辽宁省2026-2027学年高二上学期11月期中点石联考数学模拟卷01

辽宁省2026-2027学年上学期11月期中点石联考模拟卷01 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数乘向量的坐标运算求出的坐标，再通过向量加法的坐标运算得到的坐标即可. 【详解】已知，，根据数乘向量的坐标运算法则： 对于任意实数和向量，有， 可得： . 再根据向量加法的坐标运算法则：对于向量和， 有， 可得： . 2．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆． 圆即， 表示以为圆心，半径为4的圆． 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 3．（26-27高三·全国·二轮复习）如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形边长为，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算向量夹角余弦，再取绝对值得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】 设正方形边长为，建立空间直角坐标系，底面圆心为原点，在轴，， 因为是的中点，所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线l恒过定点P(1，1)，计算PA、PB的斜率，结合直线与线段AB相交的斜率约束求解m的取值范围. 【详解】将整理为， 令，解得，即直线l恒过定点， ， ， 直线l的斜率为，因直线l与线段AB相交，结合几何关系可知斜率需满足或，即或， 分别解不等式得 或 ，故实数m的取值范围是. 5．（26-27高二上·安徽·阶段检测）在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段长度判断出和是直角三角形，分别在面和面内作出垂直于二面角的棱的线，以为基底表示出，从而利用向量模长公式求出的长． 【详解】已知，，，由勾股定理， 可得，同理， 在面内过作于点，面内过作于点， 在中，， 因为，所以， 在中，同理可得，， 所以， 二面角的大小为，即，所以， ，因此. 6．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出圆心的坐标及圆的半径，设切点为，由可知，当最小时，取得最小值，进而根据圆心到直线距离求解最小值即可解决问题. 【详解】由已知条件可得：圆心坐标为，圆的半径， 假设直线与圆的切点为，易知：. 则在中有，即. 由此可得：当最小时，取得最小值. 因为，当时，最小，此时，可得：， 所以的最小值为. 7．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，利用对称的性质及线段和的最小特征求出点到平面的距离即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 则，在线段的延长线上取点，使， 于是点，由平面，点在平面内，得， 令点到平面的距离为，因此， 当且仅当分别是过点垂直于平面的直线与平面和平面的交点时取等号， ，设平面的法向量， 则，取，得，， 所以的最小值为. 8．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D．在，轴上的截距为，的直线可表示为 【答案】ABC 【分析】先由倾斜角求出斜率，再根据直线方向向量的概念求出斜率，即可判断选项A；根据直线定点的求解方式，求出定点坐标即可作出判断；根据是否为0即可判断选项C；由截距式不能表示截距为0的直线即可判断选项D. 【详解】对于A，由直线倾斜角为，则斜率； 若方向向量为，则斜率，所以选项A正确； 对于B，由，则，令，则， 所以，因此直线恒过定点，选项B正确； 对于C，因为，所以两直线垂直，选项C正确； 对于D，当截距为0时，截距式不适用，选项D错误. 10．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得到的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 11．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）如图所示，底面为菱形的直棱柱中，点在侧棱上，，点为侧面内一动点（包含边界），则（    ） A．平面截四棱柱所得的截面是四边形 B． C．平面与平面所成角的余弦值为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接，如图， 则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A正确． 对B，连接，由题意可得，底面，底面，所以， 而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确． 对C，设与交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面的一个法向量为， 则，C错误． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据空间向量夹角为钝角的等价条件：且两向量不反向共线，结合坐标运算求解的取值范围 【详解】由题意得：，解得， 又与不共线，所以，所以， 所以. 13．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 14．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由余弦定理可得，两式相除可得，再根据对勾函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由，，可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因， ， 解得．故． 16．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为45°，如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)取中点，连接， 则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. (2)存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）取中点，连接，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，令，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由已知得，，，， 所以，所以， 又平面，平面， ， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 假设存在点，满足要求，令， 又，所以， 所以，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 显然平面的一个法向量为， 若平面与平面的夹角为45°， 则， 即，解得，所以， 所以， 记与平面所成角为， . 所以存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 17．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求 （ⅰ）的周长； （ⅱ）的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）核心是利用两圆内外切的距离关系，得到动点到两定点距离之和为定值，用椭圆定义直接写出轨迹方程； （2）结合椭圆定义与余弦定理，整体求出两条焦半径的乘积，再用三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径， 设动圆圆心，半径，动圆与内切：， 动圆与外切：，两式相加得， ，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，， 故轨迹的方程是； （2）（i）由为曲线上的点和椭圆的定义得， 故的周长； （ii）在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得， 故的面积. 18．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的大小； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)由四边形是边长为4的正方形，可得， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为在中，，， 所以，解得，即. 在中，已知，，， ， 所以. 因为平面，平面，， 所以平面. (2)（或） (3) 【分析】（1）结合三棱柱性质和已知证明，再结合勾股定理证明，根据面面垂直的性质定理即可得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，进而确定两条直线方向向量，再根据向量夹角公式求解； （3）分别求出两个平面的法向量，再求两个法向量夹角的余弦值，结合平面夹角的范围得到结果. 【详解】（1）略. （2）如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则：，，，，，， 是中点，故. ， 则直线与直线所成角的余弦值为：， 代入：， ，， 可得：，， 所以，即直线与直线所成角为（或）. （3）平面，故平面的法向量可设为， 设平面法向量为， 则：，令，得. 所以平面与平面夹角的余弦值为： .    19．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1). (2)16 (3) 【分析】(1)设动点，依据的距离等式，两边平方化简整理，即可求得动点的轨迹圆的方程； (2)设，写出的坐标表达式，求和后结合圆方程消去，转化为关于的一次函数，利用的取值范围求最值，再计算最值之差； (3)假设轴上存在定点，联立直线与圆的方程，由韦达定理得到两根之和、两根之积，代入斜率条件化简，求解参数并验证，判断定点是否存在. 【详解】（1）设，由，，， 得， 两边平方：， 展开：， 整理得：， 所以圆的方程为. （2）设，由，，， ， ， ， ， 由点在圆上，，代入得， ， 圆中， 当时，取得最大值； 当时，取得最小值， 最大值与最小值之差为. （3）假设在轴上存在定点满足条件， 设，，联立， ， ，， 由，得， ，，当时，约去， ， 通分整理：， ， 代入，后两边同乘：， 化简，即，解得， 当时，直线与圆交于， 也满足，所以存在定点满足题意. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年上学期11月期中点石联考模拟卷01 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 3．（26-27高三·全国·二轮复习）如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知点，．若直线l：与线段AB相交，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·安徽·阶段检测）在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知点P在直线上，过点P作圆的切线，则切线的长的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D．在，轴上的截距为，的直线可表示为 10．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．到直线的距离最大值为 11．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）如图所示，底面为菱形的直棱柱中，点在侧棱上，，点为侧面内一动点（包含边界），则（    ） A．平面截四棱柱所得的截面是四边形 B． C．平面与平面所成角的余弦值为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知空间向量，，若与的夹角是钝角，则的取值范围是________． 13．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 14．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 16．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为45°，如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由． 17．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求 （ⅰ）的周长； （ⅱ）的面积． 18．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的大小； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中的点，，则满足的动点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)已知，，三点，点在圆上运动，求的最大值与最小值之差． (3)直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $