专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题 （含定值、最值、范围问题） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：三角形面积（定值问题） 3 题型二：四边形面积（定值问题） 5 题型三：三角形面积（最值，范围问题） 8 题型四：四边形面积（最值，范围问题） 10 三、专项训练 12 一、必备秘籍 1、弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 2、三角形面积问题 直线方程： 3、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 4、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的二次项系数. 5、范围问题 首选均值不等式，其次用二次函数，最后用导数法 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 二、典型题型 题型一：三角形面积（定值问题） 【典例1】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【变式1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． (1)求双曲线的半焦距； (2)若，求双曲线的标准方程； (3)求点的坐标及的面积． 【变式2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 【变式3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 题型二：四边形面积（定值问题） 【典例1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）过点，右焦点为，圆：，直线：（）与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 【典例2】（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【变式1】（25-26高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 【变式2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线：与交于，两点. （i）若直线与轴交于点，与线段交于点，且， 证明：直线过定点； （ii）设为坐标原点，若上存在不同于，的点，使， 求四边形的面积. 【变式3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 题型三：三角形面积（最值，范围问题） 【典例1】（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【变式1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【变式2】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 题型四：四边形面积（最值，范围问题） 【典例1】（2026·广西南宁·一模）已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 【典例2】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【变式1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆：经过点及点． (1)求的方程； (2)若点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在轴上方），点满足，设直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 三、专项训练 1．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 3．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 4．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 5．（26-27高二上·江苏·期中）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 8．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，交轴于点，为线段的中点.线段的垂直平分线经过点，且与轴交于点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的取值范围. 9．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 11．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 12．（2026·陕西咸阳·一模）已知双曲线：的实轴长为2，点在上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过交的左支于两点，过交的右支于两点，且．当与轴垂直时，点的纵坐标为3. (1)求的方程； (2)求四边形面积的最小值． 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题 （含定值、最值、范围问题） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：三角形面积（定值问题） 3 题型二：四边形面积（定值问题） 10 题型三：三角形面积（最值，范围问题） 18 题型四：四边形面积（最值，范围问题） 25 三、专项训练 36 一、必备秘籍 1、弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 2、三角形面积问题 直线方程： 3、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 4、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的二次项系数. 5、范围问题 首选均值不等式，其次用二次函数，最后用导数法 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 二、典型题型 题型一：三角形面积（定值问题） 【典例1】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆：（）离心率等于且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【详解】（1）由题意得，， 得， 故椭圆的标准方程为； （2）联立，得， 设，则， 即， ， 则 ， 得， 则的面积 . 【变式1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． (1)求双曲线的半焦距； (2)若，求双曲线的标准方程； (3)求点的坐标及的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出半焦距，利用椭圆与双曲线有公共焦点即可得双曲线的半焦距； （2）利用椭圆定义和余弦定理求出，再由双曲线定义求出，结合求出，即可得出标准方程； （3）联立双曲线与椭圆的方程求出点的坐标，利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】（1）已知椭圆中，， 故椭圆的半焦距，解得. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的半焦距为； （2）设.因为点在第一象限，所以. 由椭圆的定义得. 在中，，由余弦定理得：， 即. 又因为， 代入上式得：， 由双曲线的定义得， 两边平方得， 所以，即，解得. 又因为，所以. 故双曲线的标准方程为； （3）由（2）知双曲线的方程为，即. 将其代入椭圆的方程并整理得：， 即，解得. 因为点在第一象限，所以，代入得，故. 所以点的坐标为. 因此的面积. 【变式2】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：（，）的焦距为，点在其渐近线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，过点且斜率为的直线与双曲线交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线焦距得值，结合渐近线过点列方程求解得标准方程； （2）先求直线方程，联立双曲线方程用韦达定理求弦长，再求点到直线的距离，进而计算三角形面积. 【详解】（1）由双曲线：的焦距为，得，即，故. 又因为双曲线：的渐近线方程为， 将代入渐近线方程得，即. 将代入，解得， 因此双曲线的标准方程为. （2）由（1）知双曲线的标准方程为，所以双曲线右顶点的坐标为. 过且斜率为的直线方程为，整理得. 联立直线与双曲线方程得，消去，化简整理得， ， 设，由韦达定理得. 由弦长公式得. 点到直线的距离. 所以的面积. 因此的面积为. 【变式3】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点． (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组解出即可； （2）设，根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程求出两点的坐标，求出，利用点到直线的距离公式求出的高，代入公式求解即可. 【详解】（1）由题得:， 解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设，如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：， 整理得：， 所以， 所以 所以 又因为点到直线的距离为： ， 所以的面积为. 题型二：四边形面积（定值问题） 【典例1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）过点，右焦点为，圆：，直线：（）与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解斜率； （3）设直线与轴的交点为，切点，由直线与椭圆相切即可求得点的坐标，然后分别求出，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与圆相切，所以， 整理得，又，得， 所以直线的方程为； （3）设直线与轴的交点为，切点，则点的坐标为， 联立，消得，解得，即， 则， ， 所以． 【典例2】（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴以及离心率求解的值，即可得解， （2）联立直线与曲线方程可得韦达定理，结合相似比可得，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式，求解，由三角形面积公式求解，即可利用相似比求解四边形的面积. 【详解】（1）由直线与轴垂直时，，故，故， 又离心率为，则，所以， 双曲线的方程为：. （2）设直线l的方程是，，. 由得， ，. 因为，所以，从而. 所以，，消去得，解得， 它满足，. , 故到直线的距离为， 所以， 由于，所以, 【变式1】（25-26高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，结合即可求解， （2）根据相切得判别式为0可得，进而联立直线方程可得的坐标，即可判断四边形为矩形，利用面积公式化简求解即可. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， , 因为，所以， 故双曲线的方程为 （2）当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线 ， 故由， 从而，化简得 又因为双曲线的渐近线方程为，故由， 从而点.同理可得，， 故MN中点横坐标为， 所以为的中点， 故四边形MONQ为矩形 设四边形MONQ面积为，则 【变式2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知双曲线：的离心率为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线：与交于，两点. （i）若直线与轴交于点，与线段交于点，且， 证明：直线过定点； （ii）设为坐标原点，若上存在不同于，的点，使， 求四边形的面积. 【答案】(1) (2)（i）由条件可知，设，， 联立整理得， 则即， 且，，. 因为，所以，则， 又，所以 即， 所以， 则， 整理得，所以直线的方程为， 故直线过定点. （ii） 【分析】（2）（i）因为，所以，则， 整理得，将直线的方程与双曲线C的方程联立，消去，韦达定理求出，代入上式即可求解 （ii）设， 由，得 将点代入，化简整理得， 将，代入上式，表示出，再求出点到直线的距离，即可求解，又，所以， 所以，得解. 【详解】（1）由题意可知 解得，，故的方程为. （2）（i）略 （ii）设，则，， 因为，所以，即 将点代入，得， 整理得， 又，在上，所以，， 代入上式得， 又，均在直线上， 所以，， 则， 整理得， 将，代入上式，得， 则， 所以 . 又点到直线的距离， 故的面积为. 又，所以， 所以. 【变式3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. 题型三：三角形面积（最值，范围问题） 【典例1】（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，令换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由椭圆方程，得，所以，， 若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去. 设，，，此时， 则，由斜率公式得，， 又因为，在椭圆上，所以①，②， 式子②－①，得， 所以. 因此. （2）因为点关于原点的对称点为，所以点到的距离是点到的距离的倍， 因此三角形面积等于三角形的面积的倍. 椭圆左焦点为，因为点关于原点的对称点记作点，且在第一象限， 因此直线的斜率不为，设直线方程为， 联立方程组， 即，， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 因此当且仅当时取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为. 【变式1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）设，，，联立直线与轨迹的方程，结合韦达定理，用表示面积，利用基本不等式求得其最大值. 【详解】（1）设，，则， 所以，， 又，所以， 即解得. 又点在圆上，所以， 即， 故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，． 联立，消去整理得， ，即， 所以，， ，     令，则， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 【变式2】（26-27高三上·贵州·开学考试）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明：双曲线的渐近线方程为：，点到两条渐近线的距离分别为：，，则，因在双曲线上，所以，代入解得为定值；定值为 (3) 【分析】1.使用离心率求出，，的关系，再将点代入求出双曲线方程； 2.利用双曲线上点的坐标特性，证明该点到双曲线两条渐近线的距离乘积恒为定值； 3.设过动点的直线，与渐近线方程联立得到三角形面积表达式，结合已知条件使用不等式求解。 【详解】（1）由题知，，故，结合，得：，将点代入双曲线方程得：，解得，，所以双曲线的方程为； （2）略，定值为； （3）设过点的直线方程为，联立直线与渐近线的方程得：，，，因为在轴同侧，所以，而，又因为，所以 原点到直线的距离，则， 又利用与，得： 因此， 所以面积最小值为. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）如图，为双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上．设的平分线与轴、轴分别交于点和点，且当时，． (1)当时，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设过点的直线与双曲线交于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长与交于点，当时，，且为中点，结合双曲线定义，以及角平分线的性质，根据题意即可求得结果； （2）根据题意表示出直线的方程，结合韦达定理表示出三角形面积并直接求出范围即可. 【详解】（1）延长与交于点． 当时，，且为中点， 所以， 则，所以双曲线的方程为：， 则， 即， 由点在的平分线上知， 由， 且点在双曲线右支，即，可得， 则， 且， 故由，得. （2）由（1）知， 令，则， 故点．则， 与双曲线方程联立消去得：．， 设，则， 所以， 因为，令，所以， 此式子随着的增大而增大， 所以得，当且仅当时，． 题型四：四边形面积（最值，范围问题） 【典例1】（2026·广西南宁·一模）已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用离心率先得到，然后借助左焦点到四个顶点的距离的中位数即可求得. （2）（ⅰ）设点坐标，由两点斜率公式结合求出点横坐标，再联立过焦点的直线与椭圆，利用弦长公式即可计算弦长； （ⅱ）先求出弦的中点，得到与点，证得，写出四边形面积的表达式，通过换元转化为二次函数，即可得到面积的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即，即， 又因为左焦点到左右两个顶点的距离为，到上下两个顶点的距离都是，即四个距离分别为， 代入得，按从小到大排列为，则中位数为，即，， 所以，则椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设点， 则，因为，则， 因为，所以，即，代入椭圆方程， 即，解得. 设过点的直线为：，联立方程组， 得，所以， 又，则，所以， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足， 所以直线为， 交于点. 因为直线过和，且， 所以方程为， 因为，所以，即， 由（ⅰ）知，同理可得， 所以四边形面积为， 令，， 令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以最大值为， 而时，，当时，， 即，所以. 【典例2】（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得即可求椭圆方程； （2）设出的方程为，利用直线与椭圆求出，由的方程得到的方程，利用直线与圆的位置关系，求出，则四边形的面积，利用的变化即可求的取值范围. 【详解】（1）由已知可得，则. 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的方程得. 设的方程为，，. 联立得，故 . 过且与垂直的直线：，则圆心到的距离为， 所以， 故四边形面积：. 因为，所以. 则，得. 所以. 当的斜率为0时，， 则， 当的斜率不存在时，， 则， 故四边形面积的取值范围为. 【变式1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆：经过点及点． (1)求的方程； (2)若点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在轴上方），点满足，设直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i），则直线的方程：，即， 因为，，所以，， 设的直线方程为， 联立得， ， ①，②， 直线的方程为， 将点代入得， 即， 即， ， 将①②代入得， 整理得， ， ， ， ， 解得或， 当时，直线：，恒过，不成立； 当时，直线：，恒过， 所以直线恒过定点. （ii） 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，然后解方程即可； （2）（i）根据的坐标得到直线的方程，然后根据得到的坐标，设直线的方程，与椭圆方程联立，然后根据点在直线上列等式，得到，即可得到直线恒过定点； （ii）将四边形分割成和，然后根据点在两侧求的最大值，即可得到四边形面积的最大值. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2） （i）略. （ii）， 设点到直线的距离分别为， 则， ， 因为位于直线的两侧， 所以 ， ， 由（i）得，则， 令，则， 令，则， 令，， 所以在上单调递减， 所以当，，时，取得最大值，为， 此时， 所以四边形面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题： ①几何思路：根据几何知识判断，例如：两点之间线段最短等； ②代数思路：将需要求的转化为代数形式表示，然后走不等式或函数的思路求最值. 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的条件列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及共线条件求解；（ii）求出四边形面积的表达式，利用函数的单调性求出范围. 【详解】（1）由双曲线的左焦点为，离心率为， 得，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， ，由，得，联立解得， 所以直线的方程为. （ii）由（i）知，连接，设四边形的面积为， 则，由对称性不妨令，由， 得，即，则，解得， ，而为中点，则， 而，因此， ，，， 则，函数在上单调递增， 于是，而当从小于的方向趋近于时，， 所以四边形的面积的取值范围为. 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为渐近线方程为，所以可得​，再将点代入双曲线方程，联立即可求解，得到双曲线方程； （2）先求出 的坐标，设过的直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，再写出的表达式，代入坐标关系化简即可求得比值； （3）设的斜率为，则​的斜率为​，分别将两条直线方程与双曲线联立，求出弦长和，根据四边形面积公式 得到关于的表达式，结合双曲线的交点限制和函数性质求解取值范围. 【详解】（1）已知双曲线（）的渐近线方程为， 因此，即. 双曲线过点 ，代入方程得： ， 将代入： ， 解得，则 . 因此双曲线的方程为 （2） 由（1）知双曲线的左右顶点为，，右焦点. 设过的直线方程为，，. 联立，消去得直线与右支交于两点， 由韦达定理得，而,故， 斜率，，则 将和代入， 化简得： ， 故. （3） 设直线（），则. 联立与双曲线：需， 则， ， 故. 同理，联立与双曲线需， 则. 四边形的面积， 代入得 , 不妨设，则, 令，则 ，设 ， 因为，所以，所以，故. 因此四边形面积的取值范围为. 三、专项训练 1．（26-27高二上·河南南阳·期中）已知椭圆：的上顶点为，且上顶点与右顶点之间的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且为的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与交于另一点，为坐标原点，直线与交于另一点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】第一问结合椭圆的几何性质进行求解. 第二问设，均在椭圆上，满足椭圆的方程，并作差求解直线的斜率. 第三问联立、消元，代入求解. 【详解】（1）由上顶点为，得．     又右顶点为，所以，解得．     所以的方程为． （2）设， 因为为的中点，所以，．①     又，，两式相减，得，     将①式代入，得，     因此直线的方程为，即．    （3）设由的面积为知，直线的斜率存在，设其方程为．     由，消去并整理，得，     则．     由椭圆对称性可知，，所以，     所以，整理得， 解得或，     故直线的方程为，．    2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线：与椭圆相交于，两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件确定的值，确定椭圆方程. （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出，再利用求的面积即可. 【详解】（1）由题知，，则， 又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知，直线过右焦点，如图，作出符合题意的图形， 设，，联立， 消去得，所以由韦达定理得，， 则由弦长公式得， 所以的面积． 3．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于、两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆的离心率的值； (2)直线过点且与圆相切，且不过第二象限． （i）求弦长的值； （ii）点是椭圆上的动点，求三角形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) ，，离心率； (2) （i）；（ii）面积最大值为，此时点坐标为. 【分析】(1)由椭圆标准方程求得焦点坐标和离心率； (2)先根据直线与圆相切、不过第二象限确定直线方程，联立椭圆利用韦达定理求弦长，再通过辅助角公式求椭圆上点到直线的最大距离，进而得到面积最大值和对应点坐标. 【详解】（1）由椭圆得，故，，因此左焦点，右焦点，离心率. （2）（i）设直线的方程为，斜率不存在时直线与圆不相切，舍去. 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，即. 因直线不过第二象限，时纵截距为，经过第二象限，舍去，故，直线方程为. 联立，消去得。设，由韦达定理得. 弦长. （ii）设为椭圆上任意点，满足，到直线的距离. 令，则（为辅助角），取值范围为. 故最大值为，. 三角形面积，因此. 此时，联立椭圆方程解得，即. 【点睛】 4．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【详解】（1）由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. （2）（i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 5．（26-27高二上·江苏·期中）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)由椭圆，得， 设，易得， 则直线的方程为， 令，可得，则得，即， 因为是椭圆上异于的一个动点，故，即， 则，为定值. (2)12 【分析】（1）设，得到，再表示出，进而求证即可； （2）设，结合（1）得到，设，可将其理解为动点与定点所在直线的斜率，而动点在以原点为圆心的单位圆上，进而分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则 ， ， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得 ， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离 ，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知，为双曲线：（，）上的两点. (1)求的离心率； (2)过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入双曲线方程可得，再代入可得，最后利用离心率公式即可求得； （2）先求出和直线的方程，再利用三角形面积公式得到点到直线的距离，联立点到直线的距离公式和双曲线方程，求出符合下支条件的点，最后即可求得直线的方程. 【详解】（1）将代入的方程，得. 将代入的方程，得，即 故离心率为. （2）由题意知，直线的方程为. 设点到直线的距离为，则，即， 由点到直线的距离公式得，所以. 又点在的下支上，由（1）知，且. 由，解得或， 由，得，解得，舍去. 所以点的坐标为或， 当时，直线的斜率为，所以方程为：； 当时，直线的斜率为，所以方程为：，即， 所以直线的方程为或. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据渐近线的定义即可写出； （2）分、两种情况讨论，分别求出点的坐标，即可求的面积. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）易知，已知， 点在双曲线上且不与坐标轴垂直，则， ①当时，将代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设， 则， 则，解得， 则.       故的面积为或. 8．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，交轴于点，为线段的中点.线段的垂直平分线经过点，且与轴交于点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）若直线与轴垂直，则线段的垂直平分线为轴，不经过，不合题意； 若直线平行于轴，与双曲线的右支只有一个交点，不合题意； 故设直线的方程为，其中， 又时，直线与双曲线只有一个交点，故. 设，，， 联立，得， 又为线段的中点， 所以，，故， 又，则由，得，即， 代入，得， 因为，则，所以. 又，直线方程为，则. 所以为线段的中点，故. （ⅱ） 【分析】（1）由题意，已知条件满足双曲线定义，且为右支，即可得到曲线的方程； （2）（ⅰ）由题意可知直线的斜率存在， 故设直线的方程为，其中，又得，直曲联立，利用韦达定理和，表示出，即可得证； （ⅱ）由题意结合韦达定理可得，由，结合，得，由表示出的面积，利用导数的单调性，可得面积的取值范围. 【详解】（1）已知点，， 点满足，满足双曲线定义，且为右支， 设的轨迹方程为. 由题意，， 所以的方程为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因为，两点均在双曲线的右支， 所以，，，则， 代入，则， 则要有两个不同的交点，须，结合，得， 由，得， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，当时，， 所以面积的取值范围为. 9．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. (1)求的方程. (2)过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. （2）（i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知双曲线的离心率为2，焦距为4． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为双曲线右支上位于轴上方的一点，直线交轴于点． （ⅰ）设双曲线的左、右顶点分别为，直线与直线分别交直线于两点，若，求点坐标； （ⅱ）设双曲线的右焦点为，点关于轴的对称点为点，直线和双曲线的右支交于点，当直线的倾斜角时，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用双曲线的离心率和焦距的定义，结合的关系，可得，从而得到标准方程； （2）（i）先设出点的坐标，写出直线的方程，求出它们与直线的交点，再利用的条件，结合双曲线方程联立求解即可； （ii）借助向量的坐标运算判断出三点共线，然后根据直线的倾斜角的范围确定斜率的范围，最后结合面积公式化简，通过换元法即得面积取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为4，即，所以， 由，得， 又因为， 因此双曲线的标准方程为. （2）（i）由题意知：双曲线的左、右顶点分别为， 设点，有， 则直线，当时，有， 直线，当时，有， 所以，即， 又，即，代入上式化简得：， 两边平方化简得，故，代入双曲线得，因此. （ii）因为右焦点，， 设直线，联立方程组，化简得：，由韦达定理得：，， 又因为，， 且 ， 所以，点三点共线， 设直线，，， 联立方程组，整理得， 所以，， 又 令， 则． 【点睛】以双曲线为载体，先利用基本关系确定双曲线方程，结合几何条件联立方程，最后用代数方法求解坐标与范围，核心是将几何条件转化为代数运算，同时注意双曲线的定义与变量的取值范围. 11．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知等轴双曲线的左、右顶点分别为，且.不在x轴上的点关于原点O对称，且点都在双曲线C上，过点分别作以线段为直径的圆的一条切线，这两条切线相交于点P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求点P的横坐标； (3)求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)或1 (3)4 【分析】（1）由双曲线为等轴双曲线，结合实轴长，求出得双曲线C的标准方程； （2）通过设点，设切线方程， 联立方程组结合韦达定理和点在双曲线C上，求点P的横坐标； （3），求出点P的坐标，得，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）由双曲线为等轴双曲线，有， 又由，有，可得， 故双曲线C的标准方程为. （2）设（其中），有，可得. 设直线的方程为，直线的方程为. 由直线和直线都与圆O相切，有.，       可得是关于k的方程的两个根，整理为， 有. 联立直线和直线方程消去y后，有， 代入，有，整理为， 又由 ， 有，代入，可得，故点P的横坐标为或1. （3）由圆的对称性，可知. 又由圆的对称性，不妨设点P的横坐标为1， 又由，可得直线OP的方程为，取，可得点P的坐标为， 有. 可得（当且仅当或时取等号）， 故的面积的最小值为4. 12．（2026·陕西咸阳·一模）已知双曲线：的实轴长为2，点在上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和双曲线上点的坐标求双曲线的标准方程. （2）设直线：，代入双曲线方程，利用韦达定理表示点坐标.利用三点共线和，表示出点坐标，然后弦长公式和点到直线的距离公式表示出四边形的面积，再结合换元法和导数分析函数的单调性，求四边形面积的最小值. 【详解】（1）由已知得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）设，，，， 如图：    设直线的方程为， 联立得， ，且， ，， 所以，所以. 由，，三点共线得，① 由得， 又，则，② 联立①②解得，，即， 由是线段的中点及可知，四边形是平行四边形， 设到直线距离为， 则， 而， . 令（且），则， 则， 令，则， 所以在上，单调递增； 在上，单调递减； 在上，单调递增， 又因为，， 所以， 当即时，符合题意， 所以. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过交的左支于两点，过交的右支于两点，且．当与轴垂直时，点的纵坐标为3. (1)求的方程； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）依据题意可知，然后代值计算即可； （2）依题意可知，设直线的方程为并与双曲线方程联立，利用韦达定理，代值计算可得，然后换元，最后根据函数单调性可知. 【详解】（1）当与轴垂直时，易知四边形为矩形， 因为，所以，此时； 将代入双曲线中，得， 解得，故的方程为． （2）由题意设直线的方程为，且． 如图，      由过过及双曲线的对称性可得，故四边形为平行四边形，则， 结合两直线平行及双曲线的对称性可知，则． 联立消去得． ， 由于均在双曲线右支，故，即， 解得， ， 令，则， 易知随的增大而减小，当时，， 故四边形面积的最小值为24． 14．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点． (1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围； (2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论与双曲线交于两支两点或右支交于两点，结合通径即可求解； （2）通过直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合四边形是矩形，求得到渐近线的距离，代入面积公式化简求解即可. 【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时， 若与双曲线交于右支两点，则，解得， 综上可知： （2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直， 易知四边形为矩形， 若的斜率不存在，由，可设， 代入，可得：，不妨取， 则，渐近线的距离为， 所以， 若的斜率存在， 设直线AB的方程为， 联立方程得， 整理为： ① 故 ② ③ 由， 平方得 将式②、③代入得 ④ 设，于是， ⑤ . ⑥ 因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形， 其面积S等于点P到渐近线距离的乘积， 于是： 将式⑤、⑥代入上式得 由式④代入化简得，因为， 所以且， 所以 综上四边形的面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $