第3章 勾股定理 期中复习专项训练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

2026-2027学年度八年级上学期数学第三单元《勾股定理》期中复习专项训练 一、选择题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若三边分别是a、b、c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（   ） A．9 B．12 C．14 D．35 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（   ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，，点是射线上一动点，设，要使△的形状、大小是唯一确定，则的取值范围是__． 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为______． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为______． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在等边中，平分，P，Q分别为边，上一点，且，若当的最小值为2时，则的长为______ 三、解答题 19．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 22．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 23．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为顶点一个面积为的正方形； (2)在图中以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为、、； (3)借助（）中作出的图形，比较______填“”“”或“” 24．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 25．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度： (2)如图2，若滑块向左滑动，求物体升高的距离． 26．（25-26八年级上·江苏常州·期中）（项目式学习测量旗杆的高度）某实践探究小组组员们想探究学校旗杆的高度，通过测量，得到如下数据： 项目课题 测量旗杆的高度 项目方案 （1）同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （2）小雨在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处 测量示意图 问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出旗杆高度； （2）小丽需要后退几米（即的长）？（结果保留根号） 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 27．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 28．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 29．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 30．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度八年级上学期数学第三单元《勾股定理》期中复习专项训练 一、选择题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若三边分别是a、b、c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、直角三角形的性质、三角形内角和定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理、直角三角形的性质、三角形内角和定理判断． 【详解】解：A、， ， ，故△是直角三角形，不符合题意； B、设，，， ，故△是直角三角形，不符合题意； C、， ，， ，不能判断△是直角三角形，符合题意； D、设、、分别为、、， 由三角形内角和定理得：，解得：，则，故△是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：①：∵， ∴①是勾股数． ②：∵，，， ∴②不是勾股数． ③：∵，，∴， ∴③是勾股数． 综上，是勾股数的有①和③． 故选C． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，运用勾股定理求出点处所表示的数到的距离，再观察点在的左边，即可作答． 【详解】解：由图可得，点处所表示的数到的距离为， 图中标注在点处所表示的数为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 5．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（   ） A．9 B．12 C．14 D．35 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形判定与性质、勾股定理，解本题的关键在证明． 根据正方形的性质，得出，，，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质和勾股定理，结合正方形的面积，求解即可． 【详解】解：如图，作以下标记： ∵、、都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ∴， 又∵，，， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由三角形中位线定理求出；由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例求出即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， 由折叠的性质得： ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得： ，即， 故答案为：A． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（   ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理逆定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 结论①根据等边三角形性质直接计算；结论②利用勾股定理逆定理判断；结论③通过设参数n并解不等式，结合三角形三边关系确定n的取值范围，验证个数是否为7即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为正整数； ∴；故①正确； 当，时，则：， ∴， ∴， ∴为直角三角形；故②正确； 当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故正确的只有①②； 故选A． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 10．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，推出，再利用勾股定理构建方程求出可得结论． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题关键．根据勾股定理，先计算的长，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形， 最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：观察图形可知，，，， ， ，， ， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 12．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，，，点是射线上一动点，设，要使△的形状、大小是唯一确定，则的取值范围是__． 【答案】或 【分析】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定等知识，分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：①当时， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得， 此时，的形状、大小是唯一确定的； ②当时，以点C为圆心，为半径画弧，此弧与射线有唯一公共点，则的形状、大小是唯一确定的， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 13．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为______． 【答案】196 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，勾股定理的应用，熟练地利用完全平方公式及其变形求解代数式的值是解本题的关键． 由图形面积可得，，可得，再代入进行计算即可． 【详解】解：由图可知，， ． 小正方形的面积是4， ， ， ， ． 故答案为：196. 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一点，将沿翻折，点A的对应点为，当点落在边上时，的值为________． 【答案】5或10 【分析】如图：连接、，根据等腰三角形的性质得，再根据勾股定理得，证明，可得，再结合等腰三角形的性质得，然后根据“等角的余角相等”得，即可求出此时的；当点E和点B重合时，易得是的垂直平分线，即点和点C重合，符合点E为边上一点这一条件，此时． 【详解】解：如图，连接，， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵点关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即． 如图：当点E和点B重合时， ∵，点D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴点和点C重合，符合点E为边上一点这一条件，此时． 综上，的值为5或10． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在等边中，平分，P，Q分别为边，上一点，且，若当的最小值为2时，则的长为______ 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．作线段，使，，连接，，证明出是等腰直角三角形，进一步推出，证明，得到，证明出的最小值为，从而得到答案． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵平分， ∴， 作线段，使，，连接，，如图， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的最小值为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由题意可得，， 直角梯形的面积为 则， 化简可得，，即可求证． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及利用等面积法证明勾股定理． 先证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】略 21．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图是王大爷承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，王大爷打算从靠近河岸的边上引一条水渠，使得点到点、、三处距离相等，请你帮他用无刻度的直尺和圆规作出这条水渠，并计算这条水渠的长度为______． 【答案】(1) (2)如图，线段即为所求， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，根据三角形的面积公式即可得到结论． （2）作线段的垂直平分线，垂足为，连接即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ∴， ，， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为： ． （2）， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为顶点一个面积为的正方形； (2)在图中以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为、、； (3)借助（）中作出的图形，比较______填“”“”或“” 【答案】(1) 解：如图所示，正方形即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； (3) 【分析】（）作一个边长为的正方形即可； （）利用勾股定理画出三角形即可； （）利用三角形的三边关系判断即可． 本题考查勾股定理与网格，算术平方根的应用，三角形三边关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由三角形三边关系得，， 即， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？ 【答案】蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求最短距离，解题的关键是利用轴对称的性质以及勾股定理进行求解． 将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是． 25．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度： (2)如图2，若滑块向左滑动，求物体升高的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）并结合绳子长度不变的条件分析是解题的关键． （1）利用勾股定理计算初始状态下绳子从到的长度，再加上到的垂直距离，得到绳子总长； （2）先求出滑块左移后到的绳子长度，结合绳子总长得到到的新距离，进而求出物体升高的距离． 【详解】（1）解：由题意可知，初始时，在中，，，， ∴由勾股定理得， ∴绳子总长度； （2）解：如图，由题意可得，，， ∵滑块向左滑动， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵绳子总长为， ∴此时到的距离为， ∴物体升高的距离为 26．（25-26八年级上·江苏常州·期中）（项目式学习测量旗杆的高度）某实践探究小组组员们想探究学校旗杆的高度，通过测量，得到如下数据： 项目课题 测量旗杆的高度 项目方案 （1）同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （2）小雨在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处 测量示意图 问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出旗杆高度； （2）小丽需要后退几米（即的长）？（结果保留根号） 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）旗杆的高度为米；（2）小丽需要后退米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于，证明四边形为矩形，得出，，由勾股定理得米，即可得解． 【详解】解：（1）旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，处到旗杆底部的距离为9米， 设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得， ， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）过作垂足为点，如图所示： 则， 四边形为矩形， 米，， ， （米，（米， 在中，，由勾股定理得（米， 米， 答：小丽需要后退米． 27．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）略 28．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1) 图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 29．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 30．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1) 证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ∴． (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $