专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法） 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：求直线方程 2 题型二：求离心率 4 题型三：求弦中点的轨迹方程 5 题型四：求曲线方程 5 题型五：处理存在性问题 6 题型六：确定参数的取值范围 9 题型七：定值问题 10 三、专项训练 12 一、必备秘籍 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 二、典型题型 题型一：求直线方程 【典例1】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 【典例2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 【变式1】（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【变式3】（25-26高二上·河北邢台·期末）已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 题型二：求离心率 【典例1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【变式1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型三：求弦中点的轨迹方程 【典例1】（25-26高三上·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二·全国·课后作业）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______． 【变式2】椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________． 题型四：求曲线方程 【典例1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C．D． 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）直线过抛物线的焦点且与相交于A，B两点，且的中点的坐标为，则抛物线C的方程为 A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为________________. 题型五：处理存在性问题 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【典例2】（25-26高三上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆的焦距为2，且． （1）求椭圆的方程； （2）若过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，试问线段的中点是否有可能在椭圆上？若有可能，求直线的方程；若不可能，请说明理由． 【变式1】（25-26高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【变式3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 题型六：确定参数的取值范围 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是_________________. 【典例2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知椭圆与直线. (1)若直线与椭圆交于，两点，求中点的轨迹方程； (2)若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 【变式1】（25-26高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________. 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是______. 【变式3】已知双曲线，过点的直线交其于轴下方两个不同的点，设的中点为，过点与作直线，则直线的斜率的取值范围是______. 题型七：定值问题 【典例1】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【典例2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，的最大值与的最小值的乘积是． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设线段的中点为G，AB的垂直平分线与x轴交于D点，求的值． 【变式1】（25-26高二下·上海奉贤·期中）已知直线与双曲线：交于不同的两点，且线段的中点在上，求的值． 【变式2】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【变式3】（25-26高二上·重庆渝北·期末）已知抛物线与直线l：相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为5，抛物线的焦点为F. (1)求抛物线的标准方程； (2)记直线l与x轴的交点为P，过点P的直线m与抛物线交于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D，直线m的斜率为，直线CD的斜率为，求的值. 三、专项训练 一、单选题 1．（25-26高二上·天津和平·期末）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则（   ） A．2 B．4 C．12 D．16 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·海南·阶段检测）直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知椭圆：，若过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建莆田·期中）过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题 11．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 12．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________． 13．（2026·山西临汾·二模）已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______. 14．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为__________. 15．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为________． 三、解答题 17．（26-27高二上·广东东莞·期中）已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 18．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程. 19．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 20．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法） 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：求直线方程 2 题型二：求离心率 6 题型三：求弦中点的轨迹方程 9 题型四：求曲线方程 12 题型五：处理存在性问题 16 题型六：确定参数的取值范围 21 题型七：定值问题 26 三、专项训练 31 一、必备秘籍 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 2、点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 二、典型题型 题型一：求直线方程 【典例1】（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 【答案】 【分析】设出两点，代入双曲线方程，利用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可确定直线的方程. 【详解】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 【典例2】（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用焦距求出，结合椭圆上点到焦点最大距离求出，再求出，写出椭圆标准方程； （2）底边固定，当点纵坐标绝对值最大时高最大，代入面积公式求最大值； （3）将两点代入椭圆方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，写出直线方程并验证判别式． 【详解】（1）由焦距为2得， 到的最大距离为， 所以， ， 所以椭圆的方程为． （2）当为椭圆短轴顶点时， 与两焦点所围成的△面积最大， 所以， 所以△的面积的最大值为． （3）设，， 代入椭圆方程得，， 两式相减得， 由中点，得，， 代入得直线斜率，故直线l的方程为， 即，将直线l的方程代入椭圆方程得， ，符合题意， 所以直线l的方程为． 【变式1】（2026·四川广安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，椭圆上的点到的距离最大值为. (1)求和的离心率； (2)过点的直线交于，两点，若为的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列关系式可得； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式可得. 【详解】（1）由题意可知，，得， 则的离心率为； （2）由（1）知，， 若直线斜率为或不存在，则线段的中点应在坐标轴上， 故设，， 联立，得， 则，得， 故的方程为. 【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期末）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【详解】（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 【变式3】（25-26高二上·河北邢台·期末）已知定点，定直线，过平面内一动点作直线的垂线，垂足为，使． (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线与动点的轨迹相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件列关系式， 化简即可； （2）利用点差法可求直线方程. 【详解】（1）设，因为，所以， 整理得，即动点的轨迹方程为． （2）设，则， 两式相减得， 若，则直线的方程为，显然不可能是线段的中点， 不符合题意； 则． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 直线与动点的轨迹相交，所以直线的方程为． 题型二：求离心率 【典例1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点且斜率为的直线交椭圆于两点，若是线段的中点， 设，则有，， 两式相减得，则有， 由，，， 所以，得，即， 所以，则椭圆的离心率. 【典例2】（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可. 【详解】设，，则，，. 因为点，在椭圆上，所以，. 所以， 所以，即. 又，所以. 又椭圆的离心率，所以. 【变式2】（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 题型三：求弦中点的轨迹方程 【典例1】（25-26高三上·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 【典例2】（25-26高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程. 【详解】抛物线的焦点为，设点、， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，所以，， 设线段的中点为，则，，则， 所以，，化简可得. 因此，线段的中点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式1】（25-26高二·全国·课后作业）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______． 【答案】(或). 【分析】设直线为联立双曲线，根据交点情况有求m范围，再应用韦达定理求出弦的中点坐标，进而确定其轨迹方程，注意范围. 【详解】设直线为，与双曲线交点为， 联立双曲线可得：，则，即或， 所以，故，则弦中点为， 所以弦的中点的轨迹方程为(或). 故答案为：(或) 【变式2】椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】 【分析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为， 设中点坐标为，则， 所以，两式相减可得， ，即， 由于在椭圆内部，由得， 所以时，即直线与椭圆相切， 此时由解得或， 所以， 所求得轨迹方程为． 故答案为：． 题型四：求曲线方程 【典例1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立得方程组，消元，根据韦达定理和中点坐标公式可得，再根据焦点坐标得出，联立可得，可得椭圆的方程． 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答. 【详解】直线的方程为：，即， 设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：， ，因弦的中点为， 于是得，即，而，解得，满足， 所以双曲线的方程为，即. 故选：C 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）直线过抛物线的焦点且与相交于A，B两点，且的中点的坐标为，则抛物线C的方程为 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设直线的斜率为，则直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，以及中点坐标公式，列出方程组，求得或，进而得到的值，得到答案. 【详解】由题意，抛物线的焦点， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程组，整理得得， 可得，所以， 代入直线的方程，得， 又因为的中点为，所以，解得或， ∴或， ∴抛物线方程或． 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，利用点差法求解. 【详解】解：设、， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为线段的中点坐标为，则， 则，两式相减得， 则， 因为，所以，， 所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于两点，若中点坐标为，则椭圆M的方程为________________. 【答案】 【分析】利用“点差法”即可得出：,结合，求得，即可得出答案． 【详解】由题意可知直线的斜率， 设，代入椭圆方程可得∶， 而，， 两式相减得：， 即得，即，又， 联立解得∶， 故椭圆M的方程为：， 故答案为： 题型五：处理存在性问题 【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 设直线l与椭圆C两个不同的交点 ∵ 所以，点A在线段的中垂线，下面求的方程 联立方程去y，可得 由，解得 设的中点为，有 则的方程为即 由于点A在直线的中垂线上，解得 又∵ 所以不存在实数m满足题意． 【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程； （2）首先求线段的中垂线方程，根据点在中垂线上，求，并判断是否满足. 【详解】（1）椭圆的一个顶点为得 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和得即 所以椭圆的方程为 （2）略 【典例2】（25-26高三上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆的焦距为2，且． （1）求椭圆的方程； （2）若过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，试问线段的中点是否有可能在椭圆上？若有可能，求直线的方程；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）不可能，理由详见解析. 【分析】（1）根据椭圆的焦距为2得到，再结合求解. （2）设，过点的直线方程为，与联立，利用韦达定理求得的中点坐标，代入椭圆求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为2， 所以，又， 所以， 所以椭圆的方程是； （2）设，过点的直线方程为：， 与联立得：， 由韦达定理得： ， 所以线段的中点坐标为， 若的中点在椭圆上， 则， 整理得，无解， 故线段的中点不可能在椭圆上. 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 【变式1】（25-26高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点．椭圆C：过点，且离心率为，右焦点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点满足，在椭圆上是否存在点（异于的顶点），使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，由题意可得直线和直线的斜率均存在． 设直线的方程为， 由方程组消去可得， 解得或． 则点的坐标为． 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为． 由，可得点的坐标为， 所以直线的斜率为． 因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 所以，整理得，方程无解． 所以，不存在满足题意的点． 【分析】（1）由题意可得，解得的值，即可得椭圆方程； （2）若存在这样的点使得直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，设直线的方程为，与椭圆方程联立求解可得点的坐标，从而可得点的坐标，由，可得点的坐标为，因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据斜率计算公式列方程求解，即可判断是否存在点． 【详解】（1）解：由题意可知，得， 椭圆C的标准方程为． （2）略 【变式2】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2)不存在，理由： 因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意， 设直线的方程为，则 ，消去，整理得， 因为直线与双曲线相交于， 所以且，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，即，解得， 所以 所以不存在这样的直线. 【分析】（1）根据已知条件及两点间的距离公式，利用双曲线的定义即可求解. （2）根据已知条件及直线的斜截式方程，将直线与双曲线联立，利用韦达定理及中点坐标公式，结合点在直线上及直线与双曲线的位置关系即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 由题意可知，， 所以，，解得，， 所以， 故双曲线的方程为. （2）略 【变式3】（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)所求直线不存在，理由如下： 如图： 因为直线与双曲线交于，两点，所以直线必有斜率. 设直线：，即. 代入双曲线方程得， 整理得：. 因为方程有2个解，所以. 设，，则. 若为线段的中点，则. 但不满足， 故所求直线不存在. (2) 【分析】（1）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据方程组有两解，确定的取值范围，再根据求出的值，结合的取值范围进行判断即可. （2）结合（1）中的结论，利用即可求的取值范围. 【详解】（1）略 （2）直线与双曲线左右两支都相交， 则方程有1正1负两根. 所以. 即直线斜率的取值范围为. 题型六：确定参数的取值范围 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是_________________. 【答案】 【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 【典例2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知椭圆与直线. (1)若直线与椭圆交于，两点，求中点的轨迹方程； (2)若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】(1)（椭圆内部部分） (2) 【分析】（1）设，，弦的中点为，利用点差法得到，整理即可； （2）设的方程为，联立直线与椭圆方程，消元，由求出的取值范围，设的中点为，表示出点的坐标，由在直线上得到，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设，，设弦的中点为，则， 则，， 所以， 所以，即，所以， 所以中点的轨迹方程为（椭圆内部部分）. （2）关于直线对称的点为，， 设的方程为， 与椭圆方程联立，消去整理得， 由，得； 设，， 则，， 再设的中点为，则， 又在上，得， 在上，得，即， 则，得． 【变式1】（25-26高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解. 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知双曲线，过点的直线交其于轴下方两个不同的点，设的中点为，过点与作直线，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【分析】设过点A的直线为，，，，利用点差法可知，然后表示，联立直线方程与双曲线方程根据条件求出，然后可得结果. 【详解】设过点A的直线为，由题意知， ，，，可知，， 可得， 即.又可得 所以. 又，由， 得，解得， 则. 故答案为： 题型七：定值问题 【典例1】（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设为坐标原点，，直线与交于，两点，线段的中点为，的外心为，直线的斜率为，直线的斜率为． （i）试用表示点的坐标； （ii）试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【分析】利用已知条件求出标准方程，借助参数表示出所求内容并进行求解. 【详解】（1）将代入椭圆方程得，解得， 由离心率，所以， 所以，解得， 所以的标准方程； （2）（i）设， 联立，消去得：， 由韦达定理得，， 因为为的中点，所以， ，所以的坐标为； （ii）是定值，推导如下，， 设， 的外接圆方程设为，其中， 因为D在圆上，所以， 所以的外接圆方程为， 联立得 得， 所以 解得， 故， 所以，故是定值. 【典例2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，的最大值与的最小值的乘积是． (1)求该椭圆的标准方程； (2)设线段的中点为G，AB的垂直平分线与x轴交于D点，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1） 设，则根据椭圆性质得，结合条件，即可求出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理，即可表示出弦与点坐标，再根据，求出，即可表示出，从而得解. 【详解】（1）解：设左焦点为，根据椭圆的几何性质可得的最大值为,的最小值为 又已知的最大值与的最小值的乘积是， 所以有 即， 即， 又因为 解得， 故该椭圆的标准方程为. （2）解：根据条件可知直线的斜率一定存在且不为零，可设直线的方程为，并设，，，， 则由直线与椭圆的方程，消去并整理得 从而有，， 所以 ， 所以，． 因为，所以，所以．所以 所以 故的值为4. 【变式1】（25-26高二下·上海奉贤·期中）已知直线与双曲线：交于不同的两点，且线段的中点在上，求的值． 【答案】的值为． 【分析】将直线与双曲线联立，求出中点坐标，代入方程即可求出的值 【详解】解：设两点的坐标分别是, 线段的中点为, 由 , 得，（判别式） ， ∴, ∵点在上，则，故， ∴的值为 ． 【变式2】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为． (1)求抛物线C的标准方程； (2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法求解即可； （2）设，，从而可得，再联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理求解即可. 【详解】（1）不妨设，， 因为A，B两点在抛物线C上，所以， 两式作差得，① 因为A，B均在直线l上，所以， 又的中点为，此时，② 联立①②，解得，则抛物线C的标准方程为． （2）由为抛物线C上一点，所以，解得，即， 不妨设，，此时，同理得， 所以，③ 联立消去x并整理得， 由韦达定理得④ 联立③④，解得． 【变式3】（25-26高二上·重庆渝北·期末）已知抛物线与直线l：相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为5，抛物线的焦点为F. (1)求抛物线的标准方程； (2)记直线l与x轴的交点为P，过点P的直线m与抛物线交于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D，直线m的斜率为，直线CD的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法，建立方程，可得答案； （2）设点，利用斜率公式整理，根据直线与抛物线联立，写韦达定理，运算可得答案. 【详解】（1）设，将点代入抛物线方程可得：， 两方程作差可得，整理可得， 将代入可得：，则， 由在直线上，则，故，解得， 综上，抛物线的标准方程为. （2）设， 则， 设直线的方程为，代入抛物线中， 整理可得：，则，同理可得， 故， 设直线的方程为，代入中， 整理可得，则， 所以. 三、专项训练 一、单选题 1．（25-26高二上·天津和平·期末）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则（   ） A．2 B．4 C．12 D．16 【答案】B 【分析】利用点差法结合中点坐标公式计算得到答案； 【详解】设直线与椭圆相交于两点， 因为为线段的中点，故， 由在椭圆上，得， 两式相减并因式分解， 代入中点坐标化简得： 直线斜率，代入上式得 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用点差法计算可得. 【详解】依题意直线的斜率存在，设，， 则，即， 又，所以， 即，所以， 即，所以直线的斜率为. 故选：B 3．（25-26高二上·海南·阶段检测）直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，即得方程. 【详解】设 ，。 因为是的中点，所以：， 即： 点和都在椭圆上： ， 将 (1) 和 (2) 相减： ， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为 1，其方程为： ，即. 直线过点，点在椭圆内， 所以直线与椭圆相交，满足条件. 故选：D 4．（25-26高二上·福建厦门·期中）椭圆E：内有一点，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中点弦问题，利用 “点差法”求解即可. 【详解】设过点的直线与椭圆相交于，两点，则 ， 且，两式相减，整理得：， 所以，即直线的斜率为. 故所求直线方程为，即. 故选：C 5．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知椭圆：，若过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点坐标，代入椭圆方程中，作差化简可得答案. 【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点， 因此，点 ，满足椭圆方程， 两式相减得：，即， 则，即， 整理得，因此直线的斜率为. 故选：A 6．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】中点弦的问题，利用点差法求解即可. 【详解】易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点， 设过点与椭圆相交于，两点， 则， 两式相减，得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 所以直线的方程为：，即. 故选：A 7．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）双曲线的一条弦的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设弦端点，，中点，故， 点在双曲线上，满足方程， 两式作差并整理得：， 故，经检验符合题意． 8．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 9．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 10．（25-26高二上·福建莆田·期中）过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，利用点差法列式可得，进而求出值. 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 二、填空题 11．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 【答案】 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 12．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是____________． 【答案】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. 13．（2026·山西临汾·二模）已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是______. 【答案】/ 【分析】联立直线与双曲线的方程，求出点坐标，由给定关系求出离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则，直线方程为， 由消去得， ，设，则， 于是点，， 解得，所以双曲线的离心率. 故答案为： 14．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率. 【详解】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ， 即，可得， 所以，即. 故答案为：. 15．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标公式和韦达定理即可求出直线的方程. 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】由题意可求得抛物线的方程，设，由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案. 【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为， 所以易得抛物线的方程为， 设， 因为线段的中点为， 故， 则，由， 两式相减得，所以， 故直线的方程为，即． 故答案为：.    三、解答题 17．（26-27高二上·广东东莞·期中）已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． (1)求点C的轨迹方程； (2)点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法即可求得答案； （2）利用点差法先求出直线的斜率，得到其方程，与C的轨迹方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式计算即得. 【详解】（1）设，易得，则， 因为A在圆M上，所以， 故点C的轨迹方程为：； （2）设，，则， 两式相减得，即， 因为线段PQ的中点坐标为，则， 所以， 所以直线PQ的方程为， 联立方程组， 整理得， 则，， ． 18．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知椭圆的离心率是是椭圆的一个焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，得到椭圆的标准方程， （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，弦中点可利用点差法直接求出直线的斜率，再结合点代入得到直线方程， 【详解】（1）由题可知，，， ，所以椭圆的标准方程为， （2）当直线的斜率不存在时，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，是线段的中点， ， ，两式相减， ， ， 故直线方程为： 19．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 20．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设坐标为，利用直线，相交于，且它们的斜率之积为，即可确定出的轨迹方程； （2）设出与坐标，分别代入的轨迹方程，整理由根据为中点，求出直线斜率，即可确定出直线方程． 【详解】（1）设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； （2）由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即，该直线与M的轨迹有两个交点，符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $