3.1.2　第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 第三章　圆锥曲线的方程 基础预习 重点探究 巩固演练 同步分级训练(四十九)椭圆的标准方程及性质的应用 目录 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养. 2.通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 基础预习 NO.1 新知初探 初试身手 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 　　大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则 　　d＞R时⇔直线与圆相离； 　　d＝R时⇔直线与圆相切； 　　d＜R时⇔直线与圆相交． 　　那么直线与椭圆有几种位置关系呢？又如何来判定呢？ 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 思考：过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？ 提示：根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 解 Δ 0 相切 解 Δ 0 相离 解 Δ 0 两 > 一 ＝ 无 < 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 × √ √ √ 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 B C 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 重点探究 NO.2 探究一 探究二 探究三 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 探究1 直线与椭圆的位置关系 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①. 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3 ＜m＜3 时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)有且只有一个公共点； 解：(2)当Δ＝0，即m＝±3 时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)没有公共点． 解：(3)当Δ＜0，即m＜－3 或m＞3 时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 代数法判断直线与椭圆的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离. 提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 [探究问题] 1．求弦长常用的方法有哪几种？ 提示：(1)两点间距离公式，需要先通过解方程组将两点坐标求出来． (2)弦长公式，不需要求出交点坐标，采用根与系数的关系整体代换即可． 探究2 椭圆中的焦点三角形弦长和中点弦问题 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 2．“点差法”的核心是什么？ 提示：假设弦l中点为(x0，y0), 弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 例2　过椭圆 ＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； [思路探究]　(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法． 解：(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)， B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根， 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 又直线AB过点M(2,1)， 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)求此弦长． [思路探究] (2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 解：(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 1．(变条件)本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率． 解：设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 2．(变条件)把本例条件中“使弦被M点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程． 解：设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 1．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程； ③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 探究3 与椭圆有关的综合问题 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(2)若存在点Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°， 则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2. 等价于k1＋k2＝0. 依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)， 令k1＋k2＝ ＝0， (x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0， 当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0， 化简得， ＝0，所以m＝1. 当k＝0时，也成立． 所以存在点Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 综合问题及解决方法 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其解答中涉及椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解决问题的能力，推理与运算能力.此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系是解题的关键. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 1．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1•x2或y1＋y2，y1•y2，进而求解． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 2．求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 3．解决椭圆的中点弦问题的三种方法 (1)方程组法 通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)点差法 设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量．我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (3)中点转移法 先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 巩固演练 NO.3 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 B 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 A 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 4 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 同步分级训练(二十三)　椭圆的标准方程及性质的应用 NO.4 A级 基础过关练 B级 能力提升练 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3) B 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 B 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (　　) A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0 C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0 C 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 C 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 5．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) B 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)当b＝1时，求|AB|. 解：(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0. 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 ABC 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 A 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 6x－5y－28＝0 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 (2)证明：直线CD过定点． 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用　 返回目录 本节内容到此结束! 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＿＿＿＿＿＝1； 点P在椭圆内部⇔＿＿＿＿＿<1； 点P在椭圆外部⇔＿＿＿＿＿>1. ＋ ＋ ＋ 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P(2,1)在椭圆＋＝1的内部．(　 　) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切．(　 　) (3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．(　 　) (4)长轴是椭圆中最长的弦．(　 　) 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　 　) A．相切　　　　　　　　 B．相交 C．相离 D．不确定 3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　 　) A．2 B．± C．±2 D．±2 4．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是___________. (－，) 例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； [思路探究]　→→→ 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y， 1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，求实数m的取值范围． 解：因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0,1)，则点(0,1)在椭圆＋＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以≤1，即m≥1. 当m＝5时，＋＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆． 因此，m的取值范围为[1,5)∪(5，＋∞). 由两式作差得 ＋＝0，即kl＝－. ＋ 于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点， ∴＝＝2， 解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 则x＋4y＝16，x＋4y＝16. 两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－， 即kAB＝－. 由得x2－4x＝0， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝0， ∴|AB|＝• ＝•＝2. 由＋＝1和＋＝1， 得＝－， ∴k＝＝. 又x＋2y－4＝0的斜率为－， ∴＝. 所以椭圆的离心率为 e＝＝＝＝. 则 ∴＝－， 从而kl＝＝. 又kl＝kPM＝， ∴＝. 整理得x2＋4y2－2x－4y＝0. 故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0.(椭圆内的部分) 2．弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝ ＝ ＝• ＝ ＝•(k为直线斜率)． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 例3　椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； 解：(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝. 由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2. ∴所求椭圆的方程为＋＝1. 由，得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0. 因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0.即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， ＋ 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点. (1)求椭圆方程； 解：(1)由题意设椭圆方程＋＝1(a>b>0)， 由c＝，a2＝b2＋c2， 代入方程＋＝1， 又∵椭圆过点， 得＋＝1， 解得b2＝1，∴a2＝4. 椭圆的方程为＋y2＝1. (2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． 解：(2)设直线MN的方程为x＝ky－， 联立直线MN和椭圆的方程可得 得(k2＋4)y2－ky－＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)， y1y2＝－，y1＋y2＝， 则•＝(x1＋2，y1)•(x2＋2，y2) ＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0， 即可得∠MAN＝. ∴∠MAN的大小是定值. 利用kAB＝＝－•＝－•，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法． 1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　 　) A. B.∪ C. D. 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　 　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 3．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则S△MNF2＝ . 4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为_____. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，． （1）求，的坐标； 解：（1）∵，∴， ∴，，故，的坐标分别为，； （2）若直线与交于，两点，且弦的中点为，求直线的斜率． 解：（2）设，两点的坐标分别为，，，， 则， 两式相减得． ∵弦的中点在椭圆内，∴， ∴直线的斜率． 1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) [由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0. 若直线与椭圆有两个公共点， 则 解得 由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3. 综上可知，m>1且m≠3，故选B.] 2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. [易求得直线AB的方程为y＝(x＋)． 由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式， 得|AB|＝•|x1－x2|＝•＝.] 3．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为 [设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2， 因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－， 弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.] 4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. [如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F1F2|＝|PF2|， ∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°， 所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°， 所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c. 又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝.] A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得 又∠AF2F1，∠BF2F1互补，∴cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝.∴2a＝4n＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴所求椭圆方程为＋＝1，故选B.] 二、填空题 6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 . [由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组 解得A(0，－2)，B， ∴S△AOB＝•|OF|•|yA－yB|＝.] 7．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|＝ . [由＋＝1知，焦点F1(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝•＝. 由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝.] 8．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线PA2斜率的取值范围是 . [由椭圆C：＋y2＝1的方程可得a2＝2，b2＝1，由椭圆的性质可知：kPA1•kPA2＝－，∴kPA2＝，∵kPA1∈[1,2]，则kPA2∈.] 三、解答题 9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点． (1)求实数b的取值范围； 解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1， 消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.① 因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点， 所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0， 解得－＜b＜. 所以b的取值范围为(－，)． 解得x1＝0，x2＝－. 所以y1＝1，y2＝－. 所以|AB|＝＝. 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； 解：(1)由题意得 解得c＝，b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当△AMN的面积为时，求实数k的值． 解：(2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0， 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝|x1－x2| ＝ ＝， 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积为 S＝|MN|•d＝， 由＝， 化简得7k4－2k2－5＝0， 解得k＝±1. 11．(多选)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　 　) A．必在圆x2＋y2＝1外 B．必在圆x2＋y2＝上 C．必在圆x2＋y2＝2内 D．必在圆x2＋y2＝上 [e＝⇒＝⇒c＝，＝⇒＝⇒＝⇒b＝a. ∴ax2＋bx－c＝0⇒ax2＋ax－＝0⇒x2＋x－＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝. ∵1＜＜2， ∴点P在圆x2＋y2＝1外，在x2＋y2＝上，在x2＋y2＝2内，故应选ABC.] 12．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. [设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝x， 由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，解得x＝c，所以A，把点A代入椭圆方程得到＋＝1， 整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)•(2e2－3)＝0，因0＜e＜1，所以可得e＝.] 13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，则椭圆方程为 ，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为 . ＋＝1 [由题意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20. ∴椭圆的方程为＋＝1.∴椭圆右焦点F的坐标为(2,0)， 设线段MN的中点为Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)， 解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且＋＝1，＋＝1， 以上两式相减得＋＝0， ∴kMN＝＝－•＝－×＝， 故直线的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.] 14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足•＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 . [∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，∴＜，即＜.又e＞0，∴0＜e＜.] 15．已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，•＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； 解：(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)，则＝(a,1)，＝(a，－1)．由•＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1. 解：(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3，由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)，直线PB的方程为y＝(x＋3)，所以y2＝(x2＋3)，可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)，由于＋y＝1，故y＝－，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0①.将x＝my＋n代入＋y2＝1得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0. 所以y1＋y2＝－，y1y2＝.代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.解得n＝－3(舍去)，n＝.故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点.若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点(，0). $