专题4.3 用一元一次方程解决问题（10题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本初中数学讲义聚焦“用一元一次方程解决问题”核心知识点，先系统梳理审设找列解验答的完整步骤，再按行程、利润、工程等常见类型分类，通过10大题型构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于融合生活实际与古代问题，如镜架生产配套、《孙子算经》乘车问题等实例，培养学生抽象能力与模型观念。课中助力教师分层教学，课后通过变式训练帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题4.3 用一元一次方程解决问题 教学目标 1，掌握用一元一次方程解决问题的基本方法和步骤，能规范完成审、设、列、解、验、答全过程。 2.能准确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并建立方程模型。 3.体会方程是刻画现实世界的有效模型，发展模型观念与应用意识，提高解决实际问题的兴趣和信心。 教学重难点 教学重点 1.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤，规范书写解题过程。 2.能从实际问题中准确提取等量关系，正确设未知数列出方程。 教学难点 1.从较为复杂的实际问题背景（如涉及图形性质、比例等）中，准确抽象出等量关系并建立方程模型。 2.正确检验方程的解，判断其是否符合实际问题的意义，避免出现不符合题意的解。 知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【即学即练1-1】（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 【即学即练1-2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【答案】(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 【即学即练1-3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 【答案】(1)1月份应缴费用元 (2)2月份应缴费用元 (3)3月份用水量为35吨 【分析】（1）根据，利用前面的两个价目表计算即可； （2）使用三个价目表求解即可． （3）先计算用水为30吨时的费用，比较两个费用的大小，判断用水量，再根据价目表适时计算即可． 【详解】（1）解：1月份用水22吨，因为， 所以应缴费用：（元）． 答：1月份应缴费用元． （2）解：因为， 所以2月份应缴费用：元． 答：2月份应缴费用元． （3）解：因为当用水为30吨时，应缴费用元． 因为，所以3月份用水量超过30吨． 由（2）得 解得 答：3月份用水量为35吨． 题型01 一元一次方程的应用之古代问题 【典例1】（25-26七年级上·江西吉安·期末）《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 【答案】总人数为39人，车辆数为15辆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．是一个典型的古代数学应用题，可通过设未知数，根据两种乘车方式下人数不变的关系来建立方程求解． 【详解】解：设车辆数为辆， 则， 解得， 总人数为（人）， 答：总人数为39人，车辆数为15辆． 【变式1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【答案】 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 【变式2】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【答案】尺 【分析】设木头长x尺，根据“不同测量方法中绳长不变”列方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长尺． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 题型02 一元一次方程的应用之销售问题 【典例2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【答案】这种服装每件的标价是80元 【分析】设这种服装每件的标价是元，根据题意建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设这种服装每件的标价是元， 由题意得：， 解得， 答：这种服装每件的标价是80元． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”大好春光里，放风筝已成为孩子们的最爱.星星青少年活动中心为孩子们购买了8个大风筝和12个小风筝，共花费了272元．已知大风筝的单价比小风筝的单价高9元，求大风筝的单价． 【答案】大风筝的单价为19元 【分析】设大风筝的单价为x元，则小风筝的单价为元，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设大风筝的单价为x元，则小风筝的单价为元，由题意得： ， 解得：， 答：大风筝的单价为19元． 【变式2】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）乐东黎族自治县某槟榔种植户，去年槟榔鲜果收购价为20元/斤，今年收购价比去年低了5元/斤．已知今年每亩产量比去年多200斤，且两年每亩总收入恰好相等．请问该种植户去年每亩产量是多少斤？ 【答案】该种植户去年每亩产量是600斤． 【分析】设该种植户去年每亩产量是斤，则今年每亩的产量是斤，根据两年每亩总收入恰好相等，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该种植户去年每亩产量是斤，则今年每亩的产量是斤，去年槟榔收购价为20元/斤，则今年收购价为（元/斤）， 根据题意，得， 解得， 答：该种植户去年每亩产量是600斤． 【变式3】（2026·吉林松原·模拟预测）济南宽厚里某文创店为迎接端午假期，新上架了以趵突泉、大明湖为主题的两种手绘明信片．已知趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套．该文创店分别购进趵突泉主题、大明湖主题明信片各多少套？ 【答案】趵突泉主题明信片110套，大明湖主题明信片90套 【分析】设该文创店购进趵突泉主题明信片x套，则购进大明湖主题明信片套，该店花费3900元购进这两种明信片共200套．据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设该文创店购进趵突泉主题明信片x套，则购进大明湖主题明信片套，根据题意，得， 解得， 则（套）， 答：该文创店购进趵突泉主题明信片110套，大明湖主题明信片90套． 题型03 一元一次方程的应用之方案问题 【典例3】（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【答案】(1)2550；2565 (2)当时，两种方案购买所需费用一样 【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可； （2）由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：方案一：需付款元； 方案二：需付款元； （2）解：方案一需付款：元． 方案二需付款：元． 根据题意可列方程， 解得． 答：当时，两种方案购买所需费用一样． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）南阳市作为中国月季之乡，月季产业是市区特色名片．某花卉公司收购了23吨南阳月季鲜花，用于加工特色花卉产品，该公司每天可粗加工4吨月季，或精加工1.5吨月季，同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须在7天内全部处理完毕． 该公司三种处理方式的获利情况如下表： 处理方式 每吨获利（元） 直接销售鲜月季花 500 粗加工制成月季干花 2500 精加工制成高端月季花茶 4000 公司设计了三种方案： （1）全部进行粗加工； （2）尽可能多地进行精加工，剩余月季直接销售； （3）一部分精加工、一部分粗加工，恰好用7天完成全部处理． 请你通过计算，帮助该公司做决策，判断哪种方案获利最多． 【答案】方案3获利最多，可采用方案3 【分析】（1）因为已知每天粗加工量和总原料量，所以先验证7天能否完成粗加工，再根据每吨粗加工获利计算总获利． （2）因为要尽可能多精加工，所以先计算7天精加工的总量，剩余原料直接销售，再分别计算两部分获利并求和． （3）因为要恰好用7天完成粗加工和精加工，所以设粗加工天数为，精加工天数为，根据总原料量列方程求解天数，再计算对应加工量的总获利．最后将三种方案的获利金额进行对比． 【详解】方案1：全部粗加工， 所需时间为 天， ∵ ， ∴该方案可行， 获利：（元）． 方案2：尽可能精加工， 7天精加工：吨，剩余：吨， 获利：（元）． 方案3：设精加工x天，粗加工天， ，解得， ， 精加工：吨，粗加工：吨， 获利：（元）， ． ∴方案3获利最多，可采用方案3． 【变式2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 【答案】(1)； (2)①选择乙旅行社，理由见解析；②选择甲旅行社，理由见解析 (3)当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 【分析】（1）根据题意中的优惠方案，列出代数式； （2）把人数、分别代入（1）中的代数式计算，比较后得出结论； （3）先列方程求出两家旅行社费用一样时的人数，再结合（2）的解答写出建议即可． 【详解】（1）解：甲旅行社的费用为：（元）； 乙旅行社的费用为：元． 故答案为：； （2）解：①选择乙旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择乙旅行社； ②选择甲旅行社，理由如下： 当时，甲旅行社的费用为：（元）， 乙旅行社的费用为：（元）， ∵， ∴选择甲旅行社； （3）解：当两家旅行社费用一样时，可列方程， 解得， 答：当人数大于人且小于人时，选择乙旅行社比较优惠；当人数超过人时，选择甲旅行社比较优惠；当人数等于人时，两家旅行社费用一样． 【变式3】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)单独租用甲客车需要4辆，单独租用乙客车需要5辆 (2)租用甲客车2辆，乙客车2辆 (3)（2）条件下总租车费用为1080元，不存在更省钱的租车方案 【分析】本题是一元一次方程的实际应用，属于方案选择问题； （1）利用总人数除以单车载客量，结合车辆数为正整数的要求取整得到结果； （2）设未知数，根据总载客量等于总人数列一元一次方程求解； （3）先计算给定方案的总费用，再枚举所有满足载客要求的方案，比较费用判断是否存在更省钱的方案． 【详解】（1）解：∵，车辆数为正整数， ∴单独租用甲客车需要辆； ∵，车辆数为正整数， ∴单独租用乙客车需要辆； （2）解：设租用甲客车辆，则租用乙客车辆， 根据恰好坐满140人，列方程得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 则， 即租用甲客车2辆，乙客车2辆； （3）解：在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用：（元）； 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 题型04 一元一次方程的应用之配套问题 【典例4】（26-27七年级·全国·暑假作业）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件． 则 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件的数量：（个），做B部件的数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件的数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 【答案】加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】设加工螺栓x人，则加工螺母人，根据螺栓的个数的2倍等于螺母的个数，列方程求解即可； 【详解】解：设加工螺栓x人，则加工螺母人， 根据题意可得， 解得：， 答：加工螺栓20人，加工螺母30人，能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式2】（2026·吉林长春·模拟预测）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【答案】需要用张白纸做盒身 【分析】设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖，每张白板纸做2个盒身，则盒身总数量为个；每张白板纸做3个盒盖，则盒盖总数量为个，利用“一个盒身需要配两个盒盖”列出方程求解即可． 【详解】解：设用x张白板纸做盒身，则张做盒盖， 根据题意得：， 解得：， 答：需要用张白板纸做盒身． 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 题型05 一元一次方程的应用之工程问题 【典例5】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测） 工厂加急加工零件，原计划每天加工60个，按期完成；实际每天多加工20个，结果提前3天完成．求这批零件总数量． 【答案】这批零件总数量为个． 【分析】设这批零件总数量为个，根据题意列方程，并求解即可． 【详解】解：设这批零件总数量为个， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：这批零件总数量为个． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）应用题：某工厂加工一批零件，原计划每天加工个，按时完成任务．实际每天多加工个，结果提前天完成．求这批零件总个数． 【答案】这批零件一共有个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据工作总量工作效率工作时间，以及原计划和实际工作两种方案的工作总量（零件总数）不变这个等量关系列方程，并解答即可. 【详解】解：设原计划天完成， 根据题意可列方程：， 解得， ∴这批零件的总个数为：. 答：这批零件一共有个. 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 【答案】天 【分析】设还需要x天才能加工完这批零件，根据题意列出一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设还需要x天才能加工完这批零件， 根据题意，得 解得 答：还需要5天才能加工完这批零件． 【变式3】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 题型06 一元一次方程的应用之行程问题 【典例6】（25-26六年级下·山东泰安·期末）小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【答案】8千米 【分析】根据相向阶段，小明与爸爸的路程和为12千米，设出未知数，列式求解即可． 【详解】解：∵小明骑自行车速度是12千米/小时，骑行1小时后立即调转车头， ∴小明掉头前行驶12千米， 设爸爸总共步行了x小时，则小明掉头后骑行了小时, 则有，解得， 则千米． 答：爸爸总共步行了8千米． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为小时 【分析】设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时，根据总续航增加列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设慢充的时间为小时，则快充的时间为小时， 根据题意得：，                 解得：， 答：慢充的时间为小时． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？ 【答案】这一圈步道长米 【分析】设这一圈步道长米，根据“乙用时甲用时秒” 列方程求解即可． 【详解】解：设这一圈步道长米，根据题意，得   ，   解得，   答：这一圈步道长米． 【变式3】（25-26七年级下·山西长治·期末）下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】(1)① ② ③ (2)解：由（1）得， 解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 （2）略 题型07 一元一次方程的应用之数字问题 【典例7】（2026·河北张家口·二模）嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将图中所有数相加即可； （2）根据“横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等”列方程求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得． 【变式1】（2026·宁夏吴忠·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数是“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”． (1)判断四位数5324是不是“递减数”； (2)若一个“递减数”为，求这个“递减数”． 【答案】(1) 5324不是“递减数” (2) 这个“递减数”为4312 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴5324不是“递减数”； （2）解：∵为递减数， ∴， 解得， ∴这个“递减数”是4312． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）我们规定一种运算，如，按照这种运算规定，解答下列各题： (1)计算：________； (2)若，求x的值； (3)当________时，． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据，列出算式即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程即可求解． （3）根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， ∴， 解得． （3）∵， ∴， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即 ； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即 ； 步骤3：计算3a与b的和，即 ； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即 ； 步骤5：计算与的差就是校验码x，即 ． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为31，计算步骤中的 ，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和______，______； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 【答案】(1)133，34 (2)3 【分析】（1）先根据该商品条形码的校验码是7，得出，再根据，代入求得c，然后可得出，再代入b，求出a即可； （2）设被污染的两个数字中右边的数字是y，从而可用y表示出左边被污染的数字，再根据校验码是9，是10的倍数，可得出c的个位数字是1，再用y分别表示出前12位数字中奇数位数字之和为，前12位数字中偶数位数字之和为，根据，得出用y表示出c，再根据c的个位数字是1，得出y是3或8，进而得出y的值． 【详解】（1）解：因为已知该商品条形码的校验码是7， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 所以， 解得： 所以该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和， 故答案为：34； （2）解：设被污染的两个数字中右边的数字是y， 则左边被污染的数字是， 因为校验码是9， 所以， 所以， 又是10的倍数， 所以是10的倍数， 即c的个位数字是1， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 前12位数字中偶数位数字之和为， ， 所以， 所以， 因为c的个位数字是1， 所以的个位数字是1， 所以的个位数字是6， 所以y是3或8， 若y是8，则，不符合， 所以， 此时，符合， 所以右边被污染的数字是3． 题型08 一元一次方程的应用之比赛问题 【典例8】（25-26七年级下·福建泉州·期中）用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【答案】该班胜了7场比赛 【分析】设该班胜了x场比赛，根据积分规则列方程求解即可． 【详解】解：设该班胜了x场比赛，则平场，依题意得： 解得： 答：该班胜了7场比赛． 【变式1】（22-23七年级上·全国·期末）一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 【答案】他做对20道题 【分析】设他做对x道题，根据等量关系式：做对的题目得分做错或不做的题目扣除的总分，列出方程，解之即可． 【详解】解：设他做对x道题，依题可得： ， 解得：． 答：他做对20道题． 【变式2】（21-22七年级上·山东临沂·期末）某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分； (2)甲同学得了70分，他答对了几道题？ (3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5，； (2)甲同学答对了道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）根据表格解题即可； （2）设甲同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可； （3）设乙同学答对了道题，则答错了道题，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，答对一题得（分），答错一题得（分）； （2）解：设甲同学答对了道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得； 答：甲同学答对了道题； （3）解：不可能；理由如下： 设乙同学答对了道题，则答错了道题，由题意得： ， 解得：； 是答对题目个数， ∴是自然数， ∴乙同学的成绩不可能是50分． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 【答案】(1)，； (2)道 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是先通过已知数据确定答对和答错的分值，再利用方程求解未知量． （1）首先利用参赛者的满分情况直接计算答对一题的得分，再结合其他参赛者的得分求出答错一题的分值； （2）设同学答对题数为未知数，根据“总得分答对题得分答错题得分”的等量关系建立一元一次方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵参赛者答对题得分， ∴每答对一题得分； 设每答错一题得分，由参赛者的得分情况可得：， 解得； 故答案为：；； （2）解：设参赛者答对了道题，则答错了道题， 根据题意列方程：， 解得：； 答：参赛者答对了道题． 题型09 一元一次方程的应用之几何问题 【典例9】（25-26七年级下·全国·课后作业）课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块用超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图所示．若这两个长方体的体积之比是，试求被切割的棱的两部分的长度． 【答案】被切割的棱的两部分的长度分别为和． 【分析】设被切割的棱的其中一部分的长度为，则另一部分的长度为，利用长方体体积公式结合题目给出的条件列出方程求解即可． 【详解】解：设被切割的棱的其中一部分的长度为，则另一部分的长度为， 由题意得， 化简得， 解得， ， 答：被切割的棱的两部分的长度分别为和． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方体合金的底面长为、宽为、高为，现要将其锻压成新的底面是边长为的正方形的长方体合金，则新长方体合金的高为多少？ 【答案】新长方体合金的高为 【分析】设新长方体合金的高为，根据锻压前后体积不变列方程解决即可． 【详解】解：设新长方体合金的高为， 根据题意，得， 解得， 答：新长方体合金的高为． 【变式2】（2026·山西临汾·二模）网球是一项奥林匹克运动，适用于社会各阶层和各个年龄段．网球场分为单打区和双打区，其平面示意图如图所示，全部区域为双打区，阴影区域为单打区，按照国际尺寸标准：单打区的长、宽分别为78英尺、27英尺，底线到发球线的距离与发球线到球网的距离的比为，单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，求双打区的宽． 【答案】双打区的宽为36英尺 【分析】设底线到发球线的距离为，发球线到球网的距离为，根据题意列出，求出单打边线到双打边线的距离为英尺，再由双打区的宽等于单打区的宽加上两侧单打边线到双打边线的距离求出答案即可． 【详解】解：设底线到发球线的距离为，发球线到球网的距离为， 由题意可得：， 解得， 故底线到发球线的距离为英尺， 单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，即英尺， 双打区的宽等于单打区的宽加上两侧单打边线到双打边线的距离：英尺， 答：双打区的宽为36英尺． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【典例10】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）某地居民用水收费标准如表： 家庭每年用水量 收费 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元/ (1)小亮家去年实际用水量为，则小亮家去年应缴水费多少元？ (2)小明家去年缴水费1200元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】(1)960元 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据表格中收费标准计算即可； （2）先判断小明家去年的用水量超过，然后设小明家去年用水量为，然后根据表格数据建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 答：小亮家去年应缴水费元； （2）解： 小明家去年的用水量超过 设小明家去年用水量为 根据题意，得 解得 答：小明家去年用水量为． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 (1)若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． (2)若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． (3)小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 【答案】(1) (2)小余家年用气量为立方米 (3)小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米 【分析】本题主要考查了分段计费问题的应用、一元一次方程的求解，熟练掌握阶梯单价的分段判断与方程建立是解题的关键． （1）判断用气量立方米属于第一阶梯，直接用单价乘以用气量即可计算费用． （2）先计算出第一阶梯和第二阶梯的总费用，判断2780元对应的用气量属于第三阶梯，再设未知数列方程求解． （3）根据两年用气量总和为立方米，且年用气量多于年，判断年用气量在第一阶梯、年用气量跨第一、二阶梯，设未知数列方程求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：设小余家年用气量立方米， ， 年的用气量属于第三阶梯， ， 解得 答：小余家年用气量为立方米． （3）解：由题意知，年的用气量比年多，且两年的用气量之和为立方米， 年的用气量小于立方米，年的用气量大于立方米， 设小姚家年的用气量立方米，则年的用气量为立方米，由题意得： ， 解得， ， 答：小姚家年的用气量为立方米，年的用气量为立方米． 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·期末） 东营市居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，东营市电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量度，写出电费（单位：元）与之间的关系式： 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费： 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【答案】任务1：；任务2：91元；任务3：240度 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． 任务1：根据阶梯式价格收费方式，列出关系式即可； 任务2：代数求值即可； 任务3：先确定收费的档次，再代数求值即可． 【详解】解：任务1：当时， 即； 任务2：， 当时，（元） 答：小迪同学家8月的电费为91元． 任务3：当时，， 当时，， 所以该户电费位于第二档 当时，． 答：该户10月的用电量为240度． 【变式3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）年月日起，乌鲁木齐居民生活用气（不包含采暖用气）开始执行阶梯价格制度，以下为具体阶梯收费标准： 收费方式 居民生活用气阶梯气量（立方米/年） 目前执行价格 第一阶梯 （含）的部分 元/立方米 第二阶梯 （含）的部分 元/立方米 第三阶梯 以上的部分 元/立方米 已知李明家全年生活用气量为立方米． (1)李明家应缴纳多少费用？ (2)张丽家全年生活用气比李明家多缴纳了元，张丽家全年用气量比李明家多多少立方米？ 【答案】(1)540元 (2)60立方米 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题． （1）根据收费标准计算即可； （2）先判断张丽家2025年全年生活用气超过400立方米，再设张丽家2025年全年生活用气x立方米，根据张丽家2025年全年用气缴费情况列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：李明家应缴纳540元． （2）解：若用气量为400立方米时，应交费用为（元） 张丽家全年生活用气缴费为（元）， 所以张丽家2025年全年生活用气超过400立方米， 设张丽家2025年全年生活用气x立方米，则 解得， 所以张丽家全年用气量比李明家多（立方米）． 一、单选题 1.（25-26七年级下·江苏无锡·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再根据绳子对折后量长木，长木还剩余尺列方程即可. 【详解】解：设木长尺，则 绳子长为尺，根据题意得 . 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】D 【分析】设出原售价，利用成本不变找到等量关系，列方程求解后即可得到成本． 【详解】解：设该服装的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该服装的成本为（元）． 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，设剩下的部分还要完成，则甲的工作时间为，乙的工作时间为，根据甲、乙的工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：设剩下的部分还要完成， 由题意得，， 故选：C． 4．（25-26六年级下·山东淄博·期末）如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用三阶幻方中每行、每列、对角线的和相等的性质，通过列方程消元求解的值． 【详解】设幻和为，中心数为，第一行第三列的数为，第三行中间数为 如图所示， ∵ 左上到右下对角线和为， ∴ ① ∵ 右上到左下对角线和为， ∴ ② ∵ 第三列和为， ∴ ③ 由得：， ∴ ； 将和代入③得： ， ∴ ； ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 ． 二、填空题 5．（26-27七年级上·四川成都·开学考试）服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有66名工人生产，每天最多能生产( )套． 【答案】168 【分析】要使每天生产的服装套数最多，需保证生产的上衣总数等于裤子总数，通过列方程求解生产上衣的工人数，再计算总套数． 【详解】解：设安排名工人生产上衣，则名工人生产裤子， 由题意得 ， 解得 ， ∴每天生产的总套数为 ． 6．（25-26七年级下·重庆万州·期末）2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 【答案】 【分析】设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个，再根据总进球数的等量关系列出方程，求解方程后即可得到小组赛的进球个数． 【详解】解；设中国队淘汰赛共进球个，则小组赛共进球个. 根据题意列方程得： ， 合并同类项得：， 移项得：，即， 系数化为得：， 将代入得：， 中国队小组赛共进球：14个． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 【答案】360元或405元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设所购书的原价为x元，由于付款金额为324元超过200元，因此原价一定大于200元，需根据优惠方案②和③两种情况，分别列方程求解并验证是否符合条件即可解答． 【详解】解：设所购书的原价为x元． 当时，享受九折优惠，即，解得：； 经检验，360在200和400之间，符合条件． 当时，享受八折优惠，即，解得：， 经检验，405大于400，符合条件． 因此，所购书的原价为360元或405元． 故答案为：360元或405元． 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 【答案】6 【分析】将题干图补全为一个大长方形，由于是这个长方形的对角线，这条对角线把长方形分成了两个相同的直角三角形，不难看出，左下角补的两个长方形的面积等于右上角补的长方形的面积，设小长方形的长为x，进而列方程求解即可. 【详解】解：如图， 设小长方形的长为x． ， ， ， ， ， ， 答：小长方形的长是6． 三、解答题 9.（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）两辆车同时从相距千米的甲乙两地相向而行，经过小时相遇．已知客车每小时行千米，货车每小时行驶多少千米？ 【答案】 【分析】先设货车每小时行驶千米，再根据题意列出方程，最后解方程即可． 【详解】解：设货车每小时行驶千米， 根据题意得，， 解得，． 答：货车每小时行驶千米． 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 【答案】小李答对17道题 【分析】设小李答对道题，则答错或不答道题，由等量关系列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小李答对道题， 根据题意，得． 解得． 经检验，符合题意， 答：小李答对17道题． 12．（25-26六年级下·山东威海·期末）某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 【答案】王强购买A类票4张，购买C类票6张 【分析】设购买A类票x张，则购买C类票张，根据题意列方程即可解答． 【详解】解：设购买A类票x张，则购买C类票张． 根据题意，得． 解得． 则． 答：王强购买A类票4张，购买C类票6张． 13．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 【答案】(1) (2) 十字框中的五个数字之和不能等于2020，理由： 设十字框中的最中间一个数为 ，由题意得， 解得 ， 由题意可知， 应为奇数， 则十字框的中五个数字之和不能等于2020． 【分析】（1）利用任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等求出即可； （2） 设十字框中的最中间一个数为，依据题意列方程求出为偶数，但题意应为奇数，故不能． 【详解】（1） 解：由题意， 解得， ， 解得， ， 解得； （2） 解：略． 一、单选题 1.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目已设名工人生产口罩面，剩余工人生产耳绳，根据“一个口罩面配两个耳绳”可知耳绳总数量是口罩面总数量的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设安排名工人生产口罩面，则生产耳绳的工人有名，可得每天生产口罩面总数量为个，每天生产耳绳总数量为个， ∵一个口罩面需要配两个耳绳，刚好配套时，耳绳总数量等于2倍口罩面总数量， ∴． 2．（2026·河南周口·二模）某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 【答案】D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设该商品的标价为元，利用售价与标价、进价、利润率的关系列方程求解． 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 4．（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和，根据长方形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设正方形纸片的边长为，由图形可知，正方形纸片、的边长为和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形纸片的面积为． 二、填空题 6．（2026·陕西咸阳·二模）《九章算术》中有一题，其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗，羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人按比例各应赔多少？若设羊主人应赔偿斗，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设羊的主人赔x斗，由牛、马、羊所吃青苗数量之间的关系，可得出“马的主人赔斗，牛的主人赔斗”，结合共要赔偿饲料5斗，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设羊主人应赔偿斗，则马的主人赔斗，牛的主人赔斗， 根据题意得，． 7．（2026·陕西榆林·二模）年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 【答案】 【分析】根据生产总任务量不变建立等量关系，设未知数后列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个轮船模型， 由题意可知，实际生产天数为天，实际每天生产个，根据总任务量相等，列方程得： ， 解得：， 即原计划每天生产6个轮船模型． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如下两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 团购优惠方案： ①全体人员均八折； ②除7人免票外，其余人员可享九折优惠 【答案】63人 【分析】根据题意，设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 由题意得， ， ， ， 则七年级三个班级共有人． 故答案为：63人． 9．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设实际用水量为x吨，根据收费标准列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴该居民这个月实际用水超过15吨， 设实际用水量为x吨， 依题意，得， 即， 整理得， 解得， 因此． 故答案为：22． 10．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 【答案】 【分析】根据各行各列及对角线上三个数之和相等，列出关于，的二元一次方程组，求解方程组即可得到的值． 【详解】解：根据题意，得， 整理得，解得， 则． 三、解答题 11．（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】25人生产大齿轮，60人生产小齿轮 【分析】设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“ 2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 【详解】解：设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮． 根据题意，得， 解得：， ， 答：安排 25 名工人加工大齿轮，则安排 60 名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 12．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 【答案】2小时 【分析】设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得 ， 解得， 答：小辰参与标注的时间是2小时． 13．（25-26六年级下·山东泰安·期末）一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 【答案】(1)买元的书办卡和不办卡费用相同 (2)她需要付元 【分析】（1）设买元的书办卡和不办卡的费用相同，根据题意列方程求解即可； （2）假设小颖没有办卡，她需要付元，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设买元的书办卡和不办卡的费用相同， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 答：买元的书办卡和不办卡费用相同； （2）解：假设小颖没有办卡，她需要付元， 根据题意可得：， 解得：， 答：如果小颖没有办卡，她需要付元． 14．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 15．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 【答案】(1)2米 (2)立方米每小时 (3)小时 【分析】（1）根据体积相同，得到，求解即可； （2）设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得，求解即可； （3）设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得（米）； （2）解：设乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时，根据题意，得， 解得， 故乙区域内的排水孔的排水速度为立方米每小时 （3）解：设20小时后再经过小时，水位上升了米，根据题意，得， 解得， 故（小时）． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 用一元一次方程解决问题 教学目标 1，掌握用一元一次方程解决问题的基本方法和步骤，能规范完成审、设、列、解、验、答全过程。 2.能准确分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并建立方程模型。 3.体会方程是刻画现实世界的有效模型，发展模型观念与应用意识，提高解决实际问题的兴趣和信心。 教学重难点 教学重点 1.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本步骤，规范书写解题过程。 2.能从实际问题中准确提取等量关系，正确设未知数列出方程。 教学难点 1.从较为复杂的实际问题背景（如涉及图形性质、比例等）中，准确抽象出等量关系并建立方程模型。 2.正确检验方程的解，判断其是否符合实际问题的意义，避免出现不符合题意的解。 知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【即学即练1-1】（2026·广西玉林·模拟预测）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【即学即练1-2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 【即学即练1-3】（25-26七年级上·福建漳州·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水，长泰区采用价格调控的手段达到节水的目的，自来水收费的价目表如下表：（注：水费按月计算） 价目表 每月用水量 单价 不超出20吨的部分（含20吨） 元/吨 超出20吨不超出30吨的部分（含30吨） 元/吨 超出30吨的部分 元/吨 注：每月随征垃圾处理费9元． (1)若小明家1月份用水22吨，应缴费用多少元？ (2)若小明家2月份用水吨（），用含的代数式表示小明家2月应缴纳的费用． (3)若小明家3月份缴纳费用89元，求小明家3月份用水量． 题型01 一元一次方程的应用之古代问题 【典例1】（25-26七年级上·江西吉安·期末）《孙子算经》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“现在有若干人乘车，若每3个人坐一辆车，会空出2辆车；若每2个人坐一辆车，会有9个人没有车坐，只能步行．请问总人数和车辆数各是多少？” 【变式1】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【变式2】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．请你解决这个问题． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 题型02 一元一次方程的应用之销售问题 【典例2】（25-26七年级下·山西临汾·期末）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低40元销售16件的销售额相等，求这种服装每件的标价． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”大好春光里，放风筝已成为孩子们的最爱.星星青少年活动中心为孩子们购买了8个大风筝和12个小风筝，共花费了272元．已知大风筝的单价比小风筝的单价高9元，求大风筝的单价． 【变式2】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）乐东黎族自治县某槟榔种植户，去年槟榔鲜果收购价为20元/斤，今年收购价比去年低了5元/斤．已知今年每亩产量比去年多200斤，且两年每亩总收入恰好相等．请问该种植户去年每亩产量是多少斤？ 【变式3】（2026·吉林松原·模拟预测）济南宽厚里某文创店为迎接端午假期，新上架了以趵突泉、大明湖为主题的两种手绘明信片．已知趵突泉主题明信片每套进价15元，大明湖主题明信片每套进价25元．该店花费3900元购进这两种明信片共200套．该文创店分别购进趵突泉主题、大明湖主题明信片各多少套？ 题型03 一元一次方程的应用之方案问题 【典例3】（2026·江西九江·二模）某校课后服务开设乒乓球兴趣小组活动，计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球．已知该品牌的乒乓球拍每副定价120元，乒乓球每盒定价15元．店家给出了两种销售方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球． 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该校计划购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（，且x为整数）． (1)当时，若该校按方案一购买，需付款______元；若该校按方案二购买，需付款______元． (2)当x为何值时，两种方案购买所需费用一样？ 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）南阳市作为中国月季之乡，月季产业是市区特色名片．某花卉公司收购了23吨南阳月季鲜花，用于加工特色花卉产品，该公司每天可粗加工4吨月季，或精加工1.5吨月季，同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须在7天内全部处理完毕． 该公司三种处理方式的获利情况如下表： 处理方式 每吨获利（元） 直接销售鲜月季花 500 粗加工制成月季干花 2500 精加工制成高端月季花茶 4000 公司设计了三种方案： （1）全部进行粗加工； （2）尽可能多地进行精加工，剩余月季直接销售； （3）一部分精加工、一部分粗加工，恰好用7天完成全部处理． 请你通过计算，帮助该公司做决策，判断哪种方案获利最多． 【变式2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令人叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰宝——山西隰县小西天．某单位在月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为元/人，两家旅行社同时都对人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工折优惠． (1)若设参加旅游的员工共有人，则选择甲旅行社的费用为 元；选择乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示） (2)①这个单位现组织包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； ②若包括领队在内的共名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由； (3)通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 【变式3】（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】华师大版教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． (1)若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ (2)若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ (3)在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 题型04 一元一次方程的应用之配套问题 【典例4】（26-27七年级·全国·暑假作业）一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某车间有工人50人，每人每天可加工螺栓9个或螺母12个，一个螺栓配两个螺母，问如何分配工人，使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？(列方程/方程组求解) 【变式2】（2026·吉林长春·模拟预测）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．现有14张白板纸，为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套，请问需要用几张白板纸做盒身？ 【变式3】（25-26六年级下·山东威海·期末）某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 题型05 一元一次方程的应用之工程问题 【典例5】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测） 工厂加急加工零件，原计划每天加工60个，按期完成；实际每天多加工20个，结果提前3天完成．求这批零件总数量． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）应用题：某工厂加工一批零件，原计划每天加工个，按时完成任务．实际每天多加工个，结果提前天完成．求这批零件总个数． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 【变式3】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 题型06 一元一次方程的应用之行程问题 【典例6】（25-26六年级下·山东泰安·期末）小明和爸爸周末同时出发沿相同路线绕西湖骑行和步行，小明骑自行车速度是12千米/小时，爸爸步行，速度是6千米/小时．小明骑行1小时后立即调转车头，仍以12千米/小时的速度往回骑，爸爸仍按原速度步行，直到与爸爸会合，会合时，爸爸总共步行了多长距离？ 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）列一元一次方程解应用题：某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航，快充每小时可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用．已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是、．问这一圈步道有多长？ 【变式3】（25-26七年级下·山西长治·期末）下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： (1)设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ (2)求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 题型07 一元一次方程的应用之数字问题 【典例7】（2026·河北张家口·二模）嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 【变式1】（2026·宁夏吴忠·二模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数是“递减数”．例如：四位数4129，，是“递减数”． (1)判断四位数5324是不是“递减数”； (2)若一个“递减数”为，求这个“递减数”． 【变式2】（25-26七年级下·河南南阳·期中）我们规定一种运算，如，按照这种运算规定，解答下列各题： (1)计算：________； (2)若，求x的值； (3)当________时，． 【变式3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即 ； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即 ； 步骤3：计算3a与b的和，即 ； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即 ； 步骤5：计算与的差就是校验码x，即 ． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为31，计算步骤中的 ，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和______，______； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 题型08 一元一次方程的应用之比赛问题 【典例8】（25-26七年级下·福建泉州·期中）用方程（组）解决下列问题： 某中学举办了足球比赛，计分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某班参加了11场比赛，并始终保持不败的记录，共得25分，求该班胜了多少场比赛？ 【变式1】（22-23七年级上·全国·期末）一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 【变式2】（21-22七年级上·山东临沂·期末）某校七年级组织知识竞赛，共设20道选择题，每道题的基础分值相同，但答错会扣分，每题必答，下表记录了3个参赛学生的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)由表中数据可知答对一题得_________分，答错一题得_________分； (2)甲同学得了70分，他答对了几道题？ (3)乙同学说他得了50分，你认为可能吗？为什么？ 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）某校组织知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了五位参赛者的得分情况．根据表格提供的信息解答下列问题： 参赛者 答对题数 ？ 答错题数 0 1 5 6 ？ 得分 ？ (1)每答对一题得___________分，每答错一题得___________分； (2)参赛者同学说他得了分，求他答对了多少道题？ 题型09 一元一次方程的应用之几何问题 【典例9】（25-26七年级下·全国·课后作业）课外活动时，小兵用超轻黏土切割刀竖直切割一块用超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图所示．若这两个长方体的体积之比是，试求被切割的棱的两部分的长度． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方体合金的底面长为、宽为、高为，现要将其锻压成新的底面是边长为的正方形的长方体合金，则新长方体合金的高为多少？ 【变式2】（2026·山西临汾·二模）网球是一项奥林匹克运动，适用于社会各阶层和各个年龄段．网球场分为单打区和双打区，其平面示意图如图所示，全部区域为双打区，阴影区域为单打区，按照国际尺寸标准：单打区的长、宽分别为78英尺、27英尺，底线到发球线的距离与发球线到球网的距离的比为，单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，求双打区的宽． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【典例10】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）某地居民用水收费标准如表： 家庭每年用水量 收费 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元/ (1)小亮家去年实际用水量为，则小亮家去年应缴水费多少元？ (2)小明家去年缴水费1200元，他家去年实际用水量是多少？ 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）某市居民年用天然气阶梯价格方案如下： 分类 年用气量（立方米） 到户价格（元/立方米） 第一阶梯 不超过250立方米的部分 第二阶梯 超过250立方米但不超过800立方米的部分 第三阶梯 超过800立方米的部分 (1)若小余家年用天然气立方米，则应缴纳天然气费__________元． (2)若小余家年缴纳天然气费元，求小余家年的用气量． (3)小姚家年和年共用天然气立方米，两年共缴纳天然气费元，且年的用气量比年多，求小姚家年和年的天然气用量各是多少立方米？ 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·期末） 东营市居民生活用电阶梯式收费探索卡 素材1 能源有限，节约无限．为鼓励市民节约用电，东营市电费采用“阶梯收费”的方式． 素材2 居民生活用电阶梯式价格计费方式如下： 第一档：月用电量不超过170度的部分，电价为元/度． 第二档：月用电量超过170度不超过260度的部分，电价为元/度． 第三档：月用电量超过260度的部分，电价为元/度． 问题解决 任务1 已知某户月用电量度，写出电费（单位：元）与之间的关系式： 任务2 已知小迪同学家8月用电量180度，求小迪同学家8月的电费： 任务3 某户10月的电费是127元，求该户10月的用电量． 【变式3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）年月日起，乌鲁木齐居民生活用气（不包含采暖用气）开始执行阶梯价格制度，以下为具体阶梯收费标准： 收费方式 居民生活用气阶梯气量（立方米/年） 目前执行价格 第一阶梯 （含）的部分 元/立方米 第二阶梯 （含）的部分 元/立方米 第三阶梯 以上的部分 元/立方米 已知李明家全年生活用气量为立方米． (1)李明家应缴纳多少费用？ (2)张丽家全年生活用气比李明家多缴纳了元，张丽家全年用气量比李明家多多少立方米？ 一、单选题 1.（25-26七年级下·江苏无锡·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某商店换季准备打折出售某服装，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利15元，则该服装的成本为（     ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·山东淄博·期末）如图，在的方阵图中，填写了一些数和字母（其中字母表示一个数）．若处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个方阵图中字母表示的数为（     ） 13 12 8 A．6 B．7 C．9 D．10 二、填空题 5．（26-27七年级上·四川成都·开学考试）服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子，一件上衣和一条裤子为一套服装．现有66名工人生产，每天最多能生产( )套． 6．（25-26七年级下·重庆万州·期末）2026年6月2日，在意大利国际青少年杯足球比赛中，中国2014队（U12年龄段）夺得冠军．在这次比赛中中国足球小将共参加了7场比赛，全部获胜，总进球数为21个．已知小组赛3场共进球的个数是淘汰赛3场共进球个数的2倍多2个，最后决赛1场，进球1个，则中国队小组赛共进球_______个． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 8．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，是由边长分别是10、12、8的三个正方形和一个宽是2的长方形拼成的图形．线段AB把该图形分成面积相等的两部分，则小长方形的长x为____． 三、解答题 9.（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）两辆车同时从相距千米的甲乙两地相向而行，经过小时相遇．已知客车每小时行千米，货车每小时行驶多少千米？ 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）长春市中小学开展“书香润心灵”读书知识竞赛活动，共设置道阅读考题．答对题得6分，答错或不答题扣4分．某中学学生小李最终得分82分，求他答对的题数． 12．（25-26六年级下·山东威海·期末）某地举办音乐会，演出票的类别与单价如下表： 演出票类别 A类 B类 C类 D类 演出票单价（元/张） 300 280 240 100 王强购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张D类票．王强购买A类和C类的演出票各几张？（列方程解决） 13．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）综合与探究 “幻方”的历史很悠久，传说中最早出现在夏禹时代的“洛书”，用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，即将若干个数组成一个正方形数阵，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等．如图1，就是一个三阶“幻方”，由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如图1），其对角线、横行、纵向的和都为15． (1)探究：如图2是一个“幻方”，则a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)拓展： 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的奇数1，3，5，7，9…排列成数阵（如图3），用十字框随机框出5个数，十字框中的五数之和能等于2020吗？并说明理由． 一、单选题 1.（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某口罩厂有40名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·二模）某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，一个长方形内部恰好能用一些大小不等的正方形纸片、、铺满（每两个正方形纸片之间既不重叠，也无空隙），如果长方形的周长为，那么正方形纸片的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·陕西咸阳·二模）《九章算术》中有一题，其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿谷子共5斗，羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人按比例各应赔多少？若设羊主人应赔偿斗，则可列方程为_________． 7．（2026·陕西榆林·二模）年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如下两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 团购优惠方案： ①全体人员均八折； ②除7人免票外，其余人员可享九折优惠 9．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过15吨，按每吨3元收费；若超过15吨，则超过部分按每吨4元收费，如果某户居民五月份缴纳水费73元，那么该居民这个月实际用水________吨 10．（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则________． 3 2 三、解答题 11．（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 12．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？ 13．（25-26六年级下·山东泰安·期末）一天，小明和小颖在书店门口相遇，他们进行了如下对话： 请你根据他俩的对话内容，解答下列问题： (1)买多少元的书办卡和不办卡的费用相同？ (2)如果小颖没有办卡，她需要付多少钱？ 14．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 15．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图是长方体水池的示意图，该水池的底部被分隔为甲、乙两个独立区域．甲区域以立方米每小时的速度进行注水，乙区域底部的排水孔以一定的速度往下排水．图为注水过程中甲区域水面的高度（米）随时间（小时）变化的图象． (1)表示的数值是________； (2)求乙区域排水孔的排水速度； (3)求图中表示的数值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $