辽宁省普通高中2026-2027学年高三上学期期中考试模拟卷（2）数学试题

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（2） 高三数学 考试范围：高考范围（除立体几何、解析几何） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．若复数满足，其中为虚数单位，则（　　） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分也不必要 3．的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（     ） A． B． C． D． 4．已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 5．已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有（    ）个. A．28 B．30 C．31 D．32 6．已知函数，．若的最大值为2，则的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．平面直角坐标系内，两射线，的夹角为60°，点P，Q分别在射线，上，且．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．若，数列的前项和为，且，，则（     ） A．18 B．9 C． D．19 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知，，，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位长度之后所得图象关于y轴对称 11．某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了次骰子，最终有4次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现1点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数在处的切线方程为，则的值为__________． 13．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 14．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 意向预购量（百件） (1)已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； (2)记与预报价对应的意向预购量的估计值为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为，，时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（15分）已知函数． (1)若的图象上相邻对称中心之间的距离为，求的最大值以及相应的值； (2)若将的图象以轴为对称轴翻转，得到函数的图象，且在上有且只有一个极值点，求此时的单调递增区间． 18．（17分）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 19．（17分）设函数，． (1)当时，求的最大值； (2)已知有两个极值点． （ⅰ）求证：不存在最小值； （ⅱ）若曲线：在点处的切线与有且仅有一个交点，求证：的取值个数有限． 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（2） 高三数学 考试范围：高考范围（除立体几何、解析几何） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．若复数满足，其中为虚数单位，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、求复数的实部与虚部、求复数的模 【详解】设，则，代入方程得：， 由复数相等的条件得，即，则． 2．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】分式不等式、高次不等式、判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，即时，不等式即为，不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为，不等式的解集为； 所以不等式的解集为， 因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 3．的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【详解】二项式展开式的二项式系数呈中间大、两边对称分布，若只有第4项的二项式系数最大，说明展开式总共有7项，因此. 二项式的第项为： ， 令的指数，解得，代入得该项系数为. 4．已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】由题意，， ， 所以， 所以． 5．已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有（    ）个. A．28 B．30 C．31 D．32 【答案】B 【知识点】确定形成映射的个数、分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题、函数关系的判断 【分析】根据函数定义域与值域的映射规则写出所有可能的情况数，注意排除值域不为的情况即可得. 【详解】函数的定义域为，共有5个元素， 函数的值域为，共有2个元素， 映射规则要求定义域中的每个元素都必须且只能对应值域中的一个元素， 因为定义域有5个元素，每个元素都有2种选择， 不考虑值域的限制，一共可以构成个不同的函数， 要求函数的值域恰好是，意味着值域中的两个元素都必须被取到， 若所有定义域元素都映射到或中的一个，值域为或，不符合题意， 因此，满足条件的函数的数量为个. 6．已知函数，．若的最大值为2，则的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、求函数零点或方程根的个数、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角的余弦得，利用换元法结合二次函数的性质可得，求得，进而得，令，得，解三角方程可得结论. 【详解】， 令，又因为，所以， 则，因为，所以最大值在端点处取得， 即最大值为或，又， 所以最大值为，又的最大值为2，所以， 解得，所以. 令，得，所以， 解得或， 又，所以或， 所以的零点个数为3. 7．平面直角坐标系内，两射线，的夹角为60°，点P，Q分别在射线，上，且．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】先化简向量表达式，设模长建立约束方程，通过待定系数配凑完全平方，利用平方非负求出的最大值. 【详解】设，，则，且，故，平方得． 又|，而， 故，即．当时，，等号可以取得， 故的最大值为． 8．若，数列的前项和为，且，，则（     ） A．18 B．9 C． D．19 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、求函数值、函数对称性的应用 【分析】先分析函数的对称性，再求出数列的通项公式，最后利用数列性质和函数对称性求和即可. 【详解】根据题意，，则的定义域为， 又， 所以， 所以，若，则. 由已知，当时，， 两式相减得，整理得，即. 又因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有，所以数列为常数数列， 故，即.由得数列是等差数列， 所以，， 则， 故. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知，，，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、对数的运算 【详解】 选项A：，因为式， 当且仅当时等号成立，故，因此，A正确； 选项B：，由得，即，故B错误； 选项C：，由得， 因此，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，由得，当且仅当时等号成立，D正确. 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位长度之后所得图象关于y轴对称 【答案】BCD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】分别根据在上升曲线段中和在下降曲线段中可求参数的值，从而得到函数解析式，再逐项判断可得正确的选项. 【详解】由图可知， 的图象过点，代入解析式可得，，即， 而在上升曲线段中，结合得. 而在下降曲线段中，故， 故，而且， 故，故，故. A选项：，所以A错误； B选项：的对称轴是，，，所以B正确； C选项：，， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，所以C正确； D选项：将函数的图象向左平移个单位长度之后得到的函数为： ，故为偶函数， 其图像关于y轴对称，所以D正确. 11．某同学有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了次骰子，最终有4次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子．设随机变量表示每掷次骰子出现1点的次数，现以使最大的值估计的取值并计算．若有多个使最大，则取其中的最小值．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】二项分布的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立重复试验的概率问题 【分析】对A，根据二项分布的定义判断；对B，对照二项分布概率公式判断；对C，通过比较相邻对应的比值，推导得出使最大的N满足不等式，因此；对D，由二项分布期望，结合的范围和题目“多解取最小”的规则，可推导出，因此. 【详解】对于A：是次独立重复掷骰子，出现1点的次数，每次掷出1点概率为，符合二项分布的定义， 因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：设为总次数为时的值， 计算相邻项比值， 令，化简得， 即时，递增；时，递减. 若不是整数，最大概率对应，满足，即； 若是整数，，题目要求取最小，因此； 两种情况都满足，C正确； 对于D：期望， 若不是整数，则，所以； 若是整数，则所以， 因此总有，D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数在处的切线方程为，则的值为__________． 【答案】6 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【详解】由，得， 而，则， 因为函数在处的切线方程为， 所以，且，则，所以. 13．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 【答案】 6千米/秒 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解． 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得． 14．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析、根据极值求参数 【分析】依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数（且）的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以在和上，即的图象在上方， 在上，即的图象在下方， 当时，图象显然不符合题意，所以， 当时，令，，在同一个坐标系中作出函数和的图像如图所示： 因为函数和的图像要有两个交点，则过原点且与函数相切的直线的斜率，不妨设直线与的切点坐标为， 因为，所以， 可得，从而，即，则， 又因为，所以，所以，则a的取值范围是. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 意向预购量（百件） (1)已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； (2)记与预报价对应的意向预购量的估计值为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为，，时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 【答案】(1) (2)， 【知识点】根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程、计算样本的中心点 【分析】（1）将数据代入公式，计算即可； （2）将数据代入回归方程计算后判断是否成立即可. 【详解】（1）， ， ． 关于的回归方程是； （2）∵回归方程为， ，，是“精准调研数据”， ，，不是“精准调研数据”， ，，是“精准调研数据”． ∴“精准调研数据”为，． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，且，；等比数列的首项为1且，，成等差数列． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ，； (2) 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列与等比数列综合应用、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）列方程组求解等差数列的首项和公差得通项，利用等差中项求等比数列的公比得通项； （2）将拆分为等差乘等比的结构和等差数列结构，分别用错位相减法、等差数列求和公式求和后合并. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为，由得 ，化简得 ①， 由，令得，即 ②， 联立①②解得，故， 设等比数列公比为，由题意，且成等差数列，由等差中项性质得， 代入得，解得，故， 所以，； （2） 由题意，故，设的前项和是， 设的前项和是，则， ， ③ ，两边同乘得 ④， ③-④得： ， 由代入得 ， 化简得， 故. 17．（15分）已知函数． (1)若的图象上相邻对称中心之间的距离为，求的最大值以及相应的值； (2)若将的图象以轴为对称轴翻转，得到函数的图象，且在上有且只有一个极值点，求此时的单调递增区间． 【答案】(1)取得最大值，对应 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】(1)三角恒等变换化简得，相邻对称中心距离求得，再利用正弦函数性质求最大值与对应； (2)由图象翻折得到，换元，结合极值点个数确定整数，再求的单调递增区间. 【详解】（1） 相邻对称中心距离为，所以周期， ，得， 最大值为，所以， 令， ，， 当时，取得最大值. （2）将关于轴对称翻转，则， ， 极值点即导数为的点，， 令，， ， ， ， 要求在区间上仅有一个解， 当时，， 是左端点取不到，在内无解，无极点，舍去； 当时，， 有，在区间内部；不在此区间，仅有个解，满足题意， ：区间范围更大，会出现个及以上零点，舍去，故， 此时， 求单调递增区间： 单调递增，即单调递减， 令， ， ， 故的单调递增区间为 18．（17分）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明：由， 两边平方得，， 又由，所以， 即， 又由，有，整理得， 又由，所以， 因此为等边三角形，所以. 由（ⅰ）可知，，所以， 在中，，由余弦定理得，. 【知识点】几何图形中的计算、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由二倍角公式和正弦定理化简等式，即可求得角； （2）（ⅰ）作辅助线，利用三角形中位线，求得线段比例，从而得到面积表达式.由余弦定理和基本不等式求得面积最大值，从而求得的值； （ⅱ）以为基底表示出，由向量的模建立的等量关系，结合余弦定理解得的关系.结合（ⅰ）中的结论，表示出，然后通过余弦定理即可求得. 【详解】（1）由，得 由正弦定理得， 所以， 又，故. （2）（ⅰ）如图，由题意可知，为边的中点，过点作，交于点，则为的中位线，所以，， 又，所以，又，所以，则， 因此， 又，所以，则， 由与余弦定理得，，当且仅当时取等号.所以. 又的最大面积为，所以， 解得. （ⅱ）略 19．（17分）设函数，． (1)当时，求的最大值； (2)已知有两个极值点． （ⅰ）求证：不存在最小值； （ⅱ）若曲线：在点处的切线与有且仅有一个交点，求证：的取值个数有限． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：，． 因为有两个极值点，所以当时，有两个零点，即方程有两个正实数根. 令，即，则， 所以方程有两个正实数根， 则，即，解得. 因为二次函数开口向上（因为），且有两个正实数根， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，满足有两个极值点. 因此，的取值范围是，即不存在最小值. （ⅱ）由（ⅰ）可知，又，， 所以函数在点处切线的方程为. 与曲线的方程联立消去得， 令，， 因为切线与有且仅有一个交点，所以函数有且仅有一个零点， 又，， 所以， ①当，即时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，，且， 由零点存在性定理，函数在区间上有一个零点， 且， 因此函数一共有个零点，不符合题意，舍去. ②当，即时，，函数在区间上单调递增， 又，满足函数有且仅有一个零点，符合题意. ③当，即时，在和上单调递增，在上单调递减 当时，，且, 此时，在区间上有一个零点，且， 因此函数一共有个零点，不符合题意，舍去. 综上所述，只有符合条件，即的取值个数有限. 【知识点】根据极值点求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）直接利用导数求函数的最值可得； （2）（ⅰ）直接将函数有两个极值点转化为方程有两个正实数根，再结合根与系数关系可得，从而可得不存在最小值；（ⅱ）先由导数的几何意义可得切线方程，再与曲线方程联立消去，令，，则函数有且仅有一个零点，再利用导数及零点存在性定理判断可得. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，， 由，得，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时函数取得极大值也是最大值， 因此最大值为. （2）略 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $