4.3 用一元一次方程解决问题——配套与盈不足问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第4章 一元一次方程——配套与盈不足问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、同一总量的不同分配 二、最后一组与空出的整组 三、配套套数与生产分工 A组　基础巩固 B组　方法运用 C组　综合应用 D组　期中期末真题衔接 一、同一总量的不同分配 ．先确定等式表示什么 同一批物品采用不同分法，物品的实际总数不变；同一批人采用不同安排， 总人数不变。列方程时，等式两边必须表示同一种量。 设人数为。把实际已有的物品总数写出来时： 分配情况 实际物品总数 每人分个，还剩个 每人分个，还差个 “还剩”是分出去以外仍然有的物品，应加回； “还差”是按标准需要但实际上没有的物品，应减去。 如，枚贴纸分给人：每人枚，剩枚，；每人枚， 还差枚，。 收款问题要注意所表示的量。若人每人交元仍差元， 所需总费用是元。这里求的是“需要支付的费用”， 要把欠缺的元补到已收款上，不能照搬分物品时的减号。 ．有特殊分配时，先分清各部分 同一方案中，不同小组可能领取不同的数量。应先写出每一部分的数量，再相加； 计算某一部分人数或组数时，要从总数中扣除已经单独计算的部分。 如，共有组，其中组各领份，其余各领份。其余有组， 总份数为，不是。 两个班或两组的人数有和、差关系时，也应先用同一字母表示。例如， 乙班有人、甲班比乙班多人，则甲班有人。 ．余量与不足量没有直接给数 可以先用一种分法表示物品总数，再求其他分法中的差量： 剩余量＝实际总量-按该标准需要的量； 不足量＝按该标准需要的量-实际总量。 如，给人分贴纸，每人枚后剩枚，总数为枚。若改为每人枚， 所缺的数量为枚。只有算得这个差量为正， 才与“还缺”的说法相符。 题目若说两种差量相等、相差多少或成倍数，就用这两个差量列方程。解出后， 还要检查“剩余”确实大于，“不足”确实尚有缺口。 ．看清“总数的一部分”与“剩余的一部分” 取一部分时，应先找准所针对的数量。 原总数的一半与分发后剩余数的一半通常不同。 如，有本书，先发出本，再把剩余的一半保留。 保留的是本，不是本。 若比较的不是同一时刻，先计入增减变化。例如，原有张纸，发出张， 又补来张，此时共有张。 不能直接把原有量与变化后的量写成相等。 ．列式与检查 先设人数、组数或每组数量为一个未知数，用题中关系表示其他量， 再由同一总量列方程。求解后把结果放回每种分配办法中核对。 人数、组数、整本书的本数等必须是符合题意的整数。 例1、 学校把一批练习本分给参加活动的学生。若每人分本，还剩本； 若每人分本，剩下的本数是每人分本时所缺本数的倍。 求参加活动的学生人数和这批练习本的总本数。 解答 解：设有名学生，则共有本练习本。 每人分本时剩下本，每人分本时缺少本。 由题意，得，解得。 练习本共有（本）。 检查：每人分本剩本，每人分本缺本，。 答：有名学生，练习本共有本。 变式1-1、 学校把一批图书分给若干个读书小组。若每组分本，还剩本； 若其中组各分本，其余各组每组分本，则恰好分完。 设共有个读书小组，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 解答 。 组每组分本，其余组每组分本， 总本数为。由两种分法的总本数相同， 得。 变式1-2、 一组学生共同支付一笔活动费用。若每人交元，还差元；若每人交元， 还差元。经商定，其中人各交元，其余学生平均分摊剩余费用。 其余学生每人应交________元。 解答 。 设有名学生，由活动费用相同，得，解得。 活动费用为（元）。 其余学生每人应交（元）。 变式1-3、 学校把一批阅读资料分给甲、乙两个班，甲班比乙班多人。 若两个班每人都领册，还剩册；若甲班每人领册、乙班每人领册， 还差册。求甲、乙两个班各有多少名学生。 解答 解：设乙班有名学生，则甲班有名学生。 由资料总数相同，得。 解得，。 检查：共有（册）， 第二种分法需（册），恰好少册。 答：甲班有名学生，乙班有名学生。 二、最后一组与空出的整组 ．“只有多少”与“还差多少”不同 设一共分成组，每个满组有人。最后一组未满时， 要先确认题目给出的是最后一组的实际人数，还是它还缺的人数。 最后一组的情况 实际总人数 最后一组只有人，其余组均满 最后一组还差人达到人，其余组均满 如，每组人，最后一组只有人，人数是； 若最后一组还差人，则最后一组实际有人，总人数是。 两句话中的“”含义不同，不能互换。 ．空座位与空整排要分开 空出的整组、整排、整桌，要先从总单位数中扣除，再乘每个单位容纳的数量。 空出的几个座位，则直接从总座位数中扣除。 若每排个座位，共排：空个座位时，人数为； 空整排、其余排坐满时，人数为。 如果既空了个完整单位，又另有个未满单位，那么满单位数是。 空单位与未满单位不是同一个，不能只减去。 如，张长凳每张可坐人，空张完整长凳，另有张还差人坐满， 其余均坐满。实际坐的人数为。 也可以数出张满凳、张坐人的凳子，计算。 ．两种安排的组数可以不同 同一批学生改换每组人数后，总人数不变，但实际组数未必相同。 若第一种安排为组，第二种少组，那么第二种共有组； 若第二种最后一组未满，它的满组数还应再减。 新添桌子、减少盒子等变化也先作用于单位数。需要再添张桌子才能坐满， 并且添桌后所有桌子恰好坐满，应使用“原桌数”计算人数， 而不是在人数上加。 ．重新分配后最后一组的数量 求出总量后，按每个单位的数量重新分配，可用整数除法确定满单位数及余数。 如，份资料按每盒份装，正好使用盒，最后一个已使用的盒子也装份。 没有“第盒装份”的已使用盒子。 若有份资料，则先装满盒，还剩份，需要再使用盒，共用盒， 最后一盒装份。 题目说“最后一盒未满”时，它必须装有物品而又未达到规定数量； 若算得恰好装满，就应按满盒记录。求空盒数时，用原有盒数减实际使用盒数， 不能减去满盒数后漏掉未满的一盒。 例2、 把同一批学生依次分组。若每组安排人，最后一组还差人才能达到人， 其余各组均有人；若每组安排人，分成的组数比前一种少组， 最后一组只有人，其余各组均有人。 求这批学生的人数及两种安排各分成的组数。 解答 解：设第一种安排分成组，则第二种安排分成组。 第一种安排比各组全满少人；第二种最后一组只有人，比人也少人。 由两种安排的总人数相同，得，解得。 学生共有（人），第二种安排分成（组）。 检查：第一种为组各人、末组人；第二种为组各人、末组人， 均为人。 答：共有名学生，第一种安排分成组，第二种安排分成组。 变式2-1、 活动室有若干张相同的桌子。若每张桌子坐人，需要再添张桌子， 且添桌后所有桌子恰好坐满；若每张桌子坐人，则恰好空出张桌子， 其余桌子均坐满。设原有张桌子，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 解答 。 每桌坐人时，张桌子全部坐满；每桌坐人时， 张桌子全部坐满。因此。 变式2-2、 用一批相同的盒子装奖品。若每盒装件，则空出个盒子， 另有个盒子还差件才能装满，其余盒子全部装满；若每盒装件， 则所有盒子恰好装满。这批盒子有________个， 奖品共有________件。 解答 ；。 设有个盒子。每盒装件时，有个满盒， 未满的一盒装（件）。 由题意，得，解得。 奖品共有（件）。检查：， 。 变式2-3、 一批学生在活动室就座。若每张桌子坐人，还有人没有座位； 若每张桌子坐人，则恰好空出张桌子，其余桌子均坐满。 后来又来了若干名学生，把原有桌子全部用上，除最后一张桌子坐人外， 其余每张桌子都坐人。后来又来了多少名学生？ 解答 解：设原有张桌子，由原有学生人数相同，得， 解得。 原有学生（人）。后来共有（人）。 （人）。 答：后来又来了名学生。 三、配套套数与生产分工 ．相等的是套数，不一定是件数 每套产品需要甲零件件、乙零件件。若两种零件恰好全部配套，则： 。 左、右两边分别表示两种零件能组成的套数。 如，每套需甲件、乙件，甲件、乙件恰好配成套。甲、乙件数不同， 套数相同。 不能只把两种件数相加，再除以每套总件数，而不检查种类。 若有甲件、乙件，虽然共件，但套需要件乙，现有乙不够， 不能配成套。只有题意要求全部用尽且配比能够实现， 才能按总件数进一步确定套数，并核对各类数量。 ．已有量要加，明确保留的散件要扣 参与配套的数量不一定等于当天新制作的数量：已有库存需要加入， 明确另作他用或保留的散件需要扣除。如果题目要求“全部恰好配套”， 就不能自行留下一些零件不算。 如，原有件零件，后来每小时新制件，制作小时后共有件， 而不仅是新制的件。 每套需要长杆根、短杆根，现有长杆根、短杆根， 其中短杆根留作备用。参与配套的短杆只有根， ，可配成套。 ．从人数和实际工时得到产量 一组的总产量＝人数×每人每小时的产量×实际工作小时数。 若给出的是每人每天的产量，就按实际工作天数计算，不能把小时数直接代入。 如，人每人每小时制作件，工作小时，共制作件。 两组实际工作时长不同，应分别计算。若甲组比乙组早开工小时且同时停止， 设乙组工作小时，则甲组工作小时。 工时可以是半天或半小时，但工人人数不能是半个人。人每天制作件， 工作半天制作件，这是工作时间减半，不是把这名工人变成半个人。 ．一包中有两种材料时，分别累计 材料包数、材料件数和成套后的套数是不同的量。若每种材料包里都含两种材料， 应分别累加每一种材料的总量，再按新的配套标准比较套数。 如，甲种包每包含红纸张、蓝纸张，乙种包每包含红纸张、蓝纸张。 共取包，其中甲种包、乙种包，则红纸有张， 蓝纸有张。不能直接把两种材料包的包数当作红、蓝纸的张数。 ．调动前后的产量都要计算 内部调人时，一组减少多少人，另一组就增加多少人，总人数不变。 调人前已经制作的产品仍然存在，不能只计算调人后的产量。 如，共人，甲组原有人，乙组原有人。乙组人数足够调出人。 从乙组调人到甲组后，甲组有人，乙组有人。 若甲零件每人每小时制作件、乙零件每人每小时制作件， 调动前工作小时、调动后工作小时，则甲零件共件， 乙零件共件。 计算某一时刻的库存，只能加上该时刻之前已制作的数量， 并扣除此前已领走的数量；不能把后来才制作的产品提前算进去。 ．最终能配套，还要看交付时是否够用 交付完整套装时，要同时扣去每套需要的各类物品。 已经交付的部分本身就是成套的，因此可以先求全过程合计能配成的套数， 再扣除已经交付的套数。 但“最终够用”不代表“交付时已经够用”。 交货时必须检查当时实际已有的各类数量。 如，每套需甲件、乙件，要交付套，需甲件、乙件。 交付时只有甲件、乙件，虽然乙够用，仍不能交付套， 不能拿之后才会生产出的甲零件补算到这个时刻。 ．检查实际安排 解方程后至少核对三项：人数是否为整数且能按题意调动； 各段工时是否符合开始、调动、停止的先后顺序； 各类物品能组成的套数是否相同，规定保留或领走的数量是否已经计入。 所有答案都应写明相应的单位。 例3、 名工人分组制作甲、乙两种零件。甲组每人每小时制作甲零件件， 当天工作小时；乙组每人每小时制作乙零件件，当天工作小时。 每名工人当天只制作一种零件，每套产品需要甲零件件、乙零件件。 若当天制作的零件恰好全部配套， 甲、乙两组应各安排多少名工人？能配成多少套产品？ 解答 解：设甲组安排名工人，则乙组安排名工人。 甲、乙零件的产量分别为件、件。 由两种零件能配成的套数相等，得。 整理，得，解得。 乙组人数为（人），能配成（套）。 检查：甲零件件、乙零件件，分别恰好满足套产品的需要。 答：甲组安排人，乙组安排人，能配成套产品。 变式3-1、 学校购入桌子和椅子共件，按每套张桌子、把椅子配套， 配套后剩下把椅子，没有剩余的桌子。设购入桌子张，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 解答 。 椅子有把，扣除剩下的把，参加配套的椅子有把。 每张桌子配把椅子，故。 变式3-2、 车间已有甲零件件、乙零件件。甲组每天制作甲零件件， 乙组每天制作乙零件件，两组同时开始生产。 每套产品需要甲零件件、乙零件件。经过________天， 已有的零件与这段时间新制作的零件恰好全部配套， 共能配成________套产品。 解答 ；。 设经过天全部配套，得。 去分母，得，解得。 能配成（套）， 乙零件也可配成（套）。 变式3-3、 名工人分为甲、乙两组，每人每小时可以制作甲零件件或乙零件件。 上午两组都工作小时；下午开始前，从甲组调人到乙组， 此后两组再各工作小时。每名工人在每一时段内只制作所在组对应的一种零件。 每套产品需要甲零件件、乙零件件，全天制作的零件恰好全部配套。 求上午甲、乙两组各有多少名工人，以及全天能配成多少套产品。 解答 解：设上午甲组有人，则上午乙组有人；下午甲组有人， 乙组有人。 全天甲零件共（件）。 全天乙零件共（件）。 由全部零件恰好配套，得。 解得，所以上午乙组有（人）。 全天能配成（套）。 检查：下午甲组人、乙组人；全天甲零件件、乙零件件， 恰好配成套。 答：上午甲组人、乙组人，全天能配成套产品。 A组 基础巩固 A1、 把一批卡片分给名学生，每人张，还剩张。这批卡片共有（　　）。 ．张　　．张 ．张　　．张 解答 。已分出张，加上剩余张，共张。 A2、 张桌子上摆放图书，除最后一张桌子放本外，其余每张桌子均放本。 这些桌子上一共放了________本图书。 解答 。（本）。 A3、 活动室共有排座位，每排个座位。学生就座后，空出整排， 另有排只坐人，其余各排均坐满。学生人数可表示为（　　）。 ．　　． ．　　． 解答 。除排全空及排未满外，坐满的有排， 所以共有人。 A4、 有甲零件件、乙零件件。每套产品需要甲零件件、乙零件件， 这些零件恰好全部配成________套产品。 这些产品所用零件共________件。 解答 ；。（套），零件总数为（件）。 A5、 每套手工材料需要红纸张、蓝纸张。现有红纸张、蓝纸张， 将红纸全部用于配套，蓝纸可以剩余，则能配成________套， 剩下蓝纸________张。 解答 ；。（套），需蓝纸（张）， 剩（张）。 A6、 名学生分组制作盒体和盒盖，其中人制作盒体，其余人制作盒盖。 每名制作盒盖的学生每小时制作个，连续制作小时。 盒盖的总数可表示为（　　）。 ．　　． ．　　． 解答 。制作盒盖的有人，每人小时制作个，共个。 A7、 把一批练习本按小组发放，每组发本后还剩本。 用剩下的本子给每组再发本后，还剩本。求小组数和这批练习本的总本数。 解答 解：设有个小组，由剩余练习本的变化，得，解得。 练习本共有（本）。 答：有个小组，练习本共有本。 A8、 名学生制作盒体和盒盖，每人每小时可制作盒体个或盒盖个， 每人这一小时内只制作其中一种。每个完整纸盒需要盒体、盒盖各个。 若这名学生制作小时后，所有盒体、盒盖恰好配套， 应安排多少人制作盒体、多少人制作盒盖？共能配成多少个完整纸盒？ 解答 解：设人制作盒体，则人制作盒盖。 由题意，得，解得。 制作盒盖的有（人），能配成（个）完整纸盒。 答：人制作盒体，人制作盒盖，共能配成个完整纸盒。 B组 方法运用 B1、 学校把一批图书分给若干个读书小组。若先将图书总数的另行保管， 其余图书按每组本发放后还剩本；若不另行保管，按每组本发放， 还差本。求读书小组的个数和图书总本数。 解答 解：设有个读书小组。由不另行保管时的分法，图书总数为本。 另行保管总数的后，用于发放的是总数的。由题意， 得。 解得。图书共有（本）。 检查：另行保管本，余下本，按每组本发给组后剩本。 答：有个读书小组，图书共有本。 B2、 把一批图书按每组本发放后，将剩余图书的一半留给图书角， 另一半正好够每组再发本。若一开始就按每组本发放，则还剩本。 共有________个小组，这批图书共有________本。 解答 ；。 设有个小组。发完每组本后，剩余图书的一半为本， 所以全部剩余图书为本，原有图书共本。 由另一种分法，得，解得。 图书共有（本）。 B3、 用若干个相同的盒子装一批奖品。若每盒装件，所有盒子装满后还剩件； 若每盒装件，则恰好空出个盒子，其余盒子全部装满。 现改为每盒装件，装满一个再使用下一个，结果是（　　）。 ．使用个盒子，最后一个装件，没有空盒子 ．使用个盒子，最后一个装件，没有空盒子 ．使用个盒子，最后一个装件，没有空盒子 ．使用个盒子，最后一个装件，空出个盒子 解答 。 设有个盒子，由题意，得，解得。 奖品有（件）。改按每盒件，， 实际使用个盒子，全部装满，最后一个也装件； 空出（个）盒子。 B4、 图书馆原有一批图书。按每包本打包，装好若干包后还剩本。 后来新收到本图书，将每包增加本后，仍装同样多包，最后还剩本。 设原来装好包，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 解答 。后来可打包的图书共有本；每包本，装包后剩本， 所以。 B5、 甲种材料包每包含红纸张、蓝纸张，乙种材料包每包含红纸张、蓝纸张。 某小组领取两种材料包共包， 把其中的纸重新配成每套红纸张、蓝纸张的手工材料， 所有纸张恰好全部用完。 甲、乙两种材料包各领取多少包？共配成多少套手工材料？ 解答 解：设甲种材料包领取包，则乙种领取包。 红纸有（张）， 蓝纸有（张）。 由配套关系，得，解得。 乙种材料包有（包），能配成（套）。 检查：红纸张、蓝纸张，恰好全部配套。 答：甲种包、乙种包，共配成套。 B6、 名工人加工甲、乙两种零件，每人每天可加工甲零件件或乙零件件， 工作半天的产量为工作一天的一半。每套产品需要甲零件件、乙零件件。 （1）若每人全天只加工一种零件，当天制作的全部零件能否恰好配套？ （2）若安排其中人用半天加工甲零件、另半天加工乙零件， 其余人仍各用一整天加工同一种零件，应怎样安排这人， 才能使当天制作的全部零件恰好配套？能配成多少套产品？ 解答 （1）设人全天加工甲零件，则人全天加工乙零件。 由全部配套，得，解得。 工人人数必须为整数，因此这种分工不能使当天全部零件恰好配套。 （2）轮换加工的人可制作甲零件件、乙零件件。 设其余人中人加工甲零件，则人加工乙零件。由题意， 得。 解得，。能配成（套）。 答：其余人中，人全天加工甲零件、人全天加工乙零件，共能配成套。 B7、 一批笔按原计划每盒相同的支数装盒，装好盒后还剩支； 若每盒比原计划多装支，则装好盒后还剩支。 每次余下的笔均不足再按该标准装一盒。原计划每盒装________支， 这批笔共有________支。 解答 ；。 设原计划每盒装支，由同一批笔的总支数相同， 得，解得。 总支数为（支）。检查：第一次余支不足支， 第二次余支不足支，均符合题意。 B8、 甲、乙两组分别制作甲、乙两种零件。甲组每小时制作甲零件件， 乙组每小时制作乙零件件。甲组先工作小时，乙组再开始工作， 两组同时停止。每套产品需要甲零件件、乙零件件， 全部制作出的零件恰好配套。求甲、乙两组各工作多少小时， 共能配成多少套产品。 解答 解：设乙组工作小时，则甲组工作小时。 由全部配套，得，解得。 甲组工作（小时），能配成（套）。 乙零件也可配成（套）。 答：甲组工作小时，乙组工作小时，共配成套。 C组 综合应用 C1、 一批学生在活动室就座，每张桌子坐人时，还有人没有座位。 关于每张桌子坐人时的情况，有下面两种记录，其中只有一种符合实际。 记录 就座情况 ① 共空出个座位 ② 恰好空出张整桌，其余桌子全部坐满 已知这批学生按每组人恰好能分成若干个完整的小组。 求活动室的桌子数和学生人数，并写出符合实际的记录序号。 解答 解：设有张桌子，则学生有人。 若记录①符合实际，则，解得，学生有人。 人不能按每组人分成完整的小组，不符合题意。 若记录②符合实际，则，解得，学生有人。 ，符合题意。 答：活动室有张桌子、名学生，记录②符合实际。 C2、 学校原有一批科普书，分给若干个读书小组。若每组分本，还剩本； 若每组分本，还差本。 （1）求读书小组的个数和科普书的总本数。 （2）学校准备把这批科普书与已有的本练习本组合成套， 每套需要科普书本、练习本本。现再购买这两种书共本， 使原有的书和新购买的书恰好全部配套。 应购买科普书、练习本各多少本？共能配成多少套？ 解答 （1）设有个读书小组，由题意，得，解得。 科普书共有（本）。 （2）购买后两种书共（本）。每套共本， 可配成（套）。 需要购买科普书（本），练习本（本）。 检查：，购买后科普书本、练习本本，恰好配成套。 答：有个读书小组、本科普书；应购买科普书本、练习本本， 共配成套。 C3、 车间已有甲零件件、乙零件件。名工人开始工作， 其中人制作甲零件，人制作乙零件。 每人每小时可以制作甲零件件或乙零件件。 开工小时后，另一个车间领走件甲零件。 此后两组仍按原人数工作一段时间，再从乙组调人到甲组。 所有工人都在开工小时后停止工作，期间不停工， 除上述领用外没有其他零件进出，也没有进行装配。 每套产品需要甲零件件、乙零件件，停止工作时， 车间留下的两种零件恰好全部配套。 （1）在开工后几小时调动工人？ （2）调动工人时，车间有甲、乙零件各多少件？停止工作时能配成多少套产品？ 解答 （1）设开工后小时调人。调后甲组人、乙组人， 工作时间为小时。 停止时甲零件有（件）。 停止时乙零件有（件）。 由全部配套，得，解得。 开工小时时，已有甲零件（件），够领走件。 开工小时后调人，在小时领用之后、小时停工之前，符合题意。 （2）调动时甲零件有（件）， 乙零件有（件）。 停止时有甲零件（件）， 乙零件（件），均可配成套。 答：开工小时后调人；调动时甲零件件、乙零件件； 停止时能配成套。 C4、 车间原有乙零件件，没有甲零件。甲组每小时制作甲零件件， 乙组每小时制作乙零件件。每套产品需要甲零件件、乙零件件， 计划采用下列一个方案生产。 方案 开始工作情况 停止工作要求 一 甲组先工作小时，乙组再开始工作 两组同时停止 二 乙组先工作小时，甲组再开始工作 两组同时停止 两方案均从上述原有库存出发，各组工作期间不停工。 最终要求原有零件与新制零件全部恰好配套。 （1）仅按最终全部配套的要求计算， 两个方案分别需要在先开工的小组开始工作后几小时停止？ （2）现有一笔订单，要求在先开工的小组开始工作后小时交付套产品。 哪一个方案能按时交付？按该方案生产，并交付这套后， 停止工作时还可配成多少套产品？ 解答 （1）方案一：设甲组开工小时后停止，则乙组工作小时。 由最终全部配套，得，解得。 方案二：设乙组开工小时后停止，则甲组工作小时。 由最终全部配套，得，解得。 （2）交付套需要甲零件件、乙零件件。 方案一开工小时后，甲零件有（件）， 乙零件有（件），可以按时交付。 方案二开工小时后，甲组仅工作小时，只有甲零件件，不够交付套。 因此选方案一。 方案一全过程可配成（套）。 交付的套同时用去甲件、乙件，停止时剩甲件、乙件， 仍恰好配成（套）。 答：方案一、二分别在开工小时、小时后停止；方案一能按时交付， 停止时还可配成套。 D组 期中期末真题衔接 D1、 （·江苏无锡江南中学·七上期末，第题，据原题整理） 《孙子算经》中的一道问题说：用一根绳子量一根长木，绳子多出尺； 把绳子对折后再量，长木还有尺没有量到。设木长尺， 根据题意可列方程为________。 解答 ，或。 绳子全长为尺，对折后的长度为尺， 因此绳子全长等于对折后长度的倍。 D2、 （·北京延庆·初一上期末，第题，据原题整理） 《九章算术》中有一道“共买鸡”问题：若干人一起买鸡，若每人出钱， 则多出钱；若每人出钱，则还差钱。设有人买鸡， 根据题意可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 解答 。 每人出钱时多出钱，鸡价为钱；每人出钱时尚差钱， 鸡价为钱。由鸡价相同，得。 D3、 （·河南新乡·七上期末，第题①，节选） 某旅行社租车送游客去老君山。若单独租用座客车若干辆，则刚好坐满； 若单独租用座客车，则需要多租辆，且余个空座位。 求该旅行社共有多少名游客。（司机不占用客车座位数。） 解答 解：设租用座客车辆，则需租用座客车辆。 由游客人数相同，得，解得。 游客共有（人）。 检查：，恰好空个座位。 答：共有名游客。 D4、 （·宁夏银川英才学校·七上期末，第题，据原题整理） 某车间生产三角桌，共有名工人， 平均每人每天可以加工桌面个或桌腿条，个桌面和条桌腿配为一套。 应安排多少人生产桌面、多少人生产桌腿， 才能使每天加工的桌面与桌腿恰好配套？ 解答 解：设人生产桌面，则人生产桌腿。 由配套关系，得，解得。 生产桌腿的有（人）。 检查：每天生产桌面个、桌腿条，恰好按个桌面与条桌腿配套。 答：应安排人生产桌面，人生产桌腿。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 一元一次方程——配套与盈不足问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、同一总量的不同分配 二、最后一组与空出的整组 三、配套套数与生产分工 A组　基础巩固 B组　方法运用 C组　综合应用 D组　期中期末真题衔接 一、同一总量的不同分配 ．先确定等式表示什么 同一批物品采用不同分法，物品的实际总数不变；同一批人采用不同安排， 总人数不变。列方程时，等式两边必须表示同一种量。 设人数为。把实际已有的物品总数写出来时： 分配情况 实际物品总数 每人分个，还剩个 每人分个，还差个 “还剩”是分出去以外仍然有的物品，应加回； “还差”是按标准需要但实际上没有的物品，应减去。 如，枚贴纸分给人：每人枚，剩枚，；每人枚， 还差枚，。 收款问题要注意所表示的量。若人每人交元仍差元， 所需总费用是元。这里求的是“需要支付的费用”， 要把欠缺的元补到已收款上，不能照搬分物品时的减号。 ．有特殊分配时，先分清各部分 同一方案中，不同小组可能领取不同的数量。应先写出每一部分的数量，再相加； 计算某一部分人数或组数时，要从总数中扣除已经单独计算的部分。 如，共有组，其中组各领份，其余各领份。其余有组， 总份数为，不是。 两个班或两组的人数有和、差关系时，也应先用同一字母表示。例如， 乙班有人、甲班比乙班多人，则甲班有人。 ．余量与不足量没有直接给数 可以先用一种分法表示物品总数，再求其他分法中的差量： 剩余量＝实际总量-按该标准需要的量； 不足量＝按该标准需要的量-实际总量。 如，给人分贴纸，每人枚后剩枚，总数为枚。若改为每人枚， 所缺的数量为枚。只有算得这个差量为正， 才与“还缺”的说法相符。 题目若说两种差量相等、相差多少或成倍数，就用这两个差量列方程。解出后， 还要检查“剩余”确实大于，“不足”确实尚有缺口。 ．看清“总数的一部分”与“剩余的一部分” 取一部分时，应先找准所针对的数量。 原总数的一半与分发后剩余数的一半通常不同。 如，有本书，先发出本，再把剩余的一半保留。 保留的是本，不是本。 若比较的不是同一时刻，先计入增减变化。例如，原有张纸，发出张， 又补来张，此时共有张。 不能直接把原有量与变化后的量写成相等。 ．列式与检查 先设人数、组数或每组数量为一个未知数，用题中关系表示其他量， 再由同一总量列方程。求解后把结果放回每种分配办法中核对。 人数、组数、整本书的本数等必须是符合题意的整数。 例1、 学校把一批练习本分给参加活动的学生。若每人分本，还剩本； 若每人分本，剩下的本数是每人分本时所缺本数的倍。 求参加活动的学生人数和这批练习本的总本数。 变式1-1、 学校把一批图书分给若干个读书小组。若每组分本，还剩本； 若其中组各分本，其余各组每组分本，则恰好分完。 设共有个读书小组，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 变式1-2、 一组学生共同支付一笔活动费用。若每人交元，还差元；若每人交元， 还差元。经商定，其中人各交元，其余学生平均分摊剩余费用。 其余学生每人应交________元。 变式1-3、 学校把一批阅读资料分给甲、乙两个班，甲班比乙班多人。 若两个班每人都领册，还剩册；若甲班每人领册、乙班每人领册， 还差册。求甲、乙两个班各有多少名学生。 二、最后一组与空出的整组 ．“只有多少”与“还差多少”不同 设一共分成组，每个满组有人。最后一组未满时， 要先确认题目给出的是最后一组的实际人数，还是它还缺的人数。 最后一组的情况 实际总人数 最后一组只有人，其余组均满 最后一组还差人达到人，其余组均满 如，每组人，最后一组只有人，人数是； 若最后一组还差人，则最后一组实际有人，总人数是。 两句话中的“”含义不同，不能互换。 ．空座位与空整排要分开 空出的整组、整排、整桌，要先从总单位数中扣除，再乘每个单位容纳的数量。 空出的几个座位，则直接从总座位数中扣除。 若每排个座位，共排：空个座位时，人数为； 空整排、其余排坐满时，人数为。 如果既空了个完整单位，又另有个未满单位，那么满单位数是。 空单位与未满单位不是同一个，不能只减去。 如，张长凳每张可坐人，空张完整长凳，另有张还差人坐满， 其余均坐满。实际坐的人数为。 也可以数出张满凳、张坐人的凳子，计算。 ．两种安排的组数可以不同 同一批学生改换每组人数后，总人数不变，但实际组数未必相同。 若第一种安排为组，第二种少组，那么第二种共有组； 若第二种最后一组未满，它的满组数还应再减。 新添桌子、减少盒子等变化也先作用于单位数。需要再添张桌子才能坐满， 并且添桌后所有桌子恰好坐满，应使用“原桌数”计算人数， 而不是在人数上加。 ．重新分配后最后一组的数量 求出总量后，按每个单位的数量重新分配，可用整数除法确定满单位数及余数。 如，份资料按每盒份装，正好使用盒，最后一个已使用的盒子也装份。 没有“第盒装份”的已使用盒子。 若有份资料，则先装满盒，还剩份，需要再使用盒，共用盒， 最后一盒装份。 题目说“最后一盒未满”时，它必须装有物品而又未达到规定数量； 若算得恰好装满，就应按满盒记录。求空盒数时，用原有盒数减实际使用盒数， 不能减去满盒数后漏掉未满的一盒。 例2、 把同一批学生依次分组。若每组安排人，最后一组还差人才能达到人， 其余各组均有人；若每组安排人，分成的组数比前一种少组， 最后一组只有人，其余各组均有人。 求这批学生的人数及两种安排各分成的组数。 变式2-1、 活动室有若干张相同的桌子。若每张桌子坐人，需要再添张桌子， 且添桌后所有桌子恰好坐满；若每张桌子坐人，则恰好空出张桌子， 其余桌子均坐满。设原有张桌子，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 变式2-2、 用一批相同的盒子装奖品。若每盒装件，则空出个盒子， 另有个盒子还差件才能装满，其余盒子全部装满；若每盒装件， 则所有盒子恰好装满。这批盒子有________个， 奖品共有________件。 变式2-3、 一批学生在活动室就座。若每张桌子坐人，还有人没有座位； 若每张桌子坐人，则恰好空出张桌子，其余桌子均坐满。 后来又来了若干名学生，把原有桌子全部用上，除最后一张桌子坐人外， 其余每张桌子都坐人。后来又来了多少名学生？ 三、配套套数与生产分工 ．相等的是套数，不一定是件数 每套产品需要甲零件件、乙零件件。若两种零件恰好全部配套，则： 。 左、右两边分别表示两种零件能组成的套数。 如，每套需甲件、乙件，甲件、乙件恰好配成套。甲、乙件数不同， 套数相同。 不能只把两种件数相加，再除以每套总件数，而不检查种类。 若有甲件、乙件，虽然共件，但套需要件乙，现有乙不够， 不能配成套。只有题意要求全部用尽且配比能够实现， 才能按总件数进一步确定套数，并核对各类数量。 ．已有量要加，明确保留的散件要扣 参与配套的数量不一定等于当天新制作的数量：已有库存需要加入， 明确另作他用或保留的散件需要扣除。如果题目要求“全部恰好配套”， 就不能自行留下一些零件不算。 如，原有件零件，后来每小时新制件，制作小时后共有件， 而不仅是新制的件。 每套需要长杆根、短杆根，现有长杆根、短杆根， 其中短杆根留作备用。参与配套的短杆只有根， ，可配成套。 ．从人数和实际工时得到产量 一组的总产量＝人数×每人每小时的产量×实际工作小时数。 若给出的是每人每天的产量，就按实际工作天数计算，不能把小时数直接代入。 如，人每人每小时制作件，工作小时，共制作件。 两组实际工作时长不同，应分别计算。若甲组比乙组早开工小时且同时停止， 设乙组工作小时，则甲组工作小时。 工时可以是半天或半小时，但工人人数不能是半个人。人每天制作件， 工作半天制作件，这是工作时间减半，不是把这名工人变成半个人。 ．一包中有两种材料时，分别累计 材料包数、材料件数和成套后的套数是不同的量。若每种材料包里都含两种材料， 应分别累加每一种材料的总量，再按新的配套标准比较套数。 如，甲种包每包含红纸张、蓝纸张，乙种包每包含红纸张、蓝纸张。 共取包，其中甲种包、乙种包，则红纸有张， 蓝纸有张。不能直接把两种材料包的包数当作红、蓝纸的张数。 ．调动前后的产量都要计算 内部调人时，一组减少多少人，另一组就增加多少人，总人数不变。 调人前已经制作的产品仍然存在，不能只计算调人后的产量。 如，共人，甲组原有人，乙组原有人。乙组人数足够调出人。 从乙组调人到甲组后，甲组有人，乙组有人。 若甲零件每人每小时制作件、乙零件每人每小时制作件， 调动前工作小时、调动后工作小时，则甲零件共件， 乙零件共件。 计算某一时刻的库存，只能加上该时刻之前已制作的数量， 并扣除此前已领走的数量；不能把后来才制作的产品提前算进去。 ．最终能配套，还要看交付时是否够用 交付完整套装时，要同时扣去每套需要的各类物品。 已经交付的部分本身就是成套的，因此可以先求全过程合计能配成的套数， 再扣除已经交付的套数。 但“最终够用”不代表“交付时已经够用”。 交货时必须检查当时实际已有的各类数量。 如，每套需甲件、乙件，要交付套，需甲件、乙件。 交付时只有甲件、乙件，虽然乙够用，仍不能交付套， 不能拿之后才会生产出的甲零件补算到这个时刻。 ．检查实际安排 解方程后至少核对三项：人数是否为整数且能按题意调动； 各段工时是否符合开始、调动、停止的先后顺序； 各类物品能组成的套数是否相同，规定保留或领走的数量是否已经计入。 所有答案都应写明相应的单位。 例3、 名工人分组制作甲、乙两种零件。甲组每人每小时制作甲零件件， 当天工作小时；乙组每人每小时制作乙零件件，当天工作小时。 每名工人当天只制作一种零件，每套产品需要甲零件件、乙零件件。 若当天制作的零件恰好全部配套， 甲、乙两组应各安排多少名工人？能配成多少套产品？ 变式3-1、 学校购入桌子和椅子共件，按每套张桌子、把椅子配套， 配套后剩下把椅子，没有剩余的桌子。设购入桌子张，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． 变式3-2、 车间已有甲零件件、乙零件件。甲组每天制作甲零件件， 乙组每天制作乙零件件，两组同时开始生产。 每套产品需要甲零件件、乙零件件。经过________天， 已有的零件与这段时间新制作的零件恰好全部配套， 共能配成________套产品。 变式3-3、 名工人分为甲、乙两组，每人每小时可以制作甲零件件或乙零件件。 上午两组都工作小时；下午开始前，从甲组调人到乙组， 此后两组再各工作小时。每名工人在每一时段内只制作所在组对应的一种零件。 每套产品需要甲零件件、乙零件件，全天制作的零件恰好全部配套。 求上午甲、乙两组各有多少名工人，以及全天能配成多少套产品。 A组 基础巩固 A1、 把一批卡片分给名学生，每人张，还剩张。这批卡片共有（　　）。 ．张　　．张 ．张　　．张 A2、 张桌子上摆放图书，除最后一张桌子放本外，其余每张桌子均放本。 这些桌子上一共放了________本图书。 A3、 活动室共有排座位，每排个座位。学生就座后，空出整排， 另有排只坐人，其余各排均坐满。学生人数可表示为（　　）。 ．　　． ．　　． A4、 有甲零件件、乙零件件。每套产品需要甲零件件、乙零件件， 这些零件恰好全部配成________套产品。 这些产品所用零件共________件。 A5、 每套手工材料需要红纸张、蓝纸张。现有红纸张、蓝纸张， 将红纸全部用于配套，蓝纸可以剩余，则能配成________套， 剩下蓝纸________张。 A6、 名学生分组制作盒体和盒盖，其中人制作盒体，其余人制作盒盖。 每名制作盒盖的学生每小时制作个，连续制作小时。 盒盖的总数可表示为（　　）。 ．　　． ．　　． A7、 把一批练习本按小组发放，每组发本后还剩本。 用剩下的本子给每组再发本后，还剩本。求小组数和这批练习本的总本数。 A8、 名学生制作盒体和盒盖，每人每小时可制作盒体个或盒盖个， 每人这一小时内只制作其中一种。每个完整纸盒需要盒体、盒盖各个。 若这名学生制作小时后，所有盒体、盒盖恰好配套， 应安排多少人制作盒体、多少人制作盒盖？共能配成多少个完整纸盒？ B组 方法运用 B1、 学校把一批图书分给若干个读书小组。若先将图书总数的另行保管， 其余图书按每组本发放后还剩本；若不另行保管，按每组本发放， 还差本。求读书小组的个数和图书总本数。 B2、 把一批图书按每组本发放后，将剩余图书的一半留给图书角， 另一半正好够每组再发本。若一开始就按每组本发放，则还剩本。 共有________个小组，这批图书共有________本。 B3、 用若干个相同的盒子装一批奖品。若每盒装件，所有盒子装满后还剩件； 若每盒装件，则恰好空出个盒子，其余盒子全部装满。 现改为每盒装件，装满一个再使用下一个，结果是（　　）。 ．使用个盒子，最后一个装件，没有空盒子 ．使用个盒子，最后一个装件，没有空盒子 ．使用个盒子，最后一个装件，没有空盒子 ．使用个盒子，最后一个装件，空出个盒子 B4、 图书馆原有一批图书。按每包本打包，装好若干包后还剩本。 后来新收到本图书，将每包增加本后，仍装同样多包，最后还剩本。 设原来装好包，可列方程为（　　）。 ． ． ． ． B5、 甲种材料包每包含红纸张、蓝纸张，乙种材料包每包含红纸张、蓝纸张。 某小组领取两种材料包共包， 把其中的纸重新配成每套红纸张、蓝纸张的手工材料， 所有纸张恰好全部用完。 甲、乙两种材料包各领取多少包？共配成多少套手工材料？ B6、 名工人加工甲、乙两种零件，每人每天可加工甲零件件或乙零件件， 工作半天的产量为工作一天的一半。每套产品需要甲零件件、乙零件件。 （1）若每人全天只加工一种零件，当天制作的全部零件能否恰好配套？ （2）若安排其中人用半天加工甲零件、另半天加工乙零件， 其余人仍各用一整天加工同一种零件，应怎样安排这人， 才能使当天制作的全部零件恰好配套？能配成多少套产品？ B7、 一批笔按原计划每盒相同的支数装盒，装好盒后还剩支； 若每盒比原计划多装支，则装好盒后还剩支。 每次余下的笔均不足再按该标准装一盒。原计划每盒装________支， 这批笔共有________支。 B8、 甲、乙两组分别制作甲、乙两种零件。甲组每小时制作甲零件件， 乙组每小时制作乙零件件。甲组先工作小时，乙组再开始工作， 两组同时停止。每套产品需要甲零件件、乙零件件， 全部制作出的零件恰好配套。求甲、乙两组各工作多少小时， 共能配成多少套产品。 C组 综合应用 C1、 一批学生在活动室就座，每张桌子坐人时，还有人没有座位。 关于每张桌子坐人时的情况，有下面两种记录，其中只有一种符合实际。 记录 就座情况 ① 共空出个座位 ② 恰好空出张整桌，其余桌子全部坐满 已知这批学生按每组人恰好能分成若干个完整的小组。 求活动室的桌子数和学生人数，并写出符合实际的记录序号。 C2、 学校原有一批科普书，分给若干个读书小组。若每组分本，还剩本； 若每组分本，还差本。 （1）求读书小组的个数和科普书的总本数。 （2）学校准备把这批科普书与已有的本练习本组合成套， 每套需要科普书本、练习本本。现再购买这两种书共本， 使原有的书和新购买的书恰好全部配套。 应购买科普书、练习本各多少本？共能配成多少套？ C3、 车间已有甲零件件、乙零件件。名工人开始工作， 其中人制作甲零件，人制作乙零件。 每人每小时可以制作甲零件件或乙零件件。 开工小时后，另一个车间领走件甲零件。 此后两组仍按原人数工作一段时间，再从乙组调人到甲组。 所有工人都在开工小时后停止工作，期间不停工， 除上述领用外没有其他零件进出，也没有进行装配。 每套产品需要甲零件件、乙零件件，停止工作时， 车间留下的两种零件恰好全部配套。 （1）在开工后几小时调动工人？ （2）调动工人时，车间有甲、乙零件各多少件？停止工作时能配成多少套产品？ C4、 车间原有乙零件件，没有甲零件。甲组每小时制作甲零件件， 乙组每小时制作乙零件件。每套产品需要甲零件件、乙零件件， 计划采用下列一个方案生产。 方案 开始工作情况 停止工作要求 一 甲组先工作小时，乙组再开始工作 两组同时停止 二 乙组先工作小时，甲组再开始工作 两组同时停止 两方案均从上述原有库存出发，各组工作期间不停工。 最终要求原有零件与新制零件全部恰好配套。 （1）仅按最终全部配套的要求计算， 两个方案分别需要在先开工的小组开始工作后几小时停止？ （2）现有一笔订单，要求在先开工的小组开始工作后小时交付套产品。 哪一个方案能按时交付？按该方案生产，并交付这套后， 停止工作时还可配成多少套产品？ D组 期中期末真题衔接 D1、 （·江苏无锡江南中学·七上期末，第题，据原题整理） 《孙子算经》中的一道问题说：用一根绳子量一根长木，绳子多出尺； 把绳子对折后再量，长木还有尺没有量到。设木长尺， 根据题意可列方程为________。 D2、 （·北京延庆·初一上期末，第题，据原题整理） 《九章算术》中有一道“共买鸡”问题：若干人一起买鸡，若每人出钱， 则多出钱；若每人出钱，则还差钱。设有人买鸡， 根据题意可列方程为（　　）。 ． ． ． ． D3、 （·河南新乡·七上期末，第题①，节选） 某旅行社租车送游客去老君山。若单独租用座客车若干辆，则刚好坐满； 若单独租用座客车，则需要多租辆，且余个空座位。 求该旅行社共有多少名游客。（司机不占用客车座位数。） D4、 （·宁夏银川英才学校·七上期末，第题，据原题整理） 某车间生产三角桌，共有名工人， 平均每人每天可以加工桌面个或桌腿条，个桌面和条桌腿配为一套。 应安排多少人生产桌面、多少人生产桌腿， 才能使每天加工的桌面与桌腿恰好配套？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $