精品解析：河北省唐县第一中学2026-2027学年高一创新班上学期10月期中数学试题

高一创新班数学试题 考试时间：120分钟．试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式解法化简集合，再由绝对值不等式的解法化简集合，再由交集运算得出答案. 【详解】， 或， 或. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， ，故有. 3. 设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性，可得，再由赋值法可得答案. 【详解】因是定义在上的偶函数，则，又满足． 则，令，得. 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 5. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由函数在区间上单调递减可得，由可得函数关于对称，再解方程即可. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，，解得 因为，所以，， 又因为，所以函数关于对称， 所以，解得， 又，所以，. 7. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得可化简为,代入化简为单变量函数求解即可. 【详解】在中，设， 因为， 所以 所以， 化简得， 因为，所以， 故，即， 所以在中，，， 所以 ， 令, 因为，所以， 令，， 因为在上单调递增， 所以. 所以最大值为. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有且，当时，，则方程的实根个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期性得到函数的图像，在同一直角坐标系中画出两个函数图像，数形结合，即得解. 【详解】函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有，可得为周期为2的奇函数， 可得，又，， 画出函数与的图象，如图所示， 当时，与有5个交点， 当时与有7个交点， 故方程有12个实数根，故D正确． 故选：D 【点睛】本题考查了函数的图像与性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 二、多选题（每小题6分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，直接根据一元二次不等式恒成立的条件进行求解判断即可；对于B，根据抽象函数定义域的要求进行求解判断即可；对于C，判断两命题之间的逻辑推理关系即可判断. 对于D，根据方程组法求解解析式即可判断. 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为，故A正确； 对于B，已知函数的定义域为，则， 即得，因此函数的定义域为，故B正确； 对于C，当且时，必有； 反之，当时，不一定能推出且，比如取， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，由，可得， 由方程组，解得：，故D错误. 10. 如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若区间内包含了的零点与对称轴，则 D. 若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由可确定，代入，可得，再利用正弦型函数相关性质即可判断CD. 【详解】令得，或，， 由图可知：，， 所以，结合， 所以，所以，故A正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 因为，所以，故B错误． 函数的零点满足， 函数的对称轴满足， 相邻的一个零点和极值点之间的最小距离为， 即在一个周期内，零点与相邻对称轴之间的最小距离为， 若区间内包含了的零点与对称轴，则即可，故C错误； 若的图象沿轴向右平移个单位得的图象， 为偶函数得，， 所以，，且， 则时，的最小值为， 若的图象沿轴向左平移个单位得的图象， 为偶函数得，， 所以，，且， 则时，的最小值为， 综合可知．的最小值为，D正确. 11. 如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则角 C. 若，，则 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得A；由边角关系及可得B；借助三角恒等变换公式及正弦定理与面积公式计算可得C；结合正弦定理可将原式化为与角有关的等式，再利用换元法及基本不等式计算可得D. 【详解】对于选项A：由题意得，， 因为，， ， 所以， 所以，故A错误； 对于选项B：由，则，则， 由A知，，故，故，故B正确； 对于选项C：由，则，故， 由，则，则， 故，； 由，，则， 由正弦定理可得，则， ， 故，故C正确； 对于选项D：由正弦定理得， 又， 故， 令，因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12. 的值为________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据，展开化简得到答案. 【详解】， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力. 13. 已知平面向量，，满足，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，移项可得. 将等式两边同时平方，根据向量数量积的运算律得：  ， 展开得：  ， 已知，因此，，， 代入上式： ， 化简得，解得. 14. 已知锐角满足，，则面积的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合锐角三角形可得，再利用正弦定理结合三角恒等变换整理可得，即可得和面积的取值范围. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 则 ， 且，则，可得，即， 又因为，则， 则，由题意可得，解得， 由正弦定理可得， 则，， 可得 ， 因为，则，可得， 则， 所以面积， 所以面积的取值范围为. 四、解答题 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 【答案】（1） （2）时，函数有最大值，时，函数有最小值. 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，结合函数的周期公式可求得，进而得到，再结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）运用整体代换方法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由 ， 因为函数的最小正周期为，且， 所以，即，因此， 令，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 所以当时，即当时，函数有最大值， 当时，即当时，函数有最小值. 16. 已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用赋值法，选取合适的代入已知函数关系式，结合条件，求出，再赋值计算得到的值； (2)令代入函数方程，结合已经求得的，直接推导出的解析式，最后回代原式验证； (3)先根据求出的表达式，对不等式进行移项变形，将恒成立问题转化为函数最值问题，换元后得到二次函数，结合自变量取值范围求最小值，进而确定实数的最大值. 【小问1详解】 取，得；取，得， 又∵，∴，， ∴，. 【小问2详解】 令，得， 由（1）知，∴， 即. 【小问3详解】 由题意，， ∵，∴，∴， 令，则，由得， 则在上单调递增， 当时，， 故，即实数k的最大值为. 17. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，． （1）求的值； （2）若，，且，，求的值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量线性运算得到，再结合可得，进而根据三点共线的推论求解即可； （2）根据平面向量线性运算可得，再结合（1）表示得到，可得，再结合即可求出，进而求解即可. 【小问1详解】 ， . 是线段的中点， . ， ，， 三点共线，，即. 【小问2详解】 ， ， 由（1），得. ，且， ， 又，，即， 由（1），得，解得，. 18. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点， （i）求的取值范围； （ii）若，求角平分线长的最大值． 【答案】（1）. （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再进行三角恒等变换可以求出角的大小； （2）（i）通过角平分线性质以及正弦定理边化角，并对其进行三角恒等变换统一角，最后结合锐角三角形约束条件得到角的范围，求出所需范围； （ii）结合等面积思想将转化成，再结合余弦定理和基本不等式求最值. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可以转化为， 因为，所以， 原式等价于，即， 所以，因为，所以，即. 【小问2详解】 由角平分线性质定理可得， ，结合，得，所以， 展开分子化简得， 结合锐角三角形的约束条件：所有内角都小于， 即，解得， 所以，所以. （ii）因为，所以， 由（1）可知，所以，，上式化简得， 已知，由余弦定理得， 由基本不等式得，即，当且仅当时取等号， 同时，当且仅当时取等号， 代入，当且仅当，即是等边三角形时，角平分线取到最大值. 19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． （1）证明：为“5倒数对称函数”； （2）已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 【答案】（1）由题意得函数的定义域为， 对任意，可得， 所以函数为“5倒数对称函数”； （2）（i）函数为“4倒数对称函数”，（ii） 【解析】 【分析】（1）结合题意并利用给出的定义求解即可. （2）（i）结合题意并利用对数的运算性质求解即可；（ii）结合题意转化为方程有唯一解，进而得到恒成立，最后对参数范围分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为， 进一步化简可得， 设函数为“倒数对称函数”，则， 则， 令，得， 对两边取以3为底的对数，得， 则 ， 又， 由对恒成立，得， 解得，经检验，所以函数为“4倒数对称函数”； （ii）由（i）可知，函数为“4倒数对称函数”， 函数有唯一零点， 即关于的方程有唯一解， 对任意，， 又因为为正数，则，所以恒成立， 因为函数为“4倒数对称函数”， 所以原方程的解等价于方程有唯一解， 对上式进一步化简可得， 当时，方程化为，解得，符合唯一解， 当时，判别式， 有两个不相等的实根，所以两根之积为， 若，则，乘积为负，两根一正一负， 仅有正根在定义域内，符合唯一零点， 当时，则，乘积为正，两根同号， 又因为两根之和为，所以两根均为正， 即方程有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求， 综上所述，可得正数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一创新班数学试题 考试时间：120分钟．试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（ ） A. 4 B. C. D. 4. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（ ） A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在中，，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有且，当时，，则方程的实根个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、多选题（每小题6分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 定义在上的函数满足，则 10. 如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若区间内包含了的零点与对称轴，则 D. 若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 11. 如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则角 C. 若，，则 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12. 的值为________. 13. 已知平面向量，，满足，且，则__________． 14. 已知锐角满足，，则面积的取值范围为_________． 四、解答题 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 16. 已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 17. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，． （1）求的值； （2）若，，且，，求的值． 18. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点， （i）求的取值范围； （ii）若，求角平分线长的最大值． 19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． （1）证明：为“5倒数对称函数”； （2）已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $