辽宁省2026-2027学年高三上学期11月期中数学模拟卷02

2026-2027学年上学期辽宁省高三数学11月期中模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）已知，则（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 5．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 6．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）在中，，边上的高等于，则（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，曲线在处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）已知复数，，，则（   ） A． B．当为实数时， C．当的共轭复数为时， D．当在复平面内对应的点位于第四象限时， 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间上单调递增 D．若，且，则的最小值为 11．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，E为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线DE与平面所成角的正弦值为 C．点C到平面的距离为 D．三棱锥的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知向量，．若，则实数x的值为________． 13．（26-27高三上·湖北黄石·阶段检测）已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 14．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知数列 满足 ，且 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前 项和 . 16．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数 ，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立. 17．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 18．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，且，当时，． (1)求； (2)证明：在定义域内单调递增． (3)若对，，求的取值范围． 19．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期辽宁省高三数学11月期中模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由全称命题的否定， 命题“”的否定为“”. 2．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，又因为， 所以. 3．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用 二倍角公式，诱导公式 求解. 【详解】由，得， 故， 4．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域必须关于原点对称， 令分母，解得函数的间断点为和 ， 由于必然不在定义域内，根据定义域关于原点对称的要求，它的相反数也必然不在定义域内， 所以方程的解为，所以. （验证充分性）：当时，, 此时定义域为，关于原点对称, 且，满足奇函数定义,所以成立. 5．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知为数列 的前 项和，， ，则的值为（     ） A．54 B．162 C．156 D．180 【答案】B 【详解】因为，当时，； 当时，，则，即， 得，所以，，. 6．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）在中，，边上的高等于，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的高构造直角三角形求出各边长，再运用余弦定理求解角的余弦值. 【详解】设边上的高，由题意得. 因为​，所以在直角三角形中，，，故. 则​，. 由余弦定理，得 . 7．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量模的平方等于向量自身数量积的性质，先求出的值，再计算目标模长的平方后开方得到结果. 【详解】根据向量模的运算性质：对任意向量，均有. 求解两向量的数量积： 对两边同时平方，得： ， 代入、，即、，可得： 整理解得. 计算： 先计算目标模长的平方： ， 代入已知值与的计算结果： ， 由于向量模为非负实数，故. 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设函数，曲线在处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】，， 切线方程为，当时，， 即①， ，， 将代入得到， 切线斜率，故， 将代入 ①，得到，解得，解得，即 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）已知复数，，，则（   ） A． B．当为实数时， C．当的共轭复数为时， D．当在复平面内对应的点位于第四象限时， 【答案】ACD 【分析】根据复数的模长计算、共轭复数的定义、复数的加法运算及复数的几何意义，结合相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】 选项A：根据复数模长公式得，该选项正确， 选项B：，复数为实数时虚部为0，即，得，该选项错误， 选项C：，若，对应系数相等得，该选项正确， 选项D：在复平面内对应点的坐标为，第四象限的点满足虚部（纵坐标）小于0，即，解得，该选项正确. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．在区间上单调递增 D．若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据图象最值判断的取值，根据与轴的交点计算的值，由最低点代入计算，根据函数解析式及正弦函数的性质可判断选项BCD． 【详解】由最低点可知，．因为图象过点，所以，得． 因为，所以． 由最低点可知，， 取，得，所以．所以． 对于A，，故A错误． 对于B，当时，，所以的图象关于点中心对称，故B正确． 对于C，当时，，因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确． 对于D，的最大值为2，最小值为-2，若，只有或，所以，相隔整数（0除外）个周期，又的最小正周期， 所以的最小值为一个周期，故D正确． 11．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，E为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．直线DE与平面所成角的正弦值为 C．点C到平面的距离为 D．三棱锥的体积为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算分别验证向量点积、线面角正弦值、点到平面距离、三棱锥体积四个结论. 【详解】以D为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为棱长为2，所以，，，，. 对于A：，，，A正确； 对于B：平面内的向量，，设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 则直线与平面所成角的正弦值为，B错误； 对于C：，点C到平面的距离为，C正确； 对于D：设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 又，所以， 所以，， 所以，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知向量，．若，则实数x的值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以. 13．（26-27高三上·湖北黄石·阶段检测）已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 【答案】 【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积. 【详解】设外接球的半径为，，解得. 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为，连接的中心，则线段的中点即为球心，依题意，内切圆半径为， 得，则，解得，， 所以三棱柱体积为. 14．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）若，，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式变形，可得，再由的单调性可得，构造函数，由，即可得到的范围. 【详解】由题意可得对恒成立，则， 由可得， 即， 令，则，则函数在上单调递增， 即由可得， 令，即对恒成立， 可得，令，则， 当时，即，，在单调递增， 可得，要使，则，即, 又因为，所以不满足； 当时，即，，在单调递增， 得到，符合要求，则； 当时，即，当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值， 所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知数列 满足 ，且 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式； (3)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) 因为，即，又因为， 所以是以首项为，公差为的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）分别利用错位相减法和裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）得， ，所以. （3）已知 ， 令 ，则， 两式相减，得，所以， 又因为， 所以. 16．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数 ，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立. 【答案】(1)当时，在上无极值 当时，有极小值，无极大值 (2)当时，，要证：对于任意实数，. 即证：，. 令， 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增，又 所以，即：，. 所以当时，对于任意实数，不等式恒成立. 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值； 当时，由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值 综上，当时，在上无极值 当时，有极小值，无极大值. （2）略. 17．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数图象的两条相邻对称轴的距离，且的图象关于点中心对称． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有个零点，，，求的取值范围及的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用对称轴求的范围，利用中心对称求表达式，从而确定值； （2）先求出并换元，数形结合求出的范围，利用对称性求和。 【详解】（1）因为两条相邻对称轴的距离，所以，所以． 因为的图象关于点中心对称， 所以，得． 又，所以． 所以． （2）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 所以． 当时，，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以当时，曲线与直线在内有3个交点，即函数在内有3个零点． 因为有3个实数根，且，关于直线对称，，关于直线对称，所以，， 所以， 即，得． 综上，的取值范围是，的值为． 18．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，且，当时，． (1)求； (2)证明：在定义域内单调递增． (3)若对，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：令，得，即. 由已知时，故； 时；时. 故对任意，都有. 设，则，且. . 所以，即在上单调递增. (3) 【分析】（1）赋值法求解； （2）赋值推导，利用定义作差证明单调性； （3）利用恒等式将原不等式化简为，结合及单调性转化为对恒成立，分离参数求最值即可. 【详解】（1）令，，故 ，，解得. （2）略 （3）由已知恒等式，注意到，得： . 代入原不等式，化简得： . 当时，. 所以对，. 结合单调递增，得：对恒成立. 分离参数得：恒成立. 令，. 令，则. 当或时，取得最小值.所以. 故，即实数的取值范围为. 19．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得侧面，建立空间直角坐标系，利用求解； （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为， 利用求解； （3）设，求出，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为， ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. ，故锐二面角的余弦值为. （3）若存在，设，，则， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 解得，此时，即. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $