精品解析：辽宁大连市长海县高级中学2025-2026学年上学期期中考试高二数学试卷

长海县高级中学2025-2026年度上学期期中考试 高二数学试卷 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 不存在 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7. 已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为109 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个法向量为 C. 若直线，则 D. 点到直线的距离是2 10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点M的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点M到直线的距离的最大值为 D. 若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆方程，求两焦点坐标为___________ 13. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点的坐标分别是，，并且经过点； （2）经过两点，. 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 17. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 18. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长海县高级中学2025-2026年度上学期期中考试 高二数学试卷 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解． 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，，得． 故选B． 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 3. 已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 5. 已知点，则点A到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 6. 过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径.  因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则.  点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，.  因为，当取最小值时，， 则.  的最小值为. 故选：A. 7. 已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 8. 已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为109 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用点到直线的距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，圆，即， 所以其圆心和半径分别是； 圆的圆心和半径分别是. 则中点为. 点不在直线上，即直线不过的中点， 即不关于直线对称，故A错误； 对于B，圆与圆的公共点的坐标均满足两圆方程， 因此两圆相减可得其公共弦所在直线方程为， 即， 到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个法向量为 C. 若直线，则 D. 点到直线的距离是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线方向向量的定义判断选项A；由直线法向量与方向向量的位置关系判断选项B；由斜率关系得两直线垂直判断选项C；求点到直线距离判断选项D. 【详解】对于A，因为直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于B， 直线的一个方向向量为，由，所以不是直线的一个法向量，故B错误； 对于C，因为直线的斜率，且，所以直线与直线垂直，故C正确； 对于D，点到直线的距离，故D正确. 故选：ACD. 10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点M的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点M到直线的距离的最大值为 D. 若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，先由求出点M的轨迹方程，从而得点M的轨迹圆的半径，再由圆的面积公式即可得解；对于B，先求出，接着求出圆心到直线的距离再加上半径即为的高最大值，进而可求面积最大值；对于C，求出圆心到直线的距离再加上半径即为解；对于D，求出圆心到直线的距离d，令即可计算求解. 【详解】对于A，设，因为，所以， 整理得即， 所以点M的轨迹是圆心为，半径为的圆， 所以点M的轨迹围成区域的面积为.故A正确； 对于B，，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离为， 要使M的轨迹上有四个点到直线的距离为， 则，解得.故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，∴， 此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当或1时，直线与平面所成角的正弦值的最小值为，D错误 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆方程，求两焦点坐标为___________ 【答案】和 【解析】 【详解】由，得，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，且， 所以，所以，所以两焦点坐标和. 13. 在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【解析】 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据材料，易求得平面的法向量；设两个平面的交线的方向向量为，算出题设中来两平面的法向量和，利用和可求得的坐标，再利用空间向量的夹角公式求出线面所成角即得. 【详解】由题意，平面的法向量为； 设直线的一条方向向量为， 因平面的一条法向量为，平面的一条法向量为， 则有故可取， 因平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 故答案为：；. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点的坐标分别是，，并且经过点； （2）经过两点，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 16. 已知直线和的交点为P． （1）若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： （2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【小问1详解】 联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； 【小问2详解】 由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 17. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 18. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. 【小问3详解】 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； （3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $