专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)专题训练-2027届高三数学二轮复习

专题01 利用导函数研究函数的切线问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 3 题型一：“在”型求切线方程 3 题型二：“过”型求切线方程 3 题型三：已知切线斜率求参数 4 题型四：已知切线条数求参数 4 题型五：距离问题转化为相切问题 5 题型六：公切线问题 5 三、专项训练 6 一、必备秘籍 1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2、曲线的切线问题（基础题） （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 4、已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分离变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分离变量，根据题意公切线条数求交点个数； 二、典型题型 题型一：“在”型求切线方程 【典例1】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为________. 【变式1】（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·吉林·期末）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C．. D．. 【变式3】（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 题型二：“过”型求切线方程 【典例1】（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【典例2】（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【变式1】（25-26高二下·广东惠州·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 【变式2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【变式3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 题型三：已知切线斜率求参数 【典例1】（2026·广西百色·一模）若直线与曲线相切，则________． 【典例2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）若直线是曲线在处的切线，则________． 【变式1】（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知直线与曲线相切，则实数的值为____． 【变式2】（25-26高二下·湖南·期末）若直线是曲线的切线，则________． 【变式3】（2026·福建泉州·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则________． 题型四：已知切线条数求参数 【典例1】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 【变式1】（25-26高二下·江苏无锡·期中）过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【变式2】（25-26高二下·吉林长春·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是______． 【变式3】（25-26高二下·黑龙江·期中）已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是_________ 题型五：距离问题转化为相切问题 【典例1】（25-26高二下·江西鹰潭·期中）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 【典例2】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【变式1】（25-26高二下·广西崇左·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 【变式2】（25-26高二下·河南·期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________. 【变式3】（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 题型六：公切线问题 【典例1】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 【典例2】（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线与曲线和均相切，则______. 【变式1】（25-26高二下·重庆渝中·期末）若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【变式2】（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 三、专项训练 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数a的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）若直线是曲线的一条切线，则切点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．或 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二下·河北承德·期末）若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·四川内江·期末）函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26高二下·江西上饶·期末）曲线在处的切线方程为_____． 9．（25-26高二下·上海·期末）若直线过原点，且与相切，则的斜率为__________． 10．（25-26高二下·江苏无锡·期末）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 11．（25-26高二下·上海松江·期中）曲线在点处的切线斜率为_______． 12．（25-26高二下·北京·期中）函数在处的切线方程为______． 13．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 利用导函数研究函数的切线问题 (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：“在”型求切线方程 2 题型二：“过”型求切线方程 4 题型三：已知切线斜率求参数 6 题型四：已知切线条数求参数 8 题型五：距离问题转化为相切问题 11 题型六：公切线问题 13 三、专项训练 16 一、必备秘籍 1、切线的斜率：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 2、曲线的切线问题（基础题） （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 3、已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 4、已知和存在（）条公切线问题 第一步 设的切点 设的切点 求公切线的斜率 写出并整理切线 整理得： 整理得： 联立已知条件 消去得到关于的方程，再分离变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分离变量，根据题意公切线条数求交点个数； 二、典型题型 题型一：“在”型求切线方程 【典例1】（26-27高三上·安徽淮南·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入求解，进而得函数表达式，即可求导，根据点斜式求解切线方程. 【详解】，解得，则，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即。 【典例2】（25-26高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为________. 【答案】 【分析】先通过换元法求得的解析式，再利用导数的几何意义求切线斜率，结合点斜式得到切线方程. 【详解】令，则，，代入已知等式得： ，因此，， 所以，即切点为， 又，得，即切线斜率， 由点斜式可得切线方程为，整理得. 【变式1】（2026·全国·模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 【变式2】（25-26高二下·吉林·期末）函数在处的切线方程为（    ） A． B． C．. D．. 【答案】B 【详解】，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 【变式3】（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】先求出常数和，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由于，则， 故，故，所以， 代入，可得．又．故切线方程为，则． 题型二：“过”型求切线方程 【典例1】（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 【典例2】（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【分析】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 【变式1】（25-26高二下·广东惠州·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 【答案】 【分析】设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以，解得， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 【变式2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【答案】和 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 【变式3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 【答案】 【分析】设出切点坐标，通过导数求得切线斜率，再由直线的斜率公式求斜率，列出等式求解即可. 【详解】设切点坐标为， ， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以切点坐标为，切线的斜率， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 题型三：已知切线斜率求参数 【典例1】（2026·广西百色·一模）若直线与曲线相切，则________． 【答案】 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得， 则，即切点坐标为， 把代入直线可得，解得. 【典例2】（26-27高三上·福建福州·阶段检测）若直线是曲线在处的切线，则________． 【答案】0 【详解】由得， 由题意得在处的切线斜率为，故，解得， 又切点坐标为，代入切线方程得，解得， 因此． 【变式1】（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知直线与曲线相切，则实数的值为____． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解，求出的导数，设切点为，则，此斜率和直线的斜率相等得到，又切点在直线和曲线上，通过代入求解即可. 【详解】设切点为， 曲线的导数为，则斜率， 又的斜率为，则，即，得； 又切点在曲线上，则， 又切点在直线上，则，解得， 则. 【变式2】（25-26高二下·湖南·期末）若直线是曲线的切线，则________． 【答案】 【详解】设直线与曲线的切点坐标为. 由求导得. ，化简得，解得. ∴ 将代入切线方程，得； 再将代入曲线方程，得. 联立两式得，解得. 【变式3】（2026·福建泉州·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】 【分析】由求曲线在切点处的导数值等于对应切线的斜率，且切点同时在曲线和切线上. 【详解】设切点为，且， 因为直线的斜率为1，所以， 令，所以， 所以在实数上单调递增，且， 因此此方程的唯一解为，则， 所以切点为，将切点代入切线方程可得. 题型四：已知切线条数求参数 【典例1】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 【典例2】（25-26高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 【变式1】（25-26高二下·江苏无锡·期中）过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 【变式2】（25-26高二下·吉林长春·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】设切点为，求切线方程，又在切线上得，令，即与的图像有两个交点即可，利用导数研究单调性，作出图像即可求解. 【详解】设切点为，则，所以，即， 又在切线上，所以，化简整理有， 令，即与的图像有两个交点即可， 所以，令有， 由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，当， 作出函数的图像， 所以， 故答案为：. 【变式3】（25-26高二下·黑龙江·期中）已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【分析】先设切点，再求切线方程，将点代入切线方程，将问题转化为在上有两解，构造函数研究其单调性即可. 【详解】定义域为，且， 设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 将点代入切线方程有：， 若，则，与定义域矛盾；则， 因过点与曲线相切的直线有两条， 所以在上有两解， 设， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减，则， 又时，； ；时，，且时，， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为： 题型五：距离问题转化为相切问题 【典例1】（25-26高二下·江西鹰潭·期中）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点到线的距离计算. 【详解】因到直线的距离最小，故过与直线平行的直线与曲线相切， 由题意可知：,令，得 易得函数在单调递增，且为零点. 此时点M的坐标为. 此时M到直线的距离， 所以点M到直线的距离的最小值为. 【典例2】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 【变式1】（25-26高二下·广西崇左·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 【答案】 【详解】令，得，代入曲线， 的最小值即为点到直线的距离， ． 【变式2】（25-26高二下·河南·期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】求解导数令求解，可得曲线在切点处的切线与直线平行，再由两平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】将函数求导得 令，得（负值舍去），又， 则曲线在点处的切线方程为，即， 依题意，该函数图象上的点到直线的距离的最小值即直线与的距离， 因为 则函数图象上的点到直线的距离的最小值为. 【变式3】（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 【答案】 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. 题型六：公切线问题 【典例1】（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则____． 【答案】 【分析】设直线分别与两条曲线相切，利用导数的几何意义建立切点坐标与斜率的关系，再结合切点在直线上列方程求解. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故，所以， 所以，于是 设直线与曲线相切于点， 由得，所以切线斜率为，且切线过原点， 故 切点纵坐标为 因为切点在直线上，所以， 解得 【典例2】（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线与曲线和均相切，则______. 【答案】 【分析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式得到切线方程，通过斜率相等和截距相等求解. 【详解】设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 因为，所以，则， 则曲线在点处的切线方程为， ，即， 这条切线的斜率为，截距为， 因为，所以， 曲线在点处的切线的斜率为， 则此切线方程为 解得，即， 即， 这条切线的斜率为，截距为， 则， 的两边同时取自然对数，得到， 化简得到，即， 将， 代入， 得到，即， 解得，则，，解得，， 故曲线在处切线为，曲线在处切线为， 则. 【变式1】（25-26高二下·重庆渝中·期末）若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【答案】/ 【分析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导，利用导数的几何意义，由斜率相等可得答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而得到，，，． 所以切线方程，所以． 【变式2】（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线，结合公切线的性质进一步求解即可. 【详解】由，得，，故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线重合，则，解得． 三、专项训练 一、单选题 1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设出切点，结合导数的几何意义列出方程组，求出答案 【详解】因为直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 所以这两个切点都在直线上.设两个切点分别为，， 且，，则，即. 由切点在各自曲线上，得，将代入①得 ③，③-②得，解得. 由得，，由①得，解得. 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数a的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由得， 令，得，所以切点坐标为， 代入曲线得，所以. 3．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）若直线是曲线的一条切线，则切点的纵坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用导数与切线斜率关系求解即可. 【详解】设切点坐标为，由于， 所以，解得, 当时，，解得， 当时，，此时无解， 综上，切点的纵坐标为 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知点是曲线上的点，若该曲线有两条斜率为的切线，则这两条切线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的坐标代入曲线方程，求出的值，令，求出两切点的坐标，利用导数求出两切线方程，再利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为点是曲线上的点，所以，故曲线对应的函数解析式为， 对函数求导得，令，解得， 当时，，记点， 曲线在点处的切线方程为，即， 曲线在点处的切线方程为，即， 故这两条切线间的距离为. 5．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求曲线在点处的切线方程，再令切线方程与相等并化简，最后通过判断化简后函数的单调性和零点情况确定公共点个数. 【详解】因为，所以， 则，又因为，所以曲线在点处的切线方程为： ，即，由， 得，令，则， 由于恒成立，故，因此在上是严格单调递增函数， 而，所以曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为1． 6．（25-26高二下·河北承德·期末）若直线与曲线（为自然对数的底数）相切于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则切线斜率为,切点坐标为，故， 而曲线在处的切线方程为， 即，故，，所以． 7．（25-26高二下·四川内江·期末）函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组求解. 【详解】令公切线与的图象切于点，与的图象切于点， 因，，则，解得， 因此公切线斜率为1，与的图象切于点， 则切线方程为，即. 二、填空题 8．（25-26高二下·江西上饶·期末）曲线在处的切线方程为_____． 【答案】 【详解】将代入曲线方程，得，因此切点为， 求导，将代入导数得切线斜率， 所以切线方程，整理得. 9．（25-26高二下·上海·期末）若直线过原点，且与相切，则的斜率为__________． 【答案】 【分析】设切点为，再利用导数的几何意义求出切线方程，然后将原点坐标代入可求出，再将代入导函数中可求出切线的斜率. 【详解】因为，所以， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以， 所以，所以， 所以切线方程的斜率. 10．（25-26高二下·江苏无锡·期末）曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先对函数求导，进而求出切线斜率，根据两直线垂直列方程求解. 【详解】，， 在点处的切线的斜率为， 在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 则. 11．（25-26高二下·上海松江·期中）曲线在点处的切线斜率为_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 则， 所以曲线在点处的切线斜率为. 12．（25-26高二下·北京·期中）函数在处的切线方程为______． 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数， 可得，且， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 13．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【分析】先设切点为，根据切线方程可得，进而可得，再构造函数，用导数求得函数的最大值可得. 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $