。 变式4-3图① 变式4-3图② A组　基础巩固 A组·第1题、 如图，M是四边形ABCD的边AB上的一点，且不与A、B重合。下列线段是四边形ABCD的对角线 的是（　　） A．AM　　B．AC C．BM　　D．AD A组·第1题图 A组·第2题、 已知一个六边形的各边相等，再补充下列哪个条件，就能保证它是正六边形（　　）。 A．有两条边平行 B．六个内角都相等 C．有两个内角相等 D．能画出对角线 A组·第3题、 如图，在五边形ABCDE中，与顶点A相邻的两个顶点是（　　） A．B与C　　B．B与E C．C与D　　D．D与E A组·第3题图 A组·第4题、 如图，从六边形ABCDEF的顶点A出发，可以画出的对角线有（　　） A．2条　　B．3条 C．4条　　D．6条 A组·第4题图 A组·第5题、 如图，在五边形ABCDE的所有对角线中，以C为一个端点、但不以A为另一个端点的对角线是________。 A组·第5题图 A组·第6题、 如图，M、N分别在三角形纸片ABC的边AB、AC内部，沿MN剪去三角形AMN，阴影部分表示剪去的纸片。留下的纸片是________边形；按边界顺序写出它的各个顶点：________。 A组·第6题图 A组·第7题、 如图，画出四边形ABCD的全部对角线，并填写对角线的条数：________。 A组·第7题图 A组·第8题、 如图，ABCDE是正五边形。已知则________cm，________。 A组·第8题图 B组　方法运用 B组·第1题、 如图，在六边形ABCDEF中已经画出对角线AD。再画两条对角线，将六边形分成4个三角形。要求：不画AC、DF；所画线段之间不在图形内部相交，且不擦去AD。 画出所需的两条对角线，写出它们的名称，并写出分成的4个三角形的名称。 B组·第1题图 B组·第2题、 如图，在五边形ABCDE中，已经画出AC、BD、BE。要画出它的全部对角线，还需 补画的是（　　） A．AC、AE　　B．AD、CE C．AE、CD　　D．BC、DE B组·第2题图 B组·第3题、 如图，在六边形ABCDEF中，已经画出所有以A或C为一个端点的对角线。这个六边形还有哪几条对角线没有画出？写出它们的名称和条数。 B组·第3题图 B组·第4题、 如图，在六边形ABCDEF中连接AD，得到其中的四边形ABCD。在表格中填“边”“对角线”或“既不是边，也不是对角线”。 线段 在六边形ABCDEF中 在四边形ABCD中 AD ________ ________ AC ________ ________ DE ________ ________ BF ________ ________ B组·第4题图 B组·第5题、 沿一条对角线，将一个多边形纸片剪成一个四边形和一个五边形。原来的纸片是（　　） A．五边形　　B．六边形　　C．七边形　　D．九边形 B组·第6题、 如图，在矩形纸片ABCD中，M、N、P、Q分别位于AB、AD、BC、CD内部。沿MN、PQ分别剪去三角形AMN、CPQ，阴影部分均表示剪去的纸片。 （1）留下的纸片是________边形，按边界顺序写出它的顶点：________。 （2）原矩形的两条对角线中，仍是留下图形的对角线的是________。 B组·第6题图 B组·第7题、 把两个三角形纸片沿一条完整的公共边拼在一起，两块纸片的内部不重叠。拼成图形的边数可能是（　　） A．只有3　　B．只有4　　C．3或4　　D．2或3 B组·第8题、 如图，沿六边形纸片ABCDEF的对角线AC剪去三角形ABC，阴影部分表示剪去的纸片。 （1）在留下的图形中，画出所有以C为一个端点的对角线，并写出它们的名称。 （2）AC在原六边形中是________，在留下的图形中是________（填“边”或“对角线”）。 B组·第8题图 C组　综合提升 C组·第1题、 对同样的五边形纸片ABCDE作下面两种剪切，M始终在线段AB内部，阴影部分均表示剪去的纸片。 图①：N在线段AE内部，沿MN剪去三角形AMN。 图②：沿ME剪去三角形AME。 （1）分别写出留下图形的各个顶点，均按边界顺序排列。 （2）ME在图①、图②留下的图形中分别是边还是对角线？ （3）在两幅图中，分别画出留下图形中所有以M或E为一个端点的对角线。同一条只计一次，分别求出条数。 C组·第1题图① C组·第1题图② C组·第2题、 如图，将四边形纸片ABCD与五边形纸片BEFGC沿公共边BC拼在一起，两块纸片的内部不重叠。两幅图的拼接位置满足下列条件： 图①：A、B、E依次在同一直线上，D、C、G依次在另一条直线上。 图②：A、B、E不在同一直线上，D、C、G也不在同一直线上，各点位置如图所示。 （1）分别写出两幅图中拼成图形的各个顶点，均按边界顺序排列。 （2）在图①、图②拼成的图形中，BC分别是边、对角线，还是既不是边也不是对角线？ （3）分别求出两幅图中拼成图形的所有以A或F为一个端点的对角线条数，同一条只计一次。 C组·第2题图① C组·第2题图② C组·第3题、 如图，在正六边形ABCDEF中，已经画出对角线AD、BE、CF，它们交于点O。 （1）下列记录中，正确的序号是________。 ①OA、OD是这个正六边形的两条对角线。 ②这个正六边形中，以A或D为一个端点的不同对角线共有5条。 ③只需再画AC、BD、CE、DF四条线段，就能画出这个正六边形的全部对角线。 ④在这个正六边形中，从A及与A相邻的一个顶点分别画出各自的全部对角线，两组没有相同的对角线。 （2）在图中补画缺少的全部对角线，并写出所补线段的名称。 （3）补齐后，所有以B或E为一个端点的不同对角线共有________条。 C组·第3题图 C组·第4题、 如图，M、N分别位于矩形纸片ABCD的边AB、BC内部。先沿MN剪去三角形BMN，再在MN靠近原顶点B的一侧拼接三角形MNP。新拼上的三角形不超出原三角形BMN的范围，两块纸片的内部不重叠。三幅图分别采用下列位置： 图①：P在线段MB内部。 图②：P与B重合。 图③：P在三角形BMN的内部。 （1）分别写出最后拼成图形的各个顶点，均按边界顺序排列。 （2）填写下表。同一条对角线只计一次。 项目 图① 图② 图③ 拼成图形的边数 ________ ________ ________ MN是否为拼成图形的对角线（填“是”或“不是”） ________ ________ ________ 拼成图形中，以A或C为一个端点的对角线条数 ________ ________ ________ C组·第4题图① C组·第4题图② C组·第4题图③ D组　真题衔接 D1、 2025 年 1 月，常州市七年级上学期期末质量调研，第 13 题 从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成________个三角形。 D2、 2026 年 1 月 14 日，北京人大附中初一上学期期末，第 14 题节选 如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长________（填：“大”或“小”）。 D2图 D3、 重庆市南开中学 2025—2026 学年上学期 12 月月考，七年级数学，第 13 题 已知正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为________。 D4、 原创迁移 如图，两个边长都为3 cm的正方形ABEF和BCDE沿公共边BE拼接，内部没有重叠，点A、B、C在同一直线上，点F、E、D在同一直线上。把拼成的图形的外边界看作一个多边形。 （1）这个多边形是________边形，按边界顺序写出它的名称：________。 （2）在图中画出这个多边形的所有对角线，共________条。线段BE是这个多边形的________（填“边”“对角线”或“都不是”）。 （3）这个多边形的周长为________cm，它________正多边形（填“是”或“不是”）。 D4图 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识——多边形与对角线 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、认识多边形与正多边形　1 二、从一个顶点连线与分割　3 三、对角线的重复计数　7 四、剪拼后重新确定边界　10 A组　基础巩固　14 B组　方法运用　17 C组　综合提升　22 D组　真题衔接　27 一、认识多边形与正多边形 多边形是在同一平面内，由三条或三条以上线段依次首尾相接组成的封闭图形；相邻两条线段不在同一直线上，各边除相邻的公共端点外不相交。组成多边形的线段是它的边，相邻两条边的公共端点是它的顶点。边上另外标出的点，以及图形内部的交点，不会因为有了字母名称就自动成为原多边形的顶点。 连接多边形两个不相邻顶点的线段，叫作这个多边形的对角线。判断时先核对两点是否都是顶点，再核对它们是否相邻。沿边界顺序命名多边形时，最后一个字母和第一个字母所表示的顶点也相邻。 正多边形有两个缺一不可的条件：各边相等，各内角也相等。只知道各边相等，或者只知道各内角相等，都不能直接把一个多边形认作正多边形。 如：在七边形PQRSTUV中，P与Q、V分别相邻，所以PQ、PV是边；P与R、T分别不相邻，所以PR、PT是对角线。正方形的四边相等、四角相等，所以正方形是正四边形。 多边形短例图 例1、 如图，六边形ABCDEF的六个内角都是点M在线段AB内部。 （1）六边形ABCDEF有几个顶点？ （2）在线段AC、AM、CE、BF、AF、BM中，写出其中属于六边形ABCDEF对角线的线段。 （3）六边形ABCDEF是不是正多边形？填“是”或“不是”。 答案：（1）6个；（2）AC、CE、BF；（3）不是。 解析：M在边AB内部，只是边上的点，不是这个六边形的顶点。对角线的两个端点必须都是原多边形不相邻的顶点，所以AM、BM不合要求，AF是边。这个六边形各内角相等，但六条边不全相等，不满足正多边形的两个条件。 例1图 变式1-1、 如图，六边形ABCDEF的六条边都长3 cm，下列说法正确的是（　　） A．它是正六边形 B．它的六个内角都相等 C．它的六条边都相等，但它不是正多边形 D．它只有三条边相等 答案：C。 解析：六条边都长3 cm，说明各边相等；但≠各内角不全相等，因此不是正多边形。 变式1-1图 变式1-2、 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O。在线段OA、OB、OC、OD、AC、BD中，四边形ABCD的对角线是________；三角形AOB有________条对角线。 答案：AC、BD；0。 解析：O是两条对角线的交点，不是四边形ABCD的顶点。OA、OB、OC、OD都不是这个四边形的对角线。三角形的任意两个顶点都相邻，因此没有对角线。 变式1-2图 变式1-3、 如图，在五边形ABCDE中连接AC、CE。请在表格中填“边”或“对角线”。 线段 在五边形ABCDE中 在三角形ACE中 AC ________ ________ CE ________ ________ AE ________ ________ 变式1-3图 答案：AC：对角线、边；CE：对角线、边；AE：边、边。 解析：判断一条线段的身份，必须先确定正在研究哪个多边形。在五边形ABCDE中，A与C、C与E不相邻，A与E相邻；在三角形ACE中，每两个顶点都相邻。 二、从一个顶点连线与分割 在一个n边形中（n为不小于3的整数），从一个顶点出发，不能把这个顶点自己作为另一端点，也不能把与它相邻的两个顶点算进去。其余n-3个顶点，每个都对应一条从该顶点出发的对角线。 把这些对角线画全，多边形就被分成n-2个三角形。可以沿与所选顶点相对的一侧边界，依次找出这些三角形。三角形个数比所画的对角线条数多1。 所求数量 从一个顶点出发时的关系 对角线条数 边数-3 分成的三角形个数 边数-2 边数 三角形个数 这些关系讨论的是从原多边形的一个顶点出发，且该顶点的对角线已画全。本讲图形都没有向内凹入的角。从边内点出发，或只画了部分对角线时，要根据实际分出的图形重新计数。 如果题目已经画出一些分割线，应先看每一部分是什么图形，再分别补线。例如，一个四边形只需补画一条对角线，就能分成两个三角形。补线时还要符合题目对端点、交叉或禁画线段的要求，不能只记总条数。 如：在四边形PQRS中，从P出发只有一条对角线PR，画出后得到△PQR、△PRS，共2个三角形。 分割短例图 例2、 如图，在五边形ABCDE中，画出所有从顶点A出发的对角线。 （1）写出所画对角线的名称。 （2）五边形被分成了几个三角形？写出这些三角形的名称。 答案：（1）AC、AD；（2）3个，分别是△ABC、△ACD、△ADE。 解析：A不与自己连线；AB、AE本来就是边，不能重复当作对角线。因此只需连接AC、AD。两条对角线依次分出三个三角形，名称如答案所列。 例2图 例2解图 变式2-1、 从一个多边形的某个顶点出发，画出所有对角线，恰好把这个多边形分成6个三角形。这个多边形有________条边，所画对角线有________条。 答案：8；5。 解析：从一个顶点画出所有对角线后，三角形的个数比边数少2，所以边数为从这个顶点可以画出的对角线比边数少3，为条。这里求的是从一个顶点出发的条数，不是全部对角线的总数。 变式2-2、 如图，在七边形ABCDEFG中已经连接AC、AE。只添加从顶点A出发的对角线，把七边形分成若干个三角形。 （1）在图中补画所需的对角线，并写出它们的名称。 （2）补画后，七边形共被分成________个三角形。 答案：（1）AD、AF；（2）5。 解析：七边形中，A的相邻顶点是B、G；从A出发的对角线应为AC、AD、AE、AF。题图已有AC、AE，需补画AD、AF。得到△ABC、△ACD、△ADE、△AEF、△AFG，共5个三角形。 变式2-2图 变式2-2解图 变式2-3、 如图，M是五边形ABCDE的边AB上的一点，且不与A、B重合。 （1）连接MC、MD、ME。 （2）五边形被分成了________个三角形；刚画出的三条线段中，属于原五边形ABCDE对角线的有________条。 答案：（1）见解图；（2）4；0。 解析：连接MC、MD、ME后，四个三角形分别是△MBC、△MCD、△MDE、△MEA。M不是原五边形的顶点，因此MC、MD、ME都不是原五边形的对角线。不能把“从顶点出发”的计数关系直接套在边内点M上。 变式2-3图 变式2-3解图 三、对角线的重复计数 只统计从一个顶点出发的对角线，不会在这一组中出现重复。如果要合并两个顶点引出的对角线，就要检查两组有没有同一条线段。 • 两个顶点相邻时，连接它们的线段是边，不是对角线，两组没有共同的对角线。 • 两个顶点不相邻时，连接它们的线段同时属于两组，合计时必须减去重复的一次。 统计一个多边形的全部对角线，也可以先逐个顶点记录。但每条对角线都有两个端点，会在两个端点处各记录一次，最后要把记录次数除以2。也可以按顶点顺序逐条写出，只记录尚未出现的线段。 需要补画全部对角线时，先列出原多边形的顶点，再按顺序逐个检查，只补尚未出现的线段。如果擦去部分线段，题目仍然研究原多边形时，就仍用原顶点和原相邻关系判断，不把被交点分开的短线段另算一条对角线。 对角线彼此相交，并不会使一条对角线变成两条对角线。计数的对象仍是连接原多边形两个不相邻顶点的完整线段。 如：在四边形PQRS中，从P记录到PR，从R又记录到RP。PR和RP的两个端点相同，是同一条对角线，只计一次。 例3、 下列两幅图中的六边形ABCDEF相同。同一条对角线只计一次。 （1）在图①中，画出所有以A或B为一个端点的对角线，共________条。 （2）在图②中，画出所有以A或D为一个端点的对角线，共________条。 例3图① 例3图② 答案：（1）6；（2）5。 解析：（1）从A出发的是AC、AD、AE；从B出发的是BD、BE、BF。A、B相邻，AB是边，两组没有相同的对角线，共条。 （2）从A出发的是AC、AD、AE；从D出发的是DA、DB、DF。AD与DA是同一条对角线，不能算两次，因此共条。 例3解图① 例3解图② 变式3-1、 如图，画出五边形ABCDE的所有对角线，写出它们的名称，并求出对角线的总条数。 答案：AC、AD、BD、BE、CE，共5条。 解析：按顶点顺序逐一检查。从A得到AC、AD；从B得到BD、BE；从C新得到CE。随后从D、E找到的都已出现，不再重复计数。也可检查：每个顶点引出2条，5个顶点共记录次，每条对角线恰好在两个端点各记录一次，所以有条。 变式3-1图 变式3-1解图 变式3-2、 如图，已经画出了正六边形ABCDEF的所有对角线。图中共有________条对角线；若擦去所有以A为一个端点的对角线，其他线段保持不变，则还剩________条原正六边形的对角线。 答案：9；6。 解析：正六边形每个顶点引出3条对角线，6个顶点共记录次，每条在两个端点各计一次，实际有条。以A为一个端点的对角线是AC、AD、AE，擦去这3条后还剩条。图中对角线相交产生的短线段不能另计为原六边形的对角线。 变式3-2图 变式3-2解图 变式3-3、 如图，在五边形ABCDE中，从A和另一个顶点分别画出从该顶点出发的所有对角线。同一条对角线只计一次。 （1）若一共画出4条对角线，则另一个顶点可能是________。 （2）若一共画出3条对角线，则另一个顶点可能是________。 答案：（1）B或E；（2）C或D。 解析：五边形中从每个顶点引出的对角线都是2条。若两组共4条，说明没有共同对角线，所选顶点必须与A相邻，所以是B或E。若共3条，两组恰好共用1条对角线，所选顶点与A不相邻，所以是C或D。 变式3-3图 四、剪拼后重新确定边界 剪去或拼上一块纸片后，应先沿留下图形的外边界走一周，再认顶点、边和对角线，不能继续沿用原图的相邻关系。 剪去三角形时，剪切线的端点可能在原边内部，也可能恰好是原来的顶点。这会影响哪些旧顶点被剪掉、哪些新顶点留下。不能认为“剪掉一个角，边数就一定少1”。 两块纸片沿公共边拼接，且内部不重叠时，公共边不再是新图形的外边界。若外边界上前后两段位于同一直线上，应合成一条边，中间的点不再是新多边形的顶点。确定新顶点后，还要重新检查两点是否相邻。 沿原多边形的一条对角线剪开时，剪切线会在两块纸片中各作为一条边。两块的边数相加，除原来的边以外，还额外数了两次剪切线，所以原多边形的边数等于两块纸片的边数之和减2。这个关系不能直接代替任意拼接后的边界检查；拼接若有共线合并，还要把相邻的共线外边合成一条边。 如：图中的两个三角形沿QS拼在一起，外边界是PQ、QR、RS、SP，拼成四边形PQRS。QS不再是外边界上的边，但它连接新四边形两个不相邻的顶点，所以成为新四边形的一条对角线。两个三角形各有3条边，公共边QS各被数过一次，外边界共有条边。 拼接短例图 例4、 如图，M在四边形纸片ABCD的边AB上，且不与A、B重合。沿MD剪去三角形AMD，图中阴影部分表示剪去的纸片。 （1）留下的纸片是几边形？按边界顺序写出它的各个顶点。 （2）在图中画出留下的图形的所有对角线，并写出它们的名称。 答案：（1）四边形，顶点依次为M、B、C、D；（2）MC、BD。 解析：剪去三角形AMD后，A不再是留下图形的顶点，M成为新的顶点，D仍保留。沿外边界一周依次经过M、B、C、D。M与C不相邻，B与D不相邻，所以留下的图形只有MC、BD两条对角线。MD是新的边，不能再算对角线。 例4图 例4解图 变式4-1、 对同样的四边形纸片ABCD作下列两种剪切，图中阴影部分均表示剪去的纸片。 图①：M、N分别在AB、AD内部，沿MN剪去三角形AMN。 图②：沿BD剪去三角形ABD。 （1）图①留下的纸片有________个顶点，图②留下的纸片有________个顶点。 （2）两种剪切中，剪切线恰好是原四边形的一条对角线的是图________，这条对角线是________。 变式4-1图① 变式4-1图② 答案：（1）5；3。（2）②；BD。 解析：图①的外边界依次经过M、B、C、D、N，原顶点A去掉，增加M、N，共5个顶点。图②留下△BCD，只有B、C、D三个顶点。MN的端点不是原四边形的顶点，所以不是其对角线；BD连接原四边形两个不相邻的顶点，是原四边形的对角线，剪后成为三角形的一条边。 变式4-2、 如图，把三角形纸片ABC与三角形纸片ACD沿公共边AC拼在一起，两块纸片的内部不重叠。B、A、D依次在同一直线上，C不在这条直线上。 （1）拼成的图形是________边形，按边界顺序写出它的各个顶点：________。 （2）AC是拼成图形的________（填“边”“对角线”或“既不是边，也不是对角线”）。 答案：（1）三；B、C、D。（2）既不是边，也不是对角线。 解析：公共边AC位于拼成图形内部，不再属于外边界。由于B、A、D依次共线，原来的BA、AD在外边界上合成一条边BD，A不再是新图形的顶点。外边界为BC、CD、DB，拼成△BCD。AC的端点A不是新图形顶点，因此它也不是新图形的对角线。 变式4-2图 变式4-2解图 变式4-3、 如图，在矩形纸片ABCD的右侧，沿BC拼接三角形纸片BCE，两块纸片的内部不重叠。 图①中，A、B、E依次在同一直线上；图②中，E在直线BC的右侧，且位于直线AB与直线CD之间。 （1）图①拼成________边形，图②拼成________边形。 （2）分别写出两幅图中拼成图形的顶点，均按边界顺序填写。 图①：________；图②：________。 （3）BC在图①拼成的图形中是________，在图②拼成的图形中是________（填“边”“对角线”或“既不是边，也不是对角线”）。 变式4-3图① 变式4-3图② 答案：（1）四；五。（2）图①：A、E、C、D；图②：A、B、E、C、D。（3）图①：既不是边，也不是对角线；图②：对角线。 解析：图①中，AB、BE共线，在新外边界上合成边AE，B不再是顶点；公共边BC位于图形内部，且B不是新顶点，所以BC既不是新图形的边，也不是其对角线。图②中，A、B、E不共线，D、C、E也不共线，五个点都保留为新顶点。沿新边界B与C之间隔着E，B、C不相邻，因此公共边BC虽然从外边界消失，却成为新五边形的一条对角线。 变式4-3解图① 变式4-3解图② A组　基础巩固 A组·第1题、 如图，M是四边形ABCD的边AB上的一点，且不与A、B重合。下列线段是四边形ABCD的对角线 的是（　　） A．AM　　B．AC C．BM　　D．AD 答案：B。 解析：AC连接原四边形不相邻的两个顶点。M不是原四边形顶点，AM、BM不是对角线；AD是边。 A组·第1题图 A组·第2题、 已知一个六边形的各边相等，再补充下列哪个条件，就能保证它是正六边形（　　）。 A．有两条边平行 B．六个内角都相等 C．有两个内角相等 D．能画出对角线 答案：B。 解析：正多边形必须同时满足各边相等和各内角相等。已知各边相等，仍须补足各内角相等。 A组·第3题、 如图，在五边形ABCDE中，与顶点A相邻的两个顶点是（　　） A．B与C　　B．B与E C．C与D　　D．D与E 答案：B。 解析：按边界顺序，A的前一个顶点是E，后一个顶点是B；首尾两个字母对应的顶点也相邻。 A组·第3题图 A组·第4题、 如图，从六边形ABCDEF的顶点A出发，可以画出的对角线有（　　） A．2条　　B．3条 C．4条　　D．6条 答案：B。 解析：从A出发不能连接自身，AB、AF又是边，只能画AC、AD、AE，共3条。 A组·第4题图 A组·第5题、 如图，在五边形ABCDE的所有对角线中，以C为一个端点、但不以A为另一个端点的对角线是________。 答案：CE。 解析：以C为端点的对角线是CA、CE。排除以A为另一个端点的CA，只剩CE。 A组·第5题图 A组·第6题、 如图，M、N分别在三角形纸片ABC的边AB、AC内部，沿MN剪去三角形AMN，阴影部分表示剪去的纸片。留下的纸片是________边形；按边界顺序写出它的各个顶点：________。 答案：四；M、B、C、N。 解析：剪去AMN后，原顶点A不再保留，M、N成为新顶点。沿外边界依次经过M、B、C、N，得到四边形MBCN。 A组·第6题图 A组·第7题、 如图，画出四边形ABCD的全部对角线，并填写对角线的条数：________。 答案：2条，AC、BD；见解图。 解析：四边形中只有A、C和B、D这两对顶点不相邻，所以只画AC、BD。 A组·第7题图 A组·第7题解图 A组·第8题、 如图，ABCDE是正五边形。已知则________cm，________。 答案：6； 解析：正五边形的各边相等、各内角相等，因此无需利用内角和计算。 A组·第8题图 B组　方法运用 B组·第1题、 如图，在六边形ABCDEF中已经画出对角线AD。再画两条对角线，将六边形分成4个三角形。要求：不画AC、DF；所画线段之间不在图形内部相交，且不擦去AD。 画出所需的两条对角线，写出它们的名称，并写出分成的4个三角形的名称。 答案：BD、AE；△ABD、△BCD、△ADE、△AEF。 解析：已有AD把六边形分成四边形ABCD和ADEF。四边形ABCD可以用AC或BD分成两个三角形，但题目不允许画AC，只能画BD。同理，四边形ADEF只能补画AE，不能画DF。两条新线均不在图形内部与AD相交，得到答案所列四个三角形。 B组·第1题图 B组·第1题解图 B组·第2题、 如图，在五边形ABCDE中，已经画出AC、BD、BE。要画出它的全部对角线，还需补画的是（　　） A．AC、AE　　B．AD、CE　　C．AE、CD　　D．BC、DE 答案：B。 解析：五边形的全部对角线为AC、AD、BD、BE、CE。题图已有AC、BD、BE，尚缺AD、CE。 B组·第2题图 B组·第2题解图 B组·第3题、 如图，在六边形ABCDEF中，已经画出所有以A或C为一个端点的对角线。这个六边形还有哪几条对角线没有画出？写出它们的名称和条数。 答案：BD、BE、BF、DF，共4条。 解析：题图中从A引出的为AC、AD、AE，从C引出的为CA、CE、CF，两组共有AC一条重复，实际画出5条。继续按顶点检查：B的BD、BE、BF尚未画出；D的DF尚未画出；其余已经出现。共缺4条。 B组·第3题图 B组·第3题解图 B组·第4题、 如图，在六边形ABCDEF中连接AD，得到其中的四边形ABCD。在表格中填“边”“对角线”或“既不是边，也不是对角线”。 线段 在六边形ABCDEF中 在四边形ABCD中 AD ________ ________ AC ________ ________ DE ________ ________ BF ________ ________ B组·第4题图 答案：AD：对角线、边；AC：对角线、对角线；DE：边、既不是边也不是对角线；BF：对角线、既不是边也不是对角线。 解析：在六边形中，AD、AC、BF均连接不相邻顶点，DE为边。在四边形ABCD中，AD成为边，AC仍连接不相邻顶点；E、F不是该四边形的顶点，所以DE、BF均不能作为这个四边形的边或对角线。 B组·第5题、 沿一条对角线，将一个多边形纸片剪成一个四边形和一个五边形。原来的纸片是（　　） A．五边形　　B．六边形　　C．七边形　　D．九边形 答案：C。 解析：四边形和五边形各包含一次剪切产生的公共边。条边的记录中，公共边被记了2次，但它不是原多边形的边。扣除这2次，原来的边数为 B组·第6题、 如图，在矩形纸片ABCD中，M、N、P、Q分别位于AB、AD、BC、CD内部。沿MN、PQ分别剪去三角形AMN、CPQ，阴影部分均表示剪去的纸片。 （1）留下的纸片是________边形，按边界顺序写出它的顶点：________。 （2）原矩形的两条对角线中，仍是留下图形的对角线的是________。 答案：（1）六；M、B、P、Q、D、N。（2）BD。 解析：沿留下纸片的外边界依次为MB、BP、PQ、QD、DN、NM，得到六边形MBPQDN。原矩形对角线为AC、BD，其中A、C已被剪去，B、D仍是新顶点且不相邻，因此只有BD仍是新图形的对角线。 B组·第6题图 B组·第6题解图 B组·第7题、 把两个三角形纸片沿一条完整的公共边拼在一起，两块纸片的内部不重叠。拼成图形的边数可能是（　　） A．只有3　　B．只有4　　C．3或4　　D．2或3 答案：C。 解析：沿公共边拼接后，若外边界上没有相邻两段共线，得到四边形；若一处相邻外边共线并合成一条边，就得到三角形。下面两幅图分别给出这两种实际拼法。拼成的纸片具有面积，不能成为只有两条边的图形。 B组·第7题解图① B组·第7题解图② B组·第8题、 如图，沿六边形纸片ABCDEF的对角线AC剪去三角形ABC，阴影部分表示剪去的纸片。 （1）在留下的图形中，画出所有以C为一个端点的对角线，并写出它们的名称。 （2）AC在原六边形中是________，在留下的图形中是________（填“边”或“对角线”）。 答案：（1）CE、CF；（2）对角线；边。 解析：剪去ABC后，新边界依次为A、C、D、E、F。C在新图形中与A、D相邻，只能向E、F画对角线，因此画CE、CF。AC在原六边形中连接不相邻顶点，剪后成为新图形的一条边。 B组·第8题图 B组·第8题解图 C组　综合提升 C组·第1题、 对同样的五边形纸片ABCDE作下面两种剪切，M始终在线段AB内部，阴影部分均表示剪去的纸片。 图①：N在线段AE内部，沿MN剪去三角形AMN。 图②：沿ME剪去三角形AME。 （1）分别写出留下图形的各个顶点，均按边界顺序排列。 （2）ME在图①、图②留下的图形中分别是边还是对角线？ （3）在两幅图中，分别画出留下图形中所有以M或E为一个端点的对角线。同一条只计一次，分别求出条数。 C组·第1题图① C组·第1题图② 答案：（1）图①：M、B、C、D、E、N；图②：M、B、C、D、E。（2）图①为对角线；图②为边。（3）图①5条；图②4条。 解析：图①剪掉A、增加M和N，剩六边形MBCDEN；M与E之间隔着N，所以ME是对角线。从M出发有MC、MD、ME，从E出发有EM、EB、EC，共用ME，合计条。 图②剪掉A、增加M，E仍保留，剩五边形MBCDE。M与E直接相邻，ME是边。从M出发为MC、MD，从E出发为EB、EC，两组不重复，共条。不能只看顶点数改变，还要重新检查M、E是否相邻。 C组·第1题解图① C组·第1题解图② C组·第2题、 如图，将四边形纸片ABCD与五边形纸片BEFGC沿公共边BC拼在一起，两块纸片的内部不重叠。两幅图的拼接位置满足下列条件： 图①：A、B、E依次在同一直线上，D、C、G依次在另一条直线上。 图②：A、B、E不在同一直线上，D、C、G也不在同一直线上，各点位置如图所示。 （1）分别写出两幅图中拼成图形的各个顶点，均按边界顺序排列。 （2）在图①、图②拼成的图形中，BC分别是边、对角线，还是既不是边也不是对角线？ （3）分别求出两幅图中拼成图形的所有以A或F为一个端点的对角线条数，同一条只计一次。 C组·第2题图① C组·第2题图② 答案：（1）图①：A、E、F、G、D；图②：A、B、E、F、G、C、D。（2）图①既不是边也不是对角线；图②是对角线。（3）图①3条；图②7条。 解析：图①中，AB、BE合为AE，DC、CG合为DG，B、C都不再是新顶点，外边界形成五边形AEFGD。BC位于内部且两端不是新顶点，所以不是新多边形的对角线。从A出发为AF、AG，从F出发为FA、FD，共用AF，总数 图②没有上述两处共线合并，得到七边形ABEFGCD。B、C都是新顶点，沿边界它们之间隔着E、F、G，所以BC成为对角线。从A出发为AE、AF、AG、AC；从F出发为FA、FB、FC、FD，AF重复1次，总数 C组·第2题解图① C组·第2题解图② C组·第3题、 如图，在正六边形ABCDEF中，已经画出对角线AD、BE、CF，它们交于点O。 （1）下列记录中，正确的序号是________。 ①OA、OD是这个正六边形的两条对角线。 ②这个正六边形中，以A或D为一个端点的不同对角线共有5条。 ③只需再画AC、BD、CE、DF四条线段，就能画出这个正六边形的全部对角线。 ④在这个正六边形中，从A及与A相邻的一个顶点分别画出各自的全部对角线，两组没有相同的对角线。 （2）在图中补画缺少的全部对角线，并写出所补线段的名称。 （3）补齐后，所有以B或E为一个端点的不同对角线共有________条。 答案：（1）②④。（2）AC、AE、BD、BF、CE、DF。（3）5。 解析：①错误：O不是原六边形顶点，OA、OD都不是原六边形的对角线。②正确：A、D不相邻，两组各有3条，共用AD，合计5条。③错误：除题列四条外，还缺AE、BF。④正确：A和相邻顶点的连线是边，不属于两组对角线，所以没有共同对角线。 按各个顶点补全，除已有AD、BE、CF外，尚需AC、AE、BD、BF、CE、DF六条。B与E不相邻，从B为BD、BE、BF，从E为EA、EB、EC，BE重复一次，共条。 C组·第3题图 C组·第3题解图 C组·第4题、 如图，M、N分别位于矩形纸片ABCD的边AB、BC内部。先沿MN剪去三角形BMN，再在MN靠近原顶点B的一侧拼接三角形MNP。新拼上的三角形不超出原三角形BMN的范围，两块纸片的内部不重叠。三幅图分别采用下列位置： 图①：P在线段MB内部。 图②：P与B重合。 图③：P在三角形BMN的内部。 （1）分别写出最后拼成图形的各个顶点，均按边界顺序排列。 （2）填写下表。同一条对角线只计一次。 项目 图① 图② 图③ 拼成图形的边数 ________ ________ ________ MN是否为拼成图形的对角线（填“是”或“不是”） ________ ________ ________ 拼成图形中，以A或C为一个端点的对角线条数 ________ ________ ________ C组·第4题图① C组·第4题图② C组·第4题图③ 答案：（1）图①：A、P、N、C、D；图②：A、B、C、D；图③：A、M、P、N、C、D。（2）边数依次5、4、6；MN是否为对角线依次为不是、不是、是；以A或C为端点的对角线条数依次3、1、5。 解析：图①中，A、M、P共线，AM与MP合成AP，M不再是顶点；N仍是顶点，得到五边形APNCD。MN含有非顶点M，不是新图形的对角线。从A或C出发的不同对角线为AN、AC、CP，共3条。 图②中，P与B重合，原三角形BMN恰好补回。A、M、B共线，B、N、C共线，M、N都不再是新顶点，恢复矩形ABCD。MN不是它的对角线；从A或C出发只有同一条AC，共1条。 图③中，P在原三角形BMN内部，外边界不发生共线合并，得到六边形AMPNCD。M、N均为新顶点且中间隔着P，所以MN是新图形的对角线。从A出发为AP、AN、AC，从C出发为CA、CM、CP，两组共用AC，合计条。 C组·第4题解图① C组·第4题解图② C组·第4题解图③ D组　真题衔接 D1、 2025 年 1 月，常州市七年级上学期期末质量调研，第 13 题 从七边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片，则可以剪成________个三角形。 答案：5 解析：从七边形的一个顶点出发，画出所有对角线，把七边形分成 个三角形。如解图，从A画出AC、AD、AE、AF，将七边形分成5个三角形。 D1解图 D2、 2026 年 1 月 14 日，北京人大附中初一上学期期末，第 14 题节选 如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长________（填：“大”或“小”）。 答案：小。 解析：新、旧图形的边界中，从 P 经 A、B、C、D 到 Q 的部分相同。裁去后，原来的折线 P-G-F-E-Q 换成线段 PQ。两点之间线段最短，所以新图形的周长较小。 D2图 D2解图 D3、 重庆市南开中学 2025—2026 学年上学期 12 月月考，七年级数学，第 13 题 已知正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为________。 答案：16 解析：正八边形的 8 条边都相等，每条边长都是 2，所以周长为 D4、 原创迁移 如图，两个边长都为3 cm的正方形ABEF和BCDE沿公共边BE拼接，内部没有重叠，点A、B、C在同一直线上，点F、E、D在同一直线上。把拼成的图形的外边界看作一个多边形。 （1）这个多边形是________边形，按边界顺序写出它的名称：________。 （2）在图中画出这个多边形的所有对角线，共________条。线段BE是这个多边形的________（填“边”“对角线”或“都不是”）。 （3）这个多边形的周长为________cm，它________正多边形（填“是”或“不是”）。 答案：（1）四；四边形ACDF（或其他按同一边界顺序命名的四边形）。 （2）AD、CF，2；都不是。 （3）18；不是。 解析：（1）A、B、C共线，原来的AB和BC合并为边AC；F、E、D共线，原来的FE和ED合并为边FD。B、E不再是外边界的顶点，外边界依次经过A、C、D、F。 （2）四边形ACDF中，不相邻顶点只有A与D、C与F两组，故对角线为AD、CF，共2条。BE的两个端点都不是新多边形的顶点，所以BE既不是它的边，也不是它的对角线。 （3）周长为虽然四个角都是直角，但四条边不全相等，所以不是正多边形。 D4图 D4解图 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $