精品解析：广东深圳实验学校初中部2026-2027学年第一学期八年级期中考试数学试卷

2026-2027学年第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故不符合题意； B．是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是分数，属于有理数，故不符合题意； D．是无理数，故符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴点在第二象限； 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，点和 （ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 5. 如图，平顶山在M处，与少林寺O处相距，用方向和距离描述少林寺O相对于平顶山M的位置，下列正确的是（    ） A. 南偏东， B. 东偏南， C. 北偏西， D. 北偏东， 【答案】C 【解析】 【分析】根据方位角的概念，可得答案． 本题考查了坐标确定位置，方向角，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离． 【详解】解：平顶山在M处，与少林寺O处相距， 少林寺O在平顶山M的北偏西，处． 故选：C 6. 如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设该店有房客人，客房间，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．据此列出方程组即可． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，根据题意可得，． 8. 如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三条直线与轴交点坐标，再根据判断即可． 【详解】解：令，解得，即与轴交点坐标为； 同理可得与轴交点坐标为；与轴交点坐标为； ∵， ∴点在最右边， ∴一次函数的图象应为直线． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 10. 将点向上平移2个单位长度后的点坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点向上平移2个单位长度后的点坐标为． 11. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【详解】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 13. 如图，，绕点B顺时针旋转，得到，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】解：作，，结合旋转证明，则，设，根据三线合一得到，即．由，得到，根据勾股定理得到，最后代入计算即可． 【详解】解：作，，则， ∵绕点B顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设 ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算乘法和化简二次根式、分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用代入消元法解二元一次方程组． 【详解】解：已知， 把②代入①得：， 解得， 把代入②，可得， ∴方程组的解为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，点． （1）点的坐标为（______，______）； （2）用无刻度的直尺，按要求完成以下作图． ①过点作直线（点在格点上）； ②在线段上作一点，使得线段长度最小． 【答案】（1） （2）①如图所示，即为所求 ②如图所示，点即为所求 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标的定义，解答即可； （2）根据全等三角形的判定和性质及平行线的性质解答即可； 根据全等三角形的判定和性质及直角三角形的判定解答即可． 【小问1详解】 解：观察图形可得：点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，由题意可得：小正方形的边长为 在三角形和三角形中， ， ， ， ． 如图， 点在线段上， ，即的值固定， 要想使得线段长度最小，只要让的长度最小，只要让， 下面证明， 在三角形和三角形中， ， ， ， ， ， ， ， ． 17. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）居民从点A到点C将少走路程 （2）这片绿地的面积是 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； 【小问2详解】 解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 18. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得 解决问题： （1）被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________； （2）求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 【答案】（1）；同样的空调每台降价400元． （2）“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元 【解析】 【分析】（1）根据方程②可找出表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，进而可得出被墨水污染的条件为同样的空调每台降价400元，根据小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，可得出； （2）根据题意解方程组即可． 【小问1详解】 解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元，方程②为， 表示每台空调在“五一”促销活动中的售价， 被墨水污染的条件是：同样的空调每台降价400元． 小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元， 被墨水污染的第一个方程是：． 故答案为： ；同样的空调每台降价400元． 【小问2详解】 设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，列方程组 得， 解得， 答：“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，如表是与的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 m 3 2 1 0 0 1 … 其中______； （2）在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象： （3）根据函数图象填空： ①该函数图象关于直线______对称； ②方程有______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是______； （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①； ②； ③； （4） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）直接根据图象作答即可； （4）根据给定的函数解析式，推出当时，函数值最大，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入，得； 【小问2详解】 解：函数的图象略 【小问3详解】 解：由函数图象得 ①该函数图象关于直线对称； ②方程有个解； ③的取值范围是； 【小问4详解】 解：由题中规律可得函数有最小值，图象的对称轴为直线， 当时，有最小值，的最小值是，且当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ∵， ∴， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∵当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为， ∴在时取得最大值， ∴， 解得：． 20. 【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）10或26． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如解图2，延长到点，使，连接． ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ， ． 如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 初二年级 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在平面直角坐标系中，点和 （ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 5. 如图，平顶山在M处，与少林寺O处相距，用方向和距离描述少林寺O相对于平顶山M的位置，下列正确的是（    ） A. 南偏东， B. 东偏南， C. 北偏西， D. 北偏东， 6. 如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 10 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 无法确定 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 10. 将点向上平移2个单位长度后的点坐标为______． 11. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 13. 如图，，绕点B顺时针旋转，得到，连接，若，则______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解二元一次方程组：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，点． （1）点的坐标为（______，______）； （2）用无刻度的直尺，按要求完成以下作图． ①过点作直线（点在格点上）； ②在线段上作一点，使得线段长度最小． 17. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 18. 小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得 解决问题： （1）被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________； （2）求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 19. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，如表是与的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 m 3 2 1 0 0 1 … 其中______； （2）在图中的平面直角坐标系中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象： （3）根据函数图象填空： ①该函数图象关于直线______对称； ②方程有______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是______； （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 20. 【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $