辽宁省2026-2027学年高二上学期数学11月期中模拟卷02

2026-2027学年上学期辽宁省高二数学11月期中模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，是的中点，记，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·安徽·阶段检测）已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知空间向量，，不共面，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知曲线：，点在曲线上，下列结论中正确的个数为（     ） ①曲线围成的图形的面积为；②的最小值为； ③的最大值为；④曲线有且仅有4条对称轴． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·新疆·期中）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A．若 与 关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若 三点共线，则 10．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的离心率 B．的最大值为8 C．以线段为直径的圆与圆相切 D．若，则的面积 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（    ） A．BD⊥CC₁ B．BD₁与AC所成角的余弦值为 C． D．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 13．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 14．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求边的垂直平分线方程． 16．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点是底面上的一点，且平面与平面的夹角为，求线段的最小值. 17．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． (1)判断的形状； (2)若点为线段上一点．求证：平面平面； (3)求二面角的大小． 18．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 19．（2026·陕西·三模）已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期辽宁省高二数学11月期中模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，是的中点，记，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合空间向量加减法几何意义化简运算可得. 【详解】如图，三棱柱中，是的中点， 所以， 2．（26-27高二上·安徽·阶段检测）已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】已知点在平面上，连接平面内点和待求点，得到向量. 点到平面的距离公式为：点与平面内任意一点构成的向量，在平面法向量方向上的投影的绝对值，即 . 因为，， 所以点到平面的距离为：. 3．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知空间向量，，不共面，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将移项整理为：， 由不共面，根据空间向量基本定理，若这三个向量的线性组合为零向量，则各向量的系数均为0， 因此得到方程组： ，解得. 4．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）直线：与：（其中，，），在同一平面直角坐标系中的图象可能是图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程，发现交点横坐标恒为，据此可直接排除交点轴左侧A选项，再验证其余选项中斜率、纵截距的大小关系即可确认. 【详解】将直线的方程分别化为斜截式：，， 联立两直线方程求交点：，移项得，因为，解得， 即无论取何值，两条直线的交点横坐标恒为1，即交点一定在轴右侧， 对于选项A：两直线交点在轴左侧，矛盾，所以A错误； 对于选项B：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为正，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，参数正负完全一致，所以B正确； 对于选项C：两直线交点在轴右侧，斜率小于0，即，纵截距为正，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以C错误； 对于选项D：两直线交点在轴右侧，斜率大于0，即，纵截距为负，即； 斜率大于0，即，纵截距为正，即，矛盾，所以D错误； 5．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，根据向量数量积的运算得到点的轨迹为圆，再根据直线与圆有公共点时圆心到直线的距离不大于半径，及点到直线的距离公式即可求出的取值范围． 【详解】设，由，， 则，， 则，即， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线上存在点，即该直线与圆有公共点， 即圆心到该直线的距离，即，即，解得， 所以的取值范围为． 6．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量，结合数量积的运算律求出二面角的余弦值. 【详解】如图，在矩形中，分别过、作的垂线，垂足记为， 在矩形中，，，. ，所以.同理. ，同理， 所以. 折叠之后，，，， . ，. 所以 得. 设二面角的平面角为，因为与的夹角是. . 得. 所以二面角的余弦值为. 7．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知曲线：，点在曲线上，下列结论中正确的个数为（     ） ①曲线围成的图形的面积为；②的最小值为； ③的最大值为；④曲线有且仅有4条对称轴． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据曲线：画出图象，结合几何意义，数形结合判断各选项对错即可. 【详解】由题可得，当 ， 所以其图形如下所示， 对于①，曲线围成的图形的面积为，故①正确. 对于②，表示点与点的连线的斜率， 由图可知当与直线相切时取得最小值， 设切线为，则 解得或（舍去）. 所以的最小值为,故②正确. 对于③，其图形如下所示， 点到直线的距离为， 结合图象可知，到直线的距离的最大值为. 于是的最大值为，故③错误. 对于④，由图像可知，曲线有且仅有4条对称轴， 分别为轴，轴，直线，直线，故④正确. 8．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·新疆·期中）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（ ） A．若 与 关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若 三点共线，则 【答案】BD 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则 ，故A错误； 对于B，由共面向量定理可得B正确； 对于C，因为 ，故C错误； 对于D， ，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以 ，故D正确． 10．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的离心率 B．的最大值为8 C．以线段为直径的圆与圆相切 D．若，则的面积 【答案】BCD 【分析】先根据椭圆方程求出基本参数，再结合椭圆性质、圆与圆的位置关系、余弦定理逐项判断各选项正误. 【详解】由椭圆，得长半轴，短半轴，半焦距， 左右焦点为. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：椭圆上的点到左焦点的最大距离为，即的最大值为8，B正确； 选项C：以线段为直径的圆方程为，圆心，半径； 圆的圆心为，半径， 两圆心距，故两圆外切，C正确； 选项D：设，由椭圆定义得， 在中由余弦定理：， 代入，解得， 则三角形面积，D正确. 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（    ） A．BD⊥CC₁ B．BD₁与AC所成角的余弦值为 C． D．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 【答案】ABD 【分析】先证线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直，可判断A选项，以为基底，表示出和，利用向量法可求得与所成角的余弦值，可判断B选项，用基底表示出，再根据可求得，可以判断C选项，先求出，再求出平行六面体的高，再根据体积公式计算的体积. 【详解】 连接，平面，, 又为菱形，， 平面，且，平面， 又平面，，A选项正确. 记，由题意，，，， ，， 平面，，， 整理得，得，可得, ，， ， ， 记与所成角为，则，B选项正确. ，，C选项错误. 易知在平面上的射影在上， 设平行六面体的体积为，高为， ，， ，D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 13．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，据此可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】，则两圆公共弦方程为. 因在上，则，从而， 当且仅当，即时取等号. 14．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程； (3)求边的垂直平分线方程． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）三角形中线：先求对边中点，再连接中点与对角顶点，用两点式求直线方程；（2）三角形边上的高：高线过对角顶点，斜率和该边斜率乘积为−1，利用点斜式写方程；（3）线段垂直平分线：经过线段中点，斜率与线段斜率互为负倒数，中点 + 斜率即可求出直线. 【详解】（1）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的方程为． （2）设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为，直线的方程为． （3）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为， 设边的垂直平分线的方程为，， 用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得． 16．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点是底面上的一点，且平面与平面的夹角为，求线段的最小值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用棱锥体积公式计算即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角计算公式结合二次函数分析计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以四棱锥的底面为直角梯形， 又因为平面， 所以四棱锥的体积为. （2）因为平面，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ，，，， 设，则，， 由题意平面的法向量，设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以，因为平面与平面的夹角为， 所以，整理得， 所以， 所以当时，，所以． 17．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图，以的边为直径在三角形外作半圆，半圆恰好位于平面内，，半圆的面积为，是边长为2的等边三角形，平面平面，为半圆弧上一点（不含端点）． (1)判断的形状； (2)若点为线段上一点．求证：平面平面； (3)求二面角的大小． 【答案】(1)是直角三角形. (2)由（1）可知，， 又平面平面，且平面平面， 平面，所以平面, 由平面，可得平面平面. (3) 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可判断； （2）由面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理即可证明； （3）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）半圆的面积为，则半径，直径， 又是边长为2的等边三角形，则， 且，则， 所以，则是直角三角形. （2）略 （3） 以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 等边在平面内，故， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，取，则，所以， 显然，二面角为锐二面角，设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的大小为. 18．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 【答案】(1)或 (2) (3)（法一）设点， 则， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点． （法二）设点， 则以为直径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点， 则当点在直线上运动时，直线过定点. 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. （3）（法一）设点，利用两点间距离公式求出，得到以为圆心，为半径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点．（法二）设点，求出以为直径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点． 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点， 则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或． （2）设点， 则四边形的面积为： ， 因为，所以． （3）略 19．（2026·陕西·三模）已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i） （ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）连接，由题意知， 则， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，. 所以，，所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，所以， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以， 由，，得，解得. 不妨设，则，． 所以的面积. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $