3.2.1 函数的单调性与最值 课后习题-2026-2027学年高一上学期数学湘教版必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最值 课后习题

1．课本拓展：我们把“对区间 I 内任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)”的函数叫做 I 上的“不减函数”。下列函数中，在 (0，+∞) 上是“不减函数”的是（　　）
A．f(x)=　　B．f(x)=−x2　　C．f(x)=2x+1　　D．f(x)=3−x

2．下列四个函数：① y=2x−1；② y=x2；③ y=−3x+2；④ y=|x|。其中在 R 上是严格单调函数的共有（　　）
A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个

3．下表是七年级某班两位同学 5 次数学小测的成绩：
测验序号　第1次　第2次　第3次　第4次　第5次
小宇　　　72　　　75　　　78　　　82　　　85
小辰　　　90　　　88　　　85　　　80　　　76
把成绩看作测验序号 n 的函数，下列说法正确的是（　　）
A．小宇的成绩随 n 增大而递减
B．小辰的成绩随 n 增大而递增
C．小宇的成绩随 n 增大而递增
D．两人成绩都不单调

4．小明做一道题：“求 f(x)=x2−4x+3 的单调区间”。他写道：“对称轴 x=2，所以 f(x) 在 R 上单调递增。”他错在（　　）
A．对称轴算错了
B．没考虑开口方向，二次函数在 R 上不单调，应以对称轴为界分两段
C．f(x) 在 R 上单调递减才对
D．他的结论是对的

5．已知一次函数 f(x)=(a−1)x+2 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（　　）
A．a>1　　B．a<1　　C．a=1　　D．a≠1

6．某共享单车停放点一个月内每周六的骑行次数（千次）记录如下：
周次　　　第1周　第2周　第3周　第4周
骑行次数　1.2　　1.8　　1.5　　2.3
把骑行次数看作周次 w 的函数，下列说法正确的是（　　）
A．骑行次数随 w 增大而递增
B．第2周到第3周骑行次数下降了
C．第4周骑行次数比第1周少
D．骑行次数在整月内单调递增

7．开放题：请你写出一个在区间 (0，+∞) 上单调递减的函数解析式，要求不是常数函数。
你写的是：____。

8．函数 y=|x+1|−2 的单调递增区间是 ____。

9．函数 f(x)=x2−4x+3 在闭区间 [0，3] 上的最大值是 ____，最小值是 ____。

10．用定义证明：函数 f(x)= 在区间 [0，+∞) 上单调递增。

11．校园超市卖某品牌矿泉水，每瓶进价 1.5 元。调查发现：售价定为每瓶 x 元（2≤x≤4）时，每天能卖出 (20−5x) 瓶。
(1) 写出每天销售利润 y（元）关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
(2) 售价定为多少时，每天利润最大？最大利润是多少？

12．已知函数 y=f(x) 在 R 上单调递增，试解不等式 f(2x−1)<f(x+2)。

13．已知分段函数 f(x)=−x+1（x<0）；f(x)=x2−1（x≥0）。
(1) 画出 f(x) 的大致图象；
(2) 写出 f(x) 的单调区间；
(3) 求 f(x) 在区间 [−2，2] 上的最大值与最小值。

14．（拓展）已知函数 y=f(x) 对任意实数 x，y 都满足 f(x+y)=f(x)+f(y)，并且 f(x) 在 R 上单调递增。
(1) 求 f(0) 的值；
(2) 若 f(1)=3，求 f(3) 的值；
(3) 判断 f(−x) 与 −f(x) 的关系，并说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.1 函数的单调性与最值 课后习题（答案详解）

1．课本拓展：我们把“对区间 I 内任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)”的函数叫做 I 上的“不减函数”。下列函数中，在 (0，+∞) 上是“不减函数”的是（　　）
A．f(x)=　　B．f(x)=−x2　　C．f(x)=2x+1　　D．f(x)=3−x

1．C

【分析】“不减”就是随着 x 增大函数值不减小，也就是单调递增（允许个别点相等）。逐个看四个函数在 (0，+∞) 上的走向。

【详解】A： 在 (0，+∞) 上随 x 增大而减小，不是不减；B：−x2 开口向下，在 (0，+∞) 上递减；C：一次项系数 2>0，f(x)=2x+1 在 R 上单调递增，当然在 (0，+∞) 上不减；D：一次项系数 −1<0，递减。选 C。

2．下列四个函数：① y=2x−1；② y=x2；③ y=−3x+2；④ y=|x|。其中在 R 上是严格单调函数的共有（　　）
A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个

2．B

【分析】严格单调要求整个 R 上方向一致，二次函数和带绝对值的函数通常会拐弯。

【详解】① y=2x−1 斜率为正，在 R 上单调递增；② y=x2 在 (−∞，0] 减、[0，+∞) 增，不是 R 上的单调函数；③ y=−3x+2 斜率为负，单调递减；④ y=|x| 在 (−∞，0] 减、[0，+∞) 增。所以严格单调的是①③，共 2 个。选 B。

3．下表是七年级某班两位同学 5 次数学小测的成绩：
测验序号　第1次　第2次　第3次　第4次　第5次
小宇　　　72　　　75　　　78　　　82　　　85
小辰　　　90　　　88　　　85　　　80　　　76
把成绩看作测验序号 n 的函数，下列说法正确的是（　　）
A．小宇的成绩随 n 增大而递减
B．小辰的成绩随 n 增大而递增
C．小宇的成绩随 n 增大而递增
D．两人成绩都不单调

3．C

【分析】把表格逐行看：小宇成绩一次比一次高，小辰一次比一次低。

【详解】小宇：72<75<78<82<85，随 n 增大严格递增；小辰：90>88>85>80>76，严格递减。对照选项，只有 C 正确。