第13讲 转化表达（知识清单+3必考题型）（讲义）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版2024）

第13讲 转化表达 题型梳理 题型方法 题型一 常见几何体的展开图 题型二 正方体的展开图 题型三 折叠 知识清单 知识点1．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点2．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点3．专题：正方体相对两个面上的文字 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 题型方法 【题型一】常见几何体的展开图 【例1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，能围成圆锥的平面展开图是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个半成品的平面图： (1)在下图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； (2)已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的表面积． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示． (1)求长方体的体积． (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积． 【题型二】正方体的展开图 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，不是立方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）利用如图所示的方格纸板，以纸板中的每个小方格为一个面，先剪后折，最多能制作 个无盖的正方体纸盒． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为倒数． (1) ， ， (2)先化简，再求值：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数． (1)填空：____________，___________； (2)先化简，再求值：． 【题型三】折叠 【例3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成（    ）    A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图是一个长方体纸盒的展开图，在展开图的每一个面上都标有数字，如果折叠成长方体纸盒后，标有数字“1”的面是纸盒的底部，那么它最上面的面的数字为 ． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了 条棱； (2)若展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的体积． 【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在一个正方形网格中有五个小正方形，每个面上分别标有一个数值，在网格中添上一个正方形，使之能折叠成一个正方体，且使相对面上的两个数字之和相等． (1)在图中画出添上的正方形；（要求：在网格中用阴影形式描出，并描出所有符合条件的正方形） (2)求添上的正方形面上的数值． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，将正五角星沿虚线折叠，使、、、、五个顶点重合，得到的立体图形是（    ） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，折叠后，相对两面的数字之和相等，则的值为（   ） A． B．13 C． D．3 4．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 5．（2022七年级上·江苏·专题练习）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（　　）立方分米． A．105π B．54π C．36π D．18π 二、填空题 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知一个圆柱的侧面展开图为如图的长方形，则圆柱的体积为 （结果保留）．    7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 8．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，硬纸板上有10个无阴影的正方形，从中选1个，使得它与图中多个有阴影的正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，选法共有 种． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 三、解答题 11．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，若此正方体的相对面上的数互为相反数，则求的值． 12．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该无盖的长方体盒子的底面周长为________（用含的式子表示）； (2)若①、②、③、④四个面上分别标有整式、5、、，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值． 13．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小华学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个长方体纸盒的平面图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数． (1)填空：__________，__________，__________； (2)先化简，再求值：． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）综合与实践：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【特例感知】实践小组先研究了无盖正方体的展开图 ①下列图形中，不是无盖正方体表面展开图的是______．（填序号） ②将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开______条棱． 【初步研究】实践小组按照如图方式制作了一个无盖的长方体纸盒他们先将边长为a的正方形纸板的四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，则该长方体纸盒的底面周长为______；（用含a、b的代数式表示） 【知识再探】实践小组又将上述无盖的长方体纸盒采用新方式再次展开他们发现有多种样式的展开图，当时，其中有一种展开图的周长为，请求出b的所有可能的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 转化表达 题型梳理 题型方法 题型一 常见几何体的展开图 题型二 正方体的展开图 题型三 折叠 知识清单 知识点1．几何体的展开图 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 知识点2．展开图折叠成几何体 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 知识点3．专题：正方体相对两个面上的文字 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 题型方法 【题型一】常见几何体的展开图 【例1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，能围成圆锥的平面展开图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查基本几何体的展开图，根据圆锥，三棱柱，圆柱体以及正方体的表面展开图的特征求解即可． 【详解】解：．能围成圆锥，故该选项符合题意； ．能围成三棱柱，故该选项不符合题意； ．能围成圆柱体，故该选项不符合题意； ．能围成正方体，故该选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．根据长方体的展开图求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个半成品的平面图： (1)在下图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； (2)已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据长方体的展开图补充图形即可求解； （2）根据题意，设长方体的高为，则宽为，长为，根据长方体所有棱长的和为，列出方程，进而根据表面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：设长方体的高为，则宽为，长为， 根据题意得， 解得：， ∴这个长方体的高为，宽为，长为， ∴这个长方体盒子的表面积为：． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示． (1)求长方体的体积． (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积． 【答案】(1)该长方体的体积为 (2)将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，一元一次方程的应用； （1）设该长方体的高为，则根据题意得，，再解方程进一步求解即可； （2）分三种情况求解表面积：方案一：的面重叠在一起：方案二：的面重叠在一起：方案三：的面重叠在一起：再比较即可． 【详解】（1）解：设该长方体的高为， 则根据题意得，， 解得：， 宽为：， ∴该长方体的体积为：， 答：该长方体的体积为． （2）解：方案一：的面重叠在一起： 表面积为：， 方案二：的面重叠在一起： 表面积为：， 方案三：的面重叠在一起： 表面积为：； ∵， ∴方案一所用材料最少，此时纸箱的表面积为． 答：将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为． 【题型二】正方体的展开图 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，不是立方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解答即可． 【详解】解：A、B、D经过折叠后，可以围成立方体，故是立方体的展开图； C、围成几何体时，最上边的小正方形和最右边的小正方形重合，故不是立方体的展开图． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）利用如图所示的方格纸板，以纸板中的每个小方格为一个面，先剪后折，最多能制作 个无盖的正方体纸盒． 【答案】3 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据正方体的展开图画出图形，然后可得答案． 【详解】解：如图所示，最多能制作3个无盖的正方体纸盒， 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为倒数． (1) ， ， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)1，2， (2)，2 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、倒数、整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据正方体的平面展开图的特点可得与1处在相对两个面上，与处在相对两个面上，与处在相对两个面上，再根据倒数的定义即可得； （2）先去括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：由正方体的平面展开图的特点可知，与1处在相对两个面上，与处在相对两个面上，与处在相对两个面上， ∵正方体纸盒中相对两个面上的数互为倒数， ∴， 故答案为：1，2，． （2）解：原式 ， 将代入得：原式． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为相反数． (1)填空：____________，___________； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了正方体的展开图、相反数和整式的化简求值，掌握相反数的定义以及括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）先根据正方体的展开图可知a的对面是，b的对面是，c的对面是2，再根据相反数的定义即可求解； （2）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简即可求解． 【详解】（1）由正方体的展开图可知； 的对面是，的对面是，的对面是2， ∵相对两个面上的数互为相反数， ∴， 故答案为：，； （2） ∵ ∴原式 【题型三】折叠 【例3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成（    ）    A．圆锥 B．三棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键． 【详解】解：由图可知：折叠后，可以围成三棱锥， 则该几何体为三棱锥， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图是一个长方体纸盒的展开图，在展开图的每一个面上都标有数字，如果折叠成长方体纸盒后，标有数字“1”的面是纸盒的底部，那么它最上面的面的数字为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点求解即可． 【详解】∵数字“1”和数字“6”相对， ∴标有数字“1”的面是纸盒的底部，那么它最上面的面的数字为6． 故答案为：6． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了 条棱； (2)若展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的体积． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了长方体的展开图与体积、一元一次方程的应用： （1）先数出用剪刀展开的图形的棱数减去原有的是12条棱，即可作答． （2）设宽为，则长为，结合图中的数据，列方程计算即可作答． 【详解】（1）解：依题意，用剪刀展开的图形的棱数条；原有的是12条棱 故（条） （2）解：设长方体盒子的宽为，则长为， 依题意，高 那么 解得 故高 长 即长方体纸盒的体积 【变式3】（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在一个正方形网格中有五个小正方形，每个面上分别标有一个数值，在网格中添上一个正方形，使之能折叠成一个正方体，且使相对面上的两个数字之和相等． (1)在图中画出添上的正方形；（要求：在网格中用阴影形式描出，并描出所有符合条件的正方形） (2)求添上的正方形面上的数值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方体的展开图的形态画出可添加的正方形即可； （2）由正方体相对面上的数字之和相等建立方程求解，可得相对面上的数字之和，从而可得添加的正方形上对应的数字． 【详解】（1）解：如图，添加一个正方形，使之能折叠成一个正方体，有如下四个位置： （2）由相对面上的数字之和相等可得：， 解得：， ∴相对面的数字之和为， ∴添上的正方形面上的数值为． 【点睛】本题考查的是正方体的展开图的认识，展开图的相对面的认识，一元一次方程的解法，熟记正方体展开图的形态是解本题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）某几何体的展开图如图所示，该几何体是（   ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．圆柱 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，掌握三棱柱的侧面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的侧面展开图解答． 【详解】解：观察几何体的展开图可知，该几何体是三棱柱． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，将正五角星沿虚线折叠，使、、、、五个顶点重合，得到的立体图形是（    ） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的展开图，底面是一个五边形，侧面由个全等的三角形组成，所以得到的立体图形是棱锥，据此即可求解，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征是解题的关键． 【详解】解：将正五角星沿虚线折叠，使、、、、五个顶点重合，得到的立体图形是五棱锥， 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，折叠后，相对两面的数字之和相等，则的值为（   ） A． B．13 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，一元一次方程，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，． 故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题关键．根据图形确定“5”和“6”相对，进一步可得“4”和“1、2、5、6”相邻，“4”的对面是3，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，“5”和“1、2、3、4”相邻， ∴“5”的对面是6， ∴“4”和“1、2、5、6”相邻， ∴“4”的对面是3， ∴“2”和“1”相对，即“2”对面的数字是“1”． 故选：A． 5．（2022七年级上·江苏·专题练习）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（　　）立方分米． A．105π B．54π C．36π D．18π 【答案】B 【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果． 【详解】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米， ∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米）， ∴圆柱的体积为：π××6＝54π（立方分米）， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱体体积公式的推导及公式的应用，理解推导过程，正确求得圆柱体的半径是解决问题的关键． 二、填空题 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知一个圆柱的侧面展开图为如图的长方形，则圆柱的体积为 （结果保留）．    【答案】或 【分析】本题主要考查几何体的展开图、圆柱的体积公式等知识点，先根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径，再根据圆柱体的体积公式即可解答． 【详解】解：由题意可得：当长方形的长为底面圆的周长时，圆柱的底面半径为， 所以圆柱的体积：． 当长方形的宽为底面周长时，圆柱的底面半径为 所以圆柱的体积：． 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 8．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，硬纸板上有10个无阴影的正方形，从中选1个，使得它与图中多个有阴影的正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，选法共有 种． 【答案】四/4 【分析】利用正方体的展开图即可解决问题，共四种． 【详解】解：如图所示：共四种． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11种展开图的模型是解决本题的关键． 9．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 【答案】六棱柱 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记六棱柱的特征．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：根据题意得，有2个六边形的面，6个长方形的面， ∴围成的几何体名称是六棱柱． 故答案为：六棱柱． 10．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，若此正方体的相对面上的数互为相反数，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再相反数相反数的定义求出、、，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “1”与“”是相对面， 正方体相对面上的数互为相反数， ，， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该无盖的长方体盒子的底面周长为________（用含的式子表示）； (2)若①、②、③、④四个面上分别标有整式、5、、，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）依据无盖的长方体盒子的高为，底面的宽为，长为，即可得到底面的周长； （2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，无盖的长方体高为，底面的宽为， ∴底面的长为， ∴底面的周长为， 故答案为：； （2）解：∵①、②、③、④四个面上分别标有整式、5、、，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等， ∴可以得到， 解得：； 13．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小华学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个长方体纸盒的平面图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数． (1)填空：__________，__________，__________； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】本题主要考查长方体对面的文字、整式的加减中的化简求值等知识点，依据长方体对面的特点确定出a、b、c的值是解题的关键． （1）长方体的表面展开图中“相对的面之间一定相隔一个长方形”，据此即可解答； （2）先去括号，然后再合并同类项，最后将a、b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知， 3与c是对面；2与b是对面；a与是对面． ∵纸盒中相对两个面上的数互为相反数， ∴，；． 故答案为：，，． （2）解： ； 当、、时，． 14．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）综合与实践：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【特例感知】实践小组先研究了无盖正方体的展开图 ①下列图形中，不是无盖正方体表面展开图的是______．（填序号） ②将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开______条棱． 【初步研究】实践小组按照如图方式制作了一个无盖的长方体纸盒他们先将边长为a的正方形纸板的四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来，则该长方体纸盒的底面周长为______；（用含a、b的代数式表示） 【知识再探】实践小组又将上述无盖的长方体纸盒采用新方式再次展开他们发现有多种样式的展开图，当时，其中有一种展开图的周长为，请求出b的所有可能的值． 【答案】【特例感知】①②；②4；【初步研究】；【知识再探】4或7或8 【分析】特例感知：①根据正方体的展开图进行解答即可； ②根据展开图中没有剪开的棱，然后得出需要剪开的棱即可； 初步研究：先求出长方体纸盒的底面边长，然后再求出周长即可； 知识再探：根据无盖长方体盒子有4条长度为b的棱，4条长度为的棱，剪开后的图形周长为所剪开棱的长度和的2倍加上4条的棱的长度，且长度为的棱最多只能剪开3条，分四种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】解：特例感知：①不是无盖正方体表面展开图的是②； ②∵无盖的正方体盒子有8条棱没有剪开，而无盖正方体展开图中有4条棱没有剪开， ∴将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开4条棱； 初步研究：该长方体纸盒的底面边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； 知识再探：无盖长方体盒子有4条长度为b的棱，4条长度为的棱，剪开后的图形周长为所剪开棱的长度和的2倍加上4条的棱的长度，且长度为的棱最多只能剪开3条， 当剪开的棱为4条长度为b的棱时， ，不符合题意； 当剪开的棱为3条长度为b的棱，1条长度为时， ， 即 解得：； 当剪开的棱为2条长度为b的棱，2条长度为时， ， 即， 解得：； 当剪开的棱为1条长度为b的棱，3条长度为时， ， 即， 解得：； 综上分析可知：b的所有可能的值为4或7或8． 【点睛】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $