天津市宁河区芦台第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高三数学参考答案 一、选择题 1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．C 8．B 9．B 二、填空题 10． 11． 12．3 13． 14．24 15．， 三、解答题 16．（1）由题意得， 所以最小正周期为． （2）令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． （3）由题意得， 因为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，取到最大值，且． 所以函数的最大值为2，取得最大值时的值为 17．（1）在中，因为，分别是，的中点， 所以．因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，，平面， 所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则令，则，， 所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18．（1）已知，由正弦定理得 所以． 因为，所以．所以．又因为，所以． （2）由（1）知，所以．因为，所以． 因为，所以，则． 由余弦定理得．所以． （3）由，，所以． 又，， 所以． 19．（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意，，，，，，，， 因为和分别为和的中点，得，，则； 取平面的一个法向量为，； 又因为直线平面，所以平面． （2），，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为． （3）设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则： 整理得：，又，解得． 20．（1）当，时，，． 令，得． 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数． 则，即． （2）方法1： 当时，，易得， ，， 当时，结合（1）易得， 所以在上是单调递增函数，所以，符合题意． 当时，令，． 因为，所以递增． 又，由（1）得，将换作可得，即， 所以， 所以存在唯一的，使得． 当时，，单调递减，则，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 方法2：当时，，易得， 设，当，，所以， 所以在单调递增； 又因为， 当时，，所以在上递增， 所以，符合题意． 当时，，又时，， 存在唯一的，使得． 当时，，递减，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）方法1：若在上单调递增，则恒成立． 令，则． 当时，，故在上单调递增． ，则，不合题意 当时，恒成立，所以，此时的最大值为0． 当时，由，得． 当时，，递减； 当时，，递增． 所以， 得，此处不等号可以取等．所以． 求最值法①：令，，则． 令，得． 当时，，递增； 当时，，递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 求最值法②： 令，则． 令，，则． 令，得． 当时，，单调递增；时，单调递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 方法2：若递增，则恒成立． 当时，令，因为，所以递增 取，则，不合题意． 当时，恒成立，所以，此时的最大值为0． 当时，由恒成立，得对恒成立． 令，由，得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 则． 则，当时等号可以取到， 再令，，然后求解最大值的过程同方法1中的法①、法②． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 方法3：若单调递增，则恒成立． 当时，可得，解得． 下面证明：当时，存在和，可使恒成立． 当时，，令，则． 当时，，故单调递增． 因为，所以不合题意． 当时，由，得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 则， 令，则． 令，，则．令，得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 则． 则不等式的解为， 则的解为． 则时，存在，可使恒成立， 则的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高三数学 一、（本题共9小题，每题5分，共45分） 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．已知，是空间两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．在外接圆半径为的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ） A． B．6 C． D．8 8．下列函数中，是偶函数且在区间上有最小值的是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线对称的点在的图像上，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10．i是虚数单位，复数的虚部为________ 11．已知，满足，，则值为________ 12．设函数，则下列结论 ① ②的图象可由图象向左平移个单位得到 ③函数的单调递增区间为 ④若在上恰有3个最值点和4个零点，则 其中正确的个数为________． 13．已知平面向量，为单位向量且．若平面向量满足，则的最大值是________． 14．若，，且，则的最小值为________． 15．已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为________，的最大值为________． 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分14分） 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求单调递减区间； （3）当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18．（本小题满分15分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求的值； （2）若的面积为，，求的值； （3）若，求的值． 19．（本小题满分15分） 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长． 20．（本小题满分16分） 已知函数． （1）若，，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $