辽宁省2026-2027学年高二上学期11月期中点石联考数学模拟卷02

辽宁省2026-2027学年上学期11月期中点石联考模拟卷02 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·海南儋州·阶段检测）已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量共线的坐标关系，根据第三个坐标确定比例系数，再求． 【详解】因为，共线，且，所以存在实数，使． 比较第三个坐标，得，即，所以，，从而． 2．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两直线互相垂直斜率之积等于求解. 【详解】当即时，：，：，两直线不垂直； 当，时，若，则，解得. 3．（26-27高二上·山东·期中）已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，，故， 所以， 点A到直线BC的距离为. 4．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【分析】本题考查曲线方程的化简与识别.先由右边根式的非负性确定左边的取值范围，再两边平方转化为圆的标准方程，最后根据 y 的取值范围判断是整圆还是半圆. 【详解】因为右边，所以左边，即. 两边平方得，整理为. 选项A因为方程含平方项，不可能是直线，所以选项A错误. 当 时，方程化为，且，这是以 为圆心、1 为半径的上半圆. 当 时，方程化为，且，这是以为圆心、1 为半径的下半圆. 综上，方程表示两个半圆，所以选项D正确，选项B、C错误（不是完整的圆，受 限制）. 5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建系，设，再结合即可求出. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，则，则， 若平面，则 即， 则，得，故. 6．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴的对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上， 设反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 当时，反射光线为，与轴无交点，不符合反射要求，所以. 7．（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出的最小值，即可得到面积的最小值. 【详解】以为原点，分别以所在方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， 即，由，即，得， 因为在正方体中，侧面，且， 又因为， 因为，所以当时，取到最小值为， 此时面积取到最小值为. 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）下面四个结论中正确的是（   ） A．若与关于平面yOz对称，则 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AC 【分析】本题考查空间点的对称性质、向量点积与夹角的关系、投影向量计算以及空间基底的判定，逐一分析各选项即可求解. 【详解】选项A：点关于平面对称时，坐标变为相反数，坐标保持不变，故点坐标为， 则，A正确. 选项B：若，向量的夹角可能是锐角，也可能是两向量同向共线（夹角为），B错误. 选项C：计算得，， 则在上的投影向量为，C正确. 选项D：因为，说明三个向量共面，不满足空间基底要求的三个向量不共面的条件，D错误. 10．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C．若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 【答案】ACD 【分析】A选项利用切线长公式，转化为求原点到直线上动点距离的最小值；B选项先求圆心到直线距离，结合圆半径，判断圆上到直线距离等于定值的点的个数；C选项利用最大角模型，结合三角函数建立不等式，求解点A横坐标范围；D选项利用切点弦方程（两圆公共弦），将含参直线整理为过定点形式，求出直线所过定点． 【详解】选项A：由切线长公式得， 因点A是直线l上的一个动点，则当时，最小，即最小值为， 此时，的最小值为，A正确； 选项B：因到直线的距离为，圆半径为2，圆上点到的最小距离为， 则圆上仅有1个点（过作的垂线与圆靠近的交点）到直线的距离等于，B错误； 选项C：设，要存在使，则切线与的夹角， 又是锐角，在中，，得， 即，解得，即横坐标取值范围是，C正确； 选项D：因，则切点弦的方程为，即， 令，解得，即直线过定点，D正确． 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 【答案】 【分析】先求出平面的法向量，再求出在方向上的投影向量，最后再求向量在平面内的投影向量. 【详解】由，，，可得： ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，又，所以. 在方向上的投影向量为： ， 又向量在平面内的投影向量为： . 13．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解. 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 14．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆：，动点P在直线l：上（），过P分别作圆O，圆的切线，切点分别为A，B，若满足的点P有且只有一个，则实数b的值为_________． 【答案】 【分析】根据切线长可得，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，进而可知圆与直线l相切，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆O：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径； 因为，则，则， 即，可得， 设，则，整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 又因为点P在直线l：上（），且点P有且只有一个， 则圆与直线l相切，则，解得或（舍去）， 所以实数b的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·江苏连云港·开学考试）已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线关于点的对称直线为，则，设直线的方程为，利用点到直线的距离可得答案； （2）先求得两直线的交点坐标，再在直线上取一点并求出其关于直线的对称点，即可求解． 【详解】（1）设直线关于点的对称直线为，则， 设直线的方程为， 根据题意，解得或（舍去）， 所以所求直线的方程为． （2）联立，解得， 即两直线的交点坐标为，在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则， 即， 解得，即， 所以，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为． 16．（26-27高二上·广西·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，，，，为中点.    (1)用空间的一个基底表示，； (2)求，，异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：. 【答案】(1)，； (2)，，异面直线与所成角的余弦值为； (3)因为，， 所以 ， 所以. 【分析】（1）利用平行六面体棱的向量关系，通过线性运算表示向量； （2）借助向量模的计算公式和数量积运算，依次求解向量模的长度与异面直线所成角的余弦值； （3）通过向量数量积为0证明线线垂直. 【详解】（1）由已知， . （2）由（1）及已知 ， 故. ，故. ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）略. 17．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. (2)点存在，. 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理，证明平面，可证得； （2）假设存在点P，设，由已知线面角的正弦值，利用向量法求出. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由M是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，由，则，可得， 设平面的法向量，由，， 则有，令，则，得， 则，解得. 所以点存在，且. 18．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆的方程 (2)过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； (3)已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）利用点到直线的距离计算半径即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，根据弦长公式即可求出； （3）令，根据直线与圆的位置关系求出. 【详解】（1）圆心到直线的距离为，即半径为， 故圆的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，， 直线与圆的交点为，此时，符合题意； 若直线斜率存在，设，则圆心到直线的距离为， 因为，所以圆心到直线的距离为，则，得， 此时， 故直线的方程为或； （3）令，则， 因为直线与圆有交点， 所以，得， 故的取值范围为 19．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【详解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年上学期11月期中点石联考模拟卷02 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·海南儋州·阶段检测）已知向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知直线：，：（），若，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·山东·期中）已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）方程表示的曲线是（     ） A．两条直线 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 5．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 7．（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）下面四个结论中正确的是（   ） A．若与关于平面yOz对称，则 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 10．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l：和曲线O：，点A是直线l上的一个动点，点D是曲线O上的一个动点，过点A作曲线O的两条切线，切点分别为B，C，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．曲线O上存在2个点到直线l的距离等于 C．若曲线O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是 D．直线过定点 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·湖北黄石·阶段检测）已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 13．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 14．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，圆：，动点P在直线l：上（），过P分别作圆O，圆的切线，切点分别为A，B，若满足的点P有且只有一个，则实数b的值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·江苏连云港·开学考试）已知直线，试求： (1)直线关于点对称的直线方程 (2)直线关于直线的对称直线． 16．（26-27高二上·广西·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，，，，为中点.    (1)用空间的一个基底表示，； (2)求，，异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：. 17．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆的方程 (2)过点的直线与圆相交于，两点，当时，求直线的方程； (3)已知实数x，y满足圆的方程，求的取值范围． 19．（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $