圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 考点目录 面积最值问题 线段长度最值问题 考点一 面积最值问题 例1.C2026广东佛二模)已奥精图E:号+茶=a>6>0的左顶点42.0，上顶直0》. (1)求椭圆E的方程和直线AB的方程； (2)过椭圆E上异于A的点C作x轴的垂线交直线AB于M点，延长CM至点N，,使MN=CM,直线AN交椭圆E于 点D (i)求证：直线AC,AD的斜率之和为定值； (ii)求aACD面积的最大值. 【答案10+少=1小y方+： 1 ②)(i)证明见解析；(i)08 2 【详解】(1)由椭圆E:x P2+=1的左顶点A(-2,0),上顶点B(0,1),得a=2,b=1, 所以椭圆E的方程为号+y=1,直线B的方程为y=+1 4 (2)(i)直线AC斜率存在，设其方程为y=k(x+2),点C(xc,yc) 2+42=4得(4+r产+16x+16k2-4=0,则-2。=166-4， y=k(x+2) 由 4k2+1 解得2=2-82 4即点C2824 4h2+7e=x+2)=,4 2+462 直线CM:x=8然交直线y=1于点M28然 4k2+1 4k2+1’4k2+1 由点M是线段CN的中点，得点N28,4-4k 4k2+1'4k2+1 4-4k-0 因此直线AD的斜率《=4=1-k,即k+:=1, 2-8k2 -+2 4k2+1 所以直线AC,AD的斜率之和为定值 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 D (i)由（①同理得D28”.4秋 /2-8M2 +4+4C非V+ + 4V1+k2 2=4k2+1 1k.2-8k2 4k' +2k| 点D到直线AC:a-y+2k=0的距离d=42+14”+1 4k-K'1, Vk2+1 (42+1)Nk2+1 则&4CD的面积S=4C1d=8k-一 8V(k+)2-4kk 8v1-4kk' (4k2+10(4k2+D(4kk2+4[k+k>-2k1+1(4k)2-8kk'+5 显然k'≠k,4kk'=4k1-k)=-(2k-1)2+1<1,令√1-4kk=1>0, S= -y-20-P)+54求导得5=84-3 8t 8t (4+4)2, 4 令 令 当0<1得时、5>0，当1>语时，S<0,西数5在@得上递路，在停m)上提说。 当t=A 时，S= 令 3_34_08 3 +42V32 所以&4CD面积的最大值为08 2 3 例2.(2026黑龙江哈尔滨·一模)已知抛物线『：x2=2py焦点为F(0,),A(x,),B(x2,2),C(x,)为抛物线 「上的三个动点，且x<<x (1)求抛物线Γ的方程： (②)过4，B,C分别作抛物线的三条切线，分别为4，Z,马，4,4交于点D,马，4交于点E,4,Z交于点G (i)证明：△EDG的垂心在一条定直线上； i)已知G点在曲线产+二=1(y≤0)上，求4BC的面积的最大值 4 【答案】(1)x2=4y (2)(1)证明见详解 (i)4W2 【详解】(1)抛物线T:x2=2py的焦点坐标为(0，)，已知焦点F(0,),故号=1→p=2, 2 因此抛物线方程为：x2=4y 2 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 2)①由方程)=苦少-克改在点4处切线方程为： 方程为-为=x)→y-千=克-号÷y=华至 421 2 24 马方程为y=至，5方程为y=-至 241 24 联立放解得c子，平) 则过￡点与马垂直的直线为：y-5=-2 x-+x2 4x, 2 →4xy-xx23=-8x+4x3+x2),① 过点D点与5垂直的直线：y-5=-2x-5十→4，y-x=-8x+4x+小，② 4 x, 2 ①-②可得：4x-x)y=4(x3-x)→y=-1 故△EDG的垂心在一定直线y=-1上 A ()设G(x,,由（①）可知：GA的直线方程为y=￡ 24 将Gx0,y0)代入可得：x2-2xx+4y。=0→2y-xx+2y=0, 同理可得x-2x2x。+4y。=0→2y2-2x,+2y,=0, 故AB的直线方程为2y-xx+2y=0, 联立直线AB与抛物线得x2-2xx+4y=0, 由弦长公式AB +44-16, 1+ 为了使△ABC的面积最大，必须保证C处的切线与直线AB平行， 所以kB=k==点 22 从而C,4 故△ABC的面积为： 3 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 1 1 2 x-x-2yo 1 SA8c=7AB×d= 1 2 +4-16 Vxo+4 32-16,+4, 当=-2时，取得最大值S.Cm=4V5 B 物3.(2026：四川模拟预测)已知椭圆℃：之怎+厅=1(a>b>0)的离心率为Y3,短轴长为3 (1)求椭圆C的方程； (2)若动直线1与椭圆C有且仅有一个公共点，过原点O作1的垂线，垂足为M,设点M的轨迹为E. (i)求轨迹E的方程； (以地标家点O为公共端点作两条五相垂直的线4，么分别5E交于点RQ、与精服G芹+答-1交 于点P,Q,求以P,P,Q,Q为顶点的四边形的面积的最大值 【答案】①+y=1 4 (②)(D(x2+y2)2=4x2+y2(i) 21 20 【详解】1)已知椭圆C=士+足 若后=a>b>0,离心率=5，短维长动=2， 2 由短轴长得6=1，由离心率e=S=5,得c=5。 , 2 2 结合a2=b2+c2,得a2=1+ 3）】 2a,解得a2=4, 2“ 因此，椭圆C的方程为： (2)()若动直线I的斜率存在，设其方程为y=kx+m, 联立直线与椭圆方程： 若+y产-1得牛x+8mr+4m2-40. y=kx+m 直线与椭圆相切，故判别式△=0，即(8km)2-41+4k2)4m2-4=0,可得m2=4k2+1, 因为0M上1，所以直线0N的斜率为0，设点M的坐标为x川，则有：y=,即k=一于 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 点以压列他布宜线止，所以红，图=y-=y-(升护 y 代入m2=42+1, 整理得轨迹E的方程：(x2+y2=4x2+y2(当k=0时，1：y=士1，M(0,±，代入上式也成立)； 若动直线I的斜率不存在，切线方程为x=±2，过原点0作垂线，垂线即x轴，垂足M的坐标为±2,0)，满足 (x2+y22=4x2+y2, 综上，轨迹E的方程：（x2+y2=4x2+y2 (i)点P在轨迹E:(x2+y2)=4x2+y2上，将y=c代入得： (+r=4r,即r=4+ 4·期or时-r=rh-:, 4k2+1 同理可得Og k2 4k2+1 k2+1k2+1’ k 点P在椭圆C,4r2+y2=1上，代入y=得4x2+kx2=1,即x=,1 4+k2, 则orr-:)-点月可写0 1人1) k k2+1 1 4k2+11 4+k 因为114，四边形面积S=Sam-Sow-号0rog-oPo0 s为oP=0000,◆=0r00.则s-e-》 因为y=与y=在>0时都龙塔手数、所以5-日)关嘴函数 u 因为㎡4+公+1+17+4，令1=+1，则1≥1，=1-， Γ1+k2k2+1k4+2k2+1 则r-41-+17-+4_4+9-9-4+99, 12 t21 91 令3=7心=-9：+9z+4,则当=2x-92时，即1=2，=1时，取得最大值， 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 15212121 22521020 ◇ 变式1.(25-26高二上·四川巴中月考)己知椭圆C的两个焦点E-1,0),F,(1,0),过F点且与坐标轴不平行的直线 1与椭圆C相交于M,N两点，△MWF,的周长等于8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(-4,0)的直线与椭圆C交于两点A,B,设直线AE,BF的斜率分别为k,k, (1)求证：k+k2为定值； (ii)求△ABE面积的最大值， 【答案】0①亡+上=1 43 2②()证明见解析：i)3v3 【详解】(1)因为△MWF,的周长等于8， 所以MN+MF,+NF,=8→MF+WF+MF,+NF,=8, 由椭圆的定义可知：M+MF=2a,NF+WE,=2a, 所以4a=8三a=2, 由题意可得椭圆焦点在x轴上， 所以b2=a2-c2=4-1=3, 所以椭圆的方程为+上1。 43 (2)(1)证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然k=k2=0,所以k+k2=0: 当直线斜率不为0时，设直线方程为x=少-4， x=my-4 联立g+-(3m+4到广-24mv+36=0, 43 则△=(-24m)2-43m2+4)×36=144m2-4>0→m2>4, 6 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 36 股，，则+4+子 所以6+k=上+少=片+当=上(m-3到+(my-) +1'x2+1my-3m%2-3(my,-3my2-3)’ 因为y(m-3)+,(my-3到=2m5-3到y+,)=2m×,36，-3×,24m=0, 3m2+43m2+4 所以k+k2=0 综上，k+k,为定值0 B )由①)可得以-y为=+-4=3m+4 24m 12 -4× 3612√m2-4 3m2+43m2+4 所以5m-5w-5m-小方x-1 3m2+4 3m2+4 所以了s 18√m2-4_18m2-4 18 3m2+43m2-4)+163m2-4+ 16 Vm2-4 18 33 2.3m2-4× 16 4, Vm2-4 当且仅当3Vm2-4= ”4树等号成立， 16 3 所以△4BF面积的最大值为3N5 4 法二：AB=V1+m2以-2=V1+m2Vy+乃2)2-4y 2 =V1+m2 24m 3612V1+m2√m2-4 -4× 3m2+4 3m2+4 3m2+4 3 点到直线x=my-4的距离d= V+m 所以5.所-4Bd=x12+my4x318Vn-4 2 3m2+4 1+m23m2+4 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 所以Ss 18√m2-4_18√m2-4 18 3m2+43m2-4)+163m2-4+ 16 m2-4 18 35 16 2,3Wm2-4× 4, Vm2-4 当且仅当3Vm2-4= 16 即m2=28>4时等号成立， Vm2-4 3 所以△4BS面积的最大值为3V5 4 变式2.(2025湖南邵阳模拟预测)已知双曲线形：。-广 :话若1的离心幸为5，且形上的点到点业10的距高的 2 最小值为1. (1)求W的方程； (②)若垂直于x轴的直线与W相交于A,B两点，设直线AM和W的另外一个交点为C. (i)求证：直线BC过定点G; (ii)过点G作直线l交W的右支于E,F两点，求△MEF的面积的最小值. 【答案】0苦y= (2)(i)证明见解析；(ii)3√5 D因双曲线业的蓝心率为，所以e所以5 2 2,b 39, 1 设上的点为Pm,0则%差-L,PM=m-+m=m2mL 4 园6，所当a,Pv 4 -21-44 a21a2 5 又W上的点到点M1,0)距离最小值为1，所以}-Q=1,无解， 54 故a号此时pw0-2a+1-号=a2-2a+1, 4 又W上的点到点M(1,0)距离最小值为1，所以a2-2a+1=1,解得a=2, 所以6=1，c=5,所以w的方程为苦广-1： (2)(i)设Ax,),C(x2,2,则B(x,-),直线AM:y=k(x-1), y=k(x-1) 联立双曲线 x2 42=1’得1-4k2)x+8k2x-4k2-4=0，△=64k4+161+k21-4k2)=16-48k2>0，且 P 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 + 8k2 由kc=+出，则直线BC:y+男=上+出x-x, 2-x x2-x 整理得y=+x-+=1[,+)x-(x+】, x2-x1 x2-x1x2-x1 又片+⅓=(+5)-2张=20 2k 7·+=2-Rx+达4气本2 、(x-4),显然 直线BC过定点G4,0),得证； (i)由直线l过点G(4,0),与双曲线右支交于E,F,故斜率必不为0， :可设1：x=my+4,E5,,Fx,,联立双曲线兰-y=1, 4 整理得(m2-4)y2+8my+12=0,△=64m2-48m2-4>0, 8m 12 则+y4=- m2-4’乃y4= m2-4 2m>2m2e0,4. 与W的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以>」 3 64m248316m2+12 m2+12 =6 2m2-42m-421(m2-4 Vm2-42, t 1 令1=m2+12∈12,16)，则Swr=6 -16=6 t+ 256-32' t 令H0=20.则=12<0. H小=1：25右216上单调遥减。则H口-g9,此时1=12，即m-0, ∴.△MEF的面积的最小值为3√5 G E M 变式3.(2025·上海浦东新三模)已知曲线C:x2-y2=2,第一象限内点P在曲线C上.F(-2,0)、F(2,0),连接 PF,并延长与曲线C交于Q点，PF,=1F,Q(1>0).以P为圆心，PF,为半径的圆与线段PF交于点N,记aPF,N, △PFQ的面积分别为S,S2 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 (1)若1=1，求点P的坐标； PF+PF3 (②若点P的坐标为，)，求证=P-PF ③求5+1S的最小值 S 【答案】(1)P(2,√2) (2)证明见解析 (3)1+2√5 【详解】(1)设：x=y+2,P(x,y),Q(x2,y2, 与x2-y2=2联立可得(m2-1y2+4my+2=0,m≠±1， △=16m2-8(m-刂=8m2+8>0,片+片=-4 2 m’%m- 因为PF=F20,所以=-y2, 由y+乃2=- 4m可得m三0，故以=。之 -=-2 m2-1 因为P在第一象限，所以>0，解得=V2, 由1：x=2得P(2,V2); (2)由题意得x-y=2,。>√2，故y=x6-2, P=x+22+片=V+2+6-2=2x+2, PF=Vx-2)+y=Vx-22+x-2=V2x。-V2, -网 PF +PF 则 m21’5= 4m (3)由(1)得y+y2= m-<0,故-1<m<1, 因为PF=1FQ(1>0),所以y=-元y2, 10圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 圆锥曲线：面积最值问题、线段长度最值问题专项训练 考点目录 面积最值问题 线段长度最值问题 考点一 面积最值问题 例1．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知抛物线焦点为，，，为抛物线上的三个动点，且. (1)求拋物线的方程； (2)过分别作抛物线的三条切线，分别为，，，，交于点，，交于点E，，交于点. （i）证明：的垂心在一条定直线上； （ii）已知G点在曲线（）上，求的面积的最大值. 例3．（2026·四川·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，过原点O作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为E． （ⅰ）求轨迹E的方程； （ⅱ）以坐标原点O为公共端点作两条互相垂直的射线，，分别与E交于点P，Q，与椭圆交于点，，求以P，，Q，为顶点的四边形的面积的最大值. 变式1．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 变式2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且上的点到点的距离的最小值为1. (1)求的方程； (2)若垂直于轴的直线与相交于A，B两点，设直线和的另外一个交点为C． （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线交的右支于E，F两点，求的面积的最小值. 变式3．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 考点二 线段长度最值问题 例1．（2025·浙江温州·一模）已知点F为抛物线的焦点，点（）在C上，且. (1)求C的方程； (2)过C上的动点P作C的切线，与直线交于点Q，过Q作PF的垂线，垂足为H. （ⅰ）当时，求点P的坐标； （ⅱ）求的最大值. 例2．（25-26高二上·江西·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 例3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点. (1)求的方程； (2)为坐标原点，，求的取值范围； (3)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点. 变式1．（25-26高三上·湖北·期末）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点. (1)求的标准方程； (2)求证：直线过定点； (3)求的最小值. 变式2．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的左、右顶点为，，右焦点为F，双曲线C上异于，的一点P，满足直线，的斜率之积为3． (1)求双曲线C的离心率； (2)若过F且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且，过点P的直线l与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，已知点P为线段MN的中点． （ⅰ）证明：直线l与双曲线C仅有一个公共点； （ⅱ）求的取值范围． 变式3．（25-26高三上·浙江温州·月考）平面直角坐标系中，点在以为左，右焦点的双曲线上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若不过的直线l与交于不同的两点； （i）设l的斜率为，若为直线斜率的等差中项，求到l的距离的取值范围； （ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $