第三章圆锥曲线的方程达标卷-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程达标卷-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•黑龙江月考）椭圆2x2+3y2＝12的短轴长为（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（2026秋•镇雄县月考）设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点A在C上，点B（6，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（　　） A．2 B． C． D．4 3．（2026秋•浙江月考）已知椭圆x2+ay2＝1（0＜a＜1）的一个顶点与抛物线y＝ax2的焦点重合，则a的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•开封三模）若双曲线C的两条渐近线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0共有3个公共点，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•鹰潭校级期末）已知F1是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4，3），则|PF1|+|PQ|的最大值是（　　） A． B． C． D．9 6．（2026秋•南充月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，若点M（1，2）在C上，则F到直线l的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026秋•牡丹江校级月考）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上异于长轴端点的动点．若△PF1F2的外接圆的面积是其内切圆面积的16倍，则△PF1F2的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2026•高新区二模）抛物线E：y2＝4x，F是其焦点，点A、B在曲线E上，且∠AFB＝120°，C为线段AB中点，过点C作E的准线的垂线，垂足为D，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026秋•启东市校级月考）已知点A（1，1），椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则（　　） A．C的离心率为 B．|AF1|+|AF2|＜6 C．△PF1F2可能为直角三角形 D． （多选）10．（2026秋•靖远县月考）已知抛物线C1：x2＝y的焦点为F1，抛物线C2：y2＝8x的焦点为F2，C2上的动点P位于第一象限，A（3，4），则（　　） A． B．C2的准线方程为x＝﹣2 C．|PA|+|PF2|的最小值为5 D．当P在C1上时，|PF2|+|PF1|＜8 （多选）11．（2025秋•南关区校级期末）已知曲线，则（　　） A．当m＝10时，C是焦距为4的椭圆 B．当C是焦点在x轴上的椭圆时，8＜m＜11 C．若曲线C为椭圆，m的取值范围是（5，11） D．若椭圆C的离心率为时，m＝9 三．填空题（共3小题） 12．（2026秋•浦东新区校级月考）椭圆的离心率为，则a＝________________ ． 13．（2026秋•浙江月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上点T（2，﹣2），斜率为1的直线l过点T，抛物线C上存在两点M，N关于直线l对称，则|MN|＝_________________ ． 14．（2026秋•哈尔滨校级月考）若双曲线C：x2﹣my2＝m的离心率为，P为C的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|PF1|+|PF2|＝2m，则|PF2|＝_____ ． 四．解答题（共5小题） 15．（2026秋•河南月考）已知椭圆C：的长轴长，短轴长分别为． （1）求椭圆C的方程； （2）点A为椭圆C上一点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，若∠F1AF2＝60°，求△F1AF2的面积． 16．（2026秋•靖远县月考）已知双曲线的离心率为，焦距为4． （1）求M的方程； （2）已知O为坐标原点，过点C（2，0）且斜率不为0的直线l与M的右支交于A，B两点，且|AC|＝2|BC|，求l的斜率． 17．（2026秋•黑龙江月考）设O为坐标原点，点A（3，0），动点P满足|AP|＝2|OP|，记P的运动轨迹为曲线E． （1）求E的方程； （2）已知直线l：x+y+6＝0． （i）判断l与E的位置关系，并说明理由； （ⅱ）设M是直线l上的动点，过M作E的切线，切点为N，求|MN|的取值范围． 18．（2026秋•黑龙江月考）已知椭圆E：的离心率为是E上的点． （1）求E的方程； （2）记O为坐标原点，点，M，N是E上两个不重合的动点． （i）若A为线段MN的中点，求直线MN的方程； （ⅱ）若A既在线段MN上，也在∠MON的角平分线上，求△OMN的面积． 19．（2026秋•开福区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O为坐标原点，过点P（1，1）作斜率为k（k＜0）的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D，其中，直线OA与直线BD交于点M． （1）求抛物线C的方程； （2）记△MAD与△MOB的面积分别为S1，S2． （i）当O，A，D，B四点共圆时，求直线l的方程； （ii）求的取值范围． 第三章圆锥曲线的方程达标卷-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•黑龙江月考）椭圆2x2+3y2＝12的短轴长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【解答】解：椭圆2x2+3y2＝12的标准方程为：， 椭圆的短轴长为4． 故选：B． 2．（2026秋•镇雄县月考）设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点A在C上，点B（6，0），若|AF|＝|BF|，则|AB|＝（　　） A．2 B． C． D．4 【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F的坐标为（2，0），点B（6，0）， 则|AF|＝|BF|＝4，又点A在C上， 则点A到准线x＝﹣2的距离为4，所以点A的横坐标为﹣2+4＝2， 不妨设点A在x轴上方，代入y2＝8x，则A（2，4）， 所以． 故选：C． 3．（2026秋•浙江月考）已知椭圆x2+ay2＝1（0＜a＜1）的一个顶点与抛物线y＝ax2的焦点重合，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为椭圆x2+ay2＝1（0＜a＜1）可化为： ，又， 所以该椭圆的焦点在y轴上，顶点坐标为， 将抛物线y＝ax2变形得，所以焦点坐标为， 因为椭圆x2+ay2＝1（0＜a＜1）的一个顶点与抛物线y＝ax2的焦点重合， 所以，化简得16a2﹣a＝0，解得或a＝0（舍去）． 故选：B． 4．（2026•开封三模）若双曲线C的两条渐近线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0共有3个公共点，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：化圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0为标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4， 则圆心坐标为（1，2），半径为2， 双曲线C的一条渐近线y与圆相交，一条渐近线y与圆相切， 则，解得，此时2， 则双曲线的离心率e． 故选：B． 5．（2025秋•鹰潭校级期末）已知F1是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4，3），则|PF1|+|PQ|的最大值是（　　） A． B． C． D．9 【解答】解：由椭圆的方程可得，a＝3，， 所以， 设F2是椭圆的右焦点，则F1（﹣2，0）、F2（2，0）， 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a＝6， 所以|PF1|＝6﹣|PF2|， 所以|PF1|+|PQ|＝6﹣|PF2|+|PQ|＝6+（|PQ|﹣|PF2|）， 因为， 所以|PQ|﹣|PF2|的最大值为，当且仅当P为直线QF2与椭圆在x轴下方的交点时，等号成立， 所以|PF1|+|PQ|的最大值为． 故选：C． 6．（2026秋•南充月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，若点M（1，2）在C上，则F到直线l的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为点M（1，2）在C上， 所以22＝2p×1， 解得p＝2， 即F（1，0），准线l为x＝﹣1， 所以F到直线l的距离为2． 故选：B． 7．（2026秋•牡丹江校级月考）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆C上异于长轴端点的动点．若△PF1F2的外接圆的面积是其内切圆面积的16倍，则△PF1F2的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知椭圆， 则a2＝9，b2＝5，c2＝9﹣5＝4， 即a＝3，，c＝2， 则|PF1|+|PF2|＝2a＝6，且|F1F2|＝4， 设△PF1F2外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则πR2＝16πr2，得R＝4r， 所以， 在△PF1F2中，由正弦定理有， 即，即， 所以，即， 在△PF1F2中，由余弦定理有， 又，即，化简得3r2＝1，解得， 所以△PF1F2的面积为． 故选：A． 8．（2026•高新区二模）抛物线E：y2＝4x，F是其焦点，点A、B在曲线E上，且∠AFB＝120°，C为线段AB中点，过点C作E的准线的垂线，垂足为D，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【解答】解：易知抛物线E的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 根据抛物线的定义得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1， 因为C为AB中点，过点C作E的准线的垂线，垂足为D， 所以， 此时， 令|AF|＝m＞0，|BF|＝n＞0， 所以， 在△AFB中，∠AFB＝120°， 由余弦定理得|AB|2＝|AF|2+|BF|2﹣2|AF||BF|cos∠AFB＝m2+n2+mn， 所以， 令， 当且仅当m＝n时，即|AF|＝|BF|时，等号成立， 设，函数定义域为[2，+∞）， 可得， 所以f（t）在[2，+∞）上单调递增， 当t＝2时，f（t）取得最小值，最小值为3， 此时取最小值3， 故的最小值为． 故选：A． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026秋•启东市校级月考）已知点A（1，1），椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则（　　） A．C的离心率为 B．|AF1|+|AF2|＜6 C．△PF1F2可能为直角三角形 D． 【解答】解：对于A：，故A正确； 对于B：c2＝a2﹣b2＝4，所以c＝2，所以F1（﹣2，0），F2（2，0）， 所以，， 所以，故B正确； 对于C：当PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2时，△PF1F2为直角三角形，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：ABCD． （多选）10．（2026秋•靖远县月考）已知抛物线C1：x2＝y的焦点为F1，抛物线C2：y2＝8x的焦点为F2，C2上的动点P位于第一象限，A（3，4），则（　　） A． B．C2的准线方程为x＝﹣2 C．|PA|+|PF2|的最小值为5 D．当P在C1上时，|PF2|+|PF1|＜8 【解答】解：对于选项A，抛物线C1：x2＝y的焦点为，故A选项错误， 对于选项B，抛物线C2：y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，故B选项正确， 对于选项C，因为C2的准线方程为l：x＝﹣2，过P作PD⊥l于D，过A作AH⊥l于H， 由抛物线定义知|PA|+|PF2|＝|PA|+|PD|≥|AH|，又A（3，4），所以|PA|+|PF2|≥5，故C选项正确； 对于选项D，，取P（2，4）， 则|PF2|+|PF1|8，故D选项错误． 故选：BC． （多选）11．（2025秋•南关区校级期末）已知曲线，则（　　） A．当m＝10时，C是焦距为4的椭圆 B．当C是焦点在x轴上的椭圆时，8＜m＜11 C．若曲线C为椭圆，m的取值范围是（5，11） D．若椭圆C的离心率为时，m＝9 【解答】解：对于选项A，当m＝10时，曲线，化为标准方程为，可得，b＝1， 所以，此时椭圆C是焦距为2c＝4的椭圆，A选项正确； 对于选项B，当椭圆C是焦点在x轴上的椭圆时，则，解得8＜m＜11，B选项正确； 对于选项C，曲线C为椭圆，可知，解得5＜m＜8或8＜m＜11，C选项错误； 对于选项D，若椭圆C的焦点在x轴上时，8＜m＜11，则a2＝m﹣5，b2＝11﹣m， 所以，解得m＝9，符合题意， 若椭圆C的焦点在y轴上，则，解得5＜m＜8， 则a2＝11﹣m，b2＝m﹣5，所以，解得m＝7， 综上所述，若椭圆C的离心率为时，m＝9或7，D选项错误． 故选：AB． 三．填空题（共3小题） 12．（2026秋•浦东新区校级月考）椭圆的离心率为，则a＝　　 ． 【解答】解：已知椭圆的离心率为， 则，解得． 故答案为：． 13．（2026秋•浙江月考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上点T（2，﹣2），斜率为1的直线l过点T，抛物线C上存在两点M，N关于直线l对称，则|MN|＝　　 ． 【解答】解：如图， 因为T（2，﹣2）在抛物线上，所以（﹣2）2＝2p×2， 解得p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x，又直线l的斜率为1， 所以直线l的方程为y+2＝x﹣2，即x﹣y﹣4＝0， 设直线MN的方程为y＝﹣x+n，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去x得y2+2y﹣2n＝0， 则Δ＝4+8n＞0，即n， 则y1+y2＝﹣2，于是线段MN的中点坐标为（n+1，﹣1）， 显然点（n+1，﹣1）在直线x﹣y﹣4＝0上， 即n+1+1＝4，解得n＝2， 所以y1y2＝﹣2n＝﹣4， 所以． 故答案为：． 14．（2026秋•哈尔滨校级月考）若双曲线C：x2﹣my2＝m的离心率为，P为C的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|PF1|+|PF2|＝2m，则|PF2|＝　6　 ． 【解答】解：将双曲线C：x2﹣my2＝m化为标准形式得， 则a2＝m，b2＝1，c2＝m+1． 由离心率，得，解得m＝4，故a＝2． 因P在双曲线左支上，由双曲线定义得|PF2|﹣|PF1|＝2a＝4， 又|PF1|+|PF2|＝2m，两式联立得2|PF2|＝2m+4，即|PF2|＝m+2＝6． 故答案为：6． 四．解答题（共5小题） 15．（2026秋•河南月考）已知椭圆C：的长轴长，短轴长分别为． （1）求椭圆C的方程； （2）点A为椭圆C上一点，F1，F2是椭圆C的两个焦点，若∠F1AF2＝60°，求△F1AF2的面积． 【解答】解：（1）因为椭圆C：的长轴长，短轴长分别为， 所以，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）由椭圆的定义知，，， 在△F1AF2中，由余弦定理得：， 即， 所以， 所以△F1AF2的面积． 16．（2026秋•靖远县月考）已知双曲线的离心率为，焦距为4． （1）求M的方程； （2）已知O为坐标原点，过点C（2，0）且斜率不为0的直线l与M的右支交于A，B两点，且|AC|＝2|BC|，求l的斜率． 【解答】解：（1）∵双曲线的离心率为，焦距为4， ∴，解得， ∴M的方程为． （2）设l：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得（m2﹣1）y2+4my+2＝0， 得 由|AC|＝2|BC|，得y1＝﹣2y2， 则， 得，． 由， 得，得． 当时，，l与M的右支交于两点， ∴l的斜率为． 17．（2026秋•黑龙江月考）设O为坐标原点，点A（3，0），动点P满足|AP|＝2|OP|，记P的运动轨迹为曲线E． （1）求E的方程； （2）已知直线l：x+y+6＝0． （i）判断l与E的位置关系，并说明理由； （ⅱ）设M是直线l上的动点，过M作E的切线，切点为N，求|MN|的取值范围． 【解答】解：（1）因为O为坐标原点，点A（3，0），动点P满足|AP|＝2|OP|， 设P（x，y），所以， 化简可得E的方程为（x+1）2+y2＝4； （2）（i）l与E相离，理由如下： 因为直线l：x+y+6＝0，由（1）可知曲线E的圆心E（﹣1，0），半径r＝2， 所以圆心E（﹣1，0）到直线l的距离为dr＝2， 所以l与E相离； （ⅱ）因为切线长|MN|， 所以|MN|的取值范围为[，+∞）． 18．（2026秋•黑龙江月考）已知椭圆E：的离心率为是E上的点． （1）求E的方程； （2）记O为坐标原点，点，M，N是E上两个不重合的动点． （i）若A为线段MN的中点，求直线MN的方程； （ⅱ）若A既在线段MN上，也在∠MON的角平分线上，求△OMN的面积． 【解答】解：（1）由题意可得e，则，即c2a2， 又a2＝b2+c2， 所以b2a2， 将P（，）代入椭圆的方程可得1， 将代入上式，解得a2＝7，b2＝1， 所以椭圆E的方程为y2＝1． （2）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，两式作差得（y1﹣y2）（y1+y2）＝0， 因为A为MN中点， 所以x1+x2，y1+y2， 所以直线MN的斜率k， 所以直线MN的方程为y（x），整理可得x+7y0． （ⅱ）因为点A在∠MON的角平分线上， 所以点O到直线AM，AN的距离相等，即|x1﹣3y1|＝|x2﹣3y2|， 由M，N不重合得x1+x2＝3（y1+y2）， 设直线MN的方程为y＝kx+m， 联立椭圆的方程可得（1+7k2）x2+14kmx+7m2﹣7＝0， 所以x1+x2，x1x2， 代入x1+x2＝3（y1+y2），解得k， 将点A（，）代入直线方程可得m， |x1﹣x2|， 所以S△OMN． 19．（2026秋•开福区校级月考）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O为坐标原点，过点P（1，1）作斜率为k（k＜0）的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，直线OP交抛物线C于另一点D，其中，直线OA与直线BD交于点M． （1）求抛物线C的方程； （2）记△MAD与△MOB的面积分别为S1，S2． （i）当O，A，D，B四点共圆时，求直线l的方程； （ii）求的取值范围． 【解答】解：（1）因为点P（1，1），则， 又， 则， 所以D（3，3）， 代入抛物线C：x2＝2py， 得到9＝6p，解得， 所以抛物线C的方程为x2＝3y． （2）（i）因为直线l方程为y＝k（x﹣1）+1（k＜0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立， 消y得到x2﹣3kx+3k﹣3＝0， 则x1+x2＝3k，x1•x2＝3k﹣3， 当O，A，D，B四点共圆时， 则有∠OBA＝∠ODA，∠BOD＝∠BAD， 故△POB∽△PAD，则， 所以|PA|•|PB|＝|PO|•|PD|， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，|PD|， 所以|PA|•|PB|＝（1+k2）|x1•x2﹣x1﹣x2+1|＝4． 即（1+k2）|3k﹣3﹣3k+1|＝4， 整理得到k2﹣1＝0， 又k＜0，所以k＝﹣1， 故直线l的方程为y＝﹣x+2． （ii）由O（0，0），得到直线OA：． 由D（3，3），，得， 直线BD：， 联立方程， 解得 由x1+x2＝3k，x1•x2＝3k﹣3， 得， 所以， ， ， 当y＝1时，由x2＝3y得， 又直线l的斜率k＜0， 则， 所以， 故的取值范围为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $