专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：定义法求轨迹方程 2 题型二：直接法 3 题型三：代入法（相关点法） 4 题型四：点差法 6 三、专项训练 8 一、必备秘籍 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法： 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 3.2直接法： 如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3.3代入法（相关点法）： 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 3.4点差法： 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程. 二、典型题型 题型一：定义法求轨迹方程 【典例1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 【变式3】（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 题型二：直接法 【典例1】（吉林省吉林市普通中学2026-2027学年高二上学期期中调研测试数学试题）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【变式1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【变式2】已知点，，动点满足直线和的斜率乘积为.求动点的轨迹方程. 题型三：代入法（相关点法） 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为求E的方程. 【典例2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆经过点，圆心C在直线 上，圆被直线截得的弦长为 (1)若Q为直线上一动点 （i）求的最小值; （ii）求圆C的标准方程； (2)若圆心C在第一象限，且圆C与圆关于直线对称，过原点O的直线m交圆于两点，求弦中点Q的轨迹方程． 【变式1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【变式2】（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． (1)求圆的方程 (2)若，求点的轨迹的方程． 【变式3】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）已知圆经过点，，． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 题型四：点差法 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 【变式1】已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 【变式2】（2026高三下·吉林长春·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设是上的两个动点，满足的平分线所在的直线与在点处的切线垂直． （i）证明：直线过定点； （ii）求中点的轨迹方程． 【变式3】（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 三、专项训练 一、单选题 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 7．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 11．（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 三、解答题 13．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 14．（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 16．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 17．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的动弦垂直交轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线与交点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：定义法求轨迹方程 2 题型二：直接法 5 题型三：代入法（相关点法） 6 题型四：点差法 11 三、专项训练 18 一、必备秘籍 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： 3.1定义法： 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 3.2直接法： 如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3.3代入法（相关点法）： 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 3.4点差法： 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程. 二、典型题型 题型一：定义法求轨迹方程 【典例1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 【典例2】（26-27高二上·云南昆明·期中）已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义转化得到距离差，由双曲线的定义判定轨迹，再根据确定只取双曲线下支，写出带范围的轨迹方程． 【详解】，，， ，，， 因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近）， 由，，得， 所以的轨迹方程是． 【变式1】（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 【变式2】（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】先求两定圆的圆心与半径，根据圆与圆外切、内切的性质推导动圆圆心到两定圆圆心的距离之和为定值，结合椭圆定义即可求得轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 圆化为标准方程：，故圆心，半径，两圆心距离. 设动圆的半径为，动圆与外切，故； 动圆与内切，且动圆在内部，故. 两式相加得，且，符合椭圆定义. 设椭圆的标准方程为，则： 长轴长，得；焦距，得； 由，得. 又，若，代入可得，此时不能构成圆，故舍去点. 因此动圆圆心的轨迹方程为. 【变式3】（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 题型二：直接法 【典例1】（吉林省吉林市普通中学2026-2027学年高二上学期期中调研测试数学试题）动点与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据动点到定点和定直线的距离比例关系列等式，化简得到轨迹方程后匹配选项即可. 【详解】由题意可知，动点 到定点 的距离为 ， 到定直线 的距离为 ， 则两边平方消去根号和绝对值化简得， 即. 【典例2】已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 【变式1】（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【答案】 【分析】设动点坐标，写出直线和的斜率，由题意建立方程，整理得到动点P的轨迹方程. 【详解】设动点，由题意可知 则直线斜率，直线的斜率， 则，整理得. 【变式2】已知点，，动点满足直线和的斜率乘积为.求动点的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为. 题型三：代入法（相关点法） 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为求E的方程. 【答案】 【分析】设，，根据，得到，设动点，由可得结果. 【详解】设，，因为，所以， 设动点，则，， 因为，所以， 所以，，所以， 整理得， 所以动点M的轨迹E的方程为. 【典例2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆经过点，圆心C在直线 上，圆被直线截得的弦长为 (1)若Q为直线上一动点 （i）求的最小值; （ii）求圆C的标准方程； (2)若圆心C在第一象限，且圆C与圆关于直线对称，过原点O的直线m交圆于两点，求弦中点Q的轨迹方程． 【答案】(1)（i）（ii） (2) 【分析】(i)利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的垂线段长度，该值即为直线上的动点到的距离最小值. (ii)先设出满足直线方程的圆心坐标，结合弦长公式推导的半径与弦心距的勾股关系、圆过点的条件联立求解圆心坐标，进而算出半径得到圆的标准方程。 (2)先根据对称点求解规则求出圆关于对称的圆的圆心，再利用垂径定理得，通过向量点积为或斜率乘积为的关系，推导弦中点的轨迹方程. 【详解】（1）i）设圆心，圆心C到的最小距离为， ii）由题意易知半径为． 因为圆C经过点， 所以，解得或，即或， 则圆C的标准方程为． （2）因为圆心在第一象限，故圆心．设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点O的直线m交圆于M，N两点，弦MN中点为Q， 当点Q与点O，'都不重合时，，则Q在以为直径的圆上， 显然点O，在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为，则Q轨迹方程为，即． 【变式1】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】(1) (2) (3)；轨迹是一个以为圆心，半径为的圆 【分析】（1）设圆方程为，代入点解出的值即可得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式计算即可得到答案； （3）设点坐标为，点坐标为，根据已知条件解出，，再代入圆的方程化简即可得到答案． 【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由于圆经过点， 故， 解得，即圆的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得到和， 此时弦长为，不满足条件， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 又由勾股定理可得， 即，解得，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为． （3）设点坐标为，点坐标为， 则，， 故，，解得，， 又点在圆上，则， 化简得， 因此点的轨迹方程为，该轨迹是一个以为圆心，半径为的圆． 【变式2】（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． (1)求圆的方程 (2)若，求点的轨迹的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)运用直接法，根据题设距离比值条件，先利用两点间距离公式列式，再化简配方求得阿氏圆方程即可；(2)运用相关点代入法，先由向量相等得到中点关系，建立主动点P与从动点Q的坐标关系式，再将P点坐标用Q点坐标表示后代入已知曲线方程，最后求出Q点的轨迹方程即可. 【详解】（1）设 ， ∵，∴，∴， 化简得：，即： 圆的方程是：. （2）设 ，为中点 ∴ ，即：， 在圆上，代入 ， ， 即：， 点的轨迹的方程为：. 【变式3】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）已知圆经过点，，． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1)圆的一般方程为 (2)中点的轨迹方程为 【分析】（1）利用待定系数法可求圆的一般方程； （2）利用相关点法可求线段的中点的轨迹方程． 【详解】（1）设圆的一般方程为. 因为圆经过点，，， 所以，整理得，解得， 所以圆的一般方程为. （2）设， 因为是线段的中点，所以，所以， 又因为点是圆上的点，所以， 所以，所以， 所以中点的轨迹方程为. 题型四：点差法 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线过一定点，交椭圆于两点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设M，，由点差法可得，然后注意到，可得轨迹方程. 【详解】设M，. 则，两式相减可得： ， 因，则，其中O为坐标原点. 又注意到，则. 又AB斜率不存在时，为，满足； AB斜率为0时，为，满足. 综上，轨迹方程为：. 【变式1】已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 【答案】（）； 【分析】把椭圆上两个交点代入方程作差，借助中点坐标推出直线斜率；再利用直线过定点写出另一组斜率，斜率相等消去参数得到轨迹，最后根据中点在椭圆内限定x范围. 【详解】设． 因为弦的中点为，所以， 又因为两点在椭圆上，所以， 两式相减得， 当时，，，即， 由于弦过点，，所以， 因此，整理得①， 又因为是弦的中点，所以必在椭圆内， 所以，再与①联立消去得：，即. 再由①得，解得，因此. 因此点M的轨迹方程为（）． 【变式2】（2026高三下·吉林长春·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设是上的两个动点，满足的平分线所在的直线与在点处的切线垂直． （i）证明：直线过定点； （ii）求中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2) （i）证明：显然椭圆在点处的切线斜率存在，设其方程为， 由消去得， 则，解得， 由的平分线所在的直线与在点处的切线垂直，得的平分线所在直线的斜率为1， 设直线的斜率分别为，由到角公式得，整理得， 直线的方程为，设， 由消去得， 则，解得，， 即点，而，同理得， 直线的斜率， 直线的方程， 即，整理得， 所以直线过定点. AI （ii）（且）. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）求出在点处的切线斜率，再利用到角公式求得直线斜率关系，设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出直线的方程即可；（ii）设出的中点坐标，利用点差法求出轨迹方程并确定范围即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由点在椭圆上，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）设线段中点，由（i）得， 由，得，则， 由点共线，得，因此，整理得， 由，解得或， 由点在椭圆内，且在的平分线所在直线上方，得且 所以线段中点的轨迹方程为（且）. 【变式3】（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 三、专项训练 一、单选题 1．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 2．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 3．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）过点M作直线和直线的垂线，垂足分别为点A，B，当点A，B分别在第一象限与第二象限，点在两直线夹成的上方区域内，且时，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设．点到直线，即的距离为， 点到直线，即的距离为， 由，得 因为点在两直线夹角的上方区域内，所以 因此 于是，整理得 又由可知该轨迹为上支，故 所以点的轨迹方程为 5．（25-26高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，据此可得答案. 【详解】由题可得动点所在轨迹为焦点在y轴上双曲线的下支，其中实轴长为， 焦距长为，则虚轴长为：，则轨迹方程为： 6．（2026高三下·陕西延安·专题练习）已知动点到定点和定直线的距离之和为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C．若，则；若，则 D．若，则；若，则 【答案】D 【详解】设，由题意可得， 即， 当时，则有，化简得； 当时，则有，化简得； 综上，当时，点的轨迹方程为； 当时，点的轨迹方程为. 7．（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入得，， 因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得；令，得， 则，，则，所以，， 代入得，即， 8．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知为直线上的动点，为的中点，记的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，根据为的中点，表示出点坐标，根据点在直线上，得到点的轨迹方程. 【详解】设，，因为为的中点，所以，所以 所以，由点在直线上，得， 化简得，故的方程为. 故选：D 二、填空题 9．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以动点P满足， 所以点的轨迹为线段， 所以动点P的轨迹方程为. 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 11．（26-27高二上·全国·课后作业）椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 【答案】 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 三、解答题 13．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 【答案】（1）（2）（3）（4）． 【分析】（1）设点，根据题意建立等式化简求解作答； （2）设出和点的坐标，利用中点坐标公式把点的坐标用点的坐标和常数表示，再由在定圆上，把的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案； （3）设出点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答； （4）设出点的坐标，根据建立等式化简求解作答. 【详解】（1）设点，所以，到直线：的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为； （2）设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 即点的轨迹方程为，也即； （3）设，． ，，， ，整理得，即． 故点的轨迹方程为． （4）设，点，则由， 得，化简可得， 故动点的轨迹的方程为． 14．（重难04 求动点轨迹方程（培优讲义）新高二数学人教A版）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 【答案】 【详解】由题意得，即，化简得. 15．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.求点的轨迹的方程； 【答案】 【分析】由题可得，由，化简即可求得点的轨迹的方程. 【详解】，，动点关于轴的对称点为， 所以得，且， ，， 直线与的斜率之积为. 所以， 整理得曲线. 16．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 （2）方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 17．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）直线与直线垂直，且经过点. (1)求的方程； (2)若圆截直线所得弦长为4，求实数的值； (3)若点在圆上运动，求线段MN中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用垂直可得斜率，利用点斜式可求直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （3）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把的坐标代入可求轨迹方程. 【详解】（1）因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又因为经过点，所以方程为，即. （2）圆化为标准型为， 圆心到直线的距离为， 因为圆截直线所得弦长为4，所以，解得. （3）设线段MN中点的坐标为，，则，即 因为点在圆上运动，所以， 所以， 即，所以线段MN中点的轨迹方程为. 18．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆的动弦垂直交轴于点，椭圆的长轴端点分别为，试探求直线与交点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，计算直线与的两点式方程，两式相乘得到，结合点在抛物线上化简得到所求点的轨迹方程. 【详解】设直线与交于点， 设， 则，① ．② ①②得．③ 又因为在椭圆上，所以． 所以，代入③得． 经化简得，即． 所以所求直线与交点的轨迹方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $