专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题07解三角形面积问题问题 (含定值，最值，范围问题))（典型题型归类训练） 目录 一、必备秘籍. 二、典型题型。 题型一：求三角形面积（定值问题）.2 题型二：求三角形面积（最值问题）...5 题型三：求三角形面积（范围问题)...7 题型四：四边形中面积问题....… 三、专项训练... ……..12 一、必备秘籍 基本公式1、正弦定理及其变形 a b sin A sin B sinC C=2R(R为三角形外接圆半径) (①)a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C(边化角公式) 2R'sinB=b (2)sinA= ,sinC= C 2R(角化边公式) (3)a:b:c=sin A:sin B:sin C 基本公式2余弦定理及其推论 COs4=b+c2-a 2bc a2 =b2+c2-2bc cos A COsB=a'+c2-b2 2ac b2=a2+c2-2accos B CosC=a2+b2-c2 c2=a2+b2-2abcos C 2ab 基本公式3、常用的三角形面积公式 (1)S×底×商， 1 1 2》SAnC=absin C=-bcsin A-亏ca sin B(两边夹二角 核心秘籍1、基本不等式 ①Nabs a+b 2 ②a2+b2≥2ab 核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围) 利用正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式， 根据角的取值范围，求面积的取值范围。 二、典型题型 题型一：求三角形面积（定值问题） 【典例1】(26-27高三上广东深圳阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 为a6c,已知os1-}b-els如B+m9)-=a-2cm4. (1)证明：△ABC是锐角三角形： (2)已知点D在线段BC上，且AD平分∠BAC,若AD=1,求△ABC的面积. 【典例2】(26-27高二上·贵州贵阳阶段检测)在△ABC中，角A，,B,C的对边分别为a b,c,acosC=csinA. (1)求角C的大小： (2)若C=2,△ABC的周长为6，求△ABC的面积， 【变式1】(26-27高三上江苏阶段检测)已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且满足2 acos B=c-a. (1)求证：B=2A; 2若b=口，c=a+'求BC的面积 【变式2】(26-27高三上辽宁鞍山阶段检测)在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B ，C所对的边，且满 c0sB+b=0」 -cosC 2a+c (1)求角B的值： 2)若。=2'AC边上的中线BD=5, ，求。ABC的面积， 【变式3】(26-27高三上陕西榆林·阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是 a,b,c,acosC+ccos A=2bcosB (1)求B: (2)若b=3,∠ABC的平分线与AC相交于点D,且BD=2,求△ABC的面积. 题型二：求三角形面积（最值问题） 【典例1】(26-27高三上浙江阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a, sin A+sin B c b'c’且sinA-sinC-a-b: (1)求角B的大小： (2)若点D满足AD=2DC,且BD=2,求△ABC面积的最大值. 【典例2】(26-27高三上贵州毕节·开学考试)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别 2c+b 为a’b'c’且cosB= 2a· (1)求角A的大小： (2)若AD是BC边上的中线，且AD=3,求△ABC面积的最大值， 【变式1】(25-26高三上四川雅安开学考试)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C 的对边，且bcosC+bsinC=a. (1)求B: (2)若b=2，,求△ABC面积的最大值. 【变式2】(26-27高三上·黑龙江·开学考试)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,2b+a=2 ccosA,点P在AB边上，且CP=1. (1)求角C的值： (2)若AP=PB,c=2W2,求△ABC的周长： (3)若∠ACP=π =6,求。4BC面积的最小值. 【变式3】(26-27高三上·浙江·开学考试)在△ABC中，a,b,C分别是角A,B,C所 3c sinC 对的边，且满足a=cosA (1)求角A的大小： (2)若D为BC边上的一点，AD平分∠BAC且AD=2,求△ABC面积的最小值. 题型三：求三角形面积（范围问题） 【典例1】（重难点培优04解三角形中的最值与范围（复习讲义）（全国通用）2027年 高考数学一轮复习讲练测)在A1BC中，角么，B,C的对边分别为ab.C:已知A-行 3 ,a=2 (1)求△ABC面积的最大值： (2)求△ABC面积的取值范围. 【典例2】(25-26高一下广东深圳期末)△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b ,c.已知sin2A+sin Bsin C=sin2B+sinC. (1)求tanA的值； (2)若cos BcosC=1b+c F6,求a的值： (3)若△ABC为锐角三角形，且BC边上的高为2，求△ABC面积的取值范围. 【变式1】(25-26高一下·湖北襄阳·期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c,已知m=(a,a-23 bsin C）,n=(cos(B-C),cosA),且m1n,b=4. (1)求A的值： (2)若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围】 【变式2】(25-26高一下·陕西西安·期末)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,acosC-csin A=0. (1)求C: (2)若a=2,求△ABC面积的取值范围 【变式3】(26-27高二上陕西西安阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边a,b, c分别为体积是e+2ac)的圆合的上、下底面半径和高。 (1)求角C的大小： (2)若△ABC为锐角三角形且C=7,求△ABC面积的取值范围， 题型四：四边形中面积问题 【典例1】(26-27高二上陕西西安开学考试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a b,c,3(bcosC+ccos B)=2asin A (1)求A: (2)若C=2 bcos A,点D在△ABC外，DA=DC=1,求四边形ABCD面积的最大值. 【典例2】(2026广东汕头三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为 △ABC的面积，且sin2A=sin2B,V3(a+b-c2)=4S (1)判断△ABC的形状； (2)设点D为△ABC所在平面内一动点，C,D分别位于直线AB的两侧，设 ∠ADB=(0<6<π)，若AD=1,BD=2,求四边形ADBC面积的取值范围. 【变式1】(2026山东威海二模)在△ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且 √5b=2(a-ccos B) (1)求C; (2)如图，已知D为△ABC外一点，AD=22,CD=4,BC=AC,求平面四边形ABCD 面积的最大值， 【变式2】(25-26高三上江西南昌·期中)如图，在平面四边形ABCD中， BC=CD=2AB=4,AD=3AB D B (1)若A=60°，求四边形ABCD的面积： (2)求四边形ABCD面积的最大值， 【变式3】(25-26高三上山东烟台开学考试)△ABC满足： asin A-bsin B=c(sin C-sin B) (1)求角A的大小： (2)D为AC的中点，且BD=3,求bc的最大值 B)若B=号P为AMBC外-点，M=LPB=3,求四边形APBC面积的最大值 三、专项训练 1.（2026广东扩州模拟预测)在。1BC中，4-， =3,D为BC边上一点，且AD⊥AB (1)若AB=3,AC=2,求BD; (2)若AD=3,求△ABC面积的最小值. 2.(26-27高一上湖南邵阳阶段检测)已知△ABC中，a=V13,且 sin Acos C+cos Asin C sin C+sin A c+b-a a-b (1)求△ABC外接圆的半径： (2)若C=3,求△ABC的面积. 3.(26-27高二上贵州贵阳阶段检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c.已知a=2,b=V6,A=45 (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积. 4.(26-27高二上湖北阶段检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已 知(2c-b)cosA-acosB=0 (1)求A: (2)若点M在BC上，满足BM=2MC,AM=2,求△ABC面积的最大值. 5.(26-27高三上北京朝阳阶段检测)在△ABC中，acosC-a=a-ccos4. (a)求。的值： 2若4=若c=5,求6及AC的面积 6.(26-27高三上·天津河北阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b ,c,己知(a+b+cb+c-a)=bc,3 csinB=bsinA. (1)求角A: 2)求cos(2A+C)的值： (3)若a=3,求△ABC的面积. 7.(26-27高三上·天津武清·阶段检测)已知函数f(x)=2 sin wxcosx+23sin2ox-V3 (@>0),函数f(x)的最小正周期为π. (1)求o的值及此时f(x)的对称轴： (2)将.f(x)向右平移P(0>0)个单位后得到一个偶函数，求P的最小值. (3)若A为锐角△ABC的内角，且f(A)=V3,a=2V3,求△ABC面积的取值范围. 8.(26-27高二上辽宁朝阳阶段检测)△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b, c.已知：sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C. (1)求tan4的值： (2)若△ABC为锐角三角形，且BC边上的高为2，求△ABC面积的取值范围. 9.(26-27高二上河北廊坊开学考试)已知a,b,c分别为△ABC的内角AB,C的对 边，tanA.tanB.tanC=3√3 (1)证明：△ABC为等边三角形； (2)若C=2,点D为△ABC内（不含边界）的一个动点，且BD=1,求△ABD面积的取值范 围. 10.(2026湖南益阳模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,℃，且 asinB-2bcosA=a2-b2-c2 2c (1)求A: (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 11.(26-27高三上贵州阶段检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,C.已知 c=4,a2+b2=10 (1)求证：△ABC是钝角三角形； (2)求△ABC的面积的最大值. 12,25,25高-下湖北成守期未)已知a=4os46n,6-气mx-君x- ,与b的夹角为0，函数f(x)=2cos0 (1)求函数f(x)最小正周期和对称中心： (2)若△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(4)=2,a=V3,求△ABC面积的最大 值 13.(25-26高一下·广东阳江期末)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对 边，满足asin B=V3 bcosA. (1)求A: (2)若a=2,且△ABC面积为V3,求△ABC的周长； (3)若△ABC是锐角三角形，且b=2,求△ABC面积S的取值范围. 14.(25-26高一下安徽马鞍山期末)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 a=23 asin B+3bcos A=0. (1)求角A: (2)求△ABC面积的最大值： 15.(25-26高一下山东日照阶段检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, c+asinC-sinB 已知b-sinC-sinM (1)求A: (2)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC面积的取值范围. 16.(25-26高二下河南阶段检测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b ，,满足V3bsim4=a1+2sin2罗】 (1)求角B的大小： (2)若b=2,求△ABC面积的最大值： 17.(25-26高一下辽宁大连阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 a2+b2-ab=c2. (1)求C. (2)若a=4,且BC边上的中线长为V7,求△ABC的面积. (3)若角C的平分线长为V3,求△ABC的面积的最小值. 18.(2026河南开封三模)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 a tan B+tan C ccos B (1)求角C的大小： (2)若边C=2,求△ABC的面积S的取值范围. 专题07 解三角形面积问题问题 （含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：求三角形面积（定值问题） 2 题型二：求三角形面积（最值问题） 7 题型三：求三角形面积（范围问题） 12 题型四：四边形中面积问题 17 三、专项训练 24 一、必备秘籍 基本公式1、正弦定理及其变形 基本公式2、余弦定理及其推论 基本公式3、常用的三角形面积公式 （1）； （2）（两边夹一角）； 核心秘籍1、基本不等式 ① ② 核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 二、典型题型 题型一：求三角形面积（定值问题） 【典例1】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)证明：是锐角三角形； (2)已知点在线段上，且平分，若，求的面积． 【答案】(1)由正弦定理得，即． 与余弦定理比较．由于，，所以，． 由且，知为锐角，． 又，所以也是锐角． 因此三个内角均为锐角，结论成立． (2) 【分析】（1）先用正弦定理化角为边，求出角 B，再算出，均大于0，证三个角都是锐角； （2）利用角平分线分面积，结合半角公式与，比例关系列方程求出，进而算出三角形面积. 【详解】（1）略. （2）． 由正弦定理，，设，． ，故． 因为，并用，得． 由半角公式，． 代入、，，得，所以． 于是，． 【典例2】（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合角的正切值求解即可. （2）先由周长求得的值，再结合余弦定理求出，最后代入三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 又，所以， 所以，即， 又，所以. （2）因为，的周长为，所以. 又因为，即， 所以. 所以. 即的面积为. 【变式1】（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)由得， 因为，所以， 即，整理得， 即． 因此，或，其中， 即或，其中． 因为不符合条件，所以． 因为，，所以，故． (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边化为角，结合两角和差公式化简，由正弦相等得到角的关系，舍去不合理情况证得； （2）先用二倍角求出，再结合已知求出边长，最后用面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由正弦定理得，又，， 又，则，解得， 所以， 所以， 因为，所以，得， 因为，所以，得，于是，． 所以的面积． 【变式2】（26-27高三上·辽宁鞍山·阶段检测）在中，，，分别是内角，，所对的边，且满足， (1)求角的值： (2)若，边上的中线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理边角转化结合两角和正弦公式计算求解； （2）方法一：应用角的关系结合余弦定理及面积公式计算求解；方法二：应用向量关系平方得出边长关系结合向量的数量积公式计算求解得，最后应用面积公式求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 则， 即，故， 因为，所以，即， 因为，所以，故， 又因为，所以． （2）（方法一） 延长到，使得，又，故四边形为平行四边形， 所以，， 又由得， 所以在中，由余弦定理得， 即， 整理得，即，解得， 所以．    （方法二） 因为是边上的中线，所以． 两边同时平方得：． 已知，，即，， 且． 代入可得． 整理得，即，解得， 所以． 【变式3】（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若，的平分线与相交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将所给式子的边化角，再利用三角恒等变换的公式进行化简变形即可求解. （2）利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积的等量关系得到有关，的等式，再结合余弦定理，即可求解，进而可求解面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 又，所以， 所以，所以． （2） 由（1）知， 因为为的平分线，所以， 又因为，且， 所以， 整理得． 又由余弦定理得， 又，则，所以， 即，解得或（舍去）， 所以△ABC的面积为． 题型二：求三角形面积（最值问题） 【典例1】（26-27高三上·浙江·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且． (1)求角的大小； (2)若点满足，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束条件，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 整理得，则， 因为，所以． （2）以点为起点，记，，则，， 且由，有， 因为，所以， 由，得， 解得，即， 则，即， 当且仅当，即，时取等号， 则， 故面积的最大值为． 【典例2】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若是边上的中线，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理把条件中的展开，化简后求得角A； （2）借助中线向量公式可得，由基本不等式得，再根据三角形面积公式即可求出面积最大值 . 【详解】（1）由余弦定理得，， 整理得，即. 由余弦定理得，， 又，故. （2）由为边上中线，则， 所以. 已知， 代入得，即. 由基本不等式，得，即，当且仅当时取等号. 三角形面积，故， 即面积最大值为. 【变式1】（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且． (1)求B； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得到，利用三角形内角和结合两角和的正弦公式，通过整理得到，由得到，通过计算得到，由得到. （2）利用三角形的面积公式求出，利用余弦定理通过计算得到，利用基本不等式得到，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 即， 解得， 因为，所以， 所以转化为，解得， 因为，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 代入得到， 因为，所以转化为， 即，解得， 当且仅当时取等号， 则. 【变式2】（26-27高三上·黑龙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点P在边上，且． (1)求角C的值； (2)若，，求的周长； (3)若，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角形内角关系求出，进而求出C的值； （2）利用余弦定理及中线的性质，结合完全平方公式求出，进而求出三角形周长； （3）计算，利用正弦定理及三角形面积公式，化简关于的函数，采用配方法求分母最大值，进而求出面积最小值． 【详解】（1）由，得 因为，所以， 因为，所以，所以． （2）因为，，所以， 因为点P是AB中点，所以，，， 所以，所以， 所以，即， 所以的周长为． （3）因为，，所以， 在中，，得， 在中，，得， 所以面积， 因为，所以， 所以， 所以当时，面积的最小值为． 【变式3】（26-27高三上·浙江·开学考试）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，化简并结合同角的三角函数关系即可求得答案； （2）根据等面积法可推出，利用基本不等式可得，即可求得答案. 【详解】（1）由可知，得，于是， 即，所以 （2） 即得， ， ，当且仅当时取等号， ，故面积的最小值为 题型三：求三角形面积（范围问题） 【典例1】（重难点培优04 解三角形中的最值与范围（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，． (1)求 面积的最大值； (2)求 面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，再结合基本不等式即可求解； （2）利用正弦定理，，，把 的面积转化为三角函数求解取值范围. 【详解】（1）由余弦定理可得 ，即， ，所以（当且仅当时取等号）， 即 面积的最大值为. （2）由正弦定理可得，，，， 所以， 又， ，， 故 ， 所以， 故的取值范围为. 【典例2】（25-26高一下·广东深圳·期末）中，设角，，的对边分别为，，．已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求； （2）结合 和已知乘积求边长比； （3）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知． 由正弦定理，得. 又由余弦定理，则， 因为，，所以. 又 ，故 ，从而. （2）由（1）知，所以． 又，且 ，所以. 由正弦定理，，因此. 由已知条件， 故. 因为，，均为正数，所以. （3）由（1）知，故． 因为 为锐角三角形，所以 由边上的高为，有． 于是三角形面积 又， 所以. 当 时，故 当时取到等号，而不能取到． 因此 所以面积的取值范围为 【变式1】（25-26高一下·湖北襄阳·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，． (1)求的值； (2)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量垂直的坐标表示得出，利用三角恒等变换以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，根据为锐角三角形可得出角的取值范围，结合正切函数的基本性质可得出的取值范围，即可得出的取值范围，再结合三角形的面积公式可求得该三角形面积的取值范围. 【详解】（1）因为，，且，． 所以， 即， 即， 即， 所以， 由正弦定理可得， 因为、、，所以，，， 所以，即，则，故. （2）由正弦定理可得， 所以， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故， 故， 故的面积的取值范围是. 【变式2】（25-26高一下·陕西西安·期末）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，可得，即可得； （2）借助正弦定理与三角形内角和关系可将用表示，再利用三角形面积公式及的范围计算即可得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 则，因为，∴； （2）因为，所以， ，因为为锐角三角形， 则，所以，则， 故，， 所以面积的取值范围为. 【变式3】（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）在中，角，，的对边，，分别为体积是的圆台的上、下底面半径和高． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用圆台体积公式将题设体积表达式与已知条件对应，得到边的关系式，再结合余弦定理求出，进而确定角； （2）由余弦定理和正弦定理将用角表示，利用积化和差公式转化为关于的余弦表达式，根据锐角三角形条件确定角的范围，求出的范围后代入面积公式即可． 【详解】（1）圆台体积公式为 由题意，，体积为， 所以 化简得即 由余弦定理，得 所以因为，故. （2）由及，由余弦定理得（1）， 由正弦定理得 所以 因为为锐角三角形，且，所以 由得，故 又 因为所以 因此所以 所以面积 所以面积的取值范围为. 题型四：四边形中面积问题 【典例1】（26-27高二上·陕西西安·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以，所以或. （2）因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设，， 在中，， 所以， ， ， 因为，， 所以，当时，取得最大值. 【典例2】（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 【变式1】（2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果； （2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14． 【变式2】（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 【变式3】（25-26高三上·山东烟台·开学考试）满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化为边，再利用余弦定理即可求解； （2）在中，利用余弦定理和基本不等式即可求解； （3）设，在中，由余弦定理得，四边形的面积为，利用三角恒等变换化简得，最后利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据题意由正弦定理有：，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）在中，， 由余弦定理有：， 所以， 所以 当时，即时，等号成立， 的最大值为； （3）设，在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以为等边三角形， 所以四边形的面积为 ， 当时，即时，， 所以四边形的面积最大值为. 三、专项训练 1．（2026·广东广州·模拟预测）在中，，为边上一点，且. (1)若，，求; (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦定理得到，再根据等面积法求出，最后由勾股定理即可求出； （2）先根据等面积法建立边长关系式，再根据均值不等式求出两边乘积的下界，即可得到面积的最小值. 【详解】（1）因为在中，，，所以， 因为，，由余弦定理：， 所以 ，又因为，即 ， 所以，得， 所以在中，. （2）由，得，即，由均值不等式：， 令，则，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 2．（26-27高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知中，，且． (1)求外接圆的半径； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角恒等变换将题干信息转化为，再借助角化边变为，最后用余弦定理可得，用正弦定理即可求出外接圆的半径； （2）将已知数据带入第一问得到的等式，求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题知，， 根据正弦定理可得，整理得， 故，又，故. 根据正弦定理可得，外接圆的半径. （2）由（1）知，将代入上式， 得，解得或者（舍）， 故. 3．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的面积. 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出的值，结合三角形内角的取值范围确定角的两个可能结果； （2）根据锐角三角形的约束排除钝角解，得到角的唯一值，再计算角后代入三角形面积公式求解。 【详解】（1）由正弦定理，已知，，，代入得： ， 因为，且即，所以或. （2）因为为锐角三角形，故为钝角，不符合要求，舍去，即， 此时内角，由两角和的正弦公式得： ， 代入三角形面积公式得： . 4．（26-27高二上·湖北·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点在上，满足，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用向量的线性运算、结合基本不等式、三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得， ，． ，，，． ，． （2），，， 又，，， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为． 5．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）在中，. (1)求的值： (2)若，求及的面积. 【答案】(1)2 (2)； 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用余弦定理结合三角形面积公式求解即得. 【详解】（1）由余弦定理得 ， 代入已知等式：得， 化简得：，则， 因为 ，所以 ，即 . （2）因为，由余弦定理 ， 可得：， 将 代入上式可得：，化简得解得. 所以三角形面积：. 6．（26-27高三上·天津河北·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求角； (2)求的值； (3)若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理运算得解； （2）由结合正弦定理边化角，进而求得，再利用二倍角公式求得，最后根据两角和的余弦公式运算得解. （3）结合正弦定理求解出边长，再结合题意求出，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 展开得，即， 由余弦定理可得，，所以. （2）由及正弦定理得， 因为，所以，即， 由（1）可知A为钝角，所以C为锐角，所以， ，， 所以. （3）由题意得，，， 则由正弦定理得，解得， 而， 由三角形面积公式得. 7．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知函数，函数的最小正周期为． (1)求的值及此时的对称轴； (2)将向右平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值． (3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围． 【答案】(1) ，对称轴为； (2) 的最小值为； (3) 面积的取值范围为 【分析】先利用三角恒等变换化简，结合周期公式求；再根据正弦函数对称轴性质、偶函数的相位特征分别求解前两问；第三问先求角，结合正弦定理将面积转化为关于角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求值域. 【详解】（1） ，由最小正周期，，解得， 故，令，解得，即的对称轴为； （2）将向右平移个单位，得到函数 ， 因为为偶函数，所以，解得， 又，取时，取得最小值； （3）由，得，即， 因为为锐角的内角，故，，故，解得， 因此， 因为是锐角三角形，所以，即得， 由正弦定理，得，所以， 故的面积为 ， 因为，所以，，所以，所以的面积的取值范围是. 8．（26-27高二上·辽宁朝阳·阶段检测）中，设角，，的对边分别为，，．已知：． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且边上的高为，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理求解； （2）由锐角条件确定角的范围，再利用高和三角恒等变换求面积范围． 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得， 又由余弦定理，则， 因为，，所以， 又，故，从而. （2）由（1）知，故， 因为为锐角三角形，所以， 由边上的高为2，有， 于是三角形面积， 又， 所以， 当时，，故， 当时取到等号1，而不能取到. 因此. 所以面积的取值范围为. 9．（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）已知分别为的内角的对边，． (1)证明：为等边三角形； (2)若，点为内（不含边界）的一个动点，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)在中，由内角和，得， 两边取正切： ， 由正切和角公式展开左边： ，整理得三角形恒等式： ，因此均为正数， （三角形内角至多一个钝角，若存在钝角则正切为负，乘积不可能为正的），即， 由三元均值不等式： ， 代入，得： ， 等号成立条件为，结合正切在上单调递增，得， 故为等边三角形. (2) 【分析】（1）因为三角形内角和为，所以，可利用正切诱导公式推导与的关系，再结合均值不等式判断等号成立条件，证明三个角相等； （2）由第（1）问结论可知的边长与内角，设，根据的位置确定的取值范围，再利用三角形面积公式写出的面积关于的表达式，结合三角函数的取值范围求解面积的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）知是等边三角形，，设， 因为在内部（不含边界），故， ， 因为，所以， 故面积的取值范围是.    10．（2026·湖南益阳·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将已知等式中的转化为含角的三角函数形式，再结合正弦定理化简，得到的值，进而求出角； （2）由正弦定理将边用角表示，代入面积公式后化简为关于的三角函数，利用的范围确定最大值． 【详解】（1）由已知得，又， 所以，又， 所以． 因为，所以，所以． 又，所以． （2）由及得：． 所以，， 即 ， 因为，所以， 在中，当时，取得最大值1． 所以面积的最大值是． 11．（26-27高三上·贵州·阶段检测）在中，角、、的对边分别是．已知，． (1)求证：是钝角三角形； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)根据余弦定理， 所以角是钝角，所以是钝角三角形． (2)2 【详解】（1）略 （2）， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值为2． 12．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）已知，，与的夹角为，函数． (1)求函数最小正周期和对称中心； (2)若中，角的对边分别为，且，，求面积的最大值． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）根据向量夹角坐标表示、两角和差正弦公式可化简求得；根据正弦型函数周期性和整体代换法可求得结果； （2）根据可求得，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式中即可求得结果. 【详解】（1），，， ，， 的最小正周期； 令，解得：，此时， 的对称中心为. （2）由（1）得：，， ，，，解得：， 由余弦定理得：（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 13．（25-26高一下·广东阳江·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求； (2)若，且面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. （3）根据三角形面积公式及正弦定理，结合两角差的正弦公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，， 因为，所以，所以，即． 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以. 所以的周长为. （3）已知，面积， 由正弦定理得，则. 因为，，所以，则. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，即，所以. 所以，故. 因此，即面积的取值范围为. 14．（25-26高一下·安徽马鞍山·期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. (1)求角； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. （2）由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 15．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）由锐角三角形得，由正弦定理求得（用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； （2）由（1）得， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故. 16．（25-26高二下·河南·阶段检测）在 中，内角，，的对边分别为 ， ，，满足． (1)求角的大小； (2)若 ，求 面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及降幂公式化简已知方程，再利用辅助角公式求出角； （2）由余弦定理得到方程，根据重要不等式得出面积的最值. 【详解】（1）， 即， 因为，所以， 即， 则，即， 因为，， 所以，. （2）由余弦定理得，即， 因为，所以， ， 当且仅当时等号成立. 17．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2） 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3） 设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 18．（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． （2）由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $