专题12 平行线、多边形 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题12 平行线、多边形 暑假预习讲义 ✺知识框架 板块一 平行线（平面内无交点的直线关系） 基础定义：平行线概念、符号表示、标准作图方法 核心公理：平行公理 + 平行传递推论 三线八角：同位角、内错角、同旁内角位置识别 平行线判定：由角相等、互补→证明两线平行 平行线性质：已知两线平行→推导角相等、互补 综合应用：判定与性质区分、基础角度推理 板块二 多边形（线段围成封闭平面图形） 基础概念：多边形顶点、边、内角、外角、对角线定义 分类标准：n 边形、凸多边形、正多边形判定条件 对角线规律：单顶点对角线条数、总对角线公式 ✅本节遵循 “直线→角→封闭图形” 递进逻辑：先对比相交线，研究平面内无交点的平行线，依托三线八角搭建角与直线的推导关系，区分判定、性质两类反向推理；再延伸至多条线段围成的多边形，梳理边角、对角线的数量规律，完整串联平面基础几何体系，为后续三角形、几何证明打好底层认知。 ✺学习目标 1.熟记同一平面内两直线全部位置关系，规范书写平行符号，掌握 “一落二靠三移四画” 平行线作图流程。 2.精准复述平行公理及推论，能利用平行传递性完成简单说理。 3.快速区分三线八角中同位角、内错角、同旁内角，掌握图形识别技巧。 4.清晰区分平行线判定与性质的因果逻辑，规范书写几何推理步骤，完成基础角度计算。 5.识别多边形各组成元素，熟练运用对角线公式完成计数计算，理解对角线分割三角形规律。 6.准确判断正多边形，规避 “单边相等或单角相等即为正多边形” 误区。 ✺题型归纳 题型1.平面内两直线的位置关系 题型2.立体图形中平行的棱 题型3.用直尺、三角板画平行线 题型4.平行公理的应用 题型5.平行公理推论的应用 题型6.同位角相等两直线平行 题型7.内错角相等两直线平行 题型8.同旁内角互补两直线平行 题型9.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型10.两直线平行同位角相等 题型11.两直线平行内错角相等 题型12.两直线平行同旁内角互补 题型13.根据平行线的性质探究角的关系 题型14.根据平行线的性质求角的度数 题型15.平行线的性质在生活中的应用 题型16.根据平行线判定与性质求角度 题型17.根据平行线判定与性质证明 题型18.利用平行线间距离解决问题 题型19.同位角、内错角、同旁内角 题型20.多边形的概念与分类 题型21.多边形截角后的边数问题 题型22.多边形的周长 题型23.网格中多边形面积比较 题型24.多边形对角线的条数问题 题型25.对角线分成的三角形个数问题 题型26.巩固测试 ✺知识清单 知识点 1 平行线定义与表示 定义：同一平面内，不重合、没有公共点的两条直线，叫作平行线。 符号书写：如下图直线a与b平行，记作a∥b． 拓展：线段、射线平行，指二者所在直线互相平行。 平面直线位置总览：同一平面内，不重合两直线只有两类：①相交（垂直为特殊相交）；②平行。 知识点二、平行线标准作图（四步画法） 一落：三角板直角边贴合已知直线； 二靠：直尺紧贴三角板另一条直角边固定； 三移：沿直尺平移三角板，使直角边经过指定点； 四画：沿直角边画出目标平行线。 知识点三、平行公理及推论 平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 关键词：直线外一点、有且只有（同时满足存在、唯一两层含义）。 推论 1（平行传递性）：若两条直线都平行于第三条直线，则两条直线互相平行。 几何语言：∵a∥b,b∥c,∴a∥c 推论 2（垂直平行判定）：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 几何语言:∵a⊥b，a⊥c，∴b∥c 知识点四、三线八角：三类角位置识别 1.如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如下图． 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 2.同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下： 结论：：在三线八角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。 知识点五、平行线的判定方法 知识点六、平行线的性质 👍 总结：线与角的关系 知识点七、平行线经典模型 铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 知识点八、多边形的概念及要素 1.多边形的概念 定义：在平面内，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接围组成的图形叫做多边形。 组成元素： 边：围成图形的线段；顶点：相邻两边公共端点； 内角：相邻两边形成的角，n边形共n个内角； 外角：多边形一边与邻边延长线组成的角； 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 2.多边形的分类及表示方法 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形n边形等。下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”. 3.多边形的内角和外角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的外角与相邻的内角互为补角，如下图，∠A,∠B，∠BCD,∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD+∠DCE=180°. 知识点九、多边形的对角线 1.概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线。 2.n边形的对角线 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三角形。 由上图可知，从n（n≥3）边形一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形。 n边形总对角线条数： 示例：五边形：一个顶点2条对角线，总对角线5条 六边形：一个顶点3条对角线，总对角线9条 3.正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形，叫正多边形。 例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形。 ✺题型精讲 题型1.平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（     ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 2．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 3．在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 题型2.立体图形中平行的棱 1．一个长方体，其长、宽、高均不相等．在这个长方体中，与长平行的棱有(        ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有_________条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相_________． 3．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型3.用直尺、三角板画平行线 1．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 3．如图，已知，请用直尺和三角尺画出图形． (1)过点A画的垂线段，垂足为D； (2)过点A画的平行线，记作； (3)连接，判断线段中最短的是：______，理由是：________． 题型4.平行公理的应用 1．下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 3．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 题型5.平行公理推论的应用 1．已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 2．如图，若，， 则与的位置关系是______ 3．如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 题型6.同位角相等两直线平行 1．一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向右拐； B．第一次向右拐，第二次向左拐； C．第一次向左拐，第二次向左拐； D．第一次向右拐，第二次向右拐 2．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：________． 3．如图，已知A，B是直线上两点，，，，求证：． 题型7.内错角相等两直线平行 1．如图所示是一块蹄形磁铁的主视图．下列条件中，能验证磁铁上下面平行（）的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 3．完成下列证明过程，并在括号中填上理论依据． 如图，，，且，试说明：，． 请完成下面的解答过程： 证明：，（已知）， ∴________________________（垂直的定义）， （________）． 又（已知）， ∴________________， （________）． 题型8.同旁内角互补两直线平行 1．如图，能判断直线的条件是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 3．如图，直线、被直线所截，交于点，，，试说明． 题型9.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 2．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 3．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 题型10.两直线平行同位角相等 1．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线、都相交．若，，则________． 3．开州大桥为单塔双索面斜拉桥，现将开州大桥部分景观抽象成如图所示的数学图形，请阅读下面的推理过程，完成证明． 已知：，，，． 求证：平分． 证明：， （①_____________）． ， ②________， ③_________． ， ∴④__________（两直线平行，同位角相等）． 又， ， （⑤_____________）． 平分． 题型11.两直线平行内错角相等 1．如图，已知，，平分，则等于（     ） A．30° B．45° C． D．55° 2．如图，直线，交于点，交于点，，则的度数为______． 3．已知：如图，，，试说明． 题型12.两直线平行同旁内角互补 1．如图，已知，，那么是（    ） A． B． C． D． 2．图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 __________． 3．如图，，，则的度数是多少度？ 题型13.根据平行线的性质探究角的关系 1．如图，已知直线，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知和的两边分别平行，且的两倍与的差为，则的度数为____________． 3．如图，已知直线，直线c与a，b分别相交于点C，D，点P在直线c上，点A，B分别是直线a，b上的点，设，，． (1)如图①，如果，，求的度数； (2)在图①中，若点P在线段上移动（C，D两点除外），，，之间的关系是什么？请说明理由； (3)若点P移动到线段外时（C，D两点除外），（2）中，，之间的关系还成立吗？请画出图形并直接写出结论． 题型14.根据平行线的性质求角的度数 1．如图，一条排水管连续两次转弯后，和原来的方向相同，若第一次转弯时，则第二次转弯时的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，，则的度数为_________． 3．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，且． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 题型15.平行线的性质在生活中的应用 1．如图1是一盏可折叠的护眼台灯，图2是其平面示意图，若保持不变为，此时，底座与灯臂的夹角可通过绕点转动调节照明，当灯体调节到平行于桌面时，的大小变化为（     ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 2．结合光学反射原理和巧妙的结构设计，汽车的反光罩可以将从灯源处发出的光线反射后，平行射出．如图，入射光线与反光罩的交点为，经反光罩反射后沿射出，且．若一入射光线与反光罩交点为，经反光罩反射后沿射出，当，时，的度数为________． 3．2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 题型16.根据平行线判定与性质求角度 1．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____． 3．如图，在中，，点在上，过点作，交边于点，点在上，且，求的度数． 题型17.根据平行线判定与性质证明 1．如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（     ） A．B．C． D．无法确定 2．如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 3．如图，在中，点D，E分别在，上，于点F，交于点G． (1)若，说明．请在横线上补充过程，并在括号内填写理由： 因为（已知）， 所以________度． 又因为（已知）， 所以（___________________________）， 所以（___________________________）， 所以． (2)若，试说明． 题型18.利用平行线间距离解决问题 1．如图，在梯形中，，，对角线相交于点O，找出图中面积相等的一对三角形___________． 2．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点 E，使得直线于点 F，画出直线，并注明垂足 F； (2)找一格点G， 使得直线， 画出直线； (3)连接， 则线段的大小关系是 （用“”连接）； (4)在图上找一格点 P，使得的面积与的面积相等（C点除外）． 3．如图，直线与直线相交于，请完成下列各题：    (1)过点画，交于点 (2)过点画，垂足为； (3)连接，比较线段与的长短，用“”连接，并说明依据． 题型19.同位角、内错角、同旁内角 1．如图所示，直线、被直线所截，的同位角应该是图中的（     ） A． B． C． D． 2．观察下图并填空： （1）与_______是同位角； （2）与_______是同旁内角； （3）与_______是内错角． 3．如图，平分交于点，点在线段上，为延长线上一点，连接交于点，使，作平分交于点． (1)与平行吗？为什么？ (2)求证：； (3)点在的延长线上，连接，若∠，，求的度数． 题型20.多边形的概念与分类 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 3．如图，求多边形的面积． 题型21.多边形截角后的边数问题 1．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 题型22.多边形的周长 1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 2．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 3．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 题型23.网格中多边形面积比较 1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 2．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 3．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型24.多边形对角线的条数问题 1．若从多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则这个多边形是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 2．填空： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，四边形共有_________条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，五边形共有_________条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，六边形共有_________条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，n边形共有_________条对角线． 3.【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 题型25.对角线分成的三角形个数问题 1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2024个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2026 D．2025 2．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 3．（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 2．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在下列条件中，不一定能判定的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，，给出下列几个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点D．若，，光线射入水中偏折的角度（）为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 8．如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 9．如图，若，平分，平分，，则________． 10．填空： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，四边形共有_________条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，五边形共有_________条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，六边形共有_________条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，n边形共有_________条对角线． 11．如图，直线分别与直线，交于点，，且，的平分线交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数为________°． 12．如图，，，平分，，且，则__________________ ． 三、解答题 13．从边形的一个顶点出发共有4条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为63，则求的值． 14．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 15．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 16．如图，直线与相交于点为直线上一点（不与点重合）． (1)用直尺和圆规过点作直线，使与成为内错角（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图的基础上，当时，求的度数． 17．如图所示：在中，，、是、上的两点，． (1)求证：； (2)若，平分，求与的度数． 18．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平行线、多边形 暑假预习讲义 ✺知识框架 板块一 平行线（平面内无交点的直线关系） 基础定义：平行线概念、符号表示、标准作图方法 核心公理：平行公理 + 平行传递推论 三线八角：同位角、内错角、同旁内角位置识别 平行线判定：由角相等、互补→证明两线平行 平行线性质：已知两线平行→推导角相等、互补 综合应用：判定与性质区分、基础角度推理 板块二 多边形（线段围成封闭平面图形） 基础概念：多边形顶点、边、内角、外角、对角线定义 分类标准：n 边形、凸多边形、正多边形判定条件 对角线规律：单顶点对角线条数、总对角线公式 ✅本节遵循 “直线→角→封闭图形” 递进逻辑：先对比相交线，研究平面内无交点的平行线，依托三线八角搭建角与直线的推导关系，区分判定、性质两类反向推理；再延伸至多条线段围成的多边形，梳理边角、对角线的数量规律，完整串联平面基础几何体系，为后续三角形、几何证明打好底层认知。 ✺学习目标 1.熟记同一平面内两直线全部位置关系，规范书写平行符号，掌握 “一落二靠三移四画” 平行线作图流程。 2.精准复述平行公理及推论，能利用平行传递性完成简单说理。 3.快速区分三线八角中同位角、内错角、同旁内角，掌握图形识别技巧。 4.清晰区分平行线判定与性质的因果逻辑，规范书写几何推理步骤，完成基础角度计算。 5.识别多边形各组成元素，熟练运用对角线公式完成计数计算，理解对角线分割三角形规律。 6.准确判断正多边形，规避 “单边相等或单角相等即为正多边形” 误区。 ✺题型归纳 题型1.平面内两直线的位置关系 题型2.立体图形中平行的棱 题型3.用直尺、三角板画平行线 题型4.平行公理的应用 题型5.平行公理推论的应用 题型6.同位角相等两直线平行 题型7.内错角相等两直线平行 题型8.同旁内角互补两直线平行 题型9.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型10.两直线平行同位角相等 题型11.两直线平行内错角相等 题型12.两直线平行同旁内角互补 题型13.根据平行线的性质探究角的关系 题型14.根据平行线的性质求角的度数 题型15.平行线的性质在生活中的应用 题型16.根据平行线判定与性质求角度 题型17.根据平行线判定与性质证明 题型18.利用平行线间距离解决问题 题型19.同位角、内错角、同旁内角 题型20.多边形的概念与分类 题型21.多边形截角后的边数问题 题型22.多边形的周长 题型23.网格中多边形面积比较 题型24.多边形对角线的条数问题 题型25.对角线分成的三角形个数问题 题型26.巩固测试 ✺知识清单 知识点 1 平行线定义与表示 定义：同一平面内，不重合、没有公共点的两条直线，叫作平行线。 符号书写：如下图，直线a与b平行，记作a∥b． 拓展：线段、射线平行，指二者所在直线互相平行。 平面直线位置总览：同一平面内，不重合两直线只有两类：①相交（垂直为特殊相交）；②平行。 知识点二、平行线标准作图（四步画法） 一落：三角板直角边贴合已知直线； 二靠：直尺紧贴三角板另一条直角边固定； 三移：沿直尺平移三角板，使直角边经过指定点； 四画：沿直角边画出目标平行线。 知识点三、平行公理及推论 平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 关键词：直线外一点、有且只有（同时满足存在、唯一两层含义）。 推论 1（平行传递性）：若两条直线都平行于第三条直线，则两条直线互相平行。 几何语言：∵a∥b,b∥c,∴a∥c 推论 2（垂直平行判定）：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 几何语言:∵a⊥b，a⊥c，∴b∥c 知识点四、三线八角：三类角位置识别 1.如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如下图． 同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． 同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角． 2.同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下： 结论：：在三线八角中，有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。 知识点五、平行线的判定方法 知识点六、平行线的性质 👍 总结：线与角的关系 知识点七、平行线经典模型 铅笔头模型（拐点向内） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向内凹陷，形成封闭图形； 核心结论：拐点处所有角的和为360°； 解题关键：过每个拐点作平行线，结合 “同旁内角互补” 推导。 猪蹄模型（拐点向外） 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向外凸起，呈 “Z” 型； 核心结论：拐点处两个相关角相等（单拐点）；多拐点时，对应角的和相等； 解题关键：过拐点作平行线，结合 “内错角相等” 推导。 鹰嘴模型（拐点向上 / 向下） . 模型特征：两条平行线被折线截取，拐点向上或向下凸起； 核心结论：拐点处的角等于另外两个相关角的差； 知识点八、多边形的概念及要素 1.多边形的概念 定义：在平面内，由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接围组成的图形叫做多边形。 组成元素： 边：围成图形的线段；顶点：相邻两边公共端点； 内角：相邻两边形成的角，n边形共n个内角； 外角：多边形一边与邻边延长线组成的角； 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段。 2.多边形的分类及表示方法 根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形n边形等。下图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF，三角形ABC可以记作“△ABC”. 3.多边形的内角和外角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它相邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 多边形的外角与相邻的内角互为补角，如下图，∠A,∠B，∠BCD,∠D是四边形ABCD的四个内角，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，∠BCD+∠DCE=180°. 知识点九、多边形的对角线 1.概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如下图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线。 2.n边形的对角线 从多边形一个顶点出发，沿对角线，将其分割成三角形。 由上图可知，从n（n≥3）边形一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形。 n边形总对角线条数： 示例：五边形：一个顶点2条对角线，总对角线5条 六边形：一个顶点3条对角线，总对角线9条 3.正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形，叫正多边形。 例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形。 ✺题型精讲 题型1.平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（     ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【详解】解：在同一平面内，两直线的位置关系是相交或平行（其中，垂直是相交的特例）． 2．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 3．在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【答案】在同一条直线上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 题型2.立体图形中平行的棱 1．一个长方体，其长、宽、高均不相等．在这个长方体中，与长平行的棱有(        ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．长方体有12条棱，分为三组，每组4条棱互相平行，分别与长、宽、高方向一致． 【详解】解：根据长方体的特征，它有三组互相平行的棱，每组都有4条棱，这4条棱的长度相等． 因此，与长平行的棱（含自身）一共有4条． 故选：D． 2．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有_________条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相_________． 【答案】 3 垂直 【分析】本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键 根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。 【详解】正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直． 故答案为：3，垂直； 3．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键． 题型3.用直尺、三角板画平行线 1．过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 2．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 3．如图，已知，请用直尺和三角尺画出图形． (1)过点A画的垂线段，垂足为D； (2)过点A画的平行线，记作； (3)连接，判断线段中最短的是：______，理由是：________． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线段的作法，过点画的垂线即可； （2）根据平行线的作法，过点画即可； （3）过点A作的垂线，垂足为点D，找出中最短的线段即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， 线段，，中最短的是，理由是：垂线段最短． 题型4.平行公理的应用 1．下列说法正确的个数是（     ） （1）两条直线不相交就平行； （2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交与平行． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】需注意“同一平面内”的前提及平行公理中点的位置，逐一判断各说法． 【详解】解：（1）（5）均未限定“同一平面内”的前提，表述错误； （2）同一平面内，平行直线没有交点，表述错误； （3）只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，表述错误； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行，表述正确； 综上，正确的说法共个． 2．已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ∵，， ∴. 3．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答． 【详解】解：，理由如下： ，， （平行公理）． 题型5.平行公理推论的应用 1．已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 2．如图，若，， 则与的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 3．如下图，已知直线a、点B、点C． (1)分别过点作直线a的平行直线； (2)（1）中所作的直线的位置关系是_______． 【答案】(1) 如图，直线即为所作； (2)平行． 【分析】本题主要考查平行线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别过点作直线a的平行直线； （2）根据“如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：所作的直线的位置关系是平行，理由是：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 故答案为：平行． 题型6.同位角相等两直线平行 1．一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（     ） A．第一次向左拐，第二次向右拐； B．第一次向右拐，第二次向左拐； C．第一次向左拐，第二次向左拐； D．第一次向右拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案． 【详解】解：A、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意； B、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意； C、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意； D、如图所示： 由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意． 2．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同位角相等两直线平行即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵与是直线和被直线所截形成的同位角， ∴根据同位角相等，两直线平行，可得． 3．如图，已知A，B是直线上两点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【分析】先得出，进而可得，再根据同位角相等，两直线平行即可得证． 【详解】略． 题型7.内错角相等两直线平行 1．如图所示是一块蹄形磁铁的主视图．下列条件中，能验证磁铁上下面平行（）的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】识别截线与被截直线，利用平行线的判定定理进行判断． 【详解】解： 与 是直线和被直线 所截形成的内错角， ∵， ∴， 故B选项符合题意． 其余选项均无法证明，不合题意． 2．如图，在四边形中，连接，，并延长至点E．添加一个条件，使，可添加的条件为________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：要使，可添加． 3．完成下列证明过程，并在括号中填上理论依据． 如图，，，且，试说明：，． 请完成下面的解答过程： 证明：，（已知）， ∴________________________（垂直的定义）， （________）． 又（已知）， ∴________________， （________）． 【答案】，，，内错角相等，两直线平行；，，内错角相等，两直线平行； 【分析】由垂直的定义可得，利用内错角相等，两直线平行可得，进一步可得，再利用内错角相等，两直线平行可得. 【详解】略 题型8.同旁内角互补两直线平行 1．如图，能判断直线的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： 由图可知：、， 若，即，则， 若，即，则， 故选：C． 2．如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，则管道．这里用到的推理依据是________________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，解答即可． 【详解】解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 3．如图，直线、被直线所截，交于点，，，试说明． 【答案】解：，， . ， ， ． 【分析】根据对顶角和已知条件求出度数，再结合已知条件和同旁内角互补，两直线平行，即可证明． 【详解】略 题型9.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．同一平面内，若，，则与的关系是（     ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此可得答案． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 2．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【详解】解：∵， ∴当补充时，即可得出． 3．如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【点睛】本题考查了平行线判定的应用，解决本题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行． 题型10.两直线平行同位角相等 1．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ． 2．如图，直线与直线、都相交．若，，则________． 【答案】 【分析】利用平行线的性质和邻补角的定义即可求解． 【详解】解：如图所示 ， ． ， ． 3．开州大桥为单塔双索面斜拉桥，现将开州大桥部分景观抽象成如图所示的数学图形，请阅读下面的推理过程，完成证明． 已知：，，，． 求证：平分． 证明：， （①_____________）． ， ②________， ③_________． ， ∴④__________（两直线平行，同位角相等）． 又， ， （⑤_____________）． 平分． 【答案】①两直线平行，同位角相等；②；③；④；⑤同角的余角相等 【分析】先由平行线的性质得出，再根据垂直与等量代换得到，再次运用平行线的性质得到，进而根据同角的余角相等得到，根据角平分线的定义得证结论． 【详解】证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， ， ． ， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又， ， （同角的余角相等）． 平分． 题型11.两直线平行内错角相等 1．如图，已知，，平分，则等于（     ） A．30° B．45° C． D．55° 【答案】C 【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据角平分线的定义得，然后根据“两直线平行内错角相等”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 2．如图，直线，交于点，交于点，，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：，， ． 3．已知：如图，，，试说明． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】略． 题型12.两直线平行同旁内角互补 1．如图，已知，，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 __________． 【答案】/度 【分析】首先利用对顶角相等求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴． 3．如图，，，则的度数是多少度？ 【答案】 的度数为 【详解】解： 设图中斜线与的交点为， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.根据平行线的性质探究角的关系 1．如图，已知直线，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正确的只有B选项． 2．已知和的两边分别平行，且的两倍与的差为，则的度数为____________． 【答案】或 【分析】先根据“两个角的两边分别平行”的条件，得到和相等或互补，结合“的两倍与的差为”的条件，分情况列出方程求解即可． 【详解】解：和的两边分别平行， 或， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 即， 解得：， 综上所述，的度数为或． 3．如图，已知直线，直线c与a，b分别相交于点C，D，点P在直线c上，点A，B分别是直线a，b上的点，设，，． (1)如图①，如果，，求的度数； (2)在图①中，若点P在线段上移动（C，D两点除外），，，之间的关系是什么？请说明理由； (3)若点P移动到线段外时（C，D两点除外），（2）中，，之间的关系还成立吗？请画出图形并直接写出结论． 【答案】(1) (2)解：．理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴； (3)①当点在线段的延长线上时，． ②当点在线段的延长线上时，． 【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，，再由即可得出结论； （2）同（1）； （3）由于点P的位置不确定，故应分当点P在线段的延长线上与点P在线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴； ∵，， ∴ （2）略 （3）解：①当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，．理由如下： 如图所示，当点在线段的延长线上时，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型14.根据平行线的性质求角的度数 1．如图，一条排水管连续两次转弯后，和原来的方向相同，若第一次转弯时，则第二次转弯时的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一条排水管连续两次转弯后，和原来的方向相同可得，再根据两直线平行，内错角相等即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴． 2．如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据网格特点可知与均为竖直方向的网格线，从而，利用两直线平行同旁内角互补，结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知，． (两直线平行，同旁内角互补)． ∵， ， ， ， ． 3．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，且． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据题意得到，即可求解； （2）根据题意可得，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ， 平分， ． ． ， ． 题型15.平行线的性质在生活中的应用 1．如图1是一盏可折叠的护眼台灯，图2是其平面示意图，若保持不变为，此时，底座与灯臂的夹角可通过绕点转动调节照明，当灯体调节到平行于桌面时，的大小变化为（     ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】D 【分析】过点作，利用平行线的性质求出与的夹角，从而确定旋转角度，进而得出的变化量． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， 即此时与的夹角为 ， 当时，需将灯体绕点（整体绕）顺时针旋转 ， 灯臂也顺时针旋转 ， 增大 2．结合光学反射原理和巧妙的结构设计，汽车的反光罩可以将从灯源处发出的光线反射后，平行射出．如图，入射光线与反光罩的交点为，经反光罩反射后沿射出，且．若一入射光线与反光罩交点为，经反光罩反射后沿射出，当，时，的度数为________． 【答案】或 【分析】分当和在同侧或异侧时，两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 当和在同侧时， ； 当和在异侧时， ． 3．2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 题型16.根据平行线判定与性质求角度 1．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作与平行的辅助线，因为平行于，所以这条辅助线也平行于．根据“两直线平行，内错角相等”的定理，可分别得到与辅助线分割形成的其中一个角相等，与另一个角相等．因为是上述两个角的和，所以将已知的和的度数相加即可得到的度数． 【详解】过点作， ∵， ∴． ∴，． ∴． 2．D是的边延长线上的一点，．过点A作的平行线交于点，平分，平分，若，则_____． 【答案】 【分析】过点F作，由，得．利用平行线内错角相等，将拆分为．由角平分线的性质，得，，因此．由，得，即．代入，得，即可求出答案． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点在上，过点作，交边于点，点在上，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型17.根据平行线判定与性质证明 1．如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（     ） A．B．C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意得，，所以四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 2．如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 【答案】①③④ 【分析】由平行线的性质和判定结合角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：，， ， ， ，故①正确，符合题意； 平分， ，， ，故②错误，不符合题意； ∵， ，， ，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 综上所述，结论正确的是①③④． 3．如图，在中，点D，E分别在，上，于点F，交于点G． (1)若，说明．请在横线上补充过程，并在括号内填写理由： 因为（已知）， 所以________度． 又因为（已知）， 所以（___________________________）， 所以（___________________________）， 所以． (2)若，试说明． 【答案】(1)90；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可解答； （2）根据，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2） 略 题型18.利用平行线间距离解决问题 1．如图，在梯形中，，，对角线相交于点O，找出图中面积相等的一对三角形___________． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了平行线的性质“平行线间的距离相等”，三角形的面积公式．根据平行线的性质“平行线间的距离相等”以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴（平行线间的距离相等）， ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∴， 即， 故答案为：（答案不唯一）． 2．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点 E，使得直线于点 F，画出直线，并注明垂足 F； (2)找一格点G， 使得直线， 画出直线； (3)连接， 则线段的大小关系是 （用“”连接）； (4)在图上找一格点 P，使得的面积与的面积相等（C点除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，画垂线，垂线段最短，画直线等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点E，作直线交延长线于点F，根据网格的特点可得； （2）取格点B，作直线，根据网格的特点可得， （3）根据垂线段最短即可得到答案； （4）取格点P，连接，根据网格的特点可得，则的面积与的面积相等． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：如图所示，即为所求． 3．如图，直线与直线相交于，请完成下列各题：    (1)过点画，交于点 (2)过点画，垂足为； (3)连接，比较线段与的长短，用“”连接，并说明依据． 【答案】(1) 如图，点为所求；    (2)如图 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了作图复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为； （3）连接，根据垂线段最短即可判断与的大小． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：与的大小为：． 因为垂线段最短． 题型19.同位角、内错角、同旁内角 1．如图所示，直线、被直线所截，的同位角应该是图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角的定义求解即可． 【详解】解：的同位角应该是． 2．观察下图并填空： （1）与_______是同位角； （2）与_______是同旁内角； （3）与_______是内错角． 【答案】 【分析】由同位角、同旁内角、内错角定义填空即可． 【详解】略． 3．如图，平分交于点，点在线段上，为延长线上一点，连接交于点，使，作平分交于点． (1)与平行吗？为什么？ (2)求证：； (3)点在的延长线上，连接，若∠，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下 ∴（同位角相等，两直线平行） (2)平分， ． 平分， ． ， ． 即． ． (3)的度数为 【分析】（1）先找与互补的邻补角，因为，所以推导同位角相等，结合平行线判定定理判断与是否平行． （2）先根据平角定义得，再结合平分、平分，推导的度数，即可证明垂直． （3）由判定与平行，再结合第一问的，利用平行线的性质推导角的等量关系，结合已知，求出相关角的度数，进而得到的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， ， ． ， ． ， ． ． ， ． 平分， ． ． 解得． ． 答：的度数为． 题型20.多边形的概念与分类 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧． 【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形， 因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意； 多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意． 2．如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 3．如图，求多边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求多边形的面积，根据题意可得多边形由梯形和长方形构成，即可得；掌握多边形由梯形和长方形构成是解题的关键 【详解】解：有图象可得： 答：多边形的面积为． 题型21.多边形截角后的边数问题 1．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】 如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】略 题型22.多边形的周长 1．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 2．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【答案】 【分析】根据小正方形总面积得到大长方形的面积，找出所有符合条件的长和宽的组合，利用长方形周长公式计算各组合对应的周长，比较得到最短周长． 【详解】解：∵边长为的小正方形面积为，个小正方形的总面积为， ∴拼成的大长方形面积为， 设大长方形的长为，宽为，且，，为正整数，可得， 所有符合条件的组合如下： 当时，，周长为， 当时，，周长为， 当时，，周长为， 比较得， 因此最短周长为． 3．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 题型23.网格中多边形面积比较 1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 2．如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 3．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 题型24.多边形对角线的条数问题 1．若从多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则这个多边形是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵从边形的一个顶点出发，可引出条对角线， ∴由题意得， 解得， ∴这个多边形是九边形． 2．填空： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，四边形共有_________条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，五边形共有_________条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，六边形共有_________条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，n边形共有_________条对角线． 【答案】 【分析】通过计算得到特殊多边形从一个顶点出发的对角线条数与对角线总条数，再归纳推理得到边形的一般规律． 【详解】解：根据对角线的定义，从多边形一个顶点出发，不能向自身以及相邻的两个顶点作对角线，据此计算得： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，四边形对角线总条数为； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，五边形对角线总条数为； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，六边形对角线总条数为； （4）对于边形，从一个顶点出发，共有个顶点（自身与两个相邻顶点）不能作对角线，因此从一个顶点出发可以画出条对角线，个顶点共得到条对角线，由于每条对角线被两个顶点重复计算一次，因此边形对角线总条数为． 3.【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 题型25.对角线分成的三角形个数问题 1．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2024个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】根据多边形对角线分割三角形的个数规律，核心结论为从边形一个顶点引出所有对角线，可将多边形分成个三角形，代入已知三角形个数列方程即可求解． 【详解】设这个多边形的边数为， ∵从边形的一个顶点引出所有对角线，可把边形分成个三角形， 已知该多边形被分成2024个三角形， ∴，解得． 2．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 【答案】11 【分析】根据过边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，代入边数计算即可． 【详解】解：由八边形的边数为， 可得 ， ， 计算得，， 则． 3．（1）如图①，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （2）如图②，点在五边形的边上，连接，，，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ （3）如图③，过点作六边形的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？ 【答案】（1）4个．三角形的个数与边数相等．（2）4个．三角形的个数比边数小1．（3）4个．三角形的个数比边数小2． 【分析】（1）数出四边形内点连接各顶点后得到的三角形个数，对比四边形的边数，找出两者的关系； （2）数出五边形边上的点连接其他顶点后得到的三角形个数，对比五边形的边数，找出关系； （3）数出六边形过顶点A作对角线后得到的三角形个数，对比六边形的边数，找出关系． 【详解】解：（1）连接后，得到，共4个三角形； ∵四边形边数为， ∴三角形个数等于边数． （2）连接后，得到，共个三角形； ∵五边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． （3）过点作对角线，连接后，得到，共个三角形； ∵六边形边数为， ∴三角形个数等于边数少． 【点睛】本题考查多边形与三角形的个数关系，掌握根据点的位置分类分析三角形个数与多边形边数的对应关系是解题的关键． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线的位置关系判定解答即可； 【详解】解：根据题意，得两直线相交； 2．在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②直线与直线之间垂线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤两两不重合的三条直线交点个数为3个，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】抓住各结论的适用前提与直线位置关系的多种可能，逐一判断正误． 【详解】解：①正确．②错误，垂线段最短的适用对象是点与直线，而非直线与直线． ③正确，同一平面内该结论成立． ④错误，需限定点在已知直线外． ⑤错误，两两不重合的三条直线交点个数有、、、四种可能． 正确的说法共个． 3．如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 4．如图，在下列条件中，不一定能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，不一定能判定，符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； D 、，根据同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选：A． 5．如图，，给出下列几个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴(两直线平行，内错角相等)； (两直线平行，同位角相等)； (两直线平行，同旁内角互补)． 故①②④正确；选项C符合题意． 6．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点D．若，，光线射入水中偏折的角度（）为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求出的一个内错角，再借助对顶角相等，求出偏折角． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 二、填空题 7．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 8．如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，可以根据内错角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同位角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定 ∴添加的条件可以是 （答案不唯一）． 9．如图，若，平分，平分，，则________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ， ∴，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴． 10．填空： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，四边形共有_________条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，五边形共有_________条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，六边形共有_________条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，n边形共有_________条对角线． 【答案】 【分析】通过计算得到特殊多边形从一个顶点出发的对角线条数与对角线总条数，再归纳推理得到边形的一般规律． 【详解】解：根据对角线的定义，从多边形一个顶点出发，不能向自身以及相邻的两个顶点作对角线，据此计算得： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，四边形对角线总条数为； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，五边形对角线总条数为； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，六边形对角线总条数为； （4）对于边形，从一个顶点出发，共有个顶点（自身与两个相邻顶点）不能作对角线，因此从一个顶点出发可以画出条对角线，个顶点共得到条对角线，由于每条对角线被两个顶点重复计算一次，因此边形对角线总条数为． 11．如图，直线分别与直线，交于点，，且，的平分线交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】本题考查对顶角，平行线的判定与性质，角平分线． 首先利用对顶角相等和条件证明，得出，得到及的度数，结合角平分线的定义推导出，得出，求出的度数，最后求出． 【详解】解：， ， ， ，， 平分平分， ， ， ， ， ． 12．如图，，，平分，，且，则__________________ ． 【答案】/ 【分析】根据平行线的性质得，，再根据角平分线的定义得，由于，则，所以，由于，所以． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 13．从边形的一个顶点出发共有4条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为63，则求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，根据题意可求出的值，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， ， ， ∴， ∴的值为． 14．如图所示，字母“”是运用画“平行线段”这种基本作图方法书写的艺术字． (1)请在正面，上面，右面上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)正面：；上面：；右面：．（答案不唯一） (2)．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的定义，平行公理． （1）根据平行线的定义解答即可； （2）根据平行于同一条直线的两直线平行解答即可． 【详解】（1）解：正面：；上面：；右面：．（答案不唯一）； （2）解：．理由如下： ， ． 15．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 16．如图，直线与相交于点为直线上一点（不与点重合）． (1)用直尺和圆规过点作直线，使与成为内错角（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图的基础上，当时，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）作即可得到，此时与成为内错角； （2）由平行得到，再由即可求解的度数，最后根据邻补角互补求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；（作法不唯一） （2）解：， ， ， ， ． 17．如图所示：在中，，、是、上的两点，． (1)求证：； (2)若，平分，求与的度数． 【答案】(1)证明：（已知） （两直线平行，内错角相等） 又（已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） (2)；; 【分析】（1）由得到，再根据得到，从而证明； （2）由、和求得，再由平分，得到，再利用平行线性质求出与的度数． 【详解】（1）略； （2）解：，（已知） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） （两直线平行，内错角相等） 又平分（已知） （角平分线的定义） （两直线平行，同位角相等） ． 18．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1) 证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $