第6章 平面图形的初步认识章节复习（21题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学单元复习讲义以“平面图形的初步认识”为核心，通过8大知识点系统梳理直线、射线、线段、角、平行线等概念及性质，运用表格对比（如同位角、内错角位置特征）和分层题型构建知识网络，突出几何语言转化、推理应用等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“即学即练+综合题型”的梯度设计，如“线段动点与动角探究”题培养数学思维（推理能力），“平行线性质生活应用”题发展空间观念。每个题型配典例及变式，基础生掌握方法，优秀生深化探究，助力教师实施精准分层教学，提升学生问题解决能力。

命学科网·上好课 第6章 平面图形的 初步认识 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面图形的初步认识章节复习 1.教学目标、教学重难点 知识点01线段、射线、直线 知识点02角 知识点03对顶角、余角、补角 知识点04垂线及性质、点到直线的距离 2知识清单 知识点05同位角、内错角与同旁内角 知识点06平行线 知识点07平行线的判定和性质 知识点08多边形及正多边形 题型01直线、射线、线段的表示及性质应用 题型02画直线、射线、线段 题型03线段长度的计算 题型04角的度量及计算 题型05线段有关的多解题问题 题型06角有关的多解题问题 题型07多边形的相关计算 题型08线段与角的规律探究问题 题型09线段动点与动角的探究问题 题型10利用对顶角相等求角 题型11求一个角的余角、补角 3.题型精讲 题型12利用对顶角、余角、补角、垂线求角的度数 题型13点到直线的距离与垂线段最短 题型14对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 题型I5添加一条件使两条直线平行 题型16平行线的判定和性质多结论题 题型17平行线的性质在生活中的应用 题型]8平行线的判定和性质综合问题 题型19根据平行线的判定与性质探究角的关系 题型20根据平行线的判定与性质接解决光线问题 题型21根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 基础白测 4.强化训练 能力提升 1/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内容总览 教学目标 教学重难点 1.理解直线、射线、线段、角及多边形等基本概念，掌握其表示方法与核心特征，能 正确辨析联系与区别。 2.掌握基本事实（两点确定一条直线、两点之间线段最短），理解补角、余角、对顶 教学目标 角等角关系，能进行简单计算与说理。 3.会用三角板、量角器等工具按要求画图（平行线、垂线、角平分线等），体验图形 作为描述现实世界与解决问题的重要工具。 教学重点 1.直线、射线、线段、角等基本概念的准确理解与规范表示；补角、余角、对顶角等 角的关系与性质。 2.两个基本事实的掌握与应用；平行线、垂线的画法：梳理本章知识体系，使所学内 教学重难点 容系统化。 教学难点1.不同几何语言（文字、图形、符号）间的转化，及运用几何性质（补角、 余角、角平分线)进行简单推理。 2.灵活运用概念与性质分析问题、解决问题，并从中感悟几何学习的一般路径与思想 方法。 知识清单 知识点01 线段、射线、直线 1概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点：射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一 个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将 表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4.线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 2/38 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点 的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 【即学即练1-1】(25-26七年级上福建厦门期末)已知：如图，已知三点A,B,C,请完成以下问题： A. B。 C (I)尺规作图：画直线AB,射线AC;连接BC,并在BC的延长线上取点E,使得CE=AB+BC;(作图 工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB=1,BC=2,点F为CE的中点，求线段BF的长. 知识点02角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间：也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点 的角只有一个时)；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1=60'，1'=60”。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 【即学即练2-1】(25-26七年级上·四川广安·期末)如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线， OM平分∠AOB,ON平分∠COD D (1)若∠A0D=70°，∠MON=50°，求∠BOC的大小： (2)若∠AOD=&,∠MON=B,求∠BOC的大小.（用字母a、B的式子表示） 知识点03 对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个 角叫做对项角， 2.对顶角的性质：对顶角相等」 3.互补与互余的概念 3/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那 么称这两个角互为余角，也称互余 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等：同角或等角的余角相等 【即学即练3-1】(25-26七年级上河南洛阳期末)如图，已知直线AB、CD相交于点O,∠BOD与 ∠DOE互余. E (1)若∠DOE=50°，求∠AOC的度数； (2)若∠AOE:∠DOE=3:2,求∠BOC的度数， 知识点04垂线及性质、点到直线的距离 (1)垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD,垂足为O. D 图1 图2 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指 这两条线段所在的直线垂直 (2)垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记） 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短， (3)点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：POLAB,点P到直线AB的距离 是垂线段PO的长， 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条， 【即学即练41】(25-26七年级下辽宁期中)如图，每个小方格都是边长为1的正方形，A,B,C三点都 是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 4/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 操作： (I)找出格点D,画出AB的平行线CD: (2)图中满足要求的格点D共可以找出」 个： (3)找出格点E,画AB的垂线CE,垂足为H (4)线段 的长是点C到直线AB的距离 知识点05 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”(或倒置、反转、旋 转) 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即 形如字母“Z”(或倒置、反转、旋 被截线“错开” 转) 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间 形如字母“U”(或倒置、反转、旋 转) 【即学即练51】(25-26七年级下·湖南邵阳期末)如图所示：在△ABC中，AB∥CG,E、F是AB、 BC上的两点，∠AEF+∠ACG=180° (I)求证：EF‖AC: (2)若∠AEF=114°，CG平分∠ACD,求∠B与∠EFB的度数. 知识点06平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“/”表示 5/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边： 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过己知点： 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 (1)平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行 (2)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【即学即练6-1】(25-26七年级上·吉林长春·期末)如图，在三角形ABC中，BE平分∠ABC交AC边于 点B,点D在AB边上，连接DE,且∠ABE=)∠ADE (I)尺规作图：过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F: (2)求证：AF II DE 知识点07平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直线所 两条直线被第三条直 线平行 截，如果同位角相等，那 截，如果同位内角相等，那 线所截，如果同旁内 的判定 么这两条直线平行，即同 么这两条直线平行，即内错 角互补，那么这两条 位角相等，两直线平行 角相等，两直线平行 直线平行，即同旁内 角互补，两直线平行 符号语 那么∠1=∠2 那么∠1=∠2 那 么 言 那么AB/CD 那么AB/CD ∠1+∠2=1809 那么AB/CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等。 6/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补 【即学即练7-1】(25-26七年级下·浙江台州期末)如图，D,E,F分别是线段AB,AC,BC上的点， 已知DE∥BC,∠1+∠2=180° F (1)判断DF与AC的位置关系，并说明理由， (2)若∠A=8O°，且DE平分∠ADF,求∠B的度数. 知识点08多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也 相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3,n边形 n(n-3) 的对角线总数为一2 【即学即练81】(25-26八年级下·上海阶段检测)从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角 线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线. 题型精讲 题型01直线、射线、线段的表示及性质应用 【典例1】(25-26七年级上陕西宝鸡期末)如图，下列说法错误的是() A B C A.点A,C可以确定直线AC B.点A在线段CB的延长线上 7/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.点O是直线AB外一点 D.若线段AO=CO,则点O是线段AC的中点 【变式1】(25-26七年级上安徽芜湖·期末)如图，线段AF表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个 点表示行驶途中共有6个站点（包括端点），则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是() A B E F A.15种 B.20种 C.30种 D.45种 【变式2】(24-25七年级下·黑龙江绥化期末)一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这 10条直线最多有一个交点 【变式3】(26-27七年级上北京课后作业)如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线 BD和射线DB是同一条射线：③直线BC和直线BD是同一条直线：④射线AB,AC,AD的端点相同.其 中正确的结论是 (填序号)· B D 题型02 画直线、射线、线段 【典例2】(25-26七年级上安徽六安·期末)如图，已知点A和线段BC A。 B (1)请按下列要求作图（不要求写作法）： ①作出直线AB,射线AC: ②延长BC,在BC的延长线上取点D,使CD=BC,连接AD. (2)AB+AD BD(请在横线上填“>”“<”或“=”)· 【变式1】(25-26七年级上江西赣州期末)如图，正方形网格中有四个点A,B,C,D,它们都在网 格线的交点上，请利用网格，用无刻度直尺按照下列要求画图： B 8/38 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出直线AB,并找出线段AB的中点O; (2)画出射线AC,并在射线AC上画出点P,使PB+PD的值最小. 【变式2】(25-26七年级上江西上饶·期末)如图，在平面内有三点A,B,C、按下列要求完成画图或作 答 B 4 c (I)画射线AC,直线AB,线段BC: (2)过点A作直线I与线段BC交于点D(注：点D不与B,C两点重合)则点D是直线I上到B,C两点距 离之和最小的点，理由为_ 【变式3】(25-26七年级上河南开封期末)如图，平面内有三个点A、B、D,根据下列语句作图.（保 留作图痕迹，不写作法)并回答问题. D A· B (1)作射线AB: (2)连接AD、BD; (3)比较AD+BD_AB(填>，<，=)，理由是_·（用初一知识回答） 题型03线段长度的计算 【奥例】(25-26六年级下山东相台期中)图。点BC在线段AD上，ABC,CD-B,且 3 2 CD=6 A B E C D (I)求线段AD的长： (2)若E是线段AD的中点，求线段EC的长， 【变式1】(25-26七年级上安徽马鞍山期末)如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点， 若AB=8cm,BD=3cm, A B (I)求线段CD的长： 9/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②若点B是直线AB上一点，位于点B的左侧，且E-兮D,求线段松的长。 变式2】(2526七年级上安微铜陵期末)如图所示，点C在线段4B上，B=10,AC三B,点 是BC的中点. W CM N B ① ② (1)如图①，求CN的长度： (2)如图②，若M是线段CN上的一动点，若点M是线段AB的三等分点，试求线段MN的长 【变式3】(25-26七年级上陕西咸阳期末)线段AB=16,C,D是线段AB上的两个动点（点C在点D 的左侧)，且CD=2,E为BC的中点. A C D E B 图1 A FC D E B 图2 (1)如图1，当AC=4时，求DE的长 (2)如图2，F为AD的中点.点C,D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会， 请说明理由；若不会，请求出EF的长。 题型04角的度量及计算 【典例4】(25-26七年级上：河南期末)如图，以直线AB上一点0为端点作射线OC,使∠B0C=70°， 将一个直角三角板的直角顶点放在点O处， D B B 图(1) 图(2) (I)如图(1)，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE= °； (2)如图(2)，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE,求∠BOD 的度数. 10/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上湖南永州期末)如图，已知，在∠AOB内画射线OC,OD平分∠AOC B 图1 图2 (1)如图1，∠A0C=50°，∠B0C=80°，求∠A0B的度数： (2)如图2，若∠A0B=120°，∠A0C=40°，求∠B0D的度数. 【变式2】(23-24七年级上四川成都期末)如图，点A,0,B在同一直线上，∠B0C=78° ∠DOE=77°，OD是∠BOC的一条靠近OC边的三等分线. A B (1)求∠COE的度数： (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由. 【变式3】(25-26七年级上江西新余期末)如图，点O在直线AB上，OE是AB上方的一条射线，且 ∠BOE=3∠AOC E (1)若∠BOE与∠AOC互为余角，求∠AOC的度数. (2)若OC平分∠AOF,∠EOF=50°，求∠BOF的度数. 题型05 线段有关的多解题问题 一【奥例5】(25：26六年级下山东烟合期中)已知4：：C三点在同一直线上，：B=B BC 2 点D为线段AC的中点，则线段BD的长为 【变式1】(25-26六年级下山东淄博期中)已知A,B,C是同一条直线上的三点，M,N分别是线段 AB,BC的中点，AB=10Cm,BC=4cm,则线段MN的长为 11/38 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式2】(25-26七年级上江苏泰州阶段检测)已知线段AB=12,点C为线段AB上一点，AC=5,点 D为线段AB的三等分点，则线段CD的长为 【变式3】(24-25六年级下·黑龙江大庆期中)如图，已知线段AB=21cm,A0=5cm,半径OM=3cm, 当点M在AB的上方，且∠MOB=60°时，点M绕着点O以每秒30°的速度在圆周上逆时针旋转一周后停 止，同时点N从点B沿线段BA向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 cm/s 题型06角有关的多解题问题 【典例6】(25-26六年级下·山东烟台期中)如图，∠AOB=80°，OC平分∠AOB,若过点0作射线OD, 使∠BOD=15°，则∠COD的度数为 ⊙ 【变式1】(25-26七年级上安徽合肥期末)己知，在同一平面内，∠AOB=30°，射线OC在∠AOB的外 部，OD平分∠AOC,若∠BOD与∠AOB的度数之比为4：3，则∠AOC度数为. 【变式2】(25-26七年级上河北邯郸期末)己知在同一平面内，∠A0B=30°，射线0C在∠A0B的外部， OD平分∠A0C,若∠BOD=50°，则∠AOC= 【变式3】(25-26七年级上湖北宜昌期末)如图①，点0在直线AB上，∠A0C=120°，0D1AB,将 OD绕点O以每秒6°的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当OD旋转到第t秒时，OD所在的直线平 分∠BOC,则t的值为. C O B D 图① 图② 题型07 多边形的相关计算 【典例7】(24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)已知正六边形的周长是36cm,则这个多边形的边长等 12/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于 cm 【变式1】(2022北京海淀二模)如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D是网格线交点.若 AB1,则四边形ABCD的面积为 【变式2】(25-26八年级下·湖北襄阳期中)学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条 对角线（三角形除外)，如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条 对角线…按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有 条 【变式3】(25-26七年级下山东泰安·期中)过八边形的一个顶点可以画m条对角线，将它分成个三角 形，则m+n的值是 题型08线段与角的规律探究问题 【典例8】(24-25七年级上·全国随堂练习)如图所示，若∠AOB内部有顺次的四条射线OE,OC,OD OF,且OE平分∠AOC,OF平分∠DOB. B (L)若∠A0B=160°，∠COD=40°，求∠EOF的度数. (②)若∠AOB=La,∠COD=∠B,求∠EOF的度数： (3)从(1)(2)的结果，你能看出什么规律吗？ 【变式1】(25-26七年级上广东深圳期末)综合与实践 问题情景：数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题.如图1， ∠AOB=∠COD=90°，射线OC在∠AOB的内部，射线OB在∠COD的内部. 13/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B D D 0 0 图1 图2 特例分析 (1)若∠BOC=50°，则∠AOD的度数为一： 规律探究 (2)若∠BOC=a,求∠AOD的度数： 拓展延伸 (3)在图1的基础上，作射线OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,得到图2. ①若∠BOC=50°，则∠EOF的度数为一： ②若∠BOC=B,求∠EOF的度数. 【变式2】(25-26七年级上山西吕梁期末)综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线.小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角 时，它们所成夹角的大小也有规律 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的 规律？针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： B 图1 图2 备用图 (1)【基础探究】 如图1，已知∠AOB内部有三条射线OC、OE、OF,其中OE平分∠BOC,OF平分∠AOC.若 ∠AOB=180°，∠A0C=120°，则∠EOF的度数为一. (2)【发现规律】 如图2，设∠AOB=a,∠AOC=B(0°<B<a),其中OE平分∠BOC,OF平分∠AOC.猜想∠EOF 的度数是否随P的改变而改变？请证明你的猜想. (3)【拓展推广】 14/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在(2)的假设条件下，若∠EOB-∠COB,∠A0F=∠COA,上述猜想是否还成立？若成立，求出 n n ∠EOF;若不成立，请说明理由， 【变式3】(25-26七年级上·重庆开州期末)一个问题的解决往往经历发现规律一一探索归纳一一问题解 决的过程. D B B B A 图1 图2 备用图 ()【发现规律】如图1，已知∠A0D=90°，∠AOC=77.5°，OC为∠B0D的角平分线，则∠B0D的度数为 (直接写出结果) (②)【探索归纳】如图1，∠AOD=n,∠AOC=m,OC为∠BOD的角平分线，猜想∠BOD的度数（用含 L,的代数式表示)，并说明理由. (3③)【问题解决】如图2，若∠A0D=110°，∠A0C=80°，∠AOB=10°，射线0C,0OB同时绕点0旋转，OC 以每秒10°顺时针旋转，OB以每秒20°逆时针旋转，当OB与OD重合时，OC,OB同时停止运动.设运 动时间为t秒，问t为何值时，射线OC是OD,OB,OA这三条射线中某两条所成角的角平分线， 题型09线段动点与动角的探究问题 【典例9】(24-25七年级上河北石家庄·期中)(1)已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一 个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线.当点P在斜边AB上移动时，∠DCE=°； (2)把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上： O点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN=一： ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN的上方时（如图3）， ∠ACM与∠BCN的数量关系是； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的 数量关系是 15/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图 图2 图3 图4 【变式1】(23-24七年级上陕西西安·阶段检测)如图，平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线 MN上一动点，作射线OA、OP、OA,当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP=90°、 ∠AOP=∠A'OP,将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB P M (I)如图，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OB平分∠A'OP,求∠AOP的度数. ∠AON (②当点0运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM=3∠AOB时，求∠AOP的值。 (3)若射线OP在直线MN的上方，则当点O运动到某一时刻时，∠AOB=150°，此时∠BOP=· 【变式2】(25-26七年级上全国单元复习)(1)如图，已知AB=12cm,点C为线段AB上的一个动点， D、E分别是AC、BC的中点： ①若点C恰为AB的中点，则DE=_cm: ②若AC=4cm,则DE=_cm; (2)如图，点C为线段AB上的一个动点，D、E分别是ACBC的中点：若AB=a,则DE=_: A D C E B 【变式3】(25-26七年级上陕西西安期末)如图，在直线AB上有C,D两点，4C=2cm,且满足 AC:CD:DB=1:4:2」 AC D B D B 图1 图2 D D B 备用图 备用图 (1)CD= cm.AB= cm. (2)如图1，在直线AB上，动点P从点C出发以每秒4cm的速度向右运动：同时动点M从点D出发以每秒 2cm的速度向左运动，当点p到达点B时整个运动停上.设运动时间为，秒，当PM-时，求，的值； 16/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，线段DB绕点D以每秒lO°的速度逆时针旋转；同时线段AC沿射线AB方向以每秒4cm的速度 运动，当端点C到达D点时，线段AC绕点D立刻以每秒30°的速度顺时针旋转，当线段DB旋转180°时整 个运动停止.则线段DB从起始位置开始旋转，多少秒后线段AC和线段DB在同一直线上（包含重合）？ 题型10利用对顶角相等求角 【典例10】(25-26七年级下重庆荣昌期末)如图，直线AB,CD交于点0，OE⊥AB,∠AOC=32°， 则∠EOD的度数是 度 B 【变式1】(25-26六年级下·山东泰安期末)如图，直线a与直线b相交于点0，若∠1=35°，则∠2= 0，∠3= 0 b 【变式2】(25-26七年级下·吉林松原·期末)如图，直线AB,CD相交于点0，∠POC=∠AOC,若 ∠BOD=25°，则∠BOP的大小为 D B D 【变式3】(25-26七年级下四川南充期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD, OF⊥CD.若LAOE=50°，则∠BOF的度数为 D B 题型11求一个角的余角、补角 17138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例11】(25-26七年级上湖南邵阳期末)如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分 ∠AOC,OF平分∠BOD.则∠AOC的补角有个，∠AOE的余角有一个. B 【变式1】(24-25七年级上海南省直辖县级单位期末)已知一个角是3625'，则它的余角为. 补角为 【变式2】(25-26七年级下·西藏拉萨·期末)已知∠a=36°，则Lα的余角是度，∠u的补角是 【变式3】(2024七年级上·全国专题练习)已知∠A=25°」 (1)∠A的余角=一 (2)∠A的补角= 题型12利用对顶角、余角、补角、垂线求角的度数 【典例12】(25-26七年级下福建南平·期中)如图，直线AB,CD相交于点0，OP是∠BOC的角平分 线，∠AOE=∠DOF=90° (1)请写出图中两对互余的角和两对相等的角；（直角除外） (2)如果∠AOD=40°，试求∠BOF,∠COP的度数. 【变式1】(25-26七年级下·陕西咸阳期中)如图，直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB (1)若∠1=∠2，说明OF与CD的位置关系； (2)若∠AOD=4∠1，求∠AOC的度数 【变式2】(25-26七年级下·云南昆明·期中)如图，直线AB,CD相交于点O,OE,OF分别在∠B0C 18/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOD的内部，且OD平分∠BOF,OE⊥CO E (1)写出图中∠BOE的余角： (2)若∠AOE=110°，求∠AOF的度数， 【变式3】(25-26七年级下·福建龙岩·期中)如图，已知直线AB与直线CD相交于点0，∠C0E=90° B D (1)若∠B0E=55°，求∠AOC的度数： (2)若∠BOD:∠BOC=2:7,求∠AOE的度数. 题型13 点到直线的距离与垂线段最短 【典例13】(25-26七年级下陕西西安·期中)如图，已知点O在直线AB上，点E,F是直线AB外的点， 连接OE,OF,EF,且EO⊥OF,过点E作EM⊥AB于点M,则点E到OF的距离是线段 的 长度. E 【变式1】(25-26七年级下·湖南怀化期末)如图，在△ABC中，AB=14,△ABC的面积为42，D为线段 AB边上的动点，连接CD,以CD为边向左侧作正方形CDEF,则正方形CDEF面积的最小值为 D 【变式2】(24-25七年级下贵州遵义·期中)如图，△ABC中，AC⊥BC,D为BC边上的一点，连接 AD,E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB,垂足为F.如果AC=6,BC=8,AB=I0,则CE+EF 的最小值为一 19138 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式3】(25-26七年级下·河北廊坊阶段检测)三角形ABC在网格中的位置如图所示. B (I)用三角尺过点A画出BC的垂线，垂足为D;过点C画出AB的垂线，垂足为E; (2)在(1)的条件下. ①点C到AB的距离是线段 的长；线段AE的长是点」 到直线 的距离： ②比较大小：CA CE(填“>”“<”或“=”)；依据是： 题型14对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例14】(25-26七年级下·内蒙古赤峰期末)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB是() A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.相等的角 【变式1】(25-26七年级下河北石家庄·期中)下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（) 月生王￥ ② 3 A.②③ B.①②③ C.①②④ D.①④ 20/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26七年级下广东广州期末)两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这 就是“三线八角”，如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是() 3 6人5 78 A.∠3和∠7 B.∠4和∠6 C.∠3和∠5 D.∠4和∠5 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)观察下图并填空： (1)∠1与 是同位角： (2)∠5与 是同旁内角： (3)∠2与 是内错角 题型15 添加一条件使两条直线平行 【典例15】(25-26七年级下·北京·期末)如图，直线a,b被c,d所截，要使直线a∥b,需要添加的 个条件为」 【变式1】(25-26七年级下河北邢台期中)如图，点C,卫在直线AB上，在不添加任何辅助线和字母的 情况下，添加一个条件，使CD∥EF.该条件是： 一·（填一个即可） C E B 21/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26七年级下·甘肃平凉期中)如图，在三角形ABC中，点D在BC的延长线上，过点C作 射线CE,请你添加一个条件： 使得AB∥CE.(添加一个即可) E 【变式3】(25-26七年级下·湖北恩施期中)如图，己知∠1=130°，若判定AB‖CD,请补充一个条件 题型16平行线的判定和性质多结论题 【典例16】(2425七年级下陕西宝鸡阶段检测)如图，给出下列条件：①∠1=∠2：②∠3=∠4： ③∠D+∠BCD=I80°：④AD‖BE且∠B=∠D.其中，能得到AB‖DC的条件为() A 1 3 4 2 E A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 【变式1】(24-25七年级下重庆梁平~期末)如图，BD平分∠ABC,DEI‖AB,EF平分∠DEC,有下 列四个结论：①LBDE=∠DBE;②∠BDF+∠BFE=180°：③EF∥BD:④LBDA+∠CFE=I80°.其中， 正确的是() A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 【变式2】(24-25七年级上·全国·课后作业)如图，AB∥CD,CE平分∠ACD,ED平分LBEF, CE⊥DE,下列结论：①EC平分∠AEF:②AC∥EF;③∠CEF+∠D=90°：④∠EFD=2∠AEC,其 22138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中正确结论是， E B 【变式3】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，己知BCOA,∠B=∠A=120°，点E、F在BC 上，OE平分∠BOF,且∠FOC=∠AOC,下列结论正确的是： B E F ①OB∥AC:②∠EOC=40°：③∠OCB:∠OFB=1:2:④若∠OEB=∠OCA,则∠OCA=45°： 题型17平行线的性质在生活中的应用 【典例17】(25-26七年级下·陕西西安·阶段检测)小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东65°方向的大唐芙 蓉园游玩.到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的 方向. 北 酒店 65° ● 大唐芙蓉园 【变式1】(2025·湖北孝感二模)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时， 要发生折射.由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的.如图，若 ∠3+∠4=115°48，则∠2-∠1=度. 【变式2】(25-26七年级下湖北荆州阶段检测)2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史 上首个人形机器人火炬手.图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图.其中， ∠GHN:∠FGE=2:1,∠HGF=140°，GE∥MN;求∠GHM的度数. 23/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 5G-A人形火炬手 H N 【变式3】(25-26七年级下·甘肃张掖期中)在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓 厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能， 0 ☐工作篮 3 2 支撑平台 A T 图1 图2 图3 ()【问题初探】如图1，∠CDF+∠DFE=18O°，∠C=∠DAE,求证：AD川BC, (2)【拓展探究】在(1)的条件下，试问∠ADF,∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由. (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，∠1=31°，求 ∠2+∠3的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°， 顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=45°，求EF与FG所成锐角的度数. 题型18平行线的判定和性质综合问题 【典例18】(25-26七年级下·甘肃陇南期中)综合与实践 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°， ∠E=∠B=45°. D B 2 3 图1 图2 (1)填空：∠1与∠3的数量关系：一，理由是 24/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)直接写出∠2与∠ACB的数量关系： (3)如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两 个三角尺的顶点C重合.当BE∥AD时，画出图形，并求出∠ACE的度数. 【变式1】(25-26七年级下·广东清远阶段检测)如图，已知∠ACD=70°，点E在AB上. B (I)尺规作图：以E为顶点，EB为一边作∠FEB=∠A,EF交CD于F.(保留作图痕迹，不必写作法) (2)在(1)的条件下，求∠CFE的度数， 【变式2】(25-26七年级上：四川乐山期末)如图，已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180° B (I)求证：AD∥CE: (2)若AD平分∠BDC,CE⊥AE于E,∠FAB=65°，求∠I的度数. 【变式3】(25-26七年级下辽宁大连期末)如图，在△ABC中，FG∥BC,∠1+∠2=180° E D (I)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由： (②)若DE1AC,∠2=150°，求∠AFG的度数. 题型19根据平行线的判定与性质探究角的关系 【典例19】(24-25七年级下·贵州毕节期末)综合与实践： (1)如图1.ABICD,若点P在AB,CD之间，∠AMP=35°，∠DNP=128°，求∠MPN的度数. 25/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2.AB∥CD,若点P在CD的下方，则∠AMP,∠CNP,∠MPN之间有何数量关系？请说明 理由 (3)如图3.在(2)的条件下，∠MPN=a，,∠AMP的平分线和∠CNP的平分线交于点E,求∠MEN的 度数.（结果用含的代数式表示） A M B A M 图1 图2 图3 【变式1】(24-25七年级下湖北减咸宁·期末)在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和 两条平行线”为背景开展数学活动.如图1，已知两直线a,b且a∥b和Rt△ABC,∠BCA=90°， ∠BAC=30°，∠ABC=60°」 <2 图1 图2 图3 (1)在图1中∠1=43°，求∠2的度数： (2)如图2，创新小组的同学把直线4向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠1与∠2存在怎样的数量关系， 请说明理由： (3)创意小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM,此时发 现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系. 【变式2】(24-25七年级下河南濮阳期中)如图1，AB∥CD,过点F作FP∥CD A E B A B CG G 图1 图2 (I)可得：∠EFG与∠BEF，∠DGF之间的数量关系是-· (②)∠EFG+∠AEF+∠CGF=_°. (3)利用上面的发现，解决下列问题： 26138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，AB∥CD,点M是∠AEF和∠FGC平分线的交点，∠EFG=126°，求∠EMG的度数. 【变式3】(24-25七年级下·陕西西安·阶段检测)【问题背景】 如图，直线MN与直线AB,CD相交于点E,F,∠BEM+∠DFN=I80°，点P是线段EF上的一个动点 (不与E,F重合)，点O是射线FD上的一点.连接PO,∠BEM的平分线EG与∠DOP的平分线QG交 于点G. 【问题初探】 (I)AB与CD平行吗？请说明理由； (2)如图1，若∠DFN=110°，∠G-∠GEK=10°，求∠G的度数： 【衍生拓展】 (3)如图2，记∠AEF=a,∠EPe=B,移动点P,当G0∥EF时，求u和P的数量关系. M M -B 图1 图2 题型20根据平行线的判定与性质接解决光线问题 【典例20】(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)(1)如图①，展示了光线反射定律：EF垂直于镜面MN 于点E,一束光线AB射到平面镜MN上，被MN反射后的光线为BC,则入射光线AB、反射光线BC与法 线EF所夹锐角分别为日、8，且∠日=∠8，.证明：∠I=∠2. (2)如图②，MN、EF表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC,光 线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD,试判断AB与CD的位置关系，并说明理由， M E(B) M B N 图① 图② 【变式1】(24-25七年级下河南商丘·期中)图1展示了光的反射定律，EF是镜面AB的垂线，一束光线 27138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m射到平面镜AB上，经AB反射后的光线为n,则入射光线m、反射光线n与垂线EF所夹的锐角 ∠0=∠0 m 77 49 F 图1 图2 (1)如图1，求证∠a=∠B」 (②)图2是潜望镜工作原理示意图，当进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线平行时，平面镜AB与CD 应如何摆放？ 【变式2】(24-25七年级下山东烟台期中)如图，是一盏可调节台灯的示意图.固定支撑杆A01底座 MN于点O,AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节 过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外侧光线CD∥MN, CE∥AB,若∠BAO=158°，过点B作BFI‖MN. M- ()请判断BF与CD的位置关系，并证明. (2)求∠DCE的度数， 【变式3】(24-25七年级下·全国期中)（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从 水中射向空气时，要发生折射，光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角. G 空气 D 空气 A D E 图① 图② (1)如图①， 水面AD与水杯下沿BC平行，光线OP从水中射向空气时发生折射，光线变成P吧.若 ∠1=60°，∠0P9=140°，求∠2的度数： 28138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，水面AD'与水杯下沿B'C平行，水杯上盖上一块镜子，光线EF从水中射向空气时发生折射， 光线变成FG,接触镜子发生反射，光线变成GH,遇水杯边沿反射，光线变成HⅢ，猜想HⅢ和FG的位置 关系，并说明理由 题型21根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 【典例21】(25-26七年级上江苏扬州期末)【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一 起，其中OC与直线MN重合，∠AOM=∠COD=30°，∠AOB=45° B D 30° 0 (1)在上述所拼图形中，∠BOD的度数为_. 【问题探究】 (2)在上述所拼图形基础上，让三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O以每秒5°的速度顺时针 方向旋转，且两块三角板均在直线MN的上方.设三角板AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出 当∠BOC=2∠BOD时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 (3)在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺AOB绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转的同 时，三角尺COD也绕着点O以每秒1°的速度按逆时针方向旋转.在旋转过程中，两块三角尺均在直线 MN的上方，且当三角尺AOB停止旋转时，三角尺COD也停止旋转.设三角尺AOB的旋转时间为s.在 旋转过程中，当AB与三角尺COD的某一边平行时，请直接写出t的值 【变式1】(24-25七年级下·河南郑州阶段检测)如图1所示，将一把含30°角的直角三角板ABC的BC 边放置于长方形直尺DEFG的EF边上. A 309 30 309 F E B B 图1 图2 备用图 (1)在图1中∠1= ∠2= 0 29/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2所示，现把三角板绕点B逆时针旋转n(0<n<90),当点C恰好落在DG边上时，若∠I比∠2大 14°，求n的值： (3)如图1所示放置的三角板ABC,现将射线BF绕点B以2°Is的速度逆时针旋转得到射线BM,同时射线 OA绕点Q以3°/s的速度顺时针旋转得到射线QW,当射线OW旋转至与QB重合时，则射线BM,QN均 停止转动，设旋转时间为s.当BM∥QN时，直接写出旋转时间1的值. 【变式2】(24-25七年级下·广东广州期中)如图①所示的是一副三角尺，∠C=∠F=90°， ∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60° A(F) 图① 图② 图③ 图④ (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在直角边AC上，斜边AB与斜边 DE相交于点G,求∠BGD的度数： (2)如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直线MN上， 直角边DF与斜边AB相交于点P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由； (3)直线MNMP吧，三角板ABC和三角板DEF按照图④所示放置，直角顶点C与点D重合，并且在直线 PO上，直角顶点F在直线MN上，∠PDF=30°，直角边BC与DF重合.若将三角板ABC绕点D以每秒 6的速度顺时针旋转，同时将三角板DEF绕点D以每秒18°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒 (0<1<15).在旋转过程中，当边AB与三角板DEF的一条边平行时，求出所有满足条件的的值。 【变式3】(24-25九年级上辽宁铁岭期中)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板 ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC 不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止 旋转. 30138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B M E M N 图1 图2 (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值： (②)当AC旋转至∠DCE的外部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于一（直接 写出答案即可). 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下广东茂名期中)如图，从村庄P到公路1共有三条路线，其中路线PB⊥1.居民选择 路线PB到公路路程更近的理由是() A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.两点确定一条直线 D.过一点可以作无数条直线 2.(2425七年级下湖南湘潭期末)如图是钟表示意图，下午从2时整到4点整，时针转过的角度是( ) 31/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 3 .8 4 6 A.20° B.30° C.60 D.80° (25-26七年级上江苏常州阶段检测)下列说法中，正确的个数是() M A B (1)线段AB和线段BA表示的是同一条线段： (2)射线AB和射线BA表示的是同一条射线： (3)直线AB和直线BA表示的是两条直线： (4)如图，点M在直线AB上，则点M在射线AB上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(22-23七年级下吉林长春开学考试)如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b 的是(). b A.∠2=∠4 B.∠4=∠5 C.∠1=∠3 D.∠1+∠4=180° 二、填空题 5.(2026湖南长沙二模)已知∠a=2450,则它的余角为 6.(25-26七年级下山东淄博期中)如图，线段AB=20cm,点C为线段AB上一点，BC=6cm,点D, E分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为cm A D E C 7.(25-26七年级下·天津阶段检测)如图，直线AB、CD相交于点0.已知∠BOD=70°，OE把 ∠AOC分成两个角，且∠A0E=∠E0C,若∠A0F=120°时，则∠E0F度数是°. 32138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 (25-26七年级下·黑龙江双鸭山期末)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后， 折射光线BE,DF交于主光轴上一点G,若∠ABE=130°，∠EGF=80°，则∠CDF的度数是一· A￥ B F 三、解答题 9.(25-26七年级上安徽阜阳期末)如图，不在同一条直线上的四个点A,B,C,D.请按下列要求作 图.（保留作图痕迹，不要求写作法） B D (I)画线段AB,BD,画射线AC,画直线AD; (2)在线段BD的延长线上取点E,使DE=BD 10.(23-24七年级上·山东滨州期末)已知∠AOB内部有三条射线OE,OC,OF, B 图1 图2 (I)如图1，若∠A0B=90°，∠A0C=36°，OE平分∠B0C,OF平分∠A0C.求∠E0F的度数： (2)如图2，若∠A0B=150°，∠B0C=3∠B0E,2,LA0C=3∠COF,求∠E0F的度数. 11.(2026广西河池二模)如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF⊥CD、 33138 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠AOF=52°，求∠BOE的度数： (2)若∠BOE=4∠BOD,求∠AOF的度数， 12.(25-26七年级下·广东东莞期中)如图，AE⊥BC,GF1BC,I=∠2. C E F D 3 G B (1)求证： ABICD (2)若∠D=∠3+60°，∠CBD=66°，求∠C的度数. 能力提升 一、 单选题 1.(25-26七年级下·四川凉山期末)如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若 ∠AOC=40°，则∠COF的度数为() D B A.80° B.100° C.110° D.120 2.(25-26六年级下山东泰安期末)如图所示，给出下列说法：①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同 旁内角：③∠5与∠6是同旁内角：④∠1与∠4是内错角.其中正确的是() 2 5 A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.②3④ 34/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26七年级上福建莆田期末)如图所示，B在线段AC上，且BC=3AB,D是线段AB的中点，E是 Bc的三等分点（E靠近C),则下列结论：①5C-34B:@DB=5BD:®BE=(4E+BC):④ 4E-(BC-AD),其中正确结论的有（) A D B E A.①② B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 4.(24-25六年级下·山东烟台期中)过一个多边形的一个顶点共画出7条对角线，则这7条对角线将多边 形分成三角形的个数为a,这个多边形的边数为n,则() A.a=8,n=9B.a=8,n=l0C.a=9,n=l0D.a=9,n=8 5.(25-26七年级上河北邯郸阶段检测)如图，在4×4的正方形网格中，记 ∠ABF=a,∠FCH=B,∠DGE=Y,则() A.B<a<y B.B<y<a C.a<y<B D.a<B<y 二、填空题 6.(25-26七年级上山东德州期末)已知∠a的余角是22°40，∠B的补角是11240，则∠a一∠B (填“>”，“<”或“=”) 7.(2425七年级下湖南岳阳期末)已知直线a∥b,a与b之间的距离为5，平面内有一点P,点P到a 的距离是2，则点P到b的距离是 8.(25-26八年级下·全国课后作业)(1)若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线， 则这个多边形是 边形 (2)从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于 9.(25-26七年级下·黑龙江绥化·期末)如图，公路沿湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯， 这时的公路DE恰好与第一次拐弯前的公路AB平行，若∠3=130°，∠1=100°，则∠2的度数为 35/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 10.(25-26七年级下陕西渭南阶段检测)如图，直线AE、BF相交于点G,GC⊥GE,GD平分∠CGF, 若∠EGF=4∠DGE,则∠AGB的度数为」 B G A 三、解答题 11.(25-26七年级下·河南漯河期末)如图，直线AB、CD相交于点O,将一个直角三角板的直角顶点放 置在点O处，且ON平分∠BOD (1)若∠AOC=74°，求∠MOB的度数： (2)判断OM是否平分∠AOD,并说明理由. 12.(25-26七年级上·天津河西阶段检测)【探索新知】 如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另一条线段 长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”. (1)一条线段的中点， 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段AB=4Ocm,点M从点B的位置开始，以每秒4cm的速度向点A运动，当点M到达点A时 停止运动，运动的时间为秒。 (2)问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”： (3)同时点N从点A的位置开始，以每秒2Cm的速度向点B运动，并与点M同时停止.请直接写出点M 是线段AN的“二倍点”时t的值. 36138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B (图1) (图2) 13.(25-26七年级下·安徽安庆期末)如图，直线AB‖CD,直线EF与AB、CD分别交于点G、H, ∠EHD=a(0°<a<90).小明将一个含45°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线 AB、CD上，∠P=90°，∠PMN=45° G G D C H O F E/H 图1 图2 备用图 备用图 (1)若∠PNB=20°，则∠PMD=_: (②)若PN⊥EF,射线NO在∠MNG内交直线CD于点O,如图②所示，当N、M分别在点G、H的右侧， 且∠GNO:∠MNO=3:2,PM∥NO时，求a的度数： (3)小明将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF,射线NO平分∠MNG,点N、M分别在直 线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）. 14.(24-25七年级下·广东阳江期末)综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等.如图1，一束 光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC,此时∠I=∠2， B∠ A B C4—D 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若∠1=∠4，请判断光线AB与光线CD是否平 行，并说明理由 (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置， 若∠1+∠4=90°，求证：AB‖DE (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线 OA反射后的光线为AB,且∠OAB=72°.若一入射光线OC(C是入射光线与曲面镜的交点)反射后的光 线为CD,且∠OCD=40°，直接写出∠AOC的度数. 15.(25-26七年级上：陕西西安·期末)小新同学将一副直角三角板（含45°和30°）按如图1所示方式摆放 在直线PO上（∠ACB=45°，∠DCE=30°）. 37138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B PB E 图1 图2 (I)在上述所拼图形中，∠ACD= (2)在上述所拼图形的基础上，让直角三角板CDE固定不动，将直角三角板ABC绕着点C以每秒3°的速度 顺时针方向旋转.旋转时间为t秒(0≤1≤60)，请你求出在旋转过程中，当∠BCD=2∠ACD时t的值. (3)如图2，在如图1所拼图形的基础上，当直角三角板ABC绕着点C以每秒3°的速度顺时针方向旋转的同 时，直角三角板CDE也绕着点C以每秒2°的速度逆时针方向旋转，设旋转时间为1秒(0≤1≤60)，在旋转 过程中，是否存在某一时刻使CA、CD、CE三条边中一边是另外两边所成角的平分线？若存在，请直接 写出此时的值；若不存在，请说明理由， 38138 第6章 平面图形的初步认识章节复习 教学目标 1. 理解直线、射线、线段、角及多边形等基本概念，掌握其表示方法与核心特征，能正确辨析联系与区别。 2. 掌握基本事实（两点确定一条直线、两点之间线段最短），理解补角、余角、对顶角等角关系，能进行简单计算与说理。 3. 会用三角板、量角器等工具按要求画图（平行线、垂线、角平分线等），体验图形作为描述现实世界与解决问题的重要工具。 教学重难点 教学重点 1. 直线、射线、线段、角等基本概念的准确理解与规范表示；补角、余角、对顶角等角的关系与性质。 2. 两个基本事实的掌握与应用；平行线、垂线的画法；梳理本章知识体系，使所学内容系统化。 教学难点1. 不同几何语言（文字、图形、符号）间的转化，及运用几何性质（补角、余角、角平分线）进行简单推理。 2. 灵活运用概念与性质分析问题、解决问题，并从中感悟几何学习的一般路径与思想方法。 知识点01 线段、射线、直线 1.概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点；射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2.表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4. 线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 【即学即练1-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知：如图，已知三点A，B，C，请完成以下问题： (1)尺规作图：画直线，射线；连接，并在的延长线上取点E，使得；（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，点F为的中点，求线段的长． 【答案】(1) 解：如图，直线，射线和点E为所作； (2) 【分析】本题考查画直线，射线和线段，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据直线和射线的定义，画图即可，以点C为圆心，的长为半径画弧交射线于一点，再以该点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E即可； （2）先求出的长，再根据中点求出的长，最后根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． ∵点F为的中点， ． ． 知识点02 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点的角只有一个时）；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 【即学即练2-1】（25-26七年级上·四川广安·期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的大小； (2)若，，求的大小．（用字母、的式子表示） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）首先求出，然后由角平分线的定义得到，，求出，进而求解即可； （2）同（1）的方法求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∵平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ∵平分，平分， ，， ， ． 知识点03 对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【即学即练3-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了余角的定义，对顶角，熟知度数之和为的两个角互为余角是解题的关键． （1）由余角的定义即可得到，再根据对顶角相等即可求解； （2）由余角的定义得到，求得，由题意求得，由平角的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵与是对顶角， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 知识点04 垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【即学即练4-1】（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求作， (2) (3) 解：如图，点即为所求作； (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）略 （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 知识点05 同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【即学即练5-1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如图所示：在中，，、是、上的两点，． (1)求证：； (2)若，平分，求与的度数． 【答案】(1)证明：（已知） （两直线平行，内错角相等） 又（已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） (2)；; 【分析】（1）由得到，再根据得到，从而证明； （2）由、和求得，再由平分，得到，再利用平行线性质求出与的度数． 【详解】（1）略； （2）解：，（已知） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） （两直线平行，内错角相等） 又平分（已知） （角平分线的定义） （两直线平行，同位角相等） ． 知识点06 平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【即学即练6-1】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在三角形中，平分交边于点E，点D在边上，连接，且． (1)尺规作图：过点A作交的延长线于点F； (2)求证：． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行线的判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图方法，平行线的判定定理． （1）根据作一个角等于已知角的方法作出，再由平行线的判定即可得到； （2）先根据角平分线以及已知证明，则，再由即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 知识点07 平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【即学即练7-1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图，，，分别是线段，，上的点，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ． ， ，                             ． (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ．             平分， ．                 ， ． 知识点08 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3，n边形的对角线总数为。 【即学即练8-1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 题型01 直线、射线、线段的表示及性质应用 【典例1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．点A，C可以确定直线 B．点A在线段CB的延长线上 C．点O是直线外一点 D．若线段，则点是线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两点确定一条直线，射线，直线的定义，线段中点的定义等知识点． 根据直线的性质、定义，射线的定义以及线段中点的定义分别判断即可． 【详解】解：A、点A，C可以确定直线，正确，不符合题意； B、点A在线段CB的延长线上，正确，不符合题意； C、点O是直线外一点，正确，不符合题意； D、若线段，且点在线段上时，则点是线段的中点，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，线段表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个点表示行驶途中共有6个站点（包括端点），则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是（   ） A．15种 B．20种 C．30种 D．45种 【答案】C 【分析】本题考查线段的数量问题，根据图形求得线段个数即可求解． 【详解】解：根据题意，这段路线有 共15条线段， ∴在这段路线上往返行车，需印制种车票． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 【变式3】（26-27七年级上·北京·课后作业）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是_________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：以C为端点的射线共有3条，故①错误； 因为射线和射线的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 射线的端点相同，都为点A，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故答案为：③④． 题型02 画直线、射线、线段 【典例2】（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图，已知点A和线段． (1)请按下列要求作图（不要求写作法）： ①作出直线，射线； ②延长，在的延长线上取点D，使，连接． (2)_______（请在横线上填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：①如图所示，直线，射线即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：由“两点之间线段最短”得，． 【变式1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，正方形网格中有四个点，，，，它们都在网格线的交点上，请利用网格，用无刻度直尺按照下列要求画图： (1)画出直线，并找出线段的中点； (2)画出射线，并在射线上画出点，使的值最小． 【答案】(1) 解：如图，直线，点即为所求； (2) 解：如图，射线，点P即为所求． 【分析】本题考查了画直线，射线，线段的中点，以及线段的性质： （1）根据直线的定义以及线段中点的定义即可作图； （2）先画出射线，连接与交点即为点，根据两点之间线段最短即可说理． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）如图，在平面内有三点A，B，C、按下列要求完成画图或作答． (1)画射线，直线，线段； (2)过点A作直线与线段交于点D（注：点D不与B，C两点重合）则点D是直线上到B，C两点距离之和最小的点，理由为 ． 【答案】(1) 解：如图所示，射线即为所作； 直线即为所作； 线段即为所作； (2) 解：如图所示，直线即为所作；理由：两点之间，线段最短． 【分析】本题考查直线、射线、线段的画法，两点之间，线段最短，正确掌握基本作图的画法是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的画法，作图即可； （2）根据直线的画法，作图即可，根据两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，平面内有三个点A、B、D，根据下列语句作图．（保留作图痕迹，不写作法）并回答问题． (1)作射线； (2)连接、； (3)比较 （填，，），理由是 ．（用初一知识回答） 【答案】(1) 作射线，如图所示： ． (2)连接、，如图所示： (3)，两点之间线段最短 【分析】本题考查了画射线、线段，两点之间线段最短，熟练掌握射线和线段的画法是解题关键． （1）根据射线的画法即可得； （2）根据线段的画法即可得； （3）根据两点之间线段最短即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，理由是两点之间线段最短， 故答案为：，两点之间线段最短． 题型03 线段长度的计算 【典例3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点、在线段上，，，且． (1)求线段的长； (2)若是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的线段数量关系依次求得，的长，再根据求解即可； （2）根据中点的性质求得的长，再根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：是的中点， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，若，． (1)求线段的长； (2)若点E是直线上一点，位于点B的左侧，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点的定义计算即可； （2）根据和计算即可． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴； （2） 解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 【变式3】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 题型04 角的度量及计算 【典例4】（25-26七年级上·河南·期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图（1），若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图（2），将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)20 (2)的度数是 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，结合图形进行求解是解决问题的关键． （1）由求解即可； （2）因为恰好平分，所以，由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 【变式1】（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，已知，在内画射线，平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查角的和差运算及角平分线的定义，关键是根据图形确定角之间的和差关系，利用角平分线的性质求出相关角的度数． （1）等于与的和，直接代入已知角度数值求和即可； （2）先根据角平分线的定义求出的度数，再通过的角差关系计算出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 又∵， ∴． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2) 解：是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）略 【变式3】（25-26七年级上·江西新余·期末）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两角互余的定义，角平分线的性质，平角的定义； （1）设，则，根据两角互余列方程解答即可； （2）由题意得，设，则，根据平角的定义列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， 设，则， ∵与互为余角， ∴ 解得， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 设，则， ∴， 解得， ， ∴ 题型05 线段有关的多解题问题 【典例5】（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，三点在同一直线上，，，点为线段的中点，则线段的长为__________． 【答案】或 【分析】本题分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时，②当点在的延长线上时，分别根据中点的性质求出的长，再结合线段和差关系求出的长即可． 【详解】解：①当点在的延长线上时， ，， ， ， 点是线段的中点， ， ； ②当点在的延长线上时， ，， ， ， 点是线段的中点， ， ， 综上所述，线段的长为或 【变式1】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知，，是同一条直线上的三点，，分别是线段，的中点，，，则线段的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：①当点在的延长线上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； ②当点在线段上时， 是的中点， ， 是的中点， ， ； 综上所述，线段的长为或． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了线段三等分点的概念和线段长度的计算． 点D为线段的三等分点，可能靠近A或靠近B，因此需要分两种情况讨论． 【详解】解：∵，点D为线段的三等分点， ∴或． 又∵，点C在线段上， 当时，如图， ； 当时，如图， ． 故线段的长为1或3． 故答案为：1或3． 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 题型06 角有关的多解题问题 【典例6】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．    【答案】或 【分析】由平分，得到，过点作射线，根据射线在内部或外部，分两种情况讨论，即可得出结果． 【详解】解：，平分， ， 的位置分两种情况： ①在内部：   ； ②在外部：   ， 综上，答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知，在同一平面内，，射线在的外部，平分，若与的度数之比为，则度数为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的有关计算，先根据角度比例求出的度数，再结合射线在外部的两种位置情况，利用角的和差关系与角平分线的定义计算的度数． 【详解】解：，， ， 根据射线OC在外部，分两种情况： 当在的外侧时，如图1， ，， ， 又平分， ， 当在的外侧时，如图2， ，， ， 又平分， ． 故答案为：或． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示， 此时，， ∵平分， ∴； ②如图所示， 此时，， ∵平分， ∴； 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）如图①，点O在直线上，，将绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当旋转到第t秒时，所在的直线平分，则t的值为______． 【答案】20或50 【分析】本题考查了角平分线的意义，一元一次方程的应用，互补等知识；分两种情况：射线平分；射线的反向延长线平分． 【详解】解：当射线平分时，如图； 则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 即， 解得：； 当射线的反向延长线平分时，如图， 则， ∴， 由题意得：， 解得：； 综上，t的值为20或50． 题型07 多边形的相关计算 【典例7】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 【变式1】（2022·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【变式2】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有______条． 【答案】/九 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线． 【变式3】（25-26七年级下·山东泰安·期中）过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 【答案】11 【分析】根据过边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，代入边数计算即可． 【详解】解：由八边形的边数为， 可得 ， ， 计算得，， 则． 题型08 线段与角的规律探究问题 【典例8】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)从（1）（2）的结果，你能看出什么规律吗？ 【答案】(1) (2) (3) 若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分， 则． 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系以及角平分线的性质得到是解决本题的关键． （1）通过角的和差关系角平分线的性质，得到与已知角、的关系，代入求值； （2）通过角的和差关系角平分线的性质，得到与已知角、的关系，进而即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结论，得出规律． 【详解】（1）因为平分，平分， 所以． 因为， 所以． （2）由（1）得． 因为， 所以． （3）略 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·期末）综合与实践 问题情景：数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为_____； 规律探究 （2）若，求的度数； 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． 若，则的度数为_____； 若，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）； 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角的和差进行求解即可； （2）利用角的和差进行求解即可； （3）①利用角的和差及角平分线的性质求出相关角的度数即可； ②利用角的和差及角平分线的性质表示出相关角的度数即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴． ∵， ∴； （3）①∵， ∴， ． ∵平分平分， ∴． ∴． 故答案为：； ②∵， ∴ ∵平分平分， ∴． ∴． 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在数学活动课上，同学们用折纸探究角平分线．小明发现，当角内部有两条射线分别平分相邻的两个小角时，它们所成夹角的大小也有规律． 进一步地，小华提出：如果这两条射线不是平分，而是按固定比例分割相邻的两个小角，是否也有类似的规律?针对提出的疑问，他们小组合作抽象出了以下数学问题： (1)【基础探究】 如图1，已知内部有三条射线、、，其中平分，平分．若，，则的度数为_____． (2)【发现规律】 如图2，设，（），其中平分，平分．猜想的度数是否随的改变而改变?请证明你的猜想． (3)【拓展推广】 在（2）的假设条件下，若，．上述猜想是否还成立？若成立，求出；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：猜想的度数不随的改变而改变，理由如下： 平分且， ， ，， ， 平分， ， ， 的度数不随的改变而改变； (3)上述猜想依然成立． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的运算等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，求出，，计算即可求解； （3）根据角之间的关系，易得，，计算化简可得． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：上述猜想依然成立，理由如下： ，， ，， ， ． 【变式3】（25-26七年级上·重庆开州·期末）一个问题的解决往往经历发现规律——探索归纳——问题解决的过程． (1)【发现规律】如图1，已知，为的角平分线，则的度数为________．（直接写出结果） (2)【探索归纳】如图1，，为的角平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由． (3)【问题解决】如图2，若，射线，同时绕点O旋转，以每秒顺时针旋转，以每秒逆时针旋转，当与重合时，，同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线是，，这三条射线中某两条所成角的角平分线． 【答案】(1) (2) 解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴； (3)t为1或或时，射线是，，这三条射线中某两条所成角的角平分线 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由，求出，根据为的角平分线，即可得到答案； （2）求出，由为的角平分线即可求解； （3）设运动时间为t秒，分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴； 故答案为； （2）略 （3）解：设运动时间为t秒，由题意得：当与重合时，则， ①当是射线，夹角的角平分线时，如图所示： ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 解得； ②当是射线，夹角的角平分线时，如图所示： ∴， 解得：； ③当是射线，夹角的角平分线时，如图所示： ， 解得：； 综上所述：t为1或或时，射线是，，这三条射线中某两条所成角的角平分线． 题型09 线段动点与动角的探究问题 【典例9】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）（1）已知：如图1，是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．当点在斜边上移动时，　　； （2）把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上： ①点和点在直线的上方（如图），此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时（如图），与的数量关系是　　； ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时（如图），与的数量关系是　　． 【答案】（1）；（2）①；②；③ 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论； ②根据角的和差关系进行求解即可； ③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）如图1，的大小不会发生变化，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ； （2）①当点和点在直线的上方时（如图，； ②当点在直线的下方，点仍然在直线的上方时（如图， ，， ； ③当点和点都在直线的下方时（如图， ，， ． 故答案为：45；，，． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，平面内一定点在直线的上方，点为直线上一动点，作射线、、，当点在直线上运动时，始终保持、，将射线绕点顺时针旋转得到射线 (1)如图，当点O运动到使点在射线的左侧，若平分，求的度数． (2)当点运动到使点在射线的左侧，时，求的值． (3)若射线在直线的上方，则当点运动到某一时刻时，，此时______°． 【答案】(1) (2)6或 (3)105或135 【分析】本题主要考查了角的运算 （1）设，表示，，由列方程为：，可得的值，从而求出结论； （2）分两种情况讨论，①当点运动到使点在射线的左侧，②当点运动到使在射线的左侧，但是射线在外部时，分别求的值即可； （3）①如图3，当时，可得：，因为，所以，； ②如图4，当时，可得：，因为，所以，； 【详解】（1）解：平分， 设， ， ， ， ， ， ； （2）①当点运动到使点在射线的左侧， ， 设，． ， ， ． ． ， ． ． ． ． ． ②当点运动到使在射线的左侧，但是射线在外部时． ， 设，， ． ． ． ． ． （3）①如图3，当时， 由图可得：． ， ． ． ②如图4，当时， 由图可得：． ， ． ． 综上所述：的度数为或 ． 故答案为：105或135． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元复习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，在直线上有两点，，且满足． (1)_____，_____； (2)如图1，在直线上，动点从点出发以每秒的速度向右运动；同时动点从点出发以每秒的速度向左运动，当点到达点时整个运动停止．设运动时间为秒，当时，求的值； (3)如图2，线段绕点以每秒的速度逆时针旋转；同时线段沿射线方向以每秒的速度运动，当端点到达点时，线段绕点立刻以每秒的速度顺时针旋转，当线段旋转时整个运动停止．则线段从起始位置开始旋转，多少秒后线段和线段在同一直线上(包含重合)？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)秒，秒，秒 【分析】本题考查线段比例计算、线段和差计算、角度和差计算以及一元一次方程解决动点几何问题，关键考查分类讨论思想和方程思想． （1）根据已知线段长度和比例关系，先求出每份对应长度，再计算目标线段长度； （2）先确定的目标长度，用时间表示动点位置，分“在左侧”和“在右侧”两种情况列方程求解，注意运动时间的取值范围； （3）分“未旋转”和“绕点旋转”两个阶段讨论，根据共线时旋转角度的关系列方程，结合总时间限制确定符合条件的解． 【详解】（1）解：，且， ，， ； 故答案为：，； （2）解：由题意得， ∵动点从点出发以每秒的速度向右运动；动点从点出发以每秒的速度向左运动， ∴，； 点到达的时间为秒，故． 分两种情况： ①当在左侧时，， 令，解得，符合； ②当在右侧时，， 令，解得，符合； 综上，的值为或； （3）解：，的运动速度为， 时间秒； 线段旋转的总时间为秒，故总运动时间为． ①当时，沿运动，方向始终与同向，逆时针旋转， 不存在线段和线段在同一直线上的情况； ②当时，绕顺时针旋转，旋转角度为，逆时针旋转角度为， 要使与在同一直线上，则两条线段的旋转角度之和为的整数倍， 即：(为正整数)， 化简得，， 当时，秒，符合条件； 当时，秒，符合条件； 当时，秒，符合条件； 当时，秒，，超出总时间，舍去； 综上，线段旋转秒、秒或秒后，线段和在同一直线上． 题型10 利用对顶角相等求角 【典例10】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线，交于点，，，则的度数是_________度． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，由垂直得到，再根据对顶角相等及互余关系求出的度数即可． 【详解】解：， ． ， ． 【变式1】（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，直线与直线相交于点，若，则__________，__________． 【答案】 【分析】利用邻补角互补求，根据对顶角相等得到． 【详解】解：据图可知，，． 【变式2】（25-26七年级下·吉林松原·期末）如图，直线，相交于点，，若，则的大小为__________． 【答案】 【分析】根据对顶角相等和平角的性质求解即可． 【详解】解：∵直线，相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，根据对顶角相等可得，根据垂直的定义可得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型11 求一个角的余角、补角 【典例11】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）如图，射线、把平角三等分，平分，平分．则的补角有______个，的余角有______个． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线定义等知识，熟练掌握余角的定义和角平分线定义是解题的关键．根据已知条件求出有关角的度数，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：∵射线、把平角三等分， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ， ， ∵，，， ∴有个补角，即、、． ∵，，， ∴有个余角，即、、． 故答案为：，． 【变式1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知一个角是，则它的余角为___________，补角为___________． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的余角和补角，根据和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：，； 故答案为：，． 【变式2】（25-26七年级下·西藏拉萨·期末）已知，则的余角是_____度，∠α的补角是_____． 【答案】 【分析】 本题主要考查了余角和补角，正确把握定义是解题关键．直接利用互余和互补两角的关系进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角 ，的补角， 故答案为：，． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知． （1）的余角______； （2）的补角______． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，根据互为余角的两角的和等于，互为补角的两角的和等于即可求解，正确理解余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的余角， 的补角， 故答案为：，． 题型12 利用对顶角、余角、补角、垂线求角的度数 【典例12】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线，相交于点，是的角平分线，． (1)请写出图中两对互余的角和两对相等的角；（直角除外） (2)如果，试求，的度数． 【答案】(1)互余的角有和，和，和，和，和，和，和，和；相等的角有和，和，和，和（各写两组即可） (2)； 【分析】（1）根据互余的两个角和为，再结合图形解答即可； （2）由（1）知，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ， ∵ ， ∴ ， ∵，是的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上，互余的角有和，和，和，和，和，和，和，和； 相等的角有和，和，和，和（直角除外）； （2）解：由（1）知，， ∵， ，， 平分， ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线与相交于点O，． (1)若，说明与的位置关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直定义，得到即可求解； （2）根据，得出，再结合，得出，求出，再利用对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， 即， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，直线，相交于点O，，分别在，的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：_______． (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，利用垂线的定义得到，最后利用余角的性质求解即可； （2）利用角之间的和差关系求出的度数，进而得到、的度数，利用平角的性质求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 的余角为：、、； （2）解：， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，已知直线与直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】（）先根据余角的定义求得的度数，再根据对顶角的性质可求的度数； （）设，，然后求出的度数，利用对顶角的性质、角度和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型13 点到直线的距离与垂线段最短 【典例13】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点O在直线上，点E，F是直线外的点，连接，，，且，过点E作于点M，则点E到的距离是线段_________的长度． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴点E到的距离是线段的长度． 【变式1】（25-26七年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，的面积为42，D为线段边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为_________． 【答案】36 【分析】根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 【详解】解：过点作于点， ， ，即， ， ∵为边上一动点，， ∴的最小值为的长6， ∴正方形的面积的最小值为． 【变式2】（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）三角形在网格中的位置如图所示． (1)用三角尺过点A画出的垂线，垂足为D；过点C画出的垂线，垂足为E； (2)在（1）的条件下． ①点C到的距离是线段________的长；线段的长是点________到直线________的距离； ②比较大小： ________（填“”“”或“”）；依据是：________． 【答案】(1) 由题意，作图如下： (2)①；②，垂线段最短 【分析】（1）根据要求，作图即可； （2）①根据点到直线的距离的定义进行作答即可；②根据垂线段最短，作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：①点C到的距离是线段的长；线段的长是点到直线的距离； ②，依据：垂线段最短． 题型14 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例14】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，和是（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．相等的角 【答案】C 【详解】解：由题意得，和是同旁内角． 【变式1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（     ） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【详解】 解：图①中，和在截线的同旁，被截直线的同侧，是同位角； 图②中，和在截线的同旁，被截直线的同侧，是同位角； 图③中，没有公共边，不是同位角； 图④中，和在截线的同旁，被截直线的同侧，是同位角， 故是同位角的是①②④． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期末）两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角，这就是“三线八角”．如图所示，以下选项中在位置上互为同位角的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：由图可知：互为同位角的是和，和，和，和． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下图并填空： （1）与_______是同位角； （2）与_______是同旁内角； （3）与_______是内错角． 【答案】 【分析】由同位角、同旁内角、内错角定义填空即可． 【详解】略． 题型15 添加一条件使两条直线平行 【典例15】（25-26七年级下·北京·期末）如图，直线a，b被c，d所截，要使直线，需要添加的一个条件为______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：可以添加条件：或或（答案不唯一） ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，点C，E在直线上，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件，使．该条件是：__________．（填一个即可） 【答案】（或，或，或） 【详解】解：添加时，根据“同位角相等，两直线平行”可得． 添加时，根据“同位角相等，两直线平行”得． 添加时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 添加时，得到，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，在三角形中，点在的延长线上，过点作射线，请你添加一个条件：___________，使得．（添加一个即可） 【答案】或或 【详解】解：根据平行线的判定方法， 当时，； 当时，； 当时，； 故添加条件可以是：或或 【变式3】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，已知，若判定，请补充一个条件______． 【答案】或或或（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：当时， ∴（同位角相等，两直线平行）， 当时， ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 当时， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 当时， ∵， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 综上可知，补充一个条件可以是或或或（答案不唯一） 题型16 平行线的判定和性质多结论题 【典例16】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆梁平·期末）如图，平分，，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 利用，平分，平分，可以判断出①③正确；再根据，可判断出②错误；根据，，利用等量代换可得到④正确． 【详解】∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，故①正确；， ∴，故③正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴，故④正确． ∴①③④正确． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，CE平分，ED平分，，下列结论：①EC平分；②；③；④，其中正确结论是______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义．根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，平分，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，故④正确； 综上，①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 【答案】①③④ 【分析】由平行线的性质和判定结合角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：，， ， ， ，故①正确，符合题意； 平分， ，， ，故②错误，不符合题意； ∵， ，， ，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 综上所述，结论正确的是①③④． 题型17 平行线的性质在生活中的应用 【典例17】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）小颖从酒店骑车前往位于酒店南偏东方向的大唐芙蓉园游玩．到大唐芙蓉园后，此时定位显示酒店位于大唐芙蓉园的___________方向． 【答案】 北偏西 【详解】解：如图，酒店位于大唐芙蓉园的北偏西. 【变式1】（2025·湖北孝感·二模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·湖北荆州·阶段检测）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ； (2)， 证明如下：如图，过点F作交CD于点G， ∵由（1）知， ， ∴，， ∵， ∴； (3)①，② 【分析】（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交CD于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解； ②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图，作，则， ∴，， ∴； ②如图，过点E作， ∴， ∴， ，， ， ∴， 即与所成锐角的度数为． 题型18 平行线的判定和性质综合问题 【典例18】（25-26七年级下·甘肃陇南·期中）综合与实践 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系：_____，理由是_____； (2)直接写出与的数量关系：_____； (3)如图2，当点在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当时，画出图形，并求出的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) (3)见解析， 【详解】（1）解：，同角的余角相等， ∵， ∴（同角的余角相等）； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）如下图3 当时，作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广东清远·阶段检测）如图，已知，点E在上． (1)尺规作图：以E为顶点，为一边作交于F．（保留作图痕迹，不必写作法） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1) 所作图形如下所示： (2) 【分析】（1）根据作已知角的尺规作图进行作图即可； （2）由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义． （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ； (2) 【分析】（1）由平行线的内错角相等得 ，进而得到即可证得与平行； （2）先求得的度数，再由垂直的定义得到，进而根据平行线的性质得到 ，根据角度的和差计算即可． 【详解】（1）略； （2）∵ ，， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 题型19 根据平行线的判定与性质探究角的关系 【典例19】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）综合与实践： （1）如图1．，若点P在，之间，，，求的度数． （2）如图2．，若点P在的下方，则，，之间有何数量关系？请说明理由． （3）如图3．在（2）的条件下，，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1）； （2），理由： 过点P作，如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，需熟练掌握平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造平行线，使用平行线的性质解决角度问题． （1）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”可得与，再由等量代换即可求解； （3）作辅助线构造平行线，根据“两直线平行，内错角相等”，再结合角平分线的性质，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】解：（1）过点P作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）过点E作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线和的平分线交于点E， ∴，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，且和，，，．      (1)在图1中，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现与存在怎样的数量关系，请说明理由； (3)创意小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下， 如图，过点B作， 则 ∵ ∴ ∴     ∵ ∴ ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质，同位角的定义进行计算即可； （2）过点B作，得到，求出，根据，得到，即可求出结果． （3）根据对顶角相等，三角形内角和定理即可得出结论． 本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，邻补角的定义，三角形内角和定理是正确解答的关键． 【详解】（1）解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴     ∵ ∴ （2）略 （3）解：如图3， ∵，而 ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图1，，过点F作． (1)可得：与，之间的数量关系是 ． (2) ． (3)利用上面的发现，解决下列问题： 如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． 【答案】(1) (2)360 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，准确识图、灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）由已知得，根据平行线的性质得，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）先由得，再根据角的和差即可解答； （3）设，则，由（1）的结论得，进而得，据此可得∠EMG的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即：． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：360． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设， ∴， 由（1）的结论得：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 如图，直线与直线，相交于点，，，点是线段上的一个动点（不与，重合），点是射线上的一点．连接，的平分线与的平分线交于点． 【问题初探】 （1）与平行吗？请说明理由； （2）如图1，若，，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图2，记，，移动点，当时，求和的数量关系． 【答案】 （1）平行，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2） （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）平角的定义结合，推出，即可得出结论； （2）先求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数； （3）根据平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型20 根据平行线的判定与性质接解决光线问题 【典例20】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）（1）如图①，展示了光线反射定律：垂直于镜面于点E，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与法线所夹锐角分别为、，且．证明：． （2）如图②，、表示两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的反射光线为，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 证明∶（1）． ． ， ． ． 解：（2） 理由如下： ，，， ，． ， ． ． （内错角相等，两直线平行）． 【分析】此题考查了角的关系和平行线的判定以及性质，熟练掌握平行线的判定方法以及基本性质是解题的关键． （1）根据等角的余角相等； （2）根据题意，得到，再根据“内错角相等，两直线平行”即可求解． 【详解】略 【变式1】（24-25七年级下·河南商丘·期中）图1展示了光的反射定律，是镜面的垂线，一束光线m射到平面镜上，经反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与垂线所夹的锐角． (1)如图1，求证； (2)图2是潜望镜工作原理示意图，当进入潜望镜的光线m与离开潜望镜的光线n平行时，平面镜与应如何摆放？ 【答案】(1) 证明：由题意得， 所以， 因为， 所以，， 所以． (2)平面镜与应平行摆放 【分析】本题考查平行线的性质及判定，涉及知识点：等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．解题关键是结合图形灵活应用涉及的性质及判定． （1）由光线的垂直关系，得到角的度数，根据等量减等量结果仍相等，得出结论； （2）根据平行线的性质，得到，再根据（1）得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：平面镜与应平行摆放， 因为， 所以， 所以， 所以， 由（1）可知， 所以， 所以， 所以． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作． (1)请判断与的位置关系，并证明． (2)求的度数． 【答案】(1) 平行，证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由，即可得到； （2）如图，过点A作，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）略 题型21 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 【典例21】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，，． （1）在上述所拼图形中，的度数为 °． 【问题探究】 （2）在上述所拼图形基础上，让三角板固定不动，将三角板绕着点O以每秒的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线的上方．设三角板的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出t的值． 【答案】【操作拼图】；【问题探究】或；【拓展延伸】，， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确判断角的数量关系是本题解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）根据，的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）∵与直线重合， ∴， ∵， ∴ 故答案为：75； （2）三角板以每秒的速度顺时针旋转t秒后， ，， ， ； ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，t的值为9或17； （3）∵三角板顺时针旋转，三角板逆时针旋转， ∴，， 当时， ∵，， 又， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得， 综上，t的值为5，10或20． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）如图1所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)在图1中________°，________°； (2)如图2所示，现把三角板绕点逆时针旋转，当点恰好落在边上时，若比大，求的值； (3)如图1所示放置的三角板，现将射线绕点以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．当时，直接写出旋转时间的值． 【答案】(1)120，90 (2)n的值是8； (3)12或48 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据比大列方程，计算可求解； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：∵比大， ∴， 解得， ∴n的值是8； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 【变式2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在直角边上，斜边与斜边相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，直角边与斜边相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)直线，三角板和三角板按照图④所示放置，直角顶点与点重合，并且在直线上，直角顶点在直线上，，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒．在旋转过程中，当边与三角板的一条边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 过点作，如图3所示， ， ， ，， ，且， ； (3)所有满足条件的的值为或或或或或． 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）过点作，则，进而得，，由此可得的度数； （2）过点作，则，进而得，，再根据可得出答案； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式计算即可得出所有满足条件的的值． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， 依题意得：，，，， ， ， 又， ，， ； （2）略 （3）解：设边旋转的角度为，则边旋转的角度为，下面分类讨论： 如图⑤，，则， 所以，解得； 如图⑥，，则， 所以，解得； 如图⑦，，则， 所以，解得； 如图⑧，，则， 因为，所以， 解得； 如图⑨，，则， 因为，所以， 解得； 如图⑩，，则， 所以，解得， 综上，所有满足条件的的值为或或或或或． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东茂名·期中）如图，从村庄P到公路l共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路路程更近的理由是（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【分析】识别为垂线段，利用垂线段性质判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴是点到直线的垂线段， ∵直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴居民选择路线到公路路程更近的理由是垂线段最短． 2．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图是钟表示意图，下午从2时整到4点整，时针转过的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了钟面角，由于时针从下午2时整到4点整，共转了2大格，而每大格为，即可解答． 【详解】解：时针从下午2时整到4点整，共转了2大格， 所以钟表上的时针转过的角度． 故选：C． （25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（   ） （1）线段和线段表示的是同一条线段； （2）射线和射线表示的是同一条射线； （3）直线和直线表示的是两条直线； （4）如图，点M在直线上，则点M在射线上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线、线段及射线的定义及特点可判断各项，从而可得出答案． 【详解】解：（1）线段和线段表示的是同一条线段，原说法正确； （2）射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误； （3）直线和直线表示的是同一条直线，原说法错误； （4）点M在直线上，则点M不在射线上，原说法错误； ∴说法正确的只有（1）， 故选：A． 4．（22-23七年级下·吉林长春·开学考试）如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、若，则（同位角相等，两直线平行），故 A 选项不符合要求； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故 B 选项不符合要求； C、 与 是对顶角， 恒成立，与 是否平行无关，不能判定 ，故 C 选项符合要求； D、若 ，则（同旁内角互补，两直线平行），故 D 选项不符合要求． 二、填空题 5．（2026·湖南长沙·二模）已知，则它的余角为________ 【答案】 【分析】本题考查互为余角的定义，度数和为的两个角互为余角，根据定义结合角度的运算法则计算即可． 【详解】解： 的余角为． 6.（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，线段，点C为线段上一点，，点D，E分别为和的中点，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】利用线段中点的含义及线段的和差运算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D，E分别为和的中点， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·天津·阶段检测）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，若时，则度数是______． 【答案】或 【分析】先利用对顶角相等和已知条件求得，再分在的上方和下方两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当在的上方时，； 当在的下方时，， 综上，度数是或． 8．（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是_____． 【答案】/150度 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再根据对顶角相等和角的和差关系求出的度数，最后根据平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ，， ， ∵与是对顶角， ， ， ∵， ， ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，不在同一条直线上的四个点A，B，C，D．请按下列要求作图.（保留作图痕迹，不要求写作法） (1)画线段，，画射线，画直线； (2)在线段的延长线上取点E，使． 【答案】(1) 解：如图所示，线段，，射线，直线即为所求； (2) 解：如图所示，点E即为所求； 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，解题的关键是熟练掌握线段、射线和直线的定义和画法． （1）根据线段、射线、直线的定义进行画图即可； （2）延长线段，以点D为圆心，为半径画弧，交的延长线于点E，则点E即为所求； 【详解】（1）略 （2）略 10．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 11．（2026·广西河池·二模）如图，直线相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：设，则． 平分， ， 又， ， 解得， ． ， ， ． 12．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先由垂直证明，结合角度的关系可得，由此可证； （2）设，由此可表示与，再由平行关系可得，由此可解x的值，进而可求解． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1.（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，直线，相交于点，平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可得，由对顶角相等和角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，再由邻补角互补可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图所示，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是（  ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：：①与是对顶角，原说法正确； ②与是同旁内角，原说法正确； ③与是邻补角，原说法错误； ④与是内错角，原说法正确， 故正确的是①②④． 4.（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 4.（24-25六年级下·山东烟台·期中）过一个多边形的一个顶点共画出7条对角线，则这7条对角线将多边形分成三角形的个数为，这个多边形的边数为，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题利用多边形对角线的基本规律求解，先根据一个顶点引出的对角线数量求出多边形边数，再计算对角线分成三角形的个数． 【详解】解：对于边形，从任意一个顶点出发，不能向自身和相邻两个顶点引对角线，因此可引出对角线的数量为条． ∵ 本题中从一个顶点共画出条对角线， ∴ ，解得， 又∵ 从边形一个顶点引出对角线，所得三角形个数为， ∴ ，即，． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知的余角是，的补角是，则_____（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义及度分秒的计算，解题的关键是根据余角和补角的定义分别求出和的度数，再进行大小比较． 【详解】解： ∵；． ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是_____． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 【详解】解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这个多边形是________边形． （2）从n边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于_______． 【答案】 十三 11 【分析】（1）依据n边形从一个顶点出发可引条对角线的性质列方程求解， （2）依据n边形从一个顶点出发作对角线可分成个三角形的性质列方程求解 【详解】（1）设这个多边形是边形， 根据边形从一个顶点出发最多可引条对角线，可得， 得， 即这个多边形是十三边形． （2）根据边形从一个顶点出发作对角线，可将多边形分成个三角形， 可得， 得， 即等于11． 9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，公路沿湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯，这时的公路恰好与第一次拐弯前的公路平行，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】作，则，根据平行线的性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：如图，作， 由题意可得， ∴， ∴，， ∴． 10.（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为_______． 【答案】60 【分析】根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分​， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，直线相交于点O，将一个直角三角板的直角顶点放置在点O处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 【分析】（1）根据对顶角的性质可得，再由角平分线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）略 12．（25-26七年级上·天津河西·阶段检测）【探索新知】 如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）一条线段的中点____________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． （2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒的速度向点运动，并与点同时停止．请直接写出点是线段的“二倍点”时的值． 【答案】（1）是；（2）或5或；（3）或8或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键． （1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断即可； （2）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可得结果； （3）用含t的代数式分别表示出线段，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长， 所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得： ； 答：t为或8或时，点M是线段的“二倍点”． 13．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)若，则 ； (2)若，射线在内交直线于点，如图②所示，当、分别在点、的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）过点作直线，根据平行线的性质及角的计算即可解答； （2）延长交于点，根据平行线的性质及角的计算即可解答； （3）分情况讨论，①当分别在点的右侧，②当点在点的左侧，点在点的右侧时，③当分别在点的左侧，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）解：过点作直线，如图： ， ， ，， ， ， （2）解：延长交于点，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：①当分别在点的右侧，如图： ， ， ， ， ， ，， ∵射线平分， ； ②当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： ， ， ， ∴， ， ，， ∵射线平分， ， ， ； ③当点分别在点的左侧，如图： ， ， ， ∴， ， ，， ∵射线平分， ， ， ， 综上所述，或． 14．（24-25七年级下·广东阳江·期末）综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图1，一束光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置，若，求证：． (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线反射后的光线为，且．若一入射光线（C是入射光线与曲面镜的交点）反射后的光线为，且∠，直接写出的度数． 【答案】(1) 解：；理由如下： ， ， ， ， ； (2) 证明：， ， ， ， ∴； (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可； （3）分两种情况：当点在点下方时，当点在点上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点下方时， 此时； ②如图2，当点在点上方时， 此时． 综上所述，的度数为或． 15．（25-26七年级上·陕西西安·期末）小新同学将一副直角三角板（含和）按如图1所示方式摆放在直线上（，）． (1)在上述所拼图形中，________； (2)在上述所拼图形的基础上，让直角三角板固定不动，将直角三角板绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转．旋转时间为秒，请你求出在旋转过程中，当时的值． (3)如图，在如图所拼图形的基础上，当直角三角板绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转的同时，直角三角板也绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使、、三条边中一边是另外两边所成角的平分线？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)旋转时间的值为秒或秒时， (3)存在符合条件的值，的值为秒或秒或秒 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、角的和、差、倍、分的计算、角平分线的定义等知识，正确地用代数式表示射线及射线转过的度数是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出的度数； （2）分别得出，，分在上方和在下方两种情况，根据，列方程求出值即可； （3）分别得出，，分是的角平分线、是的角平分线和是的角平分线三种情况，列方程求出值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为： （2）解：如图所示： ∵直角三角板绕着点以每秒的速度顺时针方向旋转， ∴，， 当在上方时，，， ∵， ∴， 解得：； 当在下方，在上方时，，， ∴， 解得：． 综上所述：旋转时间的值为秒或秒时，． （3）解：∵直角三角板绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，三角板绕点以每秒的速度顺时针方向旋转， ∴，， ∴， 如图，当是的角平分线时，则， ∴， 解得：； 如图，当是的角平分线时，， ∴， 解得：； 如图，当是的角平分线时，， ∴， 解得：． 综上所述：存在符合条件的值，的值为秒或秒或秒． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $