第6章 平面图形的初步认识——垂线与点到直线的距离 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

第6章 平面图形的初步认识——垂线与点到直线的距离 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、垂线、垂足、垂线段与距离 知识梳理 例1 变式1-1、1-2、1-3 二、按指定的点与直线作垂线 知识梳理 例2 变式2-1、2-2、2-3 三、两种最短关系的适用条件 知识梳理 例3 变式3-1、3-2、3-3 四、距离条件的识别、比较与方格找点 知识梳理 例4 变式4-1、4-2、4-3 A组 基础巩固　B组 方法运用　C组 综合提升　D组 真题衔接 一、垂线、垂足、垂线段与距离 两条直线相交形成的角中，只要有一个角是直角，这两条直线就互相垂直， 其中一条直线叫作另一条直线的垂线，交点叫作垂足。 垂直用符号“⊥”表示。 过直线外一点画的垂线，垂足为，要分清三个对象：直线是垂线； 线段是从到的垂线段；的长度是点到的距离。回答“距离”时， 应给出一个长度，不能只写“垂线”或“垂足”。 找垂线段时要同时核对两个条件：它是否从题目指定的点出发， 另一端是否在题目指定的直线上；它所在直线是否与这条已知直线垂直。 图中即使画了多个直角，也不能只看见一个直角就随意选一条线段。 直线可以向两端无限延伸。求点到直线的距离时，垂足可以在线段上， 也可以在线段的延长线上。题目若只说线段或射线上的某个允许位置， 应先看清这个位置范围，不能把“到直线的距离”直接套用过去。 微例　如图，点、、依次在同一直线上，，。 垂足是，垂线段是，点到直线的距离为。 虽然不在线段上，却在直线上。 同一条垂线上有几个点时，先找每个点到垂足的线段， 再用已有的线段和差关系求长。点在已知直线的两侧时，两个距离相加； 在同一侧时，两点间的长度等于较大的距离减去较小的距离， 不能不看位置就套用加法。 例1、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在另一条直线上， 。已知，。 （1）与直线垂直的直线是________； 从点到直线的垂线段是________；垂足是________。 （2）点到直线的距离为________， 点到直线的距离为________。 变式1-1、 如图，，，垂足为，点在线段内部。 在、、中选择适当的线段，将下面各式补充完整。 （1）点到直线的距离等于线段________的长。 （2）点到直线的距离等于线段________的长。 （3）点到直线的距离等于线段________的长。 变式1-2、 如图，点在直线外。选取点（与不重合）后， 下列哪一组条件能保证线段是点到直线的垂线段（　　） ．点在直线上 ．直线与直线垂直 ．点在直线上，且直线与直线垂直 ．直线与直线相交 变式1-3、 如图，点、、依次在同一直线上，点在直线上，， ，。 （1）求点到直线的距离。 （2）在线段上找点，使点到直线的距离为。 在图中标出所有符合条件的位置，并分别求的长。 二、按指定的点与直线作垂线 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外。 用直尺和三角尺作图时，先将三角尺的一条直角边与已知直线对齐， 再借助直尺平移三角尺，使另一条直角边经过指定点， 沿这条直角边画出所求直线。画完后检查：所画直线是否经过指定点， 是否与已知直线成直角。只做到其中一项，作图仍不合要求。 点在已知直线上时，该点本身就是垂足；点在已知直线外时， 所画垂线与已知直线的交点是垂足。已知图形若是线段或射线， 应按题目要求考虑其所在直线，必要时补画延长部分。 垂足不一定落在原来画出的那一小段上。 在正方形方格纸上，横格线与竖格线互相垂直。 遇到沿方格对角线方向的已知直线，可以利用另一组对角线的方向画垂线， 并用三角尺检验。不能把任意一条斜格线都当成所求垂线。 微例　如图，在上，在外。过作的垂线与交于； 过作的垂线与交于。、分别对应不同的指定点， 不可漏掉“经过”或“经过”的条件。 例2、 如图，点在直线上，点在直线外。用直尺和三角尺按要求作图。 （1）过点画直线，使。 （2）过点画直线，使，并将垂足记为。 变式2-1、 如图，已知射线及其所在直线外一点。 用直尺和三角尺过点画射线所在直线的垂线，垂足记为。 变式2-2、 如图，直线经过正方形方格的格点，点也在格点上。利用方格， 过点画直线的垂线，垂足记为， 并用实心点标出所画垂线经过的全部格点（只标图示方格区域内的点， 包括边界上的点）。 变式2-3、 如图，直线、相交于点，点在直线上，且不与重合。 用直尺和三角尺按要求作图。 （1）过点画直线，使。 （2）过点画直线，使，并将垂足记为。 三、两种最短关系的适用条件 “两点之间，线段最短”研究的是两个固定端点：从到， 不论原路线怎样绕行，最短的连接是线段。 的长度就是、两点间的距离。 “垂线段最短”研究的是一个固定点与一条已知直线： 从直线外一点连接到上的点，只有固定，另一端可以在上选取。 、在上时，是其中最短的线段；若是上异于的一点， 则。这里不能把“最短”写成与其他不同的连接线段等长。 两种关系的区别不在图中有没有直角，而在终点是否固定。 若终点只能在给定的几个点中选择，应比较这些允许的路线； 即使图中有更短的垂线段，其垂足不在允许位置内，也不能选它。 微例　如图，、在上，，，。 从到固定点，最短路程是；从到上的任意一点， 最短路程才是。 还要核对所加的长度是否组成一条完整路线。例如， 两条分开的垂线段长度相加， 通常不能直接当作从一个固定点到另一个固定点的最短路线。 例3、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 已知，，。现有两项连接任务： ①从连接到指定点；②从连接到直线上的任意一点。 （1）分别求完成这两项任务所需线段的最短长度，并写出相应的线段。 （2）现有一根长的细绳，可以拉直使用或剪短使用。 这根细绳能完成的任务编号为________。 变式3-1、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 已知 ， ， 。 从处铺设一条直管接入直线表示的管线， 但只允许在、两点中选择一个接入点。 所需直管的最短长度为________，接入点应选________。 变式3-2、 如图，点、分别位于直线的两侧，，，垂足分别为、。 已知 ， ， 。现修建一条从出发， 经过上的一点后到达的道路。 （1）在图中标出使道路总长度最短的点，并画出这条最短道路。 （2）求这条最短道路的总长度。 变式3-3、 如图，点、在直线上且不重合，点在直线外，。 已知，（）。若只能取、、中的一个值， 则________。 四、距离条件的识别、比较与方格找点 先确认垂直，再取长度。题目不一定直接给出“⊥”。 若两个相邻角的和为，可以先得到相关两条直线互相垂直， 再确认垂足，最后读出或计算垂线段的长度。图看起来像直角， 不是题设条件；反过来，已经由条件求得后， 就可以使用垂线段和距离的定义。 比较时保持同一个起点与同一条目标直线。是到的垂线段， 是到上另一点的线段，可以比较与。 若是到另一条直线的垂线段， 就不能仅由推断与的大小。遇到几条垂线段的和， 可先逐条找到能与之比较的线段，再相加；不要随意配对。 在有限方格区域中按两个距离条件逐项找点。到水平直线的距离沿竖向数格， 到竖直线的距离沿横向数格。分别看直线的两侧， 保留同时满足两个距离要求、又落在题目规定区域中的格点。 若题目包括边界，边界上的合格点也要保留。 微例　如图，每个小正方形的边长为。，， 沿竖向从到有格，沿横向从到有格， 所以点到、的距离分别为、。两个数不能调换。 找点时只须在给定方格中逐一核对位置和距离。 例4、 如图，点、、依次在同一直线上，射线在的内部， ，，，。 （1）求的度数。 （2）求点到直线的距离。 变式4-1、 如图，点、、分别在线段、、的内部，，， 。在横线上填“<”“＝”或“>”。 ________。 变式4-2、 如图，每个小正方形的边长为， 直线、分别沿横向、竖向的格线放置。在图示方格区域内（包括边界）， 标出所有到直线的距离为、到直线的距离为的格点。 若有多个，分别记为、、……。 变式4-3、 如图，点、在直线上且不重合，点、在直线上且不重合。 点在两条直线外，，。已知，， 。下列结论一定成立的是（　　） ．　　． ．　　． 分层训练 A组 基础巩固 A1、 如图，点在直线外，，垂足为，。 下列表述正确的是（　　） ．点到直线的距离是点 ．点到直线的距离是直线 ．点到直线的距离是线段 ．点到直线的距离是 A2、 如图，直线、相交于点。当取下列哪个度数时， （　　） ．　　．　　．　　． A3、 如图，点在直线上，点在直线外。在同一平面内， 过点能画________条直线的垂线， 过点能画________条直线的垂线。 A4、 如图，，，，。 点到直线的距离为________， 点到直线的距离为________。 A5、 如图，，垂足为。点到直线的距离为，（）， 则________。 A6、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 在横线上填“<”“＝”或“>”。 ________，________。 A7、 如图，每个小正方形的边长为，直线沿竖格线放置，点在格点上。 点到直线的距离为________。 A8、 如图，已知线段及其所在直线外一点。 用直尺和三角尺过点画直线的垂线，垂足记为。 B组 方法运用 B1、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 下表给出四组测量记录，其中可能正确的一组是（　　） 选项 B2、 如图，点在直线外，，垂足为，。在直线上取点， 使。求点到直线的距离的所有可能值， 并在图中标出点的所有相应位置。 B3、 如图，点、、依次在同一直线上，射线在内部，。 若的长恰好等于点到直线的距离，则________。 B4、 如图，、、都是正方形方格的格点，每个小正方形的对角线长为。 （1）利用方格，过画直线的垂线，垂足记为。 （2）点到直线的距离为________。 B5、 如图， 用直尺和三角尺画出点到直线的垂线段、点到直线的垂线段， 垂足分别为、。 B6、 如图，直线、表示两条供水管线，表示一处用水点，，， 垂足分别为、， ， 。 （1）从铺设一条直管，可以接入、中的任意一条管线。 直管最短为________，应接入直线________。 （2）若从铺设两条互不共用的直管，分别接入、， 则两条直管的总长度最少为________。 B7、 如图，点、在直线上且不重合，点在直线外。 已知点到直线的距离为，。求的度数。 B8、 如图，每个小正方形的边长为，直线沿横格线放置， 线段的两个端点在格点上。 在线段上标出所有到直线的距离为的格点。 C组 综合提升 C1、 如图，点、在直线的两侧，线段交于点。 已知、两点间的距离为，点到的距离为， 点到的距离为。 （1）求、的长。 （2）求直线与相交所成的较小角的度数。 C2、 如图，每个小正方形的边长为， 直线、分别沿横向、竖向的格线放置。格点不在、上， 且到这两条直线的距离之和为。 在图示方格区域内（包括边界），用实心点标出所有符合条件的格点， 并写出这样的格点共有多少个。 C3、 如图，直线表示供水管线，表示用水点，、、是三个可选的转接点。 ，，，垂足分别为、、。已知 ， ， ， ， ， 。 现从铺设水管，必须先沿一条直管连接到、、中的一个转接点， 再从该转接点沿一条直管接入；上的接入点可以任意选取。 （1）若选作为转接点，两条直管的总长度最少为多少米？ （2）在这三个转接点中选择一个，使两条直管的总长度最短。 应选哪一个转接点？求最短总长度，并在图中描出所选路线。 C4、 如图，线段、相交于点，分别在两条线段的内部。 已知，， 的长是、、、中的一个。求的长。 D组 真题衔接 D1　2025年江苏常州七年级上学期期末第7题 立定跳远是常州体育中考项目之一， 女生成绩达到或超过 获得满分，达到或超过 获得加分。 如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，，垂足为。 若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） ．可能为 　　．可能为 ．可能为 　　．可能为 来源：常州市—学年第一学期七年级期末质量调研， 年月，第题。原卷公开转载 D2　2025年北京朝阳七年级上学期期末第11题 如图，________（填“>”“<”或“＝”）。 来源： 北京市朝阳区—学年度第一学期期末检测《七年级数学试卷（选用）》， 年月，第题。原卷公开PDF D3　2025年北京怀柔七年级上学期期末第20题 如图，平面上有四个点、、、。选择恰当的工具按要求画图， 并完成填空。 （1）连接，延长到点，使。 （2）作射线、直线。 （3）在射线上取点，使。 （4）若，和两点分别表示公路两侧的社区， 要在公路上修建一个公交站，使得其到两所社区的距离和最小。 请在图中标出点，并写出最小的距离和为________。 来源：年北京怀柔初一上学期期末数学试卷，第题。公开试题PDF D4　2026年重庆南开中学七年级上学期期末第4题 下列说法正确的是（　　） ．不相交的两条直线叫做平行线 ．若，则点为线段的中点 ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 来源：重庆南开中学—学年度上学期期末考试数学试题，第题。公开试题转录 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平面图形的初步认识——垂线与点到直线的距离 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、垂线、垂足、垂线段与距离 知识梳理 例1 变式1-1、1-2、1-3 二、按指定的点与直线作垂线 知识梳理 例2 变式2-1、2-2、2-3 三、两种最短关系的适用条件 知识梳理 例3 变式3-1、3-2、3-3 四、距离条件的识别、比较与方格找点 知识梳理 例4 变式4-1、4-2、4-3 A组 基础巩固　B组 方法运用　C组 综合提升　D组 真题衔接 一、垂线、垂足、垂线段与距离 两条直线相交形成的角中，只要有一个角是直角，这两条直线就互相垂直， 其中一条直线叫作另一条直线的垂线，交点叫作垂足。 垂直用符号“⊥”表示。 过直线外一点画的垂线，垂足为，要分清三个对象：直线是垂线； 线段是从到的垂线段；的长度是点到的距离。回答“距离”时， 应给出一个长度，不能只写“垂线”或“垂足”。 找垂线段时要同时核对两个条件：它是否从题目指定的点出发， 另一端是否在题目指定的直线上；它所在直线是否与这条已知直线垂直。 图中即使画了多个直角，也不能只看见一个直角就随意选一条线段。 直线可以向两端无限延伸。求点到直线的距离时，垂足可以在线段上， 也可以在线段的延长线上。题目若只说线段或射线上的某个允许位置， 应先看清这个位置范围，不能把“到直线的距离”直接套用过去。 微例　如图，点、、依次在同一直线上，，。 垂足是，垂线段是，点到直线的距离为。 虽然不在线段上，却在直线上。 同一条垂线上有几个点时，先找每个点到垂足的线段， 再用已有的线段和差关系求长。点在已知直线的两侧时，两个距离相加； 在同一侧时，两点间的长度等于较大的距离减去较小的距离， 不能不看位置就套用加法。 例1、 如图，点、、依次在直线上，点、、依次在另一条直线上， 。已知，。 （1）与直线垂直的直线是________； 从点到直线的垂线段是________；垂足是________。 （2）点到直线的距离为________， 点到直线的距离为________。 参考答案与解析 （1）直线；线段；点。 （2）点到直线的距离等于垂线段的长，为。点在直线上， 所以。由点、、依次排列，得（）， 故点到直线的距离为。 垂足虽在线段的延长线上，但它仍在直线上。 直线是无限延伸的直线，线段是有限长的垂线段，是距离， 三者不能互相替换。 变式1-1、 如图，，，垂足为，点在线段内部。 在、、中选择适当的线段，将下面各式补充完整。 （1）点到直线的距离等于线段________的长。 （2）点到直线的距离等于线段________的长。 （3）点到直线的距离等于线段________的长。 参考答案与解析 （1）；（2）；（3）。 ，且点在直线上，因此从到直线的垂线段是。同样， 从到直线的垂线段是。，且在上， 因此从到直线的垂线段是。判断时，先找到题目指定的起点， 再找到指定直线上的垂足。 变式1-2、 如图，点在直线外。选取点（与不重合）后， 下列哪一组条件能保证线段是点到直线的垂线段（　　） ．点在直线上 ．直线与直线垂直 ．点在直线上，且直线与直线垂直 ．直线与直线相交 参考答案与解析 选。 垂线段的两个条件缺一不可：一个端点是，另一个端点在上； 直线与垂直。、不能保证垂直； 不能保证就是直线与的交点。 变式1-3、 如图，点、、依次在同一直线上，点在直线上，， ，。 （1）求点到直线的距离。 （2）在线段上找点，使点到直线的距离为。 在图中标出所有符合条件的位置，并分别求的长。 题图 解图 参考答案与解析 （1）点、、依次排列，所以（）。 点到直线的距离为。 （2）点在线段上，且直线，所以点到的距离就是。 有两种位置。 当在线段内部时，（）； 当在线段内部时，（）。 两种位置都在线段上，故的长为或。 二、按指定的点与直线作垂线 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外。 用直尺和三角尺作图时，先将三角尺的一条直角边与已知直线对齐， 再借助直尺平移三角尺，使另一条直角边经过指定点， 沿这条直角边画出所求直线。画完后检查：所画直线是否经过指定点， 是否与已知直线成直角。只做到其中一项，作图仍不合要求。 点在已知直线上时，该点本身就是垂足；点在已知直线外时， 所画垂线与已知直线的交点是垂足。已知图形若是线段或射线， 应按题目要求考虑其所在直线，必要时补画延长部分。 垂足不一定落在原来画出的那一小段上。 在正方形方格纸上，横格线与竖格线互相垂直。 遇到沿方格对角线方向的已知直线，可以利用另一组对角线的方向画垂线， 并用三角尺检验。不能把任意一条斜格线都当成所求垂线。 微例　如图，在上，在外。过作的垂线与交于； 过作的垂线与交于。、分别对应不同的指定点， 不可漏掉“经过”或“经过”的条件。 例2、 如图，点在直线上，点在直线外。用直尺和三角尺按要求作图。 （1）过点画直线，使。 （2）过点画直线，使，并将垂足记为。 题图 解图 参考答案与解析 作图见解图。直线经过且与垂直，直线经过且与垂直， 是直线与的交点。 用三角尺的一条直角边对齐；在直尺辅助下平移三角尺， 使另一条直角边经过指定点；沿该直角边画直线。在上时，垂足就是； 在外时，所画直线与的交点是垂足。 变式2-1、 如图，已知射线及其所在直线外一点。 用直尺和三角尺过点画射线所在直线的垂线，垂足记为。 题图 解图 参考答案与解析 作图见解图。先将射线向的反方向延长，得到直线的相应部分， 再用直尺和三角尺过画其垂线，交直线于。 不在射线上，但在射线所在的直线上，符合题目要求。 变式2-2、 如图，直线经过正方形方格的格点，点也在格点上。利用方格， 过点画直线的垂线，垂足记为， 并用实心点标出所画垂线经过的全部格点（只标图示方格区域内的点， 包括边界上的点）。 题图 解图 参考答案与解析 作图见解图。沿方格中另一组对角线的方向过画直线， 并用三角尺检验它与垂直。垂足位于方格区域的中心。 所画直线经过图示区域内的个格点，两个端点在边界上，都要标出。 变式2-3、 如图，直线、相交于点，点在直线上，且不与重合。 用直尺和三角尺按要求作图。 （1）过点画直线，使。 （2）过点画直线，使，并将垂足记为。 题图 解图 参考答案与解析 作图见解图。直线经过且垂直于，垂足为。直线经过且垂直于， 垂足为。 两次作图所用的已知直线不同，应分别将三角尺的一条直角边对齐、， 不能将“经过同一点”误看成“画同一条垂线”。 三、两种最短关系的适用条件 “两点之间，线段最短”研究的是两个固定端点：从到， 不论原路线怎样绕行，最短的连接是线段。 的长度就是、两点间的距离。 “垂线段最短”研究的是一个固定点与一条已知直线： 从直线外一点连接到上的点，只有固定，另一端可以在上选取。 、在上时，是其中最短的线段；若是上异于的一点， 则。这里不能把“最短”写成与其他不同的连接线段等长。 两种关系的区别不在图中有没有直角，而在终点是否固定。 若终点只能在给定的几个点中选择，应比较这些允许的路线； 即使图中有更短的垂线段，其垂足不在允许位置内，也不能选它。 微例　如图，、在上，，，。 从到固定点，最短路程是；从到上的任意一点， 最短路程才是。 还要核对所加的长度是否组成一条完整路线。例如， 两条分开的垂线段长度相加， 通常不能直接当作从一个固定点到另一个固定点的最短路线。 例3、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 已知，，。现有两项连接任务： ①从连接到指定点；②从连接到直线上的任意一点。 （1）分别求完成这两项任务所需线段的最短长度，并写出相应的线段。 （2）现有一根长的细绳，可以拉直使用或剪短使用。 这根细绳能完成的任务编号为________。 参考答案与解析 （1）任务①的两个端点、都已固定。两点之间，线段最短， 因此所需最短线段是，长。 任务②的起点固定，另一端可以在上任意选取。，在上， 所以所需最短线段是，长。 （2）填②。任务①最少需要，不足；任务②只需， 可以将细绳剪短后完成。 虽比短，但不是任务①指定的终点； 也不是任务②的最短连接，因为更短。选择路线时， 先看清终点是固定点，还是允许在整条直线上选取。 变式3-1、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 已知 ， ， 。 从处铺设一条直管接入直线表示的管线， 但只允许在、两点中选择一个接入点。 所需直管的最短长度为________，接入点应选________。 参考答案与解析 ；。 接入点只允许选或，比较 与 可知，选时最短， 长度为 。不是允许的接入点，不能取 作为本题答案。 变式3-2、 如图，点、分别位于直线的两侧，，，垂足分别为、。 已知 ， ， 。现修建一条从出发， 经过上的一点后到达的道路。 （1）在图中标出使道路总长度最短的点，并画出这条最短道路。 （2）求这条最短道路的总长度。 题图 解图 参考答案与解析 （1）连接，线段与的交点就是，作图见解图。、在的两侧， 故这个交点在线段内部。 （2）道路的两个端点是、。线段经过上的，既满足经过的要求， 又是两点间最短的路线，因此最短总长度为 。 只是两条互不连通的垂线段长度之和， 不是一条从经过到的道路长度。 变式3-3、 如图，点、在直线上且不重合，点在直线外，。 已知，（）。若只能取、、中的一个值， 则________。 参考答案与解析 。 是从到的垂线段，在上且≠，所以。 时，，不符合；时，，也不符合；时， ，符合。因此。 这里要用严格的大于关系。、不是同一点，不可能与垂线段等长。 四、距离条件的识别、比较与方格找点 先确认垂直，再取长度。题目不一定直接给出“⊥”。 若两个相邻角的和为，可以先得到相关两条直线互相垂直， 再确认垂足，最后读出或计算垂线段的长度。图看起来像直角， 不是题设条件；反过来，已经由条件求得后， 就可以使用垂线段和距离的定义。 比较时保持同一个起点与同一条目标直线。是到的垂线段， 是到上另一点的线段，可以比较与。 若是到另一条直线的垂线段， 就不能仅由推断与的大小。遇到几条垂线段的和， 可先逐条找到能与之比较的线段，再相加；不要随意配对。 在有限方格区域中按两个距离条件逐项找点。到水平直线的距离沿竖向数格， 到竖直线的距离沿横向数格。分别看直线的两侧， 保留同时满足两个距离要求、又落在题目规定区域中的格点。 若题目包括边界，边界上的合格点也要保留。 微例　如图，每个小正方形的边长为。，， 沿竖向从到有格，沿横向从到有格， 所以点到、的距离分别为、。两个数不能调换。 找点时只须在给定方格中逐一核对位置和距离。 例4、 如图，点、、依次在同一直线上，射线在的内部， ，，，。 （1）求的度数。 （2）求点到直线的距离。 题图 解图 参考答案与解析 （1）射线在内部， 所以。 （2）、、共线，，所以。又在直线上， 因此点到直线的距离是的长，即。 不能仅凭图形看起来垂直就直接把作为距离； 本题先由角度条件确定直角，再使用距离定义。确认垂直后的图见解图。 变式4-1、 如图，点、、分别在线段、、的内部，，， 。在横线上填“<”“＝”或“>”。 ________。 参考答案与解析 填“<”。 从到直线的垂线段是，与是上的两个不同点，所以。 从到直线的垂线段是，与是上的两个不同点，所以。 从到直线的垂线段是，与是上的两个不同点，所以。 将这三个不等式相加，得。 每次比较都须对应同一个起点与同一条已知直线， 不能任意把一条垂线段与另一条线段比较。 变式4-2、 如图，每个小正方形的边长为， 直线、分别沿横向、竖向的格线放置。在图示方格区域内（包括边界）， 标出所有到直线的距离为、到直线的距离为的格点。 若有多个，分别记为、、……。 题图 解图 参考答案与解析 符合条件的格点共个，位置见解图。 到竖直线的距离为，需要沿横向数格。在左侧格的位置有格线； 右侧格的位置在图示区域外，不能取。 在已找到的竖格线上，再从水平线向上、向下各数格，得到、。 位于下边界上，仍在题目规定的区域内。这两个点均满足两个距离条件， 没有其他符合条件的格点。 变式4-3、 如图，点、在直线上且不重合，点、在直线上且不重合。 点在两条直线外，，。已知，， 。下列结论一定成立的是（　　） ．　　． ．　　． 参考答案与解析 选。 ，、在上且≠，所以，即。 是到另一条直线的距离，不能用它推出。 也不能与直接作出固定大小比较， 因此、、都不是一定成立的结论。 分层训练 A组 基础巩固 A1、 如图，点在直线外，，垂足为，。 下列表述正确的是（　　） ．点到直线的距离是点 ．点到直线的距离是直线 ．点到直线的距离是线段 ．点到直线的距离是 参考答案与解析 选。点到直线的距离是垂线段的长度，是一个长度值； 点、直线、线段都不是长度值。 A2、 如图，直线、相交于点。当取下列哪个度数时， （　　） ．　　．　　．　　． 参考答案与解析 选。两条直线相交形成的角中有一个角等于，这两条直线就互相垂直。 A3、 如图，点在直线上，点在直线外。在同一平面内， 过点能画________条直线的垂线， 过点能画________条直线的垂线。 参考答案与解析 ；。在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 这一点在线上或线外都适用。 A4、 如图，，，，。 点到直线的距离为________， 点到直线的距离为________。 参考答案与解析 ；。点到直线的垂线段是，长； 点到直线的垂线段是，长。两次指定的起点和目标直线不同， 不能都选。 A5、 如图，，垂足为。点到直线的距离为，（）， 则________。 参考答案与解析 。的长就是点到的距离，所以，解得。 A6、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 在横线上填“<”“＝”或“>”。 ________，________。 参考答案与解析 <；<。、都在上且均不与垂足重合，垂线段比、都短。 A7、 如图，每个小正方形的边长为，直线沿竖格线放置，点在格点上。 点到直线的距离为________。 参考答案与解析 。由沿横向到有格，每格，因此点到的距离为。 不能沿斜向数格。 A8、 如图，已知线段及其所在直线外一点。 用直尺和三角尺过点画直线的垂线，垂足记为。 题图 解图 参考答案与解析 作图见解图。垂足在直线上，位于线段的延长线上。 B组 方法运用 B1、 如图，点、、依次在直线上，点在直线外，。 下表给出四组测量记录，其中可能正确的一组是（　　） 选项 参考答案与解析 选。垂线段比、都短，所以必须同时小于另外两个长度。 满足；中，中，中，均不符合已知条件。 B2、 如图，点在直线外，，垂足为，。在直线上取点， 使。求点到直线的距离的所有可能值， 并在图中标出点的所有相应位置。 题图 解图 参考答案与解析 当在线段内部时，，所以，解得。 当在线段内部时，，所以，解得。 当在线段内部时，，不可能满足。 与或重合也不满足条件。因此点到的距离为或， 两个相应位置见解图。 B3、 如图，点、、依次在同一直线上，射线在内部，。 若的长恰好等于点到直线的距离，则________。 题图 解图 参考答案与解析 。的长等于点到直线的距离，在上， 所以必须是垂线段，。射线在内部， 因此。 若不是垂线段，它就会比真正的垂线段长， 不能恰好等于点到直线的距离。 B4、 如图，、、都是正方形方格的格点，每个小正方形的对角线长为。 （1）利用方格，过画直线的垂线，垂足记为。 （2）点到直线的距离为________。 题图 解图 参考答案与解析 （1）作图见解图。先补画线段向一侧的延长部分，再过作其垂线， 交直线于。 （2）。由段小正方形的对角线组成，每段长， 所以。不在线段上，但在直线上，符合题目要求。 B5、 如图， 用直尺和三角尺画出点到直线的垂线段、点到直线的垂线段， 垂足分别为、。 题图 解图 参考答案与解析 作图见解图。从出发，在上，且；从出发，在上， 且。 B6、 如图，直线、表示两条供水管线，表示一处用水点，，， 垂足分别为、， ， 。 （1）从铺设一条直管，可以接入、中的任意一条管线。 直管最短为________，应接入直线________。 （2）若从铺设两条互不共用的直管，分别接入、， 则两条直管的总长度最少为________。 参考答案与解析 （1）；。接入最短为 ，接入最短为 ， 二者中选 。 （2）。两条直管分别接入两条管线且互不共用，应各自取相应垂线段， 总长度最少为（）。不能只选其中较短的一条， 因为题目要求两条管线都接入。 B7、 如图，点、在直线上且不重合，点在直线外。 已知点到直线的距离为，。求的度数。 题图 解图 参考答案与解析 。点到的距离为，而， 所以的长度已经等于最短的连接长度。若不是垂足， 则必比垂线段长，与已知矛盾。因此，。 B8、 如图，每个小正方形的边长为，直线沿横格线放置， 线段的两个端点在格点上。 在线段上标出所有到直线的距离为的格点。 题图 解图 参考答案与解析 共个格点，位置见解图。在上方、下方各数格， 分别与线段相交于一个格点。两个点都在线段上， 其他点不满足距离条件。 C组 综合提升 C1、 如图，点、在直线的两侧，线段交于点。 已知、两点间的距离为，点到的距离为， 点到的距离为。 （1）求、的长。 （2）求直线与相交所成的较小角的度数。 题图 解图 参考答案与解析 （1）两点间的距离等于连接它们的线段的长度，所以。 在线段内部，。 点到的距离为，而在上，所以不能小于；同理， 不能小于。已经等于，若， 就会大于；若也会出现同样矛盾。 因此，。 （2）的长度等于点到的距离，所以是垂线段，， 所成较小角为。 C2、 如图，每个小正方形的边长为， 直线、分别沿横向、竖向的格线放置。格点不在、上， 且到这两条直线的距离之和为。 在图示方格区域内（包括边界），用实心点标出所有符合条件的格点， 并写出这样的格点共有多少个。 题图 解图 参考答案与解析 共有个格点，位置见解图。 小正方形边长为，是格点且不在、上， 所以两个距离都是正整数厘米。两个距离之和为， 只需检查下面三种分配。 到的距离 到的距离 图示区域内的点数 第一种，在上、下方各格与左、右方各格处，共点；第二种， 在上、下方各格与左、右方各格处，共点；第三种， 下方格的位置在图示区域外， 只保留上方格与左、右方各格处的点。因此共有（个）。 C3、 如图，直线表示供水管线，表示用水点，、、是三个可选的转接点。 ，，，垂足分别为、、。已知 ， ， ， ， ， 。 现从铺设水管，必须先沿一条直管连接到、、中的一个转接点， 再从该转接点沿一条直管接入；上的接入点可以任意选取。 （1）若选作为转接点，两条直管的总长度最少为多少米？ （2）在这三个转接点中选择一个，使两条直管的总长度最短。 应选哪一个转接点？求最短总长度，并在图中描出所选路线。 题图 解图 参考答案与解析 （1）从到，两点固定，最短为 ；从到，最短为 。 因此经接入时总长度最少为（）。 （2）同样计算三种方案： 经接入，最短为（）； 经接入，最短为（）； 经接入，最短为（）。 ，所以应选作为转接点，沿——铺设， 最短总长度为 。图中加粗线段为所选路线。 C4、 如图，线段、相交于点，分别在两条线段的内部。 已知，， 的长是、、、中的一个。求的长。 参考答案与解析 连接、的直线段比经过的折线短，所以；同理， 。 将两个不等式相加，得。 代入已知长度，得，因此大于。 给出的、、、中，只有符合， 所以。 D组 真题衔接 D1　2025年江苏常州七年级上学期期末第7题 立定跳远是常州体育中考项目之一， 女生成绩达到或超过 获得满分，达到或超过 获得加分。 如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，，垂足为。 若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　） ．可能为 　　．可能为 ．可能为 　　．可能为 来源：常州市—学年第一学期七年级期末质量调研， 年月，第题。原卷公开转载 参考答案与解析 答案：。 该女生的跳远成绩是的长度，因此 ， 、两项不符合。 、是起跳线上的不同点，，由垂线段最短得 ， 项不符合。不表示跳远成绩，它可能为 ，选。 D2　2025年北京朝阳七年级上学期期末第11题 如图，________（填“>”“<”或“＝”）。 来源： 北京市朝阳区—学年度第一学期期末检测《七年级数学试卷（选用）》， 年月，第题。原卷公开PDF 参考答案与解析 <。 不在直线上。从到，线段比折线——短，所以。 所用事实为“两点之间，线段最短”。 D3　2025年北京怀柔七年级上学期期末第20题 如图，平面上有四个点、、、。选择恰当的工具按要求画图， 并完成填空。 （1）连接，延长到点，使。 （2）作射线、直线。 （3）在射线上取点，使。 （4）若，和两点分别表示公路两侧的社区， 要在公路上修建一个公交站，使得其到两所社区的距离和最小。 请在图中标出点，并写出最小的距离和为________。 来源：年北京怀柔初一上学期期末数学试卷，第题。公开试题PDF 题图 解图 参考答案与解析 （1）—（3）作图见解图。 （4）点是线段与直线的交点，最小的距离和为。 由，得；又，所以。 、位于直线两侧，线段与相交。两点之间，线段最短， 公交站取在线段与直线的交点时，，达到最小值。 D4　2026年重庆南开中学七年级上学期期末第4题 下列说法正确的是（　　） ．不相交的两条直线叫做平行线 ．若，则点为线段的中点 ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 来源：重庆南开中学—学年度上学期期末考试数学试题，第题。公开试题转录 参考答案与解析 选。 中缺少“在同一平面内”的条件；中缺少“点在线段上”的条件； 中应为垂线段的长度，而不是垂线段本身。符合垂线的基本性质。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $