2026-2027学年人教版数学九年级上册期中练习卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．） 1．如图，下列所给图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程时，先要确定a，b，c的值，下面正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（    ） A．80° B．76° C．62° D．52° 4题图 5题图 6题图 5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 7．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A． B． C． D． 8．当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 1、 填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9．在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是 ． 10．如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ． 10题图 12题图 11．已知关于的一元二次方程有实数根，若该方程的两个实数根分别为、，且，则的值为 ． 12．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为 ．． 三、解答题（本大题共6小题，满分64分．） 13．（10分）解方程：（1） （2） 14．（8分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在 格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 2026-2027学年度九年级数学上学期期中测试卷学校 班级 姓名 考号 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15．（10分）商场购进某种新商品的每件进价为60元，在试销期间发现，当每件商品的售价为70元时，每天可销售30件；当每件商品的售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． （1）当每件商品的售价为75元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元； （2）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到400元． 16．（11分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC＝∠D＝60°． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若BC＝4时，求弦AC的长． 17．（12分）如图①是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝1.25m，OB＝5m，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为y＝﹣0.25x2+bx+c． （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口A的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米？ 18．（13分）如图，在等腰中，， 线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延 长线上，过点作，交于，， 求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋 转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且. 求证：； $ 九年级数学试卷 参考答案与详细解析 （满分100分 考试时间120分钟） 说明：本解析按题号逐题给出答案和解题步骤，每个步骤都注明了所用的知识点，方便同学们对照订正、回顾方法。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列所给图形中是中心对称图形的是（　　） 【答案】A 【题目】下列所给图形中是中心对称图形的是。 【解析】中心对称图形是指绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形。把四个图形分别绕中心旋转180°：A旋转后与原图完全重合，是中心对称图形；B、C、D旋转后都不能与自身重合。故选A。 2．用公式法解一元二次方程 3x²+3=2x 时，先要确定 a，b，c 的值，下面正确的是（　　） 【答案】D 【题目】用公式法解一元二次方程3x²+3=2x时，先要确定a，b，c的值，正确的是：A．a=3，b=2，c=3；B．a=−3，b=2，c=3；C．a=3，b=2，c=−3；D．a=3，b=−2，c=3。 【解析】用公式法前，要先把方程整理成一般形式 ax²+bx+c=0。原方程移项得 3x²−2x+3=0，对照可得 a=3，b=−2，c=3。故选D。（提醒：b 是一次项系数，一定要带上它的符号。） 3．抛物线 y=(2/3)(x−1)²+c 经过 (−2，y₁)、(0，y₂)、(5/2，y₃) 三点，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系正确的是（　　） 【答案】D 【题目】抛物线 y=(2/3)(x−1)²+c 经过 (−2，y₁)、(0，y₂)、(5/2，y₃) 三点，则y₁、y₂、y₃的大小关系正确的是：A．y₁>y₂>y₃；B．y₂>y₃>y₁；C．y₃>y₁>y₂；D．y₁>y₃>y₂。 【解析】抛物线的二次项系数 2/3>0，开口向上，对称轴为直线 x=1。开口向上时，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大。三点到对称轴 x=1 的距离分别是 |−2−1|=3，|0−1|=1，|5/2−1|=3/2。因为 3>3/2>1，所以 y₁>y₃>y₂。故选D。 4．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC=38°，则∠BOC的度数为（　　） 【答案】B 【题目】点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC=38°，则∠BOC的度数为：A．80°；B．76°；C．62°；D．52°。 【解析】∠BAC 和 ∠BOC 所对的是同一条弧 BC：∠BAC 是该弧所对的圆周角，∠BOC 是同弧所对的圆心角，圆心角等于圆周角的2倍。∠BOC=2∠BAC=2×38°=76°。故选B。 5．将△ABC绕点A逆时针旋转110°得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（　　） 【答案】B 【题目】将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为：A．30°；B．35°；C．40°；D．45°。 【解析】旋转不改变图形的形状和大小，所以对应边相等：AB=AD，对应角相等：∠BAD=110°。在△ABD中，AB=AD，是等腰三角形，顶角∠BAD=110°，所以底角 ∠ABD=∠ADB=(180°−110°)/2=35°。因为点D落在线段BC的延长线上，B、C、D在同一直线上，所以 ∠ABC=∠ABD=35°。故选B。 6．AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB=16cm，则CD的长是（　　） 【答案】C 【题目】AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB=16cm，则CD的长是：A．2cm；B．3cm；C．4cm；D．5cm。 【解析】半径OC⊥弦AB，由垂径定理得点D平分AB，所以 AD=(1/2)AB=8cm。在Rt△OAD中，OA=10cm，由勾股定理 OD=√(OA²−AD²)=√(10²−8²)=√36=6cm。所以 CD=OC−OD=10−6=4cm。故选C。 7．将抛物线 y=(x−1)² 向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） 【答案】A 【题目】将抛物线 y=(x−1)² 向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为：A．y=(x−5)²+3；B．y=(x−3)²+5；C．y=(x+5)²+3；D．y=(x+3)²+3。 【解析】按“上加下减、左加右减”的规律：向上平移3个单位，得 y=(x−1)²+3；再向右平移4个单位，把x换成(x−4)，得 y=(x−1−4)²+3，即 y=(x−5)²+3。故选A。 8．当 ab>0 时，函数 y=ax²−b 与 y=bx−a 在同一坐标系中的图象可能是（　　） 【答案】C 【题目】当ab>0时，函数 y=ax²−b 与 y=bx−a 在同一坐标系中的图象可能是。 【解析】由 ab>0 知 a、b 同号，分两种情况讨论：①若 a>0，b>0，则 y=ax²−b 开口向上，顶点(0，−b)在y轴负半轴；y=bx−a 的斜率 b>0（上升），与y轴交点(0，−a)在负半轴。②若 a<0，b<0，则 y=ax²−b 开口向下，顶点(0，−b)在y轴正半轴；y=bx−a 的斜率 b<0（下降），与y轴交点(0，−a)在正半轴。逐项检验：A、B中二次函数与一次函数对 a、b 符号的要求互相矛盾；D中一次函数与y轴交于负半轴要求 a>0，与二次函数开口向下（a<0）矛盾；只有C同时满足“开口向下、顶点在y轴正半轴”和“直线下降、与y轴交于正半轴”。故选C。 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9．在平面直角坐标系中，点A(−1，3)关于原点对称的点A′的坐标是　　　　． 【答案】(1，−3) 【解析】点(x，y)关于原点的对称点为(−x，−y)。所以 A(−1，3) 的对称点 A′ 的坐标是 (1，−3)。 10．AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为　　　　． 【答案】40° 【题目】AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数为多少。 【解析】A、B、C、D四点都在⊙O上，四边形ABCD内接于圆，∠ADC 与 ∠ABC 是一对内角对角，所以 ∠ABC=180°−∠ADC=180°−130°=50°。又因为AB是直径，直径所对的圆周角是直角，所以 ∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠BAC=90°−∠ABC=90°−50°=40°。 11．已知关于x的一元二次方程 x²+2mx+m²+m=0 有实数根，若该方程的两个实数根分别为x₁、x₂，且 x₁²+x₂²=12，则m的值为　　　　． 【答案】−2 【解析】方程有两个实数根，所以判别式 Δ=(2m)²−4(m²+m)=−4m≥0，得 m≤0。由根与系数的关系：x₁+x₂=−2m，x₁·x₂=m²+m。则 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=4m²−2(m²+m)=2m²−2m。由 2m²−2m=12 得 m²−m−6=0，解得 m=3 或 m=−2。结合 m≤0，取 m=−2。 12．点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为　　　　． 【答案】√29 【题目】点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为多少。 【解析】把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF，所以 △ADE≌△ABF，得 DE=BF=2，AE=AF，且 ∠ABF=∠ADE=90°，即 B、C、F 三点共线。设正方形边长为 a，则 EC=a−2，CF=BC+BF=a+2。四边形AECF的面积=S△AEC+S△ACF=(1/2)·EC·AD+(1/2)·CF·AB=(1/2)(a−2)a+(1/2)(a+2)a=a²。已知四边形AECF面积为25，所以 a²=25，a=5，即 AD=5。在Rt△ADE中，∠ADE=90°，由勾股定理 AE=√(AD²+DE²)=√(5²+2²)=√29。 三、解答题（本大题共6小题，共64分） 13．（10分）解方程：（1）2x²−4x−2=0；（2）(x−2)²=5(2−x)． 【答案】（1）x₁=1+√2，x₂=1−√2；（2）x₁=2，x₂=−3 【解析】（1）方程两边都除以2，得 x²−2x−1=0。移项：x²−2x=1。配方（两边都加1）：x²−2x+1=2，即 (x−1)²=2。开方得 x−1=±√2，所以 x₁=1+√2，x₂=1−√2。（2）因为 2−x=−(x−2)，原方程可写成 (x−2)²=−5(x−2)。移项并提取公因式：(x−2)²+5(x−2)=0，即 (x−2)(x−2+5)=0，(x−2)(x+3)=0。所以 x−2=0 或 x+3=0，即 x₁=2，x₂=−3。（提醒：第（2）题两边不能直接约去(x−2)，否则会丢掉根 x=2。） 14．（8分）在正方形网格中按要求画图：（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB₁C₁；（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₂B₂C₂． 【答案】见解析（按要求作图） 【解析】（1）旋转作图：点A是旋转中心，位置不变。分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B₁、C₁——借助网格数格子，把线段AB、AC都绕点A顺时针转90°（长度保持不变），得到AB₁、AC₁；再顺次连接A、B₁、C₁，即得△AB₁C₁。（2）中心对称作图：△ABC关于原点O成中心对称，就是把A、B、C三点的横、纵坐标都变为相反数，得到A₂、B₂、C₂；再顺次连接A₂、B₂、C₂，即得△A₂B₂C₂。 15．（10分）商场购进某种新商品的每件进价为60元，当每件商品的售价为70元时，每天可销售30件；售价高于70元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．（1）售价为75元时，每天可销售多少件？商场每天可盈利多少元？（2）每件商品售价定为多少时，商场每天盈利达到400元？ 【答案】（1）25件，375元；（2）每件定价为80元 【解析】（1）售价为75元时，比70元高出 75−70=5元。由“每涨1元日销量减1件”得，日销量=30−5=25（件）。每件利润=75−60=15（元），所以日盈利=15×25=375（元）。（2）设每件售价为x元（x>70）。则每件涨价(x−70)元，日销量=30−(x−70)=100−x（件），每件利润=(x−60)元。由题意列方程：(x−60)(100−x)=400。展开整理：−x²+160x−6000=400，即 x²−160x+6400=0，(x−80)²=0，解得 x=80。答：每件商品售价定为80元时，商场每天盈利达到400元。 16．（11分）AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC=∠D=60°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若BC=4时，求弦AC的长． 【答案】（1）见证明；（2）AC=4√3 【题目】AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠EAC=∠D=60°。（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若BC=4时，求弦AC的长。 【解析】（1）证明：因为 ∠ABC 与 ∠D 都是弧AC所对的圆周角，所以 ∠ABC=∠D=60°。因为AB是⊙O的直径，所以 ∠ACB=90°。在Rt△ABC中，∠BAC=90°−∠ABC=90°−60°=30°。于是 ∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即 AB⊥AE。又OA是⊙O的半径，A是半径OA的外端点，所以AE是⊙O的切线。（2）解：由（1）知 ∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4。在Rt△ABC中，tan∠ABC=AC/BC，所以 AC=BC·tan60°=4×√3=4√3。 17．（12分）如图是一款固定在地面O处、高度可调的羽毛球发球机，A是弹射出口，B是落地点．以O为原点，OB所在直线为x轴、OA所在直线为y轴建立坐标系．已知OA=1.25m，OB=5m，抛物线的表达式为 y=−0.25x²+bx+c．（1）求羽毛球飞行时距离地面OB的最大高度；（2）调整弹射出口高度，使抛物线形状和对称轴位置都不变，落地点到O的水平距离增加0.6m，则弹射出口高度OA应调整为多少米？ 【答案】（1）2.25m；（2）2.24m 【解析】（1）由题意，弹射出口A的坐标为(0，1.25)，落地点B的坐标为(5，0)，两点都在抛物线上。代入 y=−0.25x²+bx+c：代入(0，1.25)得 c=1.25；代入(5，0)得 −0.25×5²+5b+1.25=0，即 −6.25+5b+1.25=0，解得 b=1。所以 y=−0.25x²+x+1.25=−0.25(x−2)²+2.25。抛物线开口向下，顶点为(2，2.25)，故最大高度为2.25m。（2）调整后抛物线的形状和对称轴位置都不变，即二次项系数仍为−0.25，对称轴仍为 x=2。设调整后的抛物线为 y=−0.25(x−2)²+k。新落地点到O的水平距离为 5+0.6=5.6，即抛物线过点(5.6，0)：0=−0.25×(5.6−2)²+k=−0.25×12.96+k，解得 k=3.24。弹射出口高度OA就是 x=0 时的函数值：y=−0.25×(0−2)²+3.24=−1+3.24=2.24。答：发球机的弹射出口高度OA应调整为2.24m。 18．（13分）在等腰△ABC中，AB=AC，线段AD绕点A在平面上旋转．（1）如图1，若∠BAC=α，线段AD旋转到BA延长线上，过点D作DE⊥BC，交BC、AC于E、F，求∠AFD的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠BAC=90°，点D恰好落在边BC上，过点C作CE∥AB，连接DE，使得AD⊥DE且AD=DE．求证：AC=CE+√2CD． 【答案】（1）∠AFD=α/2；（2）见证明 【解析】（1）因为AB=AC，∠BAC=α，所以 ∠ABC=∠ACB=(180°−α)/2=90°−α/2。因为DE⊥BC，E在BC上，所以 ∠FEC=90°。在Rt△EFC中，∠EFC=90°−∠ECF；又 ∠ECF=∠ACB=90°−α/2，所以 ∠EFC=90°−(90°−α/2)=α/2。因为∠AFD与∠EFC是对顶角，所以 ∠AFD=∠EFC=α/2。 （2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC，交BC的延长线于点N。因为AB=AC，∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=∠ABC=45°。因为AM⊥BC，所以△AMC是等腰直角三角形，得 AM=CM=(√2/2)AC。因为AD⊥DE，且M、D、N在同一直线BC上，所以 ∠ADM+∠NDE=90°；又AM⊥BC，∠AMD=90°，所以 ∠ADM+∠DAM=90°，从而 ∠DAM=∠NDE。在△AMD和△DNE中，∠AMD=∠DNE=90°，∠DAM=∠NDE，AD=DE，所以△AMD≌△DNE（AAS），得 AM=DN。因为CE∥AB，所以 ∠ECN=∠ABC=45°；又EN⊥BC，所以△ECN是等腰直角三角形，得 CN=NE=(√2/2)CE。因为 DN=DC+CN，即 AM=DC+CN，所以 (√2/2)AC=DC+(√2/2)CE。两边同乘√2得 AC=√2·DC+CE，即 AC=CE+√2CD。 6 学科网（北京）股份有限公司 $