2.2.1 椭圆及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版（2019）选择性必修第一册 · 第2章 圆锥曲线的方程 2.2.1 椭圆及其标准方程 从几何特征到代数方程 1.7.2013 ‹#› 引言：用平面以不同角度截圆锥，可依次得到 圆、椭圆、抛物线、双曲线，统称圆锥曲线。 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 学完这节课，你能做到什么？ 学习目标 1　经历从几何特征到椭圆定义的形成过程 2　掌握椭圆标准方程的推导与两种形式 3　能根据方程判断焦点位置并求解基本量 核心素养 · 直观想象 · 数学抽象 · 逻辑推理 · 数学运算 02 1.7.2013 ‹#› 本章怎么研究曲线：先看几何，再建方程，最后用方程说话 研究路径（从“直线与圆”迁移过来的套路） 几何特征（下定义）　→　建立坐标系（出方程）　→　用方程研究性质 这节课，我们从圆出发做一个改动 圆：到 1 个定点的距离等于定长。 改成：到 2 个定点的距离之和等于定长（且大于两定点间的距离）。 这一次，轨迹会变成什么？ 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 1.7.2013 ‹#› 拉紧细绳移动一周，笔尖到两定点的距离之和变了吗？ 数学实验（教材“思考”） ① 取一条定长细绳，两端固定在 、； ② 绳长要大于 ； ③ 铅笔套住细绳、拉紧，慢慢移动一周。 问题：笔尖到两定点的距离之和变了吗？ 绳长与两定点的距离之间是什么关系？ 活动：先用自己的话解释“为什么画出了椭圆”，再对照教材表述修正。 1.7.2013 现场演示或动画：细绳两端固定，铅笔拉紧移动。关键让学生盯住两件事——第一，移动过程中 |MF1|+|MF2| 始终等于绳长，是个不变的定值；第二，绳长必须大于两定点距离，否则画不出封闭曲线。先让学生用自己的话说出“为什么这就是椭圆”，教师再把它规范化为定义。右图橙色两点就是细绳两端固定的焦点，M 是铅笔笔尖。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 从实验到定义：椭圆是什么？ 定义：平面内到两个定点 的距离之和等于常数（常数大于 ）的点的轨迹，叫做椭圆。 符号表达： 其中 2a 为常数，轨迹上任意点到两焦点距离之和恒等于 2a。 两个定点 叫做椭圆的焦点；两焦点间距离叫焦距，记为 2c。 06 1.7.2013 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 常数为什么要大于两焦点间距离？ 追问2：绳长小于两钉间距时，能画出轨迹吗？ 不能。两段绳的总长不足，找不到同时满足距离和要求的点，轨迹不存在。 追问3："平面内"能否去掉？常数为什么必须大于 ？ 若去掉"平面内"，轨迹是空间曲面；常数等于两钉间距时退化为线段。 常数 2a 与两钉间距的关系 笔尖（动点）的轨迹 2a > 椭圆 2a = 线段 2a < 无轨迹（不存在这样的点） 05 1.7.2013 通过连续追问，让学生主动辨析定义中的两个限制条件。 追问2：绳长小于间距时无轨迹，说明常数不能小于两焦点距离。 追问3："平面内"限定空间范围；常数等于间距退化为线段，小于则无轨迹。 用表格归纳三种情形，为下页归纳定义做铺垫，体现数学抽象与逻辑推理。 ‹#› 怎么建系，才能让椭圆的方程形式最简单？ 教材“思考”：先自己提方案，再比较 方案一：把原点取在焦点 —— 两焦点不对称，方程会多出一次项，较繁。 方案二：原点取在 的中点，x 轴过两焦点，y 轴为它的垂直平分线 —— 对称，方程最简。 共识：采用方案二。建系不是被动规定，而是利用对称性主动降低代数复杂度。 O x y 1.7.2013 这一步是方法的关键。先让学生自己提出建系方案，常见两种：原点放焦点，或原点放两焦点中点。比较后会发现，把原点放在中点、让坐标轴贴合椭圆的对称轴，能利用对称性让方程里不出现一次项。强调：建系是我们主动选择的化简手段，不是教材随意规定。右图就是方案二的坐标系，F1(-c,0)、F2(c,0)，M(x,y) 是椭圆上动点。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 如何把定义翻译成含根号的等式？ 把 代入两点间距离公式，得： 第一步（移项）：把一个根式移到等号另一边 08 1.7.2013 明确：由椭圆定义出发，用两点间距离公式直接列式。 强调第一次移项的目的——把两个根号分开，为逐个平方创造条件。 提醒：第一次平方后仍有一个根号，还需第二次平方，故名两次平方。 这里展示运算策略，不跳步，体现数学运算素养。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 两次平方：如何一步步消去根号？ 步骤①　两边平方，再展开、移项、合并 步骤②　整理出核心中间式（移项、合并、除以系数） 09 1.7.2013 完整呈现两次平方的过程，重点停在核心中间式 a²−cx=a√((x−c)²+y²)。 指出：第一次平方后仍有根号，必须第二次平方才能消除。 强调运算的策略性：先移项再平方、合并同类项要细心。 提示下一页完成第二次平方并得到标准方程。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 引入 b：a²−c² 在图中对应哪条线段？ 第二次平方并化简，得： 追问：a²−c² 在图中对应哪条线段？ 由图，a²−c² 恰为半短轴 b 的平方，即 b²=a²−c²。 令 b²=a²−c²（b>0），整理得标准方程： 关系：a²=b²+c²，且 a 最大（a>b>0）。 10 O F₂ P(0,b) c b a Rt△：a² = b² + c² 1.7.2013 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 焦点在 x 轴还是在 y 轴，如何判断？ 焦点在 x 轴 （a > b > 0，x² 的分母是 a²） 焦点 (−c,0)、(c,0) 焦点在 y 轴 （a > b > 0，y² 的分母是 a²） 焦点(0,−c)、(0,c) 判断口诀：哪个分母大，焦点就在哪个轴上（大分母是 a²）。 即时辨析： 焦点在 ；焦点在 。 11 x 轴 y 轴 1.7.2013 并排对比两种标准方程，突出各自焦点的位置。 强调判断口诀：分母较大的项对应 a²，焦点落在对应坐标轴上。 给出两道即时辨析题，检测学生是否掌握判断方法。 提醒 a、b、c 三者关系不变：a²=b²+c²，a 最大。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 例1　如何求椭圆的标准方程？ 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)　两个焦点的坐标分别是 、，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)　两个焦点的坐标分别是 、，并且椭圆经过点 。 解题思路 先由焦点位置确定标准方程的形式，再由条件求出 a²、b²（结合 a²=b²+c²）。 13 1.7.2013 参考答案：(1) 焦点在 x 轴，c=4，2a=10→a=5，b²=a²−c²=9，方程 x²/25+y²/9=1。 (2) 焦点在 y 轴，设 y²/a²+x²/b²=1，代入点 (−3/2,5/2)，结合 a²−b²=c²=4，解得 a²=10、b²=6，方程 y²/10+x²/6=1。 讲评：先判焦点位置再设方程是这类题的通用方法。 第(1)问巩固焦点在 x 轴的标准方程，第(2)问对比焦点在 y 轴的情形。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 例2　用相关点法求轨迹方程 在圆 上任取一点 P，过 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足。当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？ 关键：把动点 M 的坐标用已知圆上的点 P 表示（相关点法）。 步骤①　设点：P(x₀,y₀)，M(x,y)，则 D(x₀,0) 步骤②　找关系：M 是 PD 中点，故 步骤③　代入：P 在圆上，，得 步骤④　化简：（焦点在 x 轴） 结论：M 的轨迹是以原点为中心、焦点在 x 轴的椭圆。 14 1.7.2013 本题是相关点法求轨迹方程的经典例题，务必完整呈现过程。 思路：设动点 M 与已知点 P，建立两坐标间关系，回代入 P 的轨迹方程。 强调步骤③代入圆方程是关键一步，化简后得到椭圆标准方程。 可追问学生：轨迹方程是什么曲线？为什么是椭圆？ ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 即时检测：写出动点的轨迹方程 平面内两个定点的距离是 8，写出到这两个定点距离的和是 10 的动点的轨迹方程。 步骤①　建系：以两定点所在直线为 x 轴、中点为原点 步骤②　定参数：，两定点距离 步骤③　求 b： 步骤④　写方程： 检测：定义中的限制条件 2a > |F₁F₂| 在此题中是否满足？——10 > 8，满足。 15 1.7.2013 本题把定义、建系、求参数与写方程串成一条完整路径。 强调两定点距离是焦距 2c=8，距离和是 2a=10。 再次检验定义限制条件：2a>2c，即 10>8，轨迹确为椭圆。 答案：x²/25+y²/9=1。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） 路径回顾 · 课堂小结 · 作业布置 一、研究路径回顾 几何特征 代数表示 方程推导 性质研究 应用 这条研究路径将迁移到双曲线、抛物线，请类比学习。 二、作业布置 1.　学习任务单：完成"三个追问"与推导留白部分。 2.　分层作业：A 层概念辨析、B 层方程求解、C 层综合应用。 3.　预习双曲线定义，类比椭圆的研究路径。 18 1.7.2013 回顾研究路径：几何特征→代数表示→方程推导→性质研究→应用。 点明这条路径将迁移到双曲线、抛物线，体现大单元教学意识。 作业分层布置，与学习任务单、分层作业配套呼应。 留预习任务，为后续双曲线学习埋下伏笔。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） A层　定义与限制条件辨析 1.　已知 (−3,0)、(3,0)，动点 P 满足 ，则点 P 的轨迹是（　） A. 椭圆　　B. 线段 　　C. 直线 　　D. 不存在 2.　（多选）下列说法正确的是（　） A. 平面内到两定点的距离之和为常数（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆 B. 椭圆 的焦点位置由 m、n 的大小关系决定 C. 椭圆 的焦点在 x 轴上 D. 若 ，则 P 的轨迹一定是椭圆 16 1.7.2013 答案：1. B。因为 |PF₁|+|PF₂|=6=|F₁F₂|，轨迹退化为线段 F₁F₂，不是椭圆。 2. AB。A 正确（符合定义）；B 正确（大分母对应 a² 决定焦点位置）； C 错：x²/4+y²/9=1 中 9 更大，焦点在 y 轴；D 错：缺少条件 2a>|F₁F₂|。 讲评：两题都直击定义的限制条件，是最常见的易错点。 ‹#› 2.2.1 椭圆及其标准方程 · 人教A版（2019） B/C层　方程求解与综合应用 3.　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 焦点在 x 轴上，焦距为 6，且经过点 (4,0)；　　(2) 经过两点 P(2,)、Q(−1,2)，焦点位置未知。 4.（数学运算 + 直观想象）椭圆两焦点为 (−4,0)、(4,0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10。 (1) 求椭圆的标准方程；　　(2) 若 ，求 的面积。 5.（数学建模）某海域有 A、B 两岛，B 在 A 正东 4 海里处。鱼群洄游路线是到 A、B 距离之和为 8 海里的曲线 C。 以 AB 所在直线为 x 轴、AB 中点为原点建系。(1) 求曲线 C 的标准方程；(2) 判断曲线 C 的类型，并说明理由。 提示：3(2) 焦点位置未知时，可设一般式 （m、n>0，m≠n）再代入求值；5 考查定义建模。 17 1.7.2013 ‹#› $