圆锥曲线离心率及其范围综合训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
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内容正文：
圆锥曲线离心率及其范围综合训练
求离心率范围的常用方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
补充：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点，
【结论1】若，则
【结论2】若，则
【例1】过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为_______
【解析】满足【结论1】，且，故，则
【例2】已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】满足【结论2】，且，.
【练习1】已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【练习2】已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【练习3】已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______．
【答案】
题型一：利用圆锥曲线的定义求离心率
例1.（1）（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设椭圆的半焦距为，则，，由轴且是等腰直角三角形得，，故，即，因此的离心率．故选： B
（2）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径，因为为椭圆的右焦点，所以的坐标为，即，因为为圆的直径，所以圆心是线段的中点，根据向量的中点公式，可得，因为，所以，即，因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知，又已知，所以，解得,所以椭圆的离心率.故选：A
（3）（26-27·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可作图如下：
则①，②，在中，，
可得，则，由，则，
在中，，由余弦定理可得
，即，由，则，解得.故选：D
（4）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，设在右支上，
设双曲线的左焦点为，则，且，所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，因为，，所以，
因为，所以，所以.故选：A
例2.（1）（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为的平分线与轴交于点，所以，
因为，A在双曲线右支上，设，
因为，所以 ，又因为，所以，所以.故选：D
（2）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为：
（3）（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（）
A． B． C． D．
【详解】设，由得，因此.
根据椭圆的定义，，
，由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理，得，展开并化简：
因，两边除以得，由此可得，，
又因为共线，且，所以，即为直角三角形，由勾股定理，得，得，所以，因此离心率.
故选：B
（4）（25-26高二下·重庆·期中）如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【详解】设旁切圆与相切于B，由题意可知，，设，则，，又，且，，所以，即，又，即，所以.故选：A
（5）（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设为椭圆：（）的右焦点，周长，
由椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故，由，，故，当且仅当、、三点共线时取等号，故有，，即，则，故.
题型二：利用勾股定理求离心率
例3.（1）（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如下图所示：
由题意可知，为、的中点，所以四边形为平行四边形，则，所以，则，因为，由勾股定理可得，故该椭圆的离心率为.
（2）（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，连接，设，则，，，在中，，即，所以，所以，在中，，即，所以.
（3）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则，，由双曲线定义可知，，，因为，所以是直角三角形，即，所以是直角三角形，所以，即，化简可得，所以，在中有，即，化简可得，所以的离心率为.
（4）（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，点在轴上，若，且，则双曲线的离心率为________．
【详解】由题意得，由双曲线定义可得，故，过点作⊥，垂足为，因为，所以，故，又，故为的中点，由三线合一可知，故，故为等边三角形，则，又，故，所以，即，由勾股定理得，即，故，故.
例4.（1）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________．
【详解】因为，所以，又
，当且仅当时取等号所以，由椭圆定义知，又，所以，又，所以离心率的取值范围为．
（2）（25-26高二上·浙江杭州·期中）若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________．
【详解】
设双曲线左焦点，右焦点，满足，离心率，
由，设，则总长度，的中点满足，，因此是的中点原点是中点，因此是的中位线，得： ，且，由双曲线定义：在双曲线右支，故，代入得，因此，是圆的弦中点，故，由勾股定理： ，其中（半径），，代入得： 展开化简得，，故，由，，得，即是直角三角形，由勾股定理： ，代入，，，得 化简得，即，因此离心率.
（3）（26-27·河北廊坊·开学考试）双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
因为为直角三角形，所以，又，所以，因为为以为斜边的直角三角形，所以的面积为，又，，所以，当且仅当时取等号，即面积的最大值为，
又面积的最大值为，所以，即，代入，得即，故离心率为.
（4）（25-26高二上·河南安阳·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为_____
【详解】设双曲线的左焦点为，，则，
，，则四边形为平行四边形.由，得，因此，即，如图所示：
因为点、均在双曲线的右支上，则，得，由可得.在中，，由勾股定理：即，化简得，因为，解得.在中，，，代入可得，整理得，故.故答案为：
题型三：构造齐次式求离心率
例5.（1）（26-27·广西贺州·阶段检测）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即，
整理得，即，解得或（舍），所以．
（2）（26-27·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，，所以，因为，所以，
由双曲线定义可知，，故，，由题意得，
在中，由余弦定理得，即，整理可得，两边同除以得，
解得或（舍去）.
（3）（26-27·广东·阶段检测）记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵，∴，又∵在轴上，关于轴对称，
∴，为等腰直角三角形，设的半焦距为，则，设，由，得，即，设的离心率为，则，
，由得 .
（4）（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知分别为椭圆的左、右焦点，若从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第三象限交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设从点射出的一条光线与直线的交点为，反射后经过点，
则点，可知轴，，可得，又因为，解得，，
在中，由余弦定理可得，即，整理可得， 解得或（舍去），所以椭圆的离心率为.
（5）（26-27·山东江苏·阶段检测）设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，由得（1）又在双曲线上：（2）
由平分，由角平分线定理得（3），
由 (1)(2) 消去得（4），又
将 代入 (3) 的平方：即，整理得（5），由(4)(5)得即因为，所以，代入得化简得，即解得，因为，所以
题型四：利用正余弦定理求离心率
例6.（1）（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
【详解】如图，
设右焦点为，连接，由题意可知：，，
在三角形中，，在三角形中，，即，
整理可得，可得，所以.
（2）（26-27高二上·天津河西·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图所示，设，则由，得，
由椭圆的定义，得，，所以，在中，由余弦定理可得，由于，代入得，化简得，所以，在中，由余弦定理可得，由于，代入得，化简得，所以椭圆的离心率，故B正确.
（3）（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由正弦定理得：，结合，所以，
又由，所以，由余弦定理得：，所以，所以，
所以.
（4）（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________．
【详解】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率；
过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此，
设焦距，由得 ；根据椭圆定义 ，得 。在中由余弦定理知：，即，整理得 ，解得或，均满足题意，当时，；当时，.
（5）（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________
【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，，
则，.，
，
当且仅当，即时取等号，又的最大值为，，即，整理得，故椭圆的离心率是.
例7.（1）（25-26·河北秦皇岛·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上且位于第二象限内， 的面积为，过原点且平行于的直线与和的角平分线分别交于点，且 ，则双曲线的离心率为_____.
【详解】设，如图，
因为，为的中点，所以为的中点，且,又为的角平分线，所以，所以，所以为等腰三角形，所以，即，所以.由双曲线的定义可知，所以，所以的面积为，所以.在中，由余弦定理得，将代入上式整理得，解得.所以，解得，所以，且，所以，所以，解得，所以双曲线的离心率为.故答案为：5.
（2）（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（）
A． B． C． D．
【详解】因为点在双曲线的左支上，故，设，由得，，代入得，即，因此，，，又点A在双曲线C的左支上，则，解得，，
在中，由余弦定理，，
在中，，由两式相等得，化简得：，即，整理得，即，因此离心率.
（3）（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则.设，则，所以根据椭圆光学性质，点处切线与、的夹角均为，即.过点作，过点作，过点作，则，
点、到切线的距离分别为，.
因为为的中点，，由梯形中位线性质得，原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故.在中，由余弦定理得： ，结合椭圆定义，将右边变形为：
，
代入，，得，整理得，即.椭圆离心率.
（4）（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，得.因在线段上，，所以.
由，得.根据椭圆定义，，故，因此；则.因共线，，故.在等腰中由余弦定理得：
.在中由余弦定理： .即.整理得，即，解得或.又，所以.
（5）（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，连接，由双曲线定义，，因，则，由对称性可知，，设，在等腰三角形中，，即（*）在中，由余弦定理，，即，将（*）代入，可得，整理得，则有，故.
例8.（1）（26-27·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设．在中，由三角形内角和得．
由正弦定理得，即．由椭圆定义得，即，所以．其中，
，椭圆离心率，得．
（2）（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，，渐近线的斜率的绝对值为，所以，因为又，所以，故解得，，则．在中，由正弦定理，得，解得，故，由余弦定理，得，整理得，所以的离心率．
（3）（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以，则，由于所以，根据椭圆的定义可得，在中，，在中，，因为，所以，即，化简得：，即，所以椭圆的离心率为
（4）（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图所示，设，则，，
由椭圆定义可知，，则，，，
且，则在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理可得，即，化简可得，
即离心率为.
（5）（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为
，所以．设，，焦距．的周长为．由椭圆的定义可知，代入得，所以．
三角形面积，所以．在中，由余弦定理得，即．又．代入得．整理得，即．由代入得．联立解得．故离心率．
题型五：内切圆问题
例9.（1）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示；
是内心，是的角平分线，.又，.在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，.，，.由椭圆的定义得，，，.在中，由余弦定理得,
，化简得.该椭圆的离心率为.
（2）（25-26高二下·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______．
【详解】如图，
不妨设点在第一象限，圆的半径为，由圆的切线性质及双曲线的定义可得：，又，所以，
所以，则可知，因为点，且共线，，所以，所以，解得，由角平分线定理知，，不妨设 则，所以，所以 ，又，所以，即，解得，所以.
（3）（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________．
【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距,由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件，得 ，得 ,由于，两边约去得，故双曲线的离心率.
（4）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示；
是内心，是的角平分线，.又，.在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，.，，.由椭圆的定义得，，，.在中，由余弦定理得,
，化简得.该椭圆的离心率为.
（5）（26-27高二上·四川·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，，则① ，
在中，由及余弦定理可得，即② ，
①② 得，所以，又，又，因为，所以，
解得，故椭圆的离心率为.
例10.（1）（25-26高二下·湖北·阶段检测）椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为是内心，所以是的角平分线，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
因为，所以，因为，，
所以，即，因为，所以，在中，由余弦定理可得，化简可得，所以.
（2）（26-27高二上·黑龙江吉林·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______．
【详解】第一空：设，则由椭圆定义可得 ， ①
由余弦定理得： ，②
①式平方减去②得：，即，所以的面积，
因为，则的面积；
第二空：设内切圆半径为，则的面积，所以，故，由正弦定理可得：，解得：，
由可得：整理得： 即，又，即，所以椭圆的离心率为.
（3）（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______.
【详解】由得，，又共线，故，
设，，则，所以，又，
且，所以，
即，又，所以，
又，联立，可得，又，化简得，，又，所以，，
即椭圆的离心率为.
（4）（25-26高二下·云南昆明·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过其右焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，设的内切圆半径为，外接圆半径为，若，则双曲线的离心率为________．
【详解】由已知的横坐标为，所以，得，则由双曲线的定义有，因为的内切圆半径为，所以由等面积得 ，所以 ，由于为直角三角形，斜边为，所以，又，所以，
化简得 ，所以 ，解得或．
题型六：利用渐近线求双曲线离心率
例11.（1）（26-27·云南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【详解】因为，渐近线方程为，故，所以，所以，
所以离心率.
（2）（26-27·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
【详解】双曲线的渐近线方程为，则，所以双曲线C的离心率．
（3）（26-27·四川成都·阶段检测）已知双曲线：的右支上有任意两点、，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示；
由题知当点，点的横坐标趋近于正无穷大时，，就无限贴近两条渐近线，又，，由对称性可得，，
由，，或（舍去），
，双曲线的离心率为.
（4）（2026·广东广州·模拟预测）已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，半径．焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，整理为一般式为．直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，由点到直线距离公式，圆心到渐近线的距离：
，由相切条件，得．因为，等式两边同时除以，得，两边平方：，整理得到，即．由双曲线关系式，把代入：，故，离心率．
（5）（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】双曲线的两条渐近线方程为.圆的圆心坐标为，半径.由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切.圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切.圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得，，，，.
例12.（1）（25-26高二下·安徽合肥·期末）我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可知：函数有两条渐近线，，
设渐近线的夹角为，，直线的倾斜角为，则，，可得，则，整理可得，解得或（舍去），即，所以所求双曲线的离心率为.
（2）（25-26·广西南宁·阶段检测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设点，渐近线方程为，即,则点到渐近线的距离为，又，，，
解得，则，．
（3）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线E：()的左、右焦点分别为、，点A在E的右支上，若，且直线与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为______.
【详解】如图所示：点在双曲线右支，由双曲线定义得：，设，则，.双曲线渐近线斜率为，直线与一条渐近线垂直，故，即在中，得.由，得.在中，由正弦定理得：，代入得：，解得，因此.在中，由余弦定理得：，代入得：，化简得：，即，故离心率.
（4）（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.
【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以.
由直线与的一条渐近线平行可得，所以，
又由双曲线定义可得，所以，得，所以.
由得，即，整理得，
所以，，离心率.
（5）（25-26·山东·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____．
【详解】由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为，设，则，所以，，因为，所以，，在中利用正弦定理得，所以，
，由双曲线定义知，，即，即，所以的离心率为.
题型七：利用中点弦及斜率求离心率
例13.（1）（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为直线的斜率之积为，所以，
由直线的斜率为4，可知，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以.
（2）（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设椭圆焦距为，离心率，已知的垂直平分线过点，则
，是椭圆上的点，由椭圆定义，故，直线斜率为，故倾斜角为，在中，，，
代入可得，解得，故，解得，故．
（3）（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为与关于轴对称，所以设，，.
则，，所以斜率之积.则，又因，则则得,因,则得,故.
（4）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，
设，则有，，两式相减得，则有，由，，，所以，得，即，所以，则椭圆的离心率.
例14.（1）（2026·陕西咸阳·三模）已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______．
【详解】
由题意得，直线的方程为，即，
由，得，设，，所以，
由，得是的中点，所以，即，所以，化简得，又，所以，化简得，所以．
（2）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为___________.
【详解】取中点，则．设，根据双曲线定义可得 ， ，所以， ．在中，根据，，
可得，，所以有 ，所以．则，
在中，有，即.
（3）（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________.
【详解】如图所示，
因为椭圆E的右焦点为，所以，
不妨设，，又且，则是的中点，所以，，又点，在椭圆E上面，所以，，
两式相减整理得，即，
所以直线的斜率可以表示为，又，在直线上，所以直线的斜率为，则，解得，即，，所以，椭圆E的离心率为.
（4）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________．
【详解】设，那么，
又，所以即，因为，所以点在中垂线上，故，又直线：经过椭圆的左焦点，所以，又点M在直线：上，所以，代入得 ，即，则.
题型八：坐标法求离心率
例15.（1）（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为，所以，
设，，则，因为，所以，即，又因为点，在上，所以，
所以，整理得，即，所以.
（2）（2026·广东肇庆·模拟预测）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得，则，直线的斜率为，所以直线的方程为.由得，所以，故，
代入直线的方程得，故，可得.
因为，所以，得，即，
又，所以，等号两边同时除以得，又因为，所以.
（3）（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
【详解】由题意可知：，则，，
因为，，则为的角平分线，
则，可得，
设，，，则，，因为，则，解得，即，则，解得，即，则，则，即，所以椭圆C的离心率.
（4）（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________．
【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知，由椭圆的对称性可知，，，因为，所以，所以，设，则，所以，则，即，解得，所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为，则，所以，即，由得，所以的离心率
（5）（26-27·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足，左右焦点为，离心率，
由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得，是直角三角形，直角在处，记，已知，则，，又，所以，则，因此.
例16.（1）（26-27·天津滨海新区·阶段检测）已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
【详解】设双曲线的左右焦点为，满足，第一象限渐近线方程为，
因为在轴上，则，又是正三角形，，而三点共线，
故，是的中点，在中，，由余弦定理，故，设，则，解得，即，故，则，故，．
（2）（2026·河南·三模）已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的渐近线上一点，且在第一象限，为的左支上一点，若四边形为菱形，则的离心率为______．
【详解】双曲线右焦点，满足，
离心率，为的渐近线上一点，且在第一象限，则渐近线方程为，菱形边长为，且，设点，由得，
化简得，解得或（舍去），故，，
，代入双曲线方程得，展开化简得，即，，
．
（3）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________.
【详解】解：由题意知双曲线渐近线方程为，因为直线与双曲线的渐近线相交于点，且点在第二象限，则点的横坐标为，代入渐近线，得，即，
因为，则，设，则，又，所以，解得，，所以，将代入得，化简得，因为，所以，则，解得，又，所以，即双曲线的离心率为.
（4）（2026·河北衡水·二模）已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点，为坐标原点，为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________.
【详解】因为，所以可化为，即，
所以，设，则，，则，解得，所以，代入双曲线方程得，即，
根据代入整理得，即，解得或（小于，舍去），所以.
（5）（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知F2为双曲线的右焦点，经过F2作与双曲线的一条渐近线垂直的直线l，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B．若，则双曲线的离心率为____.
【详解】易知右焦点，渐近线方程为或，
可设直线的方程为，
，则，，则，
因为，所以，即，化简得，所以，双曲线.故答案为：
题型九：共焦点的椭圆与双曲线
例17.（1）（26-27·湖南长沙·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，其中，，则过且垂直于直线的直线为，
由，解得，所以，又，且三点共线，点在双曲线右支上，则，所以，得到，，所以，又点在双曲线上，所以，整理得到，得到，，故，，，由双曲线定义得，所以，设椭圆的长轴长为，由椭圆和双曲线共焦点和椭圆定义得，所以椭圆半轴长为，所以椭圆的离心率为.
（2）（26-27·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，设椭圆，双曲线，因为它们有相同的焦点，所以，不妨设点在第一象限，且，因为点在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以，因为，所以，又因为点在双曲线上，所以，即，又因为，所以，所以，可得，所以双曲线的离心率为.
（3）（25-26·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意，，根据椭圆的定义，；根据双曲线的定义，.所以，
所以，且.所以.设，，则.
因为函数在上单调递增，所以.所以.所以不可能等于.
（4）（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________．
【详解】
设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义.
设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义，不妨设，则有.联立得.因为，所以根据勾股定理有，化简得：，两边同除以可得：，则根据柯西不等式得，当且仅当
所以的最大值为.
（5）（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________．
【详解】由椭圆的定义知，①，，
由双曲线的定义知，②，
由①②解得，，设，因为点与右焦点的连线交轴于点，
且平分，所以，在中，由余弦定理知，
③，
设，则，由角平分线定理知，，即，解得，在中，
④，由③④得，，解得或（舍），
所以双曲线的离心率为．故答案为：
（6）（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________.
【详解】记椭圆中的几何量为，双曲线中的几何量为，
则由椭圆和双曲线的定义可得①，②，两式平方相减整理得，
记，则由余弦定理得③，如下图：
得，由面积公式得，则,
代入整理得，即，故，因为，所以，所以，得，因此，，则，
所以，即，所以，当且仅当时等号成立，即最小值为.故答案为：8
题型十：离心率的范围
例18.（1）（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（）
A． B． C． D．
【详解】设，则，所以，又，
所以，代入条件得，设，因为，所以，
即，又，所以且，所以．
（2）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由点在椭圆上，得，即.，，得恒成立.，，即.
由，，得.，得，即.
当，即时，不等式恒成立，当，即时，，则，得，解得，；，，即椭圆的离心率的取值范围为.
（3）（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点也关于原点对称，记C的下焦点为，
利用对称性，四边形为平行四边形，则，，可得，且，不妨设，，，离心率．
（4）（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】双曲线：中，，则，所以渐近线方程为，即，
又因为圆：的圆心为，半径，由题意得，化简可得：，整理得：，求解可得：，又因为，所以，又因为，，则，即，所以，即的离心率．
（5）（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，因为，两点在双曲线上，所以，两式相减得，又为的中点，所以，所以，所以，又双曲线的渐近线方程为，为中点，所以，所以，两边平方得，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的离心率的取值范围是.
例19.（1）（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______．
【详解】设，由椭圆定义可得，设，则，所以，即，因为，所以，即，两式相除得：，
所以，因为，所以，根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，所以，
所以，所以，所以.
（2）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，若椭圆：（）上存在两点，，使得，且，则的离心率的取值范围是__________．
【详解】由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点的最大距离为，最小距离为，所以；
因为若椭圆上存在两点，，使得，且，所以有解，即，所以，即；所以离心率，当为椭圆左右顶点，为椭圆上下顶点时取等；又因为，所以.
（3）（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______.
【详解】由题意，设，，将A，B的坐标分别代入C的方程，得
法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得，
整理得，即，又，所以，故C的离心率的取值范围为.
法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一.
法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有；
当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，，由与联立，解得，则，所以，同理，所以.令，则，所以，解得，由，解得，所以，，
又，所以.故的离心率的取值范围为.
（4）（25-26·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图：
，又，所以，而是圆切线，则，在中，，因此有，从而，而，所以，在双曲线上，因此，所以，∴，从而，所以，∴双曲线的离心率.
（5）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______．
【详解】 因为都在双曲线左支上，所以由双曲线的定义可得：，，
两式相加得：，即.因为同在左支，所以焦点弦长，因此的周长为：
.因为的周长为焦距的3倍，所以，即.过左焦点且与双曲线左支交于两个不同点的弦中，通径最短，且通径长度为，因此弦长必须满足：，即
，两边同除以，结合离心率公式，整理得：.又，所以，故双曲线C的离心率的取值范围为：.
例20.（1）（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为___．
【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于，即，所以，
所以离心率，即.
（2）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____.
【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形，设，则，所以，即.
（3）（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____．
【详解】设双曲线的焦距为，且，则，，设点且，，
直线的方程为，令，得，，
所以，则在线段上，由是的角平分线，在中，
由三点共线，则，因为，则，而点到右焦点的距离为，所以，所以，由，则，即，
综上，离心率的取值范围为.
（4）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______.
【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和，
点到两条渐近线的距离之积为，而恒成立，又因为的最小值为，故只需，又点满足双曲线的方程，，，即，则的离心率，.
（5）（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________.
【详解】点为双曲线的右顶点，，若上存在一点（不与点重合），使得，设，，，，，整理得：，与双曲线方程联立得：，整理得：，解得：，由题意知要使点P存在，须，解得，又P不与A重合，故，则点P必在双曲线右支上，
则，整理得：即，结合，.故答案为：
1
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圆锥曲线离心率及其范围综合训练
求离心率范围的常用方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
补充：已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点，
【结论1】若，则
【结论2】若，则
【例1】过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为_______
【例2】已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【练习1】已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【练习2】已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______.
【练习3】已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______．
题型一：利用圆锥曲线的定义求离心率
例1.（1）（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（26-27·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例2.（1）（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
（3）（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二下·重庆·期中）如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（5）（25-26高二上·广东潮州·期末）设为椭圆：（）的左焦点，，是椭圆上的两个动点，若周长的取值范围为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：利用勾股定理求离心率
例3.（1）（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2026·福建福州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，点在轴上，若，且，则双曲线的离心率为________．
例4.（1）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是________．
（2）（25-26高二上·浙江杭州·期中）若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________．
（3）（26-27·河北廊坊·开学考试）双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·河南安阳·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为_____
题型三：构造齐次式求离心率
例5.（1）（26-27·广西贺州·阶段检测）已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（26-27·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（3）（26-27·广东·阶段检测）记坐标原点为，椭圆的左，右焦点分别为，线段的垂直平分线与在第一象限交于点交轴于点.若，则的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知分别为椭圆的左、右焦点，若从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第三象限交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（5）（26-27·山东江苏·阶段检测）设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用正余弦定理求离心率
例6.（1）（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
（2）（26-27高二上·天津河西·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________．
（5）（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为___________
例7.（1）（25-26·河北秦皇岛·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上且位于第二象限内， 的面积为，过原点且平行于的直线与和的角平分线分别交于点，且 ，则双曲线的离心率为_____.
（2）（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（）
A． B． C． D．
（3）（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（26-27高二上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（5）（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例8.（1）（26-27·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
（3）（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（5）（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上．若的周长为6，面积为，且其内心I满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型五：内切圆问题
例9.（1）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26高二下·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______．
（3）（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________．
（4）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（5）（26-27高二上·四川·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例10.（1）（25-26高二下·湖北·阶段检测）椭圆的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（26-27高二上·黑龙江吉林·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为_______；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为_______．
（3）（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______.
（4）（25-26高二下·云南昆明·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过其右焦点作轴的垂线交双曲线于，两点，设的内切圆半径为，外接圆半径为，若，则双曲线的离心率为________．
题型六：利用渐近线求双曲线离心率
例11.（1）（26-27·云南·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
（2）（26-27·重庆沙坪坝·阶段检测）设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
（3）（26-27·四川成都·阶段检测）已知双曲线：的右支上有任意两点、，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2026·广东广州·模拟预测）已知圆与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
（5）（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例12.（1）（25-26高二下·安徽合肥·期末）我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26·广西南宁·阶段检测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线E：()的左、右焦点分别为、，点A在E的右支上，若，且直线与E的一条渐近线垂直，则E的离心率为______.
（4）（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______.
（5）（25-26·山东·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____．
题型七：利用中点弦及斜率求离心率
例13.（1）（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例14.（1）（2026·陕西咸阳·三模）已知为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线：交于两点，若，则的离心率为______．
（2）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为___________.
（3）（26-27高二上·云南红河·阶段检测）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的离心率为________.
（4）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________．
题型八：坐标法求离心率
例15.（1）（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2026·广东肇庆·模拟预测）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
（4）（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________．
（5）（26-27·广西·阶段检测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例16.（1）（26-27·天津滨海新区·阶段检测）已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
（2）（2026·河南·三模）已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的渐近线上一点，且在第一象限，为的左支上一点，若四边形为菱形，则的离心率为______．
（3）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________.
（4）（2026·河北衡水·二模）已知直线：与双曲线：的左、右两支分别相交于，两点，为坐标原点，为的右焦点，若，则双曲线的离心率为________.
（5）（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知F2为双曲线的右焦点，经过F2作与双曲线的一条渐近线垂直的直线l，垂足为A，直线l与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为B．若，则双曲线的离心率为____.
题型九：共焦点的椭圆与双曲线
例17.（1）（26-27·湖南长沙·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2）（26-27·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________．
（5）（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线的离心率为________．
（6）（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知椭圆：与双曲线有公共的焦点，，A为，在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则最小值为________.
题型十：离心率的范围
例18.（1）（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（）
A． B． C． D．
（2）（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（3）（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（5）（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例19.（1）（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______．
（2）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，若椭圆：（）上存在两点，，使得，且，则的离心率的取值范围是__________．
（3）（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______.
（4）（25-26·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（5）（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______．
例20.（1）（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为___．
（2）（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____.
（3）（25-26高二下·河南许昌·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____．
（4）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______.
（5）（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________.
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