精品解析：广东深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，请填涂答题卡） 1. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，，1 C. ，，8 D. ，， 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，用含的代数式表示，这个代数式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 7. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 8. 如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 64的平方根是__________． 10. 若点关于轴对称，则_____． 11. 已知函数是关于x的一次函数，则m的值是______． 12. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____________． 13. 在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值________________ ． 三、解答题（共7大题，共61分） 14. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 15. 如图，解答下列问题： （1）写出三点的坐标A________，B________，C_________； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与关于________对称； （3）已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，________和点P的坐标________． 16. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面． （1）与全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 17. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，甲、乙两小组铺设路面的总长度（米）与甲小组铺设路面所用的时间（时）之间的函数图象如图所示，其中． （1）甲小组每小时铺设路面_______米，乙小组每小时铺设路面_______米． （2）求乙小组加入后，与之间的函数关系式． （3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 18. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质______． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数的最小值为______； ②关于x的方程的解为______． 19. “比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是_____，的小数部分是__________________； （2）_____（比较这两个数的大小）； （3）已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 （4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 20. 直线经过，两点， k， b为常数， ． （1）求直线的解析式； （2）如图，该直线与x轴交于点A，y轴交于点B，以 为边在第一象限内画正方形，E是该直线上的一动点(不与点A， B重合)， 连接． ①直接写出点 C的坐标； ②当 的值最小时，求证： ； ③在点E运动过程中，是否存在这样的点 E，使是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，求点E的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，请填涂答题卡） 1. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，，1 C. ，，8 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理定理的逆定理，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．逐项判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、 不是同类二次根式，无法计算，本选项错误； B、 ，本选项错误； C、 ，本选项错误， D、 本选项正确； 故选：D． 3. 已知，用含的代数式表示，这个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知正好是和的积，因此可得． 【详解】， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握该乘法法则是解题关键． 4. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据A，B两点的坐标建立平面直角坐标系，再由图形即可得解，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：∵表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， ∴由图形可得，叶杆“底部”点C的坐标为， 故选：B． 5. 为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边． 先根据勾股定理求出米，再起重臂顶端A离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 6. 对于一次函数，下列结论不正确的是（ ） A. 它的图像与轴交于点 B. 随的增大而增大 C. 它的图像经过第一、二、三象限 D. 它的图像与直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图像的特点是解题的关键． 根据一次函数解析式得到，一次函数图像经过第一、三、四象限，由此即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴它的图像与轴交于点，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴一次函数图像经过第一、三、四象限，随的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意； ∵一次函数向上平移6个单位，得到一次函数， ∴它的图像与直线平行，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 7. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 8. 如图，平面直角坐标系中，在函数和的图象之间由小到大依次画出若干个直角三角形（图中所示的阴影部分），其短直角边与x轴垂直，长直角边与x轴平行，斜边在函数的图象上，已知点A的坐标是，则第100个直角三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，求直角三角形面积，掌握一次函数的性质是解本题的关键． 本题先根据点A的坐标以及函数和的表达式求出第一个直角三角形的直角边长度，进而得到其面积，再通过同样的方法求出后续几个直角三角形的面积，找出面积变化规律，最后根据规律求出第100个直角三角形的面积． 【详解】解：如图： 点A的坐标是， ， 当时，， ， 当时，， ， ， 第1个直角三角形的面积为， 同理可得， 第2个直角三角形的面积为， 第3个直角三角形的面积为， 第4个直角三角形的面积为， ， 依此规律，第100个直角三角形的面积为， 故选：A． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 64的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 10. 若点关于轴对称，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查点的对称问题，解题的关键是关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等． 根据题意得，即可求解． 【详解】关于轴对称， ，解得， ． 故答案为：． 11. 已知函数是关于x的一次函数，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的概念可得，，求解即可得出答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的概念，根据题意得到关于的不等式和方程是解题的关键． 12. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____________． 【答案】##分米 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴． ∴这圈金属丝的周长最小为． 故答案为：． 13. 在中，，，，点、在、边上，且，则的最小值________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作直线，在上截取（点在点的左侧），过点作于点，连接，推出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，证明得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作直线，在上截取（点在点的左侧），过点作于点，连接， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长即， ∴的最小值为． 三、解答题（共7大题，共61分） 14. 计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2）0 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简各数，然后再进行加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答； （3）先计算二次根式的乘除法，化简二次根式，再算加减，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 15. 如图，解答下列问题： （1）写出三点的坐标A________，B________，C_________； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与关于________对称； （3）已知P为x轴上一点，若的面积是的面积的4倍，________和点P的坐标________． 【答案】（1），， （2） 解：如图所示： x轴 （3）5，或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称．熟练掌握轴对称的性质，分割法求面积，是解题的关键． （1）根据点的位置，直接写出点的坐标即可； （2）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （3）利用分割法求的面积；设的高为h，P点坐标为，面积公式求出的值，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可知：A，B，C三点的坐标分别是，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 设边上的高为h，P点坐标为， ∵， ∵的面积是的面积的4倍， ∴， 解得 ∴当点P在x轴负半轴时，； 当点P在x轴正半轴时，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：5，或． 16. 我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面． （1）与全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明，，即可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再根据线段之间的关系求出，进而利用勾股定理求出，则，由此可得两人所在座舱距离地面的高度差为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵小丽到点Q，且小丽距离地面， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 17. 某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，甲、乙两小组铺设路面的总长度（米）与甲小组铺设路面所用的时间（时）之间的函数图象如图所示，其中． （1）甲小组每小时铺设路面_______米，乙小组每小时铺设路面_______米． （2）求乙小组加入后，与之间的函数关系式． （3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 【答案】（1）； （2） （3）甲小组铺设路面的长度为米，乙小组铺设路面的长度为米 【解析】 【分析】（1）根据，用150除以3即可得甲小组每小时铺设路面的长度，设乙小组每小时铺设路面米，求出乙小组铺设路面的时间，即可得乙小组每小时铺设路面的米数． （2）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法，将点，代入，求解即可得y与x之间的函数关系式． （3）根据时，求出甲的时间，进而求出各自铺设路面的长度． 【小问1详解】 解：∵， ∴甲小组每小时铺设路面的长度为（米）． 设乙小组每小时铺设路面米， 根据题意得：，解得：， ∴乙小组每小时铺设路面米． 【小问2详解】 解：设乙小组加入后，与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴乙小组加入后，y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：当时，解得：， ∴甲小组铺设路面的长度为：（米）， 乙小组铺设路面的长度为：（米）， ∴甲小组铺设路面的长度为米，乙小组铺设路面的长度为米． 18. 在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义：． 【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … 根据表格中的信息可得______． （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】（3）写出函数的一条性质______． 【解决问题】（4）结合画出的函数图象，解决问题： ①函数的最小值为______； ②关于x的方程的解为______． 【答案】（1）； （2）如图所示即为所求； （3）当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大；（4）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了绝对值函数，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）把代入得，，即可得出结果； （2）根据表格画出函数图象即可； （3）根据函数图象即可得出性质； （4）①根据函数图象即可得出结果；②在中，当时，，当时，，联立方程组或，解得或，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：（1）把代入得，， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3）由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大， 故答案为：当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （4）①结合图象可知，函数的最小值为； ②在中，当时，，当时，， 联立方程组或， 解得或， 结合函数图象可得，的解为或； 故答案为：或． 19. “比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与的大小． ∵， 又∵，则， ∴， ∴． 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是_____，的小数部分是__________________； （2）_____（比较这两个数的大小）； （3）已知，试用“比差法”比较与的大小； 【迁移应用】 （4）制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）， （2） （3） （4）方案二省料，选择方案二． 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）由“比差法”计算与的差，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小即可； （3）利用“比差法”进行计算即可； （4）用代数式表示方案一、方案二的用料面积，再根据“比差法”进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 即； 【小问4详解】 解：设每块型钢板的面积为，每块型钢板的面积为，则方案一用料的面积为，方案二用料的面积为， ， 而型钢板的面积比型钢板大，即，也就是， ∴， ∴方案二省料，选择方案二． 20. 直线经过，两点， k， b为常数， ． （1）求直线的解析式； （2）如图，该直线与x轴交于点A，y轴交于点B，以 为边在第一象限内画正方形，E是该直线上的一动点(不与点A， B重合)， 连接． ①直接写出点 C的坐标； ②当 的值最小时，求证： ； ③在点E运动过程中，是否存在这样的点 E，使是以为直角边的等腰直角三角形?若存在，求点E的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①； ②证明：当时，的值最小， 又， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得， ； ③存在，点E的横坐标为或12 【解析】 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解； （2）① 先求出A，B点坐标，证明是等腰直角三角形，再作轴于点F，得等腰直角三角形，求出、长度即可；②当时，的值最小，根据等腰直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可证明；③设点E的坐标为，分是斜边、是斜边两种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：直线经过，两点， ， 解得， ， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①，由（1）知， 令，得；令，得， ，， ， 是等腰直角三角形， ，； 如图，作轴于点F， 正方形中， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点 C的坐标为； ②略 ③ 存在，点E的横坐标为或12． 设点E的坐标为， 点 C的坐标为， ,, , 当是以为直角边的等腰直角三角形时，分两种情况： 当是斜边时，，， 解得； 当是斜边时，，， 解得； 综上可知，点E的横坐标为或12． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $